Геометрия гладких функций Нурпейсов, Жаналадин

ЇЖ

где введено обозначение:

Я

fa *

_Г-

п.

c-K 9rK

линей-

f,^ - пфаффовы производные от -f- по.

векторные ПОЛЯ когда

ные формы to'⁴ определяются из условия ш^к(х-_ь)= ^[ , где 5_L -символ Кронекера. Далее показано, что гиперраспределение Лц-1 натянуто на первые п.-1 линейно независимые

&'

репера

, тогда и только тогда,

Во втором параграфе найдено векторное поле У с условием, что вдоль интегральных кривых 1-распределения Д(У) площадки Л^Сх) є A^_j_ переносятся параллельно. Аналогичная задача в аффинном , п. -пространстве была рассмотрена в работе Алшибая Э. Д. IJ. Пусть У— \ ^с*.^є ^R-l Координаты n^a должны удовлетворять уравнениям:

a/. _fk _ к \ ^ к <- vol V Ч а&п/ ь ^f^ ~ ^U '

где величины

_F

выражаются формулами:

№

_{U =}

_{h К}

Г,

fcti

-V-

?Rn f

-к Ч

'п

поле

В дальнейшем, мы рассматриваем случай, когда векторное

не принадлежит гиперраспределению ^^

Доказано: чтобы существовало векторное поле У такое, что площадки Ла-1^)^еАгы. параллельно переносятся вдоль интегральных кривых 1-распределения Д(у) , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

|f^,K_pn^K рк

^та- fen. ⁺п а&к У Тг

= П. - П .

Отдельно рассмотрен случай, когда гиперраспределение натянуто на векторные поля X_d, Х₂, ..._;Хц^

П-1

вдоль интегральных кривых 1-распределения А(^п.) площадки A_a_i (х) переносятся параллельно. Это будет тогда и толь-

(а=1^г,..., n-i) , где У;

ко тогда, когда X_arL= 0 _ч ,*_., *.,..., ,^, , _{iW3 п} коэффициенты связности V в репере {Х^} , V«.Xj_ — Ур X _к .

В третьем параграфе изучается сеть JC^() , образованная линиями кривизны поля її" на интегральных гиперповерхностях Vft_i гиперраспределения Др_-і и интегральными кривыми поля У

Векторные поля Х_а и Xft v -сопряжены тогда и только тогда, когда ^=^= 0 U*a,ri) /"б J.

Сеть, образованную интегральными кривыми I-распределений А(Х_а) и А(^хп.) > назовем частично ^«- сопряженной относительно 1-распределения A(X_R), если V - сопряжены 1-рас-пределения А(х_а) и А(х_а) для любого a=d,2,..._;n-i . Верна теорема:

Первые (. n-i) - семейств линий частично V - сопряженной сети относительно одномерного распределения Д(х_л) являются семействами линий кривизны относительно 1-распределения

Найдены некоторые аналитические условия (требования на
функцию ^Сх⁴-, х¹, , oJ¹) ) , которым удовлетворяет

функция | , когда интегральные кривые одномерного распределения Ц2₍₁) определяют линии кривизны относительно одномерного распределения А( У)

6 пятом параграфе рассматривается собственно риманово про
странство У^ , с метрическим тензором д.- . Площадки
Ayi-iW гиперраспределения A(x₁,x₂,...,x_n^_L) перено
сятся параллельно вдоль интегральных кривых 1-распределения
А ("У) тогда и только тогда, когда координаты ^ вектор-

ного поля U удовлетворяют системе уравнений: ^¹ )f_a-_L = 0 . Эта система имеет нетривиальные решения при условии

8 1 )Tai I = «-і.

В римановом пространстве V^ существует ортогональное направление X гиперраспределения А ( 2±, z_{z 5}... _f z _n__L), но-

L >.J

торое находится из системы уравнений Я-fa ^ — 0 » ^{в к0}~ торнх положено g_tJ = <, ^-, _. )> .

В пространстве Y^ выделилось двумерное распределение А^= A(x_j н) , где X - ортогональное направление к гиперраспределению A (Х, ^z,... , Х_П1) , а вдоль интеграль-

ных кривых І-распределения А СуЗ имеем параллельный перенос площадок А_п-І(*)є. А^^ Эти распределения пересекаются по одномерному распределению:

Векторные поля X и "У коллинеарны тогда и только тогда, когда r_L=-tG-_L, где P_L - C-i)^L-1 oLctft у_а\ || , &_L= C-if"¹ ol-e-t J cjnt 1 , (t^i> i/Ud,2,...,»L)_#

Рассмотрены некоторые частные случаи, когда одно из векторных полей X или У совпадает с векторным полем Хц .

