Геодезические преобразования почти контактных метрических многообразий Дондукова Надежда Николаевна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Основные тензоры почти контактных метрических многообразий 14

1. Почти контактные метрические многообразия и их присоединенная G-структура 14

2. Структурные уравнения присоединенной G-структуры 17

3. Основные классы почти контактных метрических структур 20

4. Структурные уравнения косимплектических многообразий 24

5. Структурные уравнения сасакиевых многообразий 29

6. Структурные уравнения многообразий Кенмоцу. 35

7. Структурные тензоры ЛС-многообразий 36

Глава 2. Геодезические преобразования некоторых классов почти контактных метрических многообразий 43

1. Понятие геодезического преобразования 43

2. Проективные инварианты косимплектических многообразий 45

3. Проективные инварианты сасакиевых многообразий 51

4. Проективные инварианты многообразий Кенмоцу 56

Глава 3. Контактно-геодезические преобразования почти контактных метрических многообразий 60

1. Контактно-геодезические преобразования структурных тензоров почти контактных метрических многообразий 60

2. Контактно геодезические преобразования некоторых классов почти контактных метрических многообразий 64

Глава 4. Контактно-геодезические преобразования высших порядков почти контактных метрических многообразий 69

1. Понятие р-геодезического преобразования 69

2. Контактно 2-геодезические преобразования первого линейного типа 72

3. Контактно 2-геодезические преобразования второго линейного типа 77

Список литературы 81

• Структурные уравнения присоединенной G-структуры
• Проективные инварианты косимплектических многообразий
• Контактно геодезические преобразования некоторых классов почти контактных метрических многообразий
• Контактно 2-геодезические преобразования первого линейного типа

Введение к работе

Впервые задача о геодезическом отображении поверхностей была поставлена итальянским геометром Э.Бельтрами в 1865 году [26], [27] . Им была рассмотрена и решена задача отображения поверхности на плоскость при котором геодезические кривые переходят в прямые (то есть в геодезические на плоскости). Теория отображений исевдоримановых пространств, при которых сохраняются геодезические, является одним из старейших направлений исследований в римановой геометрии, истоки которого лежат в трудах Т. Леви-Чивита [37], Т. Томаса[41], Г.Вейля [43]. Т.Леви-Чивита пришел к общей проблеме геодезических отображений римановых пространств при изучении уравнений динамики. Как известно, движение некоторых типов механических систем, многие процессы в гравитационных и электромагнитных полях, в сплошной среде протекают по траекториям, которые можно рассматривать как геодезические линии аффинно связного или риманова пространства, определяемого энергетическим режимом, при котором протекает процесс, если внешние силы отсутствуют, или по кривым, вектор кривизны которых представляют собою вектор обобщенных внешних сил. Степень подвижности римановых пространств относительно геодезических отображений характеризует тот произвол, которым мы можем распоряжаться при выборе модели данного динамического процесса, а также с целью его оптимизации. Поэтому сохраняется актуальность задачи изучения внутренних тензорных характеристик римановых пространств, допускающих или не допускающих локальные или глобальные нетривиальные геодезические отображения, в частности римановых пространств, снабженных дополнительной структурой.

Исследования показывают, что зачастую дополнительные структуры римановых пространств обладают свойством геодезической жесткости, то есть не допускают нетривиальных геодезических преобразований, сохраняющих структуры. Классическим результатом в этом направлении является результат Уэстлейка [42] и Яно [44], согласно которому келе-рово многообразие не допускает геодезических отображений, сохраняющих комплексную структуру. И в работе [1] Х.М. Абоуда выделены классы Грея-Хервелы почти эрмитовых многообразий, которые не допус-

кают нетривиальных голоморфно-геодезических преобразований (геодезические преобразования, сохраняющие структурный эндоморфизм). В настоящее время активно исследуются римановы многообразия, наделенные почти контактной метрической структурой. Поэтому получение контактного аналога известного результата Уэстлейка и Яио весьма актуально.

