Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Предварительные сведения 15
1.1. Поверхности и их пространства Тейхмюллера 15
1.2. Кривые на поверхностях 20
1.3. Группы классов отображений 23
1.4. Группы кос 26
1.5. Когомологии и ограниченные когомологии групп 31
1.6. Квазихарактеры и псевдохарактеры 34
Глава 2. Метрики на группах классов отображений 38
2.1. Функции сложности на группах 38
2.2. Функции сложности на группах классов отображений 44
2.3. Доказательство основных результатов 49
Глава 3. Псевдохарактеры групп кос 64
3.1. Пространства псевдохарактеров дискретных групп 64
3.2. Операторы на пространствах псевдохарактеров групп кос 69
3.3. Псевдохарактеры в задачах маломерной топологии 75
3.4. Ограниченный класс Эйлера и число переноса Пуанкаре 78
3.5. Закрученность 80
3.6. Сигнатуры, представления Бурау и коцикл Мейера 88
3.7. Вычисление сигнатур 93
3.8. Основные результаты 98
Заключение 105
Литература
- Кривые на поверхностях
- Когомологии и ограниченные когомологии групп
- Функции сложности на группах классов отображений
- Ограниченный класс Эйлера и число переноса Пуанкаре
Введение к работе
Актуальность темы.
Пусть — поверхность конечного топологического типа. Рассмотрим группу Diff+() сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов и ее нормальную подгруппу Diff0() диффеоморфизмов изотопных тождественному диффеоморфизму. Фактор-группа MCG() = Diff+()/Diff0(), называемая группой классов отображений или модулярной группой Тейхмюллера поверхности , является главным объектом исследования настоящей работы.
Изучение групп классов отображений было начато в 20-ых годах прошлого века Максом Дэном и Якобом Нильсенем. В их работах1 были получены важные результаты как о глобальной структуре групп классов отображений: найдены конечные системы порождающих этих групп, установлена связь этих групп с группами внешних автоморфизмов фундаментальных групп поверхностей, — так и о свойствах отдельных элементов в этих группах: доказано, что каждый элемент конечного порядка в группе классов отображений может быть реализован диффеоморфизмом конечного порядка. Впоследствии методы Дэна и Нильсена получили развитие в работах других математиков. Так разработка идей Нильсена привела Вильяма Терстона к его знаменитой теореме о классификации гомеоморфизмов поверхности , а исследования Дэна действия групп классов отображений на множестве простых кривых на поверхности получили продолжение в работах Вильяма Харви о комплексе кривых — одном из основных геометрических объектов, используемых при исследовании групп классов отображений. Были развиты и другие методы изучения этих групп, берущие начало из таких разделов математики как комплексный анализ, гиперболическая геометрия, теория слоений. Кроме уже упоминавшихся, свой вклад в изучение групп классов отображений
1 Dehn M. Die gruppe der Abbildungsklassen //Acta Mathematica. – 1938. – Т. 69. – №. 1. – С. 135-206.
2 Dehn M. Papers on group theory and topology. – Springer Science & Business Media, 2012.
3 Nielsen J. Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flachen //Acta Mathematica.
– 1927. – Т. 50. – №. 1. – С. 189-358.
4 Nielsen J. Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flachen. II //Acta
Mathematica. – 1929. – Т. 53. – №. 1. – С. 1-76.
5 Nielsen J. Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flachen. III //Acta
Mathematica. – 1932. – Т. 58. – №. 1. – С. 87-167.
6 Nielsen J. Abbildungsklassen endlicher ordnung //Acta Mathematica. – 1942. – Т. 75. – №. 1. – С.
23-115.
7 Thurston W. P. et al. On the geometry and dynamics of difeomorphisms of surfaces //Bulletin (new
series) of the american mathematical society. – 1988. – Т. 19. – №. 2. – С. 417-431.
8 Harvey W. J. 14-Geometric structure of surface mapping class groups //Homological group theory. –
1979. – Т. 36. – С. 255.
9 Harvey W. J. Boundary structure of the modular group //Riemann surfaces and related topics:
Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference (State Univ. New York, Stony Brook, NY, 1978). – 1981.
– Т. 97. – С. 245-251.
внесли такие известные математики как: Липман Берс, Джоан Бирман, Алан Хэтчер, Стивен Кергофф, Ховард Мазур.
Интерес к изучению групп классов отображений объясняется глубокими связями этих групп с различными разделами математики: маломерной топологией, геометрической теорией групп, алгебраической геометрией, комплексным анализом, гиперболической геометрией, топологической квантовой теорией поля и др. В настоящее время имеется несколько обзорных статей, посвященных разным аспектам теории групп классов отображений, среди которых стоит выделить обзор Николая Иванова 10. Кроме того в 2006 году под редакцией Бенсона Фарба вышел сборник статей , посвященный открытым проблемам в теории групп классов отображений, а в 2012 был опубликован учебник , написанный Фарбом и Дэном Маргалитом, в котором изложены многие важные теоремы и методы из теории этих групп.
Первая часть этой работы посвящена изучению инвариантных метрик и соответствующих функций сложности на группах классов отображений, естественным образом возникающих из действия этих групп на пространствах Тейхмюллера соответствующих поверхностей.