Параграф шестой посвящен изучению некоторых свойств интегральных кривых I-распределения A(U) .

Если интегральные кривые I-распределения А(и) определяют линии кривизны относительно распределения А С X) , то ^д( ^u) /х - бщая образующая конусов:

= 0,

где положено Uslt Х_а .

Показано, что интегральные кривые 1-распределений д(х_а) являются линиями кривизны относительно I-распределения А (х) тогда и только тогда, когда Хщх.- 0 , $_ауі⁼⁰*

Рассмотрены случаи:

а) I-распределения А(Х_а)и А(х) v -сопряжены;

б) V -сопряжены I-распределения А (х) и A(u)
При этом получены соответственно такие аналитические усло
вия:

а!»

_*Чї⁶

⁵ ба

U=^x_L),

а.

u* a¹

W ^еа.

+

u u.

.g t

Па Ко.

+

u. u

*>* "-,«.

== 0

в которых векторное поле У принято в качестве ПОЛЯ "Хп. « Если интегральные кривые I-распределения А (и) геодезические, то направление А (и) лежит на конусе

.J' к

Условие mrgj^^lh^ll^^ Ц\;_с 7^l|_t^K+lT^cq I
является необходимым и достаточным условием того, чтобы дву
мерное распределение А(Х, У) было вполне интегрируемым, где
С л- коэффициенты скобки Ли: f X^Xj] = їц Х^ [9] .

Во второй главе изучаются сети в евклидовом п. -пространстве и сети на гиперповерхности V^ , определяемые заданной гладкой функцией.

В этой главе индексы пробегают следующие значения:

Э,Э,5К,Л = 1,2,-,4-, i,j,K=±,2,...,in-±> аД,С= 1,2,..., 1П-2.

В первом параграфе изложены в терминах подвижного репера некоторые предварительные сведения из геометрии невырожденного гиперраспределения А^_і в области б- евклидова пространства Е _tl . Оно определено системой дифференциальных уравнений: ^w^= А^ ui + А_1п из (при условии, что векторы ? е A_RiCot) ) . Условие -f= сомі расслаивает область

- II -

G- на однопараметрическое семейство гиперповерхностей \-±
(поверхностей уровня): G- = <*=> V^ . Дифференциальное
уравнение гиперповерхности Y^ : |_ю = о . Величину
Н ^в ~^ЇГ У Li называют средней кривизной гиперповерхно-

сти АГ_Пі в точке хє Y_ft__A /"25/.

Условие параллельного переноса вектора Н вдоль

интегральных кривых 1-распределения д(Ч) имеет вид:

в котором положено Ї1 = п. ?i єА^І*) , у = Ч ^ео<. Дается геометрическая интерпретация ковектора Л _lYl . Обращение в нуль ковектора A_Lri является необходимым и достаточным условием ортогональности векторного поля У ишпер-распределения A _ft-i .

Если площадки Ayi_iO) гиперраспределения ДС^,^,,—,-е_п_4.) переносятся параллельно вдоль интегральных кривых 1-распределения А (и) , У/_х ^ Ду^Сх) , и de-L || Д _t: || = 0 , то координаты ty векторного поля "У удовлетворяют соотношению вида:

*- L «К.

По аналогии со случаем риманова пространства V^ в евклидовом пространстве Е^ выделяется двумерное распределение Д=ЛС^Х.»Н) » где "X - ортогональное поле к гиперраспределению А п_1 » а вдоль интегральных кривых 1-распределения ^ СУ) площадки А_п__± (эо&д^ переносятся параллельно.

Если векторное поле tt , порождающее 1-распределение

A[U)= і\_апДуі-і » коллинеарно векторному полю %__± , то выполняются равенства:

В третьем параграфе рассмотрены линии кривизны гиперповерхности. Когда точка -х. смещается вдоль интегральной кривой I-распределения Л(її) (на гиперповерхности), то система интегральных кривых 1-раепределения А [и) на гиперповерхности определяется уравнениями:

где 0 некоторая I-форма и Й6=лЬ_1# Для того, чтобы интегральные кривые I-распределения Ь[\і) = А С-е^е^.~Дц)і) П &(х,"у) были линиями кривизны относительно ортогонального направления А(х) гиперраспределения А ^_^ , необходимо и достаточно, чтобы

( ЭСФ К; 3{=А,2,...^ П. ), ГДЄ ft - ПРОСТОЙ КОреНЬ

уравнения de-t I Л!ц - j> ^ Ц = 0 .