Напомним, что теория почти контактных метрических структур занимает важное место в современных дифференциально- геометрических исследованиях и является естественным обобщением так называемой контактной геометрии, имеющей многочисленные приложения в современной математической физике, например, в классической механике и теории геометрического квантования, теории супергравитации, теории Ка-луцы -Клейна и т.д.

Уже более сорока лет почти контактные многообразия являются предметом интенсивного исследования ученых-геометров. Изучение этого типа многообразий с точки зрения их дифференциально-геометрических структур началось с появлением основополагающих работ Чженя [31], Дж. Грея[32] , С.Сасаки[39]. В 1953 году Чжень обнаружил, что контактное многообразие допускает С?-структуру со структурной группой {е} х U{n). Многообразия, допускающие такую структуру, Дж. Грей назвал почти контактными многообразиями. Сасаки заметил [39], что такая G-структура порождает тройку {Ф, , ту}, где Ф-тензор типа (1,1), называемый структурным оператором, —вектор, rj—ковектор, называемые характеристическим вектором и контактной формой структуры соответственно. Эта тройка обладает свойствами: г)() — 1, Ф² = —id + ц % , из которых легко вывести, что Ф() = 0 и rj о Ф = 0. Кроме того, исходя из произвольной римановой метрики Н на таком многообразии, он построил риманову метрику (Х,У) = Н(ФХ, ФУ) + Н{Ф²Х, Ф²У) + г)(Х)т)(У), дополняющую {Ф,,т?} до почти контактной метрической структуры [39]. Почти контактные метрические структуры тесно связаны с почти эрмитовыми структурами. Например, если (М,Ф,,т),д)—почти контактное метрическое многообразие, то на многообразии М х R канонически индуцируется почти эрмитова структура [30]. Основные классы почти контактных метрических структур приведены в работе В.Ф. Кириченко [7]. Среди ЛС-структур наиболее интенсивно изучены косимплектические

[29] и сасакиевы [30] структуры. В настоящее время важные результаты были получены для структур Кенмоцу [9]. В значительной мере теория геодезических преобразований опирается на исследовании проективных инвариантов. В случае, когда псевдориманово многообразие наделено дополнительной структурой, число таких инвариантов увеличивается, и теория геодезических преобразований обогащается новыми аспектами. Насколько известно автору, проективные свойства АС-многообразий практически не изучались.

Так как дополнительные структуры римановых пространств в основном обладают свойством геодезической жесткости, многие исследователи обращались к различным обобщениям теории геодезических отображений. Наиболее известными из них являются теория (п — 2)—проективных пространств (В.Ф.Каган [4]), конциркулярная геометрия (К. Яно [45]) и теория голоморфно-проективных отображений келеровых многообразий, то есть отображений при которых сохраняются почти геодезические специального вида (так называемые планарные кривые) и комплексная структура келерова многообразия (Т. Оцуки, Я. Тасиро [38]). Фундаментальный вклад в развитие теории голоморфно-проективных отображений был внесен Одесской геометрической школой (напр., Н.С. Синюков [22], В.В. Домашев [3], Й. Микеш, [18]). В основном все исследования по этой проблематике велись почти исключительно в рамках геометрии келеровых многообразий.Но в работах А.В. Никифоровой [19], В.Ф. Кириченко[11] были рассмотрены голоморфно-проективные преобразования почти эрмитовых многообразий и обобщенных почти эрмитовых многообразий соответственно.

В 1963 году Н.С. Синюков обобщил проблематику, связанную с понятием (п — 2)—проективным пространства. Была поставлена проблема такого отображения одного пространства с аффинной связностью на другое пространство, при котором каждая геодезическая кривая первого переходит в так называемую почти геодезическую кривую (2-геодезическую в терминологии С.Г. Лейко) [23]. Как оказалось, (п — 2)-проективные пространства характеризуются тем, что допускают почти геодезическое отображение на плоское пространство. Также Н.С. Синюков доказал существование трех типов почти геодезических отображений 7Гі, 7Г2,7Гз и исследовал их. С.Г. Лейко[1б] продолжил исследование в этом направлении

и ввел понятие р-геодезических отображений пространств с аффинной связностью без кручения. Среди этих отображений он выделил специальные р-геодезические отображения так называемых линейных типов. Как оказалось, отображения 7Г2 и 7Гз являются 2-геодезическими отображениями ПерВОГО И ВТОРОГО ЛИНеЙНОГО ТИПа. К ОТОбражеНИЮ 7Г2 относятся голоморфно проективные отображения келеровых пространств с сохранением комплексной структуры. Специальным случаем теории почти геодезических отображений яз является конциркулярная геометрия.