Инвариантные метрики на группах являются объектом исследования геометрической теории групп — раздела математики, в рамках которого изучаются действия групп на топологических и метрических пространствах, а также связи между геометрическими свойствами пространств и алгебраическими свойствами групп, действующих на них. Классическим примером такой метрики служит словарная метрика на группе, возникающая из действия группы на ее графе Келли. Исследование конечно-порожденной группы как метрического пространства со словарной метрикой оказывается наиболее плодотворным в случае, когда группа является гиперболической, т.е. словарная метрика оказывается гиперболической по Громову. Класс гиперболических групп довольно широк; в частности, он включает все группы, которые действуют вполне разрывно и кокомпактно на пространствах отрицательной кривизны.
Всякая гиперболическая группа является конечно-представленной и для нее разрешимы проблемы равенства и проблемы сопряженности. Более того, как показали Эпштейн и Холт , проблема равенства и проблема сопряженности в гиперболической группе могут быть решены за линейное время. Хотя группы классов отображений и не являются гиперболическими в
10 Ivanov N. V. Mapping class groups. Handbook of geometric topology, 523–633. – 2002.
11 Farb B. (ed.). Problems on mapping class groups and related topics. – American Mathematical Soc.,
2006. – Т. 74.
12 Farb B., Margalit D. A primer on mapping class groups, volume 49 of Princeton Mathematical Series.
– 2012.
13 Epstein D., Holt D. The linearity of the conjugacy problem in word-hyperbolic groups //International
Journal of Algebra and Computation. – 2006. – Т. 16. – №. 02. – С. 287-305.
этих группах, как показал Ли Мошер 14, также существуют быстрые алгоритмы решения проблемы равенства. Тем не менее представление элементов MCG() в виде произведения образующих, в некотором смысле, не является оптимальным. А именно элементы групп классов отображений можно кодировать таким образом, что слово, задающее -ую степень скручивания Дэна, в этой кодировке будет состоять всего из log() символов. Такое представление для элементов группы MCG() было предложено И.А. Дынниковым . С этим представлением естественным образом связана инвариантная метрика на группе классов отображений, которая называется сжатой словарной метрикой. Дынников показал, что для случая, когда поверхность имеет хотя бы один прокол, проблема равенства слов в MCG() по отношению к этой метрике решается за полиномиальное время.
Группа классов отображений MCG() действует изометриями пространства Тейхмюллера () поверхности , снабженного метрикой Тейхмюллера. Фарбом, Любоцким и Минским было показано, что метрика возникающая на MCG() из этого действия, не квази-изометрична словарной метрике на MCG().
В диссертации исследована связь метрики с сжатой словарной метрикой MCG(). Доказано, что в случае, когда поверхность является ориентируемой поверхностью без края и имеет хотя бы один прокол, сжатая словарная метрика квази-изометрична .
Вторая часть диссертации посвящена исследованию ограниченных кого-мологий групп кос.
Ограниченные когомологии дискретных групп были определены Ф. Трау-бером; М. Громов дал определение ограниченных когомологий для топологических пространств. Р. Брукс нашел связь между двумя эти понятиями доказав, что ограниченные когомологии топологического пространства совпадают с ограниченными когомологиями его фундаментальной группы.
Первые приложения теории ограниченных когомологий к исследованию групп и многообразий появились раньше, чем возникло определение ограниченных когомологий: это неравенство Милнора-Вуда о препятствии
14 Mosher L. Mapping class groups are automatic //Annals of Mathematics. – 1995. – С. 303-384.
15 I. Dynnikov. Counting intersections of normal curves, unpublished preprint
16 Farb B. et al. Rank-1 phenomena for mapping class groups //Duke Mathematical Journal. – 2001. –
Т. 106. – №. 3. – С. 581-597.
17 Gromov M. Volume and bounded cohomology //Publications Mathematiques de l’IHES. – 1982. – Т.
56. – С. 5-99.
18 Brooks R. Some remarks on bounded cohomology //Riemann surfaces and related topics: Proceedings
of the 1978 Stony Brook Conference. – 1981. – Т. 97. – С. 53-63.
19 Milnor J. On the existence of a connection with curvature zero //Commentarii Mathematici Helvetici.
– 1958. – Т. 32. – №. 1. – С. 215-223.
20 Wood J. W. Bundles with totally disconnected structure group //Commentarii Mathematici Helvetici.
– 1971. – Т. 46. – №. 1. – С. 257-273.
к существованию плоской SL(2, R)-связности на компактной двумерной поверхности и теорема Хирша-Терстона 21 о слоеных расслоениях с аменабель-ной группой голономии. К настоящему времени в рамках теории ограниченных когомологий получены важные результаты о структуре дискретных и локально-компактных групп .
Основным объектом изучения в случае дискретных групп является пространство 2() — пространство вторых ограниченных когомологий группы . При этом особый интерес представляет подпространство 2, 2() — ядро канонического отображения из 2() в 2(, R). Элементам из 2, 2() отвечают функции на , которые называются квазихарактерами. Квазихарактер, ограничение которого на произвольную циклическую подгруппу является гомоморфизмом, называется псевдохарактером. Псевдо- и квазихарактеры находят важное применение в маломерной топологии , динамике 28 , симплектической геометрии .