В четвертом параграфе изучается голономность сети 2ц_і Се^) - сети линий кривизны относительно нормального 1-распределения АСе^) на гиперповерхности Ууы t а также голономность полученной сети 2^(4) в евклидовом пространстве Е^

- ІЗ -

Пространство отнесено к ортонормированному реперу &^х = { х, _, "} , построенному на касательных к линиям сети 2^(4) = t 2_Ы, б-_а} в точке ^ , где <% - семейство интегральных кривых поля ортогонального направления х гиперраспределения Л ^_j_ . Необходимым и достаточным условием сопряженности направлений С и ?. на гиперповерхно-сти V^ является равенство: Л ц = 0 U^j)

Чтобы ортогональная сеть 2_ft[-f) была голономной в пространстве Е ^ , необходимо и достаточно, чтобы сети Sft_i Ох) -линий кривизны были голономны на гиперповерхностях V_n-i (/х) , осе Д (Х) .

Невырожденность гиперраспределения A^-i геометрически означает, что ни одно из направлений кривизны относительно & (х) не может быть асимптотическим.

Исследуя голономность сети 2^^) на гиперповерхности V_R__± , получены уравнения

А -Л.. а..= А... . (Л..-А_г а_г = А

( Aⁿ.-A^ft. )cu = A«_fc (i^j*^0,

где А^:_к симметричны по всем нижним индексам и найдены при внешнем дифференцировании уравнения ^⁼АцЮ с применением леммы Картана. Могут представиться следующие различные случаи: а) Если A.jf Л« и сеть 2_п__± С-е^) - линий кривизны голо-номна, то Ац_к=0 ( l,],k. -различны), б) Гиперповерхность Vft_i является гиперсферой тогда и только тогда, когда для сети ^n-i ^ц) - линий кривизны относительно 1-распреде-

- 14 -ления A(J^) выполняется условие: Д.. =А.. ( l,j=±,,...,Yl-l). Условие:

является необходимым и достаточным условием того, чтобы интегральные кривые 1-распределения Д(И) ,^^(^)( Ї. -фиксировано) были линиями кривизны относительно 1-распределения ДСх) Далее рассмотрен случай, когда интегральные кривые 1-распределения А (и) , где ^eft(U), являются геодезическими. Это будет при условии, когда

u, = C-il"¹ fail А* 1=0 О* к**.)

и компоненты тензора кривизны R^po гиперповерхности V_yl__i обращаются в нуль, если хотя бы один из индексов равен единице. Геодезические линии 1-распределения Mu) ,^6:/^(^) будут плоскими тогда и только тогда, когда

.ij.n

X Л,=0, а¹=о Сi^i).

В пятом параграфе изучены линии кривизны относительно 1-распределения Д(У) , где вдоль интегральных кривых распределения Д("9) площадки Ду^Са.) переносятся параллельно.

Цусть в пространстве 1Е^ задана частично голономная сеть 21 ^ и векторы ??₃ репера R. взяты на касательных к линиям сети 2^.Тогда отыскание линий кривизны относительно 1-рас

- 15 -пределения ДДЧ) сводится к рассмотрению уравнения:

oUtl Aj + fiSj 1 = О,

3 ^^{J Л} Д П LP . П. LaK.h лі П . і К L\

где 03^= a^w , Aj= U A_p.+ 4 1 A_JK+ 1 ^-( Ч,.⁺Ч \Д

И, наконец, последний шестой параграф посвящен (пе
реопределениям, определяемым средней кривизной М и скаляр
ной кривизной Я гиперповерхности V^ Одна функция
^ , отличная от постоянной, на гиперповерхности задает се-

мейство подмногообразий f = const . Получены дифференциальные уравнения (д-х) -мерных поверхностей уровня Vy^Cn) и V^(A) соответственно в виде:

где введено обозначение:

^ (VVVVVVVN*)-

(її-і) -распределение Л ^__г С м) =* Л (тЦ, ^,...,^^)

определяемое уравнениями из — D, РІМ.-0 и (.Уьг) -распределение &(-,, _{э х:)}..., ^п-2^) определяемое системой Щаффа а) — О (у= й-1., п) совпадают тогда и только тогда, когда

(.vi-г) -распределения А_п__г (14) и Ay^Cft) в общем случае пересекаются по (Д-3) -распределению Л^ (Л* 5) _и оно вполне

интегрируемо, как пересечение интегрируемых распределений.

Если все поверхности V_n_₃ минимальные, то интегральные кривые векторных полей * С = "--г, п-1) не могут быть асимптотическими.

\-х^^м) ^и Nut ft) совпадают тогда и толь-

Распределения ко тогда, когда

/

* У І

= ї Ї 1

п. п.

Л Л

п.

П

ІЩ-ЇІ-І

р«уа ,п- .п. ^jm^AtLa

п.

_{+ .А}

p^ft-i

а п.

U jma-i

п.

,ГМ

д п. п.