После приведенного обзора видно, что геодезические преобразования почти контактных метрических структур представляют интерес с точки зрения дифференциальной геометрии.

Цель диссертационной работы состоит в изучении геодезических преобразований почти контактных метрических многообразий. В соответствии с целью выделены основные задачи:

1. Вычислить структурные тензоры почти контактных метрических структур в безиндексной форме.

2. На основе структурных уравнений косимплектических, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу вычислить выражения классических тензоров этих многообразий на пространстве присоединенной Сестру ктуры.

3. Исследовать геометрический смысл обращения в нуль проективных инвариантов косимплектических, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу.

4. Найти объекты, инвариантные относительно контактно-геодезических преобразований почти контактных метрических структур.

5. Выяснить, допускают ли косимплектические, сасакиевы многообразия и многообразия Кенмоцу нетривиальные контактно-геодазические преобразования.

6. Найти объекты, инвариантные относительно контактно 2-геодезических преобразований линейного типа почти контактных метрических структур.

Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Выделим основные из них:

1. Получен явный вид пяти структурных тензоров почти контактной метрической структуры.

2. Вычислены выражения классических тензоров косимплектических, сасакиевых многообразий на пространстве присоединенной G-структуры.

3. Вычислен тензор проективной кривизны косимплектических, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу. Найдены условия проективной плоскости косимплектических, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу.

4. Изучен геометрический смысл обращения в нуль проективных инвариантов косимплектических, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу.

5. Получены инварианты контактно-геодезических преобразований почти контактной метрической структуры.

6. Доказано, что косимплектические, сасакиевы многообразия и многообразия Кенмоцу не допускают нетривиальных контактно-геодезических преобразований.

7. Получен инвариант контактно 2-геодезического преобразования линейного типа почти контактных метрических многообразий.

Результаты работы получены систематическим использованием метода присоединенных С?-структур в сочетании с методом инвариантного исчисления Кошуля.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения, геодезических преобразований почти контактных метрических многообразий, геометрии почти контактных метрических многообразий и чтения специальных курсов в высших учебных заведений.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Научной сессии МПГУ по итогам научно-исследовательской работы за 2005 год (2006 г., Москва); на Международной научной конференции "Колмогоровские чтеиия-Ш"(2005г., Ярославль); на Международной конференции "Геометрия в Одессе-2006"(2006г., Одесса); на Международной научной конференции "Лаптевские чтения-2006"(2006 г., Москва, МГУ).

Основное содержание диссертации отражено в 86 страницах. Диссертация состоит из введения, четырех глав, состоящих из 16 параграфов и списка литературы. Список литературы содержит 56 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

Краткое содержание основного текста диссертации.

Во введении обосновывается актуальность темы, излагается предыстория вопроса, формулируется цели и задачи диссертационного исследования, излагаются основные результаты, полученные в работе.

В первой главе даны предварительные сведения о почти контактных метрических многообразиях, а также вычислены выражения классических тензоров косимплектических, сасакиевых многообразий на пространстве присоединенной (^-структуры и получен явный вид пяти структурных тензоров почти контактной метрической структуры.

В 1 даются определение почти контактной метрической структуры, построение G-структуры (со структурной группой 1 х U(n), состоящей из А-реперов), присоединенной к M²ⁿ⁺¹;

В 2 приведены первая группа структурных уравнений почти контактного метрического многообразия, полученная В.Ф. Кириченко в работе [7], определения и свойства шести структурных тензоров почти контактной метрической структуры.

В 3 приводятся определения нормальных, косимплектических, контактных, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу. Перечисляются характеристические свойства косимплектических, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу.