Пространства псевдохарактеров групп классов отбражений имеют бесконечную размерность. Однако к настоящему времени известно очень мало явных примеров псевдохарактеров на этих группах. Так на группах кос описано только две серии псевдохарактеров — так называемые закрученности и сигнатуры sign.
А. В. Малютин предложил строить новые псевдохарактеры на группах кос, используя операции удаления и добавления нитей, и описал соответствующие операторы и на пространствах псевдохарактеров групп кос. В этой работе был поставлен вопрос о взаимосвязи псевдохарактеров, полученных
21 Hirsch M. W., Thurston W. P. Foliated bundles, invariant measures and fat manifolds //Annals of
Mathematics. – 1975. – С. 369-390.
22 Monod N. An invitation to bounded cohomology //Proceedings of the International Congress of
Mathematicians Madrid, August 22–30, 2006. – 2007. – С. 1183-1211.
23 Calegari D. scl, volume 20 of MSJ Memoirs //Mathematical Society of Japan, Tokyo. – 2009.
24 Малютин А. В. Закрученность (замкнутых) кос //Алгебра и анализ. – 2004. – Т. 16. – №. 5. – С.
59-91.
25 Gambaudo J. M., Ghys E. Braids and signatures //Bulletin de la Societe mathematique de France. –
2005. – Т. 133. – №. 4. – С. 541-579.
26 Brandenbursky M. On quasi-morphisms from knot and braid invariants //Journal of Knot Theory
and Its Ramifcations. – 2011. – Т. 20. – №. 10. – С. 1397-1417.
27 Ghys E. Groups acting on the circle //Enseignement Mathematique. – 2001. – Т. 47. – №. 3/4. – С.
329-408.
28 Barge J., Ghys E. Cocycles d’Euler et de Maslov //Mathematische Annalen. – 1992. – Т. 294. – №. 1.
– С. 235-265.
29 Honda K., Kazez W. H., Matic G. Right-veering difeomorphisms of compact surfaces with boundary
II //Geometry & Topology. – 2008. – Т. 12. – №. 4. – С. 2057-2094.
30 Entov M., Polterovich L. Calabi quasimorphism and quantum homology //International Mathematics
Research Notices. – 2003. – Т. 2003. – №. 30. – С. 1635-1676.
31 Simon G. B., Salamon D. A. Homogeneous quasimorphisms on the symplectic linear group //Israel
Journal of Mathematics. – 2010. – Т. 175. – №. 1. – С. 221-224.
32 Малютин А. В. Операторы пространств псевдохарактеров групп кос //Алгебра и анализ. – 2009.
– Т. 21. – №. 2. – С. 136-165.
применением операторов Малютина к закрученностям, и псевдохарактеров, полученных таким же образом из сигнатур. В случае группы кос из 3 нитей из работ 33 было известно, что сигнатура sign3 выражается через <х>з и Ru)2. В диссертации мы исследуем этот вопрос для групп кос Вп при п^4и доказываем, что сигнатуры линейно независимы от псевдохарактеров, получаемых из закрученностей применением операторов Малютина R и I. Кроме того, используя операцию уведения нитей косы на бесконечность, описанную в работе , мы определяем еще один оператор на пространствах псевдохарактеров групп кос, исследуем соотношения между этим оператором и операторами Малютина и доказываем, что при п ^ 5 сигнатуры линейно независимы от псевдохарактеров, получаемых из закрученностей применением операторов Д, / и J.
Цель работы
Доказать, что проекция группы классов отображений поверхности с проколами на свою орбиту при стандартном действии на пространстве Тейхмюл-лера является квазиизометрией между группой классов отбражений со сжатой словарной метрикой и толстой частью пространства Тейхмюллера с метрикой Тейхмюллера.
Доказать независимость псевдохарактеров сигнатур от псевдохарактеров, получаемых из закрученностей применением операторов Малютина.
Научная новизна
Все результаты работы являются новыми, получены автором самостоятельно. В диссертации получены следующие основные результаты:
Доказано, что проекция группы классов отображений поверхности с проколами на свою орбиту при стандартном действии на пространстве Тейхмюллера является квазиизометрией между группой классов отбражений со сжатой словарной метрикой и толстой частью пространства Тейхмюллера с метрикой Тейхмюллера.
Доказано, что при п ^ 4 псевдохарактеры сигнатуры на группе кос Вп линейно независимы от псевдохарактеров, получаемых из закрученностей применением операторов Малютина R и I.
33 Gambaudo J. М., Ghys Е. Braids and signatures //Bulletin de la Societe mathematique de France. -
2005. - T. 133. - №. 4. - C. 541-579.
34 Honda K., Kazez W. H., Matic G. Right-veering difeomorphisms of compact surfaces with boundary
II //Geometry & Topology. - 2008. - T. 12. - №. 4. - C. 2057-2094.
35 Berrick A. et al. Confgurations, braids, and homotopy groups //Journal of the American Mathematical
Society. - 2006. - T. 19. - №. 2. - C. 265-326.
Доказано, что при п ^ 5 псевдохарактеры сигнатуры на группе кос Вп линейно независимы от псевдохарактеров, получаемых из закрученно-стей применением операторов R, I и J.
Доказано, что псевдохарактеры сигнатуры на группе кос Вп имеют нетривиальную ядерную составляющую при п ^ 2.
Методы исследования
Для доказательства основного результата о псевдохарактерах используется метод геометрического вычисления Антье Деорнуа, основанный на связи упорядочивания Деорнуа с топологией, замеченной впервые в работе Фенна, Грина, Рольфсена, Рурка и Виста 36, а также метод вычисления сигнатуры степени косы, изложенный для случая кос (Т\(Т2 &п в работе Гамбаудо и Жиса .
Для доказательства основного результата о метриках на группе классов отображений используется стандартная техника работы с простыми кривыми на двумерных поверхностях, изложенная, например, в лекциях Кассона и Блейлера .
Теоретическая и практическая значимость
Работа имеет теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в различных задачах теории узлов и для изучения алгоритмических проблем (проблема равенства, проблема сопряженности) в группах классов отображений двумерных поверхностей.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались автором на следующих семинарах и общеуниверситетских, всероссийских и международных конференциях.
Семинар «Алгебраическая топология и приложения» под руководством
чл.-корр. В.М. Бухштабера, проф. А.В. Чернавского, проф. И.А. Дынни-
кова, проф. Т.Е. Панова, доц. Л.А. Алании, механико-математический
факультет МГУ им. М.В.Ломоносова в 2012 году.
36 Fenn R. et al. Ordering the braid groups //Pacifc journal of mathematics. - 1999. - Т. 191. - №. 1.
- С. 49-74.
37 Gambaudo J. M., Ghys E. Braids and signatures //Bulletin de la Societe mathematique de France. -
2005. - Т. 133. - №. 4. - С. 541-579.
38 Bleiler S., Casson A. Automorphisms of surfaces after Nielsen and Thurston //London Mathematical
Society Student Texts. - 1988. - Т. 9.
Семинар «Геометрия, топология и математическая физика» под руководством акад. С.П. Новикова, чл.-корр. В.М. Бухштабера в 2014 году
Конференция «Ломоносов» (Москва, 11.04 – 15.04, 2011).
Конференция «Ломоносовские чтения» (Москва, 14.11 – 23.11, 2011)
Конференция «Зимние косы II» (Кан, 12.12 – 12.15, 2011)
Конференция «Дни геометрии в Новосибирске» (Новосибирск, 28.08 –
31.08, 2013).
Конференция «Ломоносов» (Москва, 7.04 – 11.04, 2014).
Конференция «Квантовая и классическая топология трёхмерных многообразий» (Магнитогорск, 4.07 – 17.07, 2014).
Конференция «Дни геометрии в Новосибирске» (Новосибирск, 24.09 –
27.09, 2014).
Конференция «Вероятность, анализ и геометрия» (Москва, 30.09 – 4.10, 2014).
Конференция «Геометрия, Топология и Интегрируемость» (Москва, 20.10 – 25.10, 2014).
Публикации
Результаты автора по теме диссертации опубликованы в пяти работах, список которых приводится в конце автореферата [–].
Структура диссертации
Кривые на поверхностях
Замкнутая кривая называется простой, если соответствующее отображение a: S1 — S является вложением. Замкнутая кривая называется существенной, если она не стягивается в точку или прокол.
Мультикривая Л на поверхности S — это непустое множество простых замкнутых попарно непересекающихся кривых на S. Мультикривая называется существенной, если все ее связные компоненты являются существенными кривыми.
Определение 1.2.2. Идеальной дугой /3 на поверхности S мы будем называть гладкое отображение /3: [0,1] — такое, что /3 l(V) = {0,1}, где V — множество проколов на S. Соответствующее дуге /3 отображение интервала (0,1) в S мы также будем называть идеальной дугой и обозначать /3. Как и в случае кривых, мы не будем проводить различия между дугой и ее образом на S и S.
Под гомотопией идеальной дуги /3 мы понимаем гомотопию /3: [0,1] — S в классе идеальных дуг. В частности такая гомотопия должна быть неподвижна на концах дуги. Идеальная дуга /3 называется существенной, если она не стягивается на прокол. Идеальная дуга /3 называется простой, если соответствующее отображение из (0,1) в S является вложением.
Идеальная мультидуга /3 на поверхности S — это непустое множество простых попарно непересекающихся идеальных дуг на S. Идеальная мультидуга называется существенной, если все ее компоненты являются существенными.
Идеальная триангуляция Т на поверхности S без края — это максимальная по включению идеальная мультидуга. Легко видеть, что идеальная триангуляция Т задает клеточное разбиение S, двумерные клетки которого соответствуют связным компонентам S \Т. Каждая такая компонента является образом внутренности замкнутого треугольника А при гладком отображении /?д, которое взаимно-однозначно на А без вершин, и которое отправляет каждую сторону треугольника А в некоторую дугу триангуляции Т. Нетрудно показать, что все идеальные триангуляции на S имеют одно и то же количество сторон N и треугольников М: N = 6д — б + Зп, М = Ад — 4 + 2п. (1.4) Утверждение 1.2.3. Пусть а — гиперболическая структура на S, а — существенная замкнутая кривая или существенная идеальная дуга на S. Тогда среди замкнутых кривых (соответственно идеальных дуг) гомотопных а найдется единственная а-геодезическая ja. Более того 1. Если а является простой, то 7« также простая. 2. Если /3 — другая существенная замкнутая кривая или идеальная дуга, такая что а и /3 не гомотопны и не пересекаются, тогда соответствующие а -геодезические 7« and 7/? также не пересекаются. 3. Если а — замкнутая кривая, то 7« является кратчайшей среди всех кривых гомотопных а. Доказательство. Доказательство для случая замкнутых кривых можно найти в книгах [49], [44]. Доказательство для случая идеальных дуг нетрудно получить, используя соображения из леммы 3.2. из [49] и формулу для гиперболической метрики в окрестности прокола (см. [18, утверждение D.3.12.]). Если а — замкнутая кривая на S, и на поверхности задана гиперболическая структура о", то через 1а(а) мы будем обозначать длину сг-геодезической гомотопной а.