В 4 на основании структурных уравнений косимплектических многообразий, вычислены тензор кривизны и тензор Риччи.

В 5 на основании структурных уравнений сасакиевых многообразий, вычислены тензор кривизны и тензор Риччи.

В 6 приведены структурные уравнения, тензор кривизны и тензор Риччи многообразий Кенмоцу.

В 7 получен явный вид пяти структурных тензоров почти контактной

метрической структуры.

С{Х, Y) = -1{-Ф о У_Ф2_Г(Ф)Ф²Х + Ф о У_ФГ(Ф)(ФХ)+ + Ф² о 7_Фу(Ф)(Ф²Х) + Ф² о Уф_2К(Ф)(ФХ)};

D(X) = ~{Ф о 7_ф2Х(Ф)Є - Ф² о У_Ф^(Ф)Є-

- Іф о ^(Ф)(Ф²Х) + ^Ф² о ^(Ф)(ФХ)};

ед = -і{Ф о ч&_хт + ф² ?фх(Ф)};

F(X) = І{Ф о Уф_2х(Ф)Є - Ф² о 7*х(Ф)Й; G = Ф о ^(Ф).

Во второй главе определены некоторые инварианты геодезических преобразований косимплектических, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу; выяснен геометрический смысл обращения в нуль этих инвариантов.

В 1 даны предварительные сведения о геодезических преобразованиях.

В 2 вычислен спектр тензора проективной кривизны косимплекти-ческого многообразия и доказана следующая теорема:

Теорема. Косимплектическое многообразие проективно плоско тогда и только тогда, когда является плоским многообразием.

Доказано, что у косимплектического многообразия существует три основных проективных инварианта Ти'Ргі'Рь получены формулы для вычисления этих инвариантов. На основе этих инвариантов выделены три класса косимплектических многообразий, то есть введены следующие определения:

Определение. Косимплектическое многообразие, для которого Р, = О, где і = 1,2,4 будем называть косимплектическим многообразием класса P_t.

Доказаны:

Теорема. Пусть M²ⁿ⁺¹— косимплектическое многообразие размерности больше 3. Тогда M²ⁿ⁺¹ является косимплектическим многообразием

класса V\ тогда и только тогда, когда M²ⁿ⁺¹ является риччи-плоским многообразием .

Теорема. Если М^2п+1— косимплектическое многообразие класса V2, то М^2п+1 риччи-плоско.

Теорема.Пусть M²ⁿ⁺¹— косимплектическое многообразие. Тогда М²ⁿ⁺¹ является косимплектическим многообразием класса V\ тогда и только тогда, когда M²ⁿ⁺¹ является риччи-плоским многообразием .

Следствие.Пусть M²ⁿ⁺¹— косимплектическое многообразие размерности больше 3. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1. М^2п+1— риччи-плоское многообразие ;

2. М^2п+1— косимплектическое многообразие класса V\\

3. M²ⁿ⁺¹— косимплектическое многообразие класса Va;

В 3 вычислен спектр тензора проективной кривизны сасакиева многообразия. Доказано, что у сасакиева многообразия существует три основных проективных инварианта V\,V2, V\. На основе этих инвариантов выделены три класса сасакиева многообразий, то есть введены следующие определения:

Определение. Сасакиево многообразие, для которого Р, = 0, где і = 1,2,4 будем называть сасакиевым многообразием класса Р_г.

Доказаны:

Теорема. Сасакиево многообразие проективно плоско тогда и только тогда, когда является многообразием постоянной секционной кривизны

Теорема. Пусть M²ⁿ⁺¹— сасакиево многообразие размерности больше 3. Тогда М^2п+1 является сасакиевым многообразием класса V\ тогда и только тогда, когда M²ⁿ⁺¹ является эйнштейновым многообразием.

Теорема. Пусть M²ⁿ⁺¹- сасакиево многообразие. Если M^2n+l- сасакиево многообразие класса Рг, тогда М является эйнштейновым многообразием.