В терминах длин простых кривых можно дать другое определение асимметричной метрики Терстона: Теорема 1.2.4 (Терстон, [95]). Для любой поверхности S и гиперболических метрик о , т на S расстояние L(cr, т) определяется следующей формулой: где супремум ищется среди всех простых существенных замкнутых кривых а на S.
Именно этой формулой для асимметричной метрики Терстона мы будем пользоваться в дальнейшем.
Определение 1.2.5. Пусть а, (3 — простые кривые на S. Будем говорить, что а и /3 трансверсальны, если они совпадают, не пересекаются или трансверсально пересекаются. Если а и /3 трансверсальны и ни одна из связных компонент S \ (a U /3) не гомеоморфна диску, то будем говорить, что а и /3 существенно пересекаются. Р Р] Определение 1.2.6. Пусть а, (3 — простые кривые на S. Тогда геометрическим числом пересечений i(a, (3) кривых а и /3 мы будем называть следующую величину: (а, /3) = min jrr х Є о/ П /3 }, а ,/3 где минимум ищется среди всех простых трансверсальных кривых о/, (3 изотопных соответственно а, /3. Если AJ3 — мультикривые или мультидуги, то их индексом пересечения {А, В) мы будем называть сумму геометрических чисел пересечений их компонент: (А, Б) = У (а, (3). Индекс пересечения {а,/3} кривых а и /3 — это величина, которая равна — 1, если а и /3 — изотопные идеальные дуги и равна (а, /3) в противном случае.
Утверждение 1.2.7. Пусть а и (3 — простые существенные кривые на поверхности S. Тогда для любой гиперболической структуры а на S а -геодезические 7« и 7/3 существенно пересекаются. Более того, если а и (3 существенно пресекаются, то существует изотопия поверхности S, переводящая а и (3 в 7а и 7/3 соответственно.
Доказательство. Доказательство для случая замкнутой S приведено в рабо те [25]. Общий случай доказывается аналогично. Следствие 1.2.8. Пусть а и (3 — простые существенные кривые на S. Тогда верно следующее: 1. Существует изотопная а простая кривая Ы , такая что кривые а и (3 существенно пересекаются. 2. Пусть а и (3 трансверсальны. Тогда они пресекаются существенно в том и только том случае, если число пересечений этих кривых совпадает с их геометрическим числом пересечения:
Определение 1.3.1. Группа классов отображений MCG(S ) поверхности S — это группа классов изотопии сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов S неподвижных на крае: MCG(S ) = Dif+(5 , dS)/Diffo(S} dS). Здесь Dif+(5 , dS) обозначает группу сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов S неподвижных на крае, а Difo(S,dS) — ее нормальную подгруппу, состоящую из диффеоморфизмов изотопных тождественному, где изотопия рассматривается в классе диффеоморфизмов неподвижных на крае.
Когомологии и ограниченные когомологии групп
Типичным примером обобщенного задания конечно-порожденной группы G с множеством порождающих Q = {g1,... ,gn} является задание или копред-ставление группы в виде множества порождающих и соотношений между ними. В этом случае алфавит А состоит из букв {а1,... ,ап} и {аї ,...,а 1}, язык С — это множество всех слов в алфавите А, а гомоморфизм 7Г — это полугрупповой гомоморфизм из С в G, отправляющий букву а\ в элемент gf для всех 1 і п, є Є {1,-1}. Копредставление группы G, заданное системой порождающих ?, мы будем обозначать V(Q).
Такой способ представления элементов группы является стандартным в комбинаторной и геометрической теории групп. Однако с некоторыми конечно-порожденными группами бывает удобнее работать, используя обобщенные задания этих групп отличные от классического. Примером такой группы служит SL(2,Z). Соответствующее обобщенное задание "Рмаиїх этой группы отвечает представлению элементов SL(2,Z) в виде целочисленных матриц размера 2x2 с определителем равным 1 и описывается следующим образом.
Если V = ( С,7г) — это обобщенное задание группы G и д — произвольный элемент G, то естественно ввести понятие сложности \g\-p элемента д относительно V следующим образом: где \w\ — длина слова w. Если V = V(Q) для некоторой системы порождающих Q, то соответствующую функцию сложности мы будем обозначать wig и называть словарной сложностью относительно системы Q. Возникает вопрос, как связаны функции сложности для различных заданий группы G? Заметим, что если V\ = V{Q\))V2 = V(C)2) — задания группы G, отвечающие системам порождающих группы Qi,Q2, то как нетрудно видеть соответствующие словарные сложности являются эквивалентными в смысле следующего определения.
Определение 2.1.3. Пусть Ci,C2 — неотрицательные вещественные функции на группе G. Тогда мы будем писать с\ С2, если существуют вещественные константы К 1, С 0, такие что для любого д Є G выполнено С\{д) Кс2(д) + С. Мы будем называть функции с\ и с2 эквивалентными, если Сі =4 С2 и C2 =4 С\. Если выполнено c\ C2, но не выполнено C2 Сі, будем писать сі - C2.
Однако как показывает следующий пример, функции сложности, отвечающие разным обобщенным заданиям группы, не обязаны быть эквивалентными:
Пример 2.1.4. Пусть G = SL(2,Z), с\ — функция сложности, отвечающая матричному заданию "Рмаиїх группы SL(2,Z) , С2 — словарная сложность на SL(2,Z) относительно образующих {А, }, представленных следующими матрицами
Из определения обобщенного задания T-Wtrix группы SL(2,Z) нетрудно видеть, что Сі С2, где в качестве констант К, С из определения 2.1.3 можно взять 12 и 8 соответственно. Рассмотрим теперь элементы группы G вида Лп, где п Є N. Легко видеть, что они задают следующие матрицы:
Можно показать, что С2(Ап) = п, с\{Ап) log2(n) + 8. Тем самым ci - c i. В дальнейшем функцией сложности на группе G мы будем называть любую функцию с: G — Ш+, которая эквивалентна функции сложности \-р для некоторого обобщенного задания V. Любое такое обобщенное задание мы будем называть согласованным с функцией сложности с. Так нетрудно видеть, что функция Смаиїх: SL(2, Z) — R__, заданная формулой:
Сложность на SL(2, Z), согласованную со сложностью Омаи-іх, можно определить, не используя матричного представления группы SL(2, Z). Для этой цели надо использовать сжатую словарную сложность, которая в общем случае была определена Дынниковым в работе [37].
Определение 2.1.5. Пусть G — конечнопорожденная группа, Q = {g1,... , дт} — система порождающих G. Тогда сжатой словарной сложностью на группе G относительно системы Q будем называть функцию zwlg, определенную следующим образом: т zwlc(o) = min у log2(\ki\ + 1). (2.2) 9=9i -9Т г=1 Соответствующее этой функции сложности обобщенное задание группы G определяется кодировкой элементов д122 5nT с помощью последовательностей #1&1#2&2І \9mkm\, где числа ki в этой последовательности представлены в двоичном виде.
Функции сложности zwlg соответствует правоинвариантная метрика рд на группе G, которая определяется следующим образом:
для любых g,h Є G. Метрику рд мы будем называть сжатой словарной метрикой, соответствующей системе порождающих Q.
Если в качестве образующих SL(2,Z) взять элементы А, В из примера 2.1.4, то соответствующая сжатая словарная сложность эквивалентна матричной сложности Омаиїх. Это несложно доказать, используя быстрый алгоритм Евклида для SL(2,Z) (см. [36]).
Заметим, что в отличие от обычной словарной сложности, сжатая словарная сложность существенно зависит от выбора системы образующих. Так, если вместо системы порождающих Q = {(о11 ) ( 11 1 )} из примера 2.1.4 взять систему Q = {(о11 ) , ( 21 11 )} ,то zwlg/ неэквивалентна zwlg. Действительно, поскольку матрица = ( 21 11 ) — гиперболическая, то максимальный элемент матрицы Сп имеет экспоненциальный порядок роста по п. Тем самым найдется положительное число є такое, что См&Ых{Сп) єп. С другой стороны zwlg (Cn) log п. Тем самым СмаМх и zwlg/ не могут быть эквивалентны, и поэтому zwlg/ и zwlg тоже неэквивалентны.
Еще один способ определить сложность на SL(2,Z), эквивалентную матричной сложности, заключается в рассмотрении стандартного действия этой группы на плоскости Лобачевского Н2. А именно в модели верхней полуплоскости действие SL(2,Z) задается дробно-линейными преобразованиями:
Функции сложности на группах классов отображений
рисунок 2.5). Поскольку ребра Т смежные с Р не пересекают (3[, триангуляция Т содержит ребра Єї, Є2, которые содержатся в У и соединяют проколы Р, Р и Р с самим собой соответственно(см. рисунок 2.5). Эти ребра ограничивают замкнутый треугольник А в Т. Рассмотрим замкнутый треугольник А смежный А и обозначим е любую из сторон А отличную от е і. Эта сторона пересекает дугу (3[, поскольку е не может быть изотопна е\ или е і. Поэтому найдется точка X на кривой (3 1, которая содержится внутри А (см. часть рисунка 2.5, расположенную справа вверху). Построим теперь дугу а, которая соединяет Р с X, лежит в V П (A U А ) и пересекает Т только в одной точке (см. часть рисунка 2.5, расположенную справа вверху). Используя дугу а мы можем, аналогично прошлому случаю, построить простую существенную кривую 7, которая содержится в У, соединяет Р с собой и пересекает Т не более чем в ((3 ,Т) +2 точках. Две дополнительные точки пересечения возникают из точки пересечения дуги а с ребром Є2(см. нижнюю часть рисунка 2.5). Как следует из леммы 2.3.4, дуга 7 изотопна /3, и поэтому выполнены следующие неравенства
Последнее неравенство выполняется, поскольку кривая (3[ является существенной и поэтому существенно пересекается с Т не менее чем в одной точке. Утверждение 2.3.3 доказано.