Теорема. Пусть M²ⁿ⁺¹- сасакиево многообразие. Тогда М является сасакиевым многообразием класса V\ тогда и только тогда, когда M²ⁿ⁺¹ является эйнштейновым многообразием.

Следствие. Пусть M²ⁿ⁺¹— сасакиево многообразие размерности больше 3. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

l)M²ⁿ⁺¹- эйнштейново многообразие;

2)M^2n+I- сасакиево многообразие класса V\\

3)M^2n+l— сасакиево многообразие класса Та-

В 4 вычислен спектр тензора проективной кривизны многообразия Кенмоцу. Доказано, что у многообразия Кенмоцу существует три основных проективных инварианта V\,V2, Va- На основе этих инвариантов выделены три класса многообразий Кенмоцу, то есть введены следующие определения:

Определение.Многообразие Кенмоцу, для которого Pi = 0, где г — 1,2,4 будем называть многообразием Кенмоцу класса Р_г.

Доказаны:

Теорема. Многообразие Кенмоцу проективно плоско тогда и только тогда, когда является многообразием постоянной секционной кривизны

Из этой теоремы с учетом [9] немедленно следует

Следствие. Многообразие Кенмоцу проективно плоско тогда и только тогда, когда оно канонически конциркулярно многообразию С" х R, снабженному канонической косимилектической структурой.

Следствие. Многообразие Кенмоцу проективно плоско тогда и только тогда, когда оно является многообразием глобально постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны.

Теорема. Пусть М^2п+1— многообразие Кенмоцу размерности больше 3. Тогда М^2п+1 является многообразием Кенмоцу класса V\ тогда и только тогда, когда M^2n+l является многообразием Эйнштейна.

Теорема. Пусть M²ⁿ⁺¹— многообразие Кенмоцу. Если М^2п+1— многообразие Кенмоцу класса "Рг, тогда M²ⁿ⁺¹ является многообразием Эйнштейна.

Теорема. Пусть M^2n+l— многообразие Кенмоцу. Тогда М является многообразием Кенмоцу класса Та тогда и только тогда, когда М является эйнштейновым многообразием .

Следствие.Пусть M^2n+l- многообразие Кенмоцу размерности больше 3. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

l)M^2n+l- эйнштейново многообразие ;

2. M²ⁿ⁺¹- многообразие Кенмоцу класса V\\

3. M^2n+l— многообразие Кенмоцу класса V\.

В третьей главе введено определение контактно-геодезического преобразования почти контактной метрической структуры, которое является аналогом голоморфно-геодезического преобразования почти эрмитовых структур [1], а также получен ряд инвариантов таких преобразований. Доказано, что косимплектические, сасакиевы многообразия, а также многообразия Кенмоцу не допускают нетривиальных контактно-геодезических преобразований метрики, что является контактным аналогом известного результата Уэстлейка и Яно.

В 1 введено определение контактно-геодезического преобразования метрики почти контактной метрической структуры.

Определение. Геодезическое преобразование д -> д метрики g АС-структуры {Ф,,7?,#} назовем контактно-геодезическим, короче, с- геодезическим, преобразованием, если {Ф, ,?/,#}-АС-структура.

Вычислены структурные тензоры преобразованной почти контактной метрической структуры при с-геодезических преобразованиях.

Доказаны:

Теорема.Структурные тензоры С, D, F и G не меняются при с- геодезических преобразованиях.

Теорема, с-геодезические преобразования метрики переводят нормальную ЛС-структуру в нормальную АС-структуру.

В 2 рассматриваются контактно-геодезические преобразования АС-структур квазикелерова типа, то есть таких ЛС-структур, у которых первый структурный тензор равен нулю. Доказана

Теорема, с-геодезические преобразования метрики переводят АС-структуру квазикелерова типа в АС-структуру квазикелерова типа.

В частности, к ЛС-структурам квазикелерова типа относятся косимплектические, сасакиевы многообразия и многообразия Кенмоцу. При изучении контактно-геодезических преобразований этих многообразий доказаны следующие теоремы.

Теорема. Косимплектическое многообразие не допускает нетривиальных с- геодезических преобразований метрики.

Теорема. Многообразие Сасаки не допускает нетривиальных с-геодезических преобразований метрики.

Теорема. Многообразие Кенмоцу не допускает нетривиальных с- геодезических преобразований метрики.

Для доказательства этой теоремы была установлена следующая лемма, представляющая самостоятельный интерес

Лемма. Оператор геодезической деформации с-геодезического преобразования метрики ЛС-структуры коммутирует со структурным эндоморфизмом.

В четвертой главе введено определение контактно р-геодезического преобразования почти контактной метрической структуры, найден инвариант контактно 2-геодезического преобразования линейного типа почти контактной метрической структуры.

В 1 приведены определения р-геодезического преобразования, р- геодезического преобразования линейного типа, основные уравнения 2- геодезических преобразований первого и второго линейного типа. Вводится определение

Определение, р-геодезическое преобразование д -> д метрики д ЛС-структуры {Ф,,г),д} назовем контактно р-геодезическим преобразованием, если {??,, Ф,

В 2 рассматриваются контактно 2-геодезические преобразования первого линейного типа структурных тензоров почти контактной метрической структуры. Доказана

Теорема. Третий структурный тензор является инвариантом контактно 2-геодезического преобразования первого линейного типа АС-многообразий.

В 3 рассматриваются контактно 2-геодезические преобразования первого линейного типа структурных тензоров почти контактной метрической структуры. Доказана

Теорема.Третий структурный тензор является инвариантом контактно 2-геодезического преобразования второго линейного типа АС- многообразий.

В заключении приведен список использованной литературы, включающий 56 работ.

Автор выражает глубокую признательность доктору физико- математических наук, профессору В.Ф. Кириченко за постановку проблемы, внимание и помощь, оказанную автору при работе над диссертационным исследованием.

Структурные уравнения присоединенной G-структуры

Пусть В(М2п+1)— главное расслоение реперов над почти контактным метрическим многообразием (М2п+1,г;, ,Ф,р); V—риманова связность метрики д. Ее первая и вторая группы структурных уравнений на В(М2"+1) имеют вид: где {а/}—компоненты формы смещения; {#}}—компоненты формы ри-мановой связности V; {Я1 jW}—компоненты тензора кривизны (тензора Римана-Кристоффеля). Здесь и в дальнейшем, примем соглашение, что индексы i, j, к, I... пробегают значения от 0 до 2п, а индексы а. Ь, с, rf, /, д, h пробегают значения от 1 до п, а — о + п, также, положим а = а, О = 0. В силу вещественности форм смещения, связности и тензора кривизны, имеют место соотношения: Поскольку Ф и д—тензоры типов (1,1) и (2,0) соответственно на M2n+1, их компоненты, как функции на пространстве главного расслоения реперов, удовлетворяют уравнениям: где {Ф }-компоненты тензора УФ, рассматриваемые как функции на В{М2п+1). С учетом (1.3) и (1,5), можно показать, что первая группа структурных уравнений (1.4i) АС- многообразия (М2п+1,т/, , Ф,д) на нростран стве присоединенной G-структуры примет вид [7]: Эти системы функций определяют тензоры соответствующих типов на многообразии М2п+1, которые называются соответственно первым, вторым, ..., шестым структурными тензорами ЛС-структуры. Имеет место Пусть M2n+1-гладкое многообразие с АС -структурой {??, , Ф, д}. Тогда, как известно [14], на многообразии М2п+1хШ индуцируется почти эрмитова структура { J, /і}, где J = ФяJ\, h — дІф#і, J\—каноническая почти комплексная структура на двумерном распределении ЗЯфЕ, д\— метрика на этом распределении, являющаяся прямой суммой метрики 0І9К и канонической метрики на Е. Почти контактная метрическая структура {т},,Ф,д} называется нормальной, если структура {J,h} интегрируема, то есть эрмитова.