Хотя для S = 5 оз предыдущая теорема, не верна, теорема 2.2.5 для такой поверхности справедлива, поскольку группа MCG(5o3) конечная. Поэтому, начиная с этого момента, можем считать, что S = SQ%.
Рассмотрим произвольное ребро /3 триангуляции Т. В силу предыдущего утверждения существует такая простая существенная замкнутая кривая /Зо, что она является частью границы /3 трубчатой окрестности /3 в S, и выполнены следующие неравенства: где m — максимальная степень вершины триангуляции Т. Последнее неравенство в этой цепочке выполняется, поскольку (/Зо,Т) (/3 ,Т) 2т, что нетрудно понять из рисунка 2.6. Pi (3 f3f где N — число ребер в триангуляции Т. Второе неравенство в этой цепочке выполнено, поскольку для каждого ребра /3 триангуляции Т кривая /Зо является существенной, и поэтому (( (/Зо),Т) больше 1. Тем самым мы доказали неравенство (2.6), где роль константы С\ играет log(6m(7V + 1)).
Для того, чтобы доказать неравенство (2.7), нам потребуется следующее утверждение. Утверждение 2.3.5. Пусть Т иТ — идеальные триангуляции поверхности S, а — простая существенная замкнутая кривая на S. Тогда выполняется следующее неравенство: (ot,T ) (oi,T) (2(Т ,Т) + 1). Доказательство. Произотопируем кривую а и триангуляцию Т так, чтобы выполнялись следующие условия: отсутствуют точки тройного трансверсального пересечения а, Т и Т . При этом точки тройного пересечения, в которых пара ребер Т иГ совпадает, а а пересекает эти ребра, могут существовать.
Для произвольного треугольника А триангуляции Т мы обозначим через ад и Тд прообразы а и Г в А относительно характеристического отображения /?д этого треугольника. Поскольку а и Т, а также Т" и Т существенно пересекаются, эти прообразы состоят из простых дуг, и каждая дуга либо соединяет различные стороны А, либо совпадает с одной из сторон этого треугольника. Легко видеть, что можно так произотопировать ад в А, оставляя концы дуг ад неподвижными, что ад и Тд по прежнему будут пересекаться трансверсально, и каждая дуга из ад будет пересекать дугу из Тд не более чем в одной точке. Обозначим точки пересечения а и Т через Xi,..., Хп таким образом, чтобы ОІІ = [ХІ,ХІ+І) представляли собой непересекающиеся полуинтервалы в а. Здесь мы полагаем, что 1 і п и Хп+\ = Х\. По построению каждый ОІІ лежит в одном из треугольников А триангуляции Т, и мы утверждаем, что каждый из этих полуинтервалов пересекает Тд не более чем в 2(Т/,Т) + 1 точках. Действительно, число дуг в Тд, которые не совпадают ни с одной из сторон треугольника А не превосходит числа точек пересечения этих дуг со сторонами А. В свою очередь, число этих точек не превосходит 2(Т/,Т) поскольку прообраз точки персечения триангуляций Т и Т при отображении срА состоит из не более чем двух точек. Для получения правильной оценки нужно добавить 1 к 2(Т/,Т) поскольку ОІІ пересекает ровно одну из сторон А. Тем самым мы получаем
Переходя к супремуму по всем простым замкнутым существенным кривым, мы получаем неравенство (2.7), где роль константы Сч играет log2. Это завершает доказательство теоремы 2.2.5. Доказательство теоремы 2.2.6. Прежде всего заметим, что для любого є О и произвольной гиперболической структуры о", лежащей в є-толстой части пространства Тейхмюллера поверхности S отображение %а: (MCG(S ), рь,а) — (7l(S),di,): которое сопоставляет ер Є MCG(S ) структуру tp (cr) является квази-изометрией. Действительно действие группы MCG(S ) на %{S) является кокомпактным (см. [45, утверждение 4.8.]). Поэтому отображение %а является (1, Д=)-квази-изометрией, где De — диаметр фактор-пространства %(S)/MCG(S) в метрике CIL
Ограниченный класс Эйлера и число переноса Пуанкаре
Хорошо известно (см. [57] и приведенные в ней ссылки), что любая периодическая коса из Вп сопряжена некоторой степени одной из кос Сп-1 Первая из этих кос является корнем п-й степени из А2, вторая — корнем степени п — 1. Отсюда следует, что q является делителем числа п или п — 1. За-крученность периодической косы /3, для которой /3q = А2р, равна, очевидно, p/q.
Если коса /3 псевдоаносовская, то структуру ее стабильного слоения можно задать с помощью инвариантного трейн-трека [21], который по определению представляет собой вложенный в Dn граф Т, удовлетворяющий следующим условиям. Ребра графа Т должны быть гладкими дугами, все ребра, выходящие из одной вершины, должны иметь общую касательную прямую, причем для каждой вершины должна быть пара ребер, выходящих из нее в противоположные стороны. Каждая компонента дополнения Dn\(TUdD) должна иметь один или несколько «клювов», т.е. подобластей, находящихся в малой окрестности вершин графа Т, ограниченных внутри этих окрестностей двумя касающимися друг друга отрезками ребер графа . При подходящем выборе гомеоморфизма граф должен под его действием оставаться в своей малой окрестности, причем образы 1-гладких путей на нем при гомеоморфизме должны идти «параллельно» гладким путям на , т.е. не иметь локальных «складок». Идея проиллюстрирована на рис. 3.2. Если теперь в компоненте множества ,
Закрученность косы /3 = о\о20ъ20\ равна p/q, где р = 1, q = 2 содержащей край 9D, провести по одной дуге от края диска до острия каждого «клюва» (отмечены пунктиром на рис. 3.2), то закрученность косы /3 будет равна p/q, где q — число «клювов», а р указывает, на сколько оборотов больше вокруг отрезка Р1Р2 в сумме делают выбранные дуги после применения гомеоморфизма (pp. Таким образом, знаменатель закрученности ограничен числом «клювов» в области , которое не превосходит п — 2 по соображениям подсчета эйлеровой характеристики диска Dn.
Если коса приводима, то, стянув в точку каждый из дисков, ограничен ных окружностями из инвариантного семейства, мы получим гомеоморфизм проколотого диска с меньшим числом проколов. При этом закрученность со ответствующей новому гомеоморфизму косы будет такой же, как у исходной. Таким образом, закрученность приводимой косы равна закрученности некото рой другой косы на меньшем числе нитей.
Как следует из доказательства теоремы для вычисления закрученности можно воспользоваться алгоритмом определения геометрического типа косы и нахождением, в псевдоаносовском случае, инвариантного трейн-трека, как описано в [21].
Другой способ вычисления закрученности возникает из связи закрученно-сти с порядком Деорнуа на группах кос:
Определение 3.5.7. Антье Деорнуа [(3]D косы /З Є Вп называется наибольшее целое к такое, что /3 Д , где Ап — элемента Гарсайда, квадрат которого равен Ап = ( 7і 72 ... 7n_i)n. Из того, что Д2 — центральный элемент группы п, можно показать следующее. Утверждение 3.5.8 (Малютин, [7]). Антье Деорнуа является квазихаракте-ром с дефектом 1. Как показал Малютин в работе [7] псевдохарактер, соответствующий антье Деорнуа, совпадает с закрученностью. Более того имеет место следующее неравенство: Утверждение 3.5.9 (Малютин, [7]). Для любой косы /З Є Вп выполнены следующие неравенства: [P]D ш((3) [(3]D + 1. Как следствие этого утверждения и теоремы 3.5.6 мы автоматически получаем следующий результат: Утверждение 3.5.10. Закрученность косы (З Є Вп равна единственному рациональному числу p/q с \q\ п. лежащему на отрезке между п -п+1"сДп2 _ п __ - и Q n n+1]D __ l)/(n2 — П + 1)
Тем самым для вычисления закрученности достаточно уметь вычислять антье Деорнуа. Это делается следующим образом. Пусть /З Є Вп — некоторая коса, tpp —соответствующий /3 гомеоморфизм стандартного диска D2 с п проколами {Pi,..., Рп},занумерованными слева направо. Обозначим через 7 часть горизонтального диаметра диска D2 от самой левой точки до Pi и рассмотрим образ кривой 7 при гомеоморфизме ср . Учитывая свободу в выборе (/?, можно считать, что дуга (т) имеет наименьшее возможное число пересечений с горизонтальной осью в классе гомотопных себе путей, не проходящих через проколы. Антье Деорнуа отвечает за то, сколько полных оборотов делает кривая /3(7) вокруг отрезка [Pi,Pn] прежде, чем пересечь его. Более точно, пусть 7i — это часть кривой (7) от крайней левой точки до первого пересечения с [Pi, Pn], а 72 — кривая, полученная из 7 малой деформацией со сдвигом левого конца вниз по краю диска Dn, правого конца — горизонтально вправо, причем так, чтобы 72 обходила прокол Pi снизу. Тогда индекс пересечения ind(72,71) в точности равен Антье Деорнуа [/3]в.
Если же ді заканчивается в точке Pi (это возможно, только если (р@(д) не пересекает внутренности отрезка [Pi,Pn]), то при малом шевелении ді или мы получим два разных значения для ind(#25 i), отличающиеся на единицу. Одно из них всегда равно [/3]в.
Другие важные примеры квазихарактеров на группах кос возникают при рассмотрении инвариантов узлов и зацеплений в трехмерной сфере. А именно произвольный инвариант узлов и зацеплений может рассматриваться как функция на группе В следующим образом: где BQQ — группа кос на бесконечном числе нитей, т.е. прямой предел групп кос Вп относительно стандартных вложений гп, а /3 — произвольная коса из BQQ. Оказывается, что для некоторых инвариантов, ограничения функции / на группы кос на конечном числе нитей являются квазихарактерами. К числу таких инвариантов относятся инвариант Расмуссена из теории гомологий Хо-ванова (см. [15]), инвариант Ожвата-Сабо из теории гомологий Флоера узлов (см. [26]), обобщенные сигнатуры. Однако, как показано в работе [26], псевдохарактеры, соответствующие инвариантам Расмуссена и Ожвата-Сабо, являются гомоморфизмами. Описанию квази- и псевдохарактеров, возникающих из сигнатур, посвящен следующий раздел этой работы.