Необходимое и достаточное условие нормальности АС-структуры имеет вид [30]: где ІУф-тензор Нейенхейса эндоморфизма Ф, определяемый формулой ЫФ(Х, Y) = (Ф2[Х, Y] + [ФХ, ФХ] - Ф[ФХ, Y] - Ф[Х, ФУ]). Понятие нормальности было введено Сасаки и Хатакеямой в 1961 году [40] и является одним из основных понятий контактной геометрии, связанных с условиями интегрируемости структуры. Имеет место Предложение 1.2 [7] Пусть S = { ,,Ф, /}— АС-структура на многообразии M2n+l. Тогда следующие утверждения равносильны: Определение 1.2 [33]ЛС-структура называется почти косимплекти-ческой, если выполняются следующие условия: dr) = 0 и dQ = 0. Очевидно, почти косимплектические структуры являются аналогами почти келеровых структур в почти эрмитовой геометрии. Определение 1.3 [29]Нормальная почти косимплектическая структура называется косимплектической структурой. Определение 1.4 Многообразие, на котором фиксирована косимплектическая структура, называется косимплектическим многообразием. Имеет место Предложение 1.3 [7] Пусть S = {?/,, Ф,#}— АС-структура на многообразии M2n+l. Тогда следующие утверждения равносильны: Очевидно, косимплектические структуры являются аналогами келе-ровых структур в почти эрмитовой геометрии. Они, например, индуцируются на вещественных вполне геодезических гиперповерхностях келе-ровых многообразий [34]. п.2 Контактные и сасакиевы многообразия. Напомним [14], что контактной формой на нечетномерном многообразии М2п+1 называется 1-форма ц такая, что ц Л (drj) Л ... Л (drj) ф О в п каждой точке многообразия M2n+l. Многообразие с фиксированной на нем контактной формой называется контактным многообразием [32]. На таком многообразии внутренним образом определены два распределения = Кег(г\), 9Я = Ker(drj), причем dim = 2n, dim ШТ = 1 и X(M2n+l) = ф 9Я. Если h—риманова метрика на контактном многообразии M2n+1, то, как известно (см. [7]), по ней можно построить АС-структуру { /,,Ф, ? = (-,- }, где dr){X,Y) = 2{Х,ФУ), = 1т(Ф) = Определение 1.5 [30] ДС-структура, для которой выполняется тождество dr\ — 2S7, называется контактной метрической структурой.

Определение 1.6 [30]Нормальная контактная метрическая структура называется сасакиевой структурой. Определение 1.7 Многообразие, на котором фиксирована сасакиева структура, называется сасакиевым многообразием. Сасакиевы структуры являются одними из наиболее содержательных примеров дифференциально-геометрических структур. С ними связан основной поток многочисленных исследований по геометрии почти контактных метрических структур. Сасакиевы структуры индуцируются, например, на вещественных вполне омбилических гиперповерхностях ке-леровых многообразий. В частности, классическим примером многообразия Сасаки является вещественная гиперсфера S2""1 С Ш2п = С". Предложение 1.4 [7] Пусть S = { 7, ,$, ?}- АС-структура на многообразии M2n+1. Тогда следующие утверждения равносильны: ВаЬс = Ваьс = Ваь — 0; В\ = -Bba = -Vе! СЬс = Cte = Сь = В 1972 году японским математиком К.Кенмоцу в работе [35] был введен в рассмотрение новый класс почти контактных метрических структур, названных в дальнейшем его именем. Они характеризуются тождеством формально схожим с определяющим тождеством сасакиевых структур. Но по своим геометрическим свойствам они в определенном смысле полярны сасакиевым структурам.

Примеры структур Кенмоцу имеют место на нечетномерных пространствах Лобачевского кривизны (-1). В работе В.Ф. Кириченко [9] дано исчерпывающее описание многообразий Кенмоцу. Определение 1.8 [35]Почти контактные метрические многообразия, характеризуемые тождеством называются многообразиями Кенмоцу. Предложение 1.5 [7j Пусть S — {т/,, Ф, 7}— АС-структура на многообразии М2п+1. Тогда следующие утверждения равносильны: 4. Структурные уравнения косимплектических многообразий. В этом параграфе вычислим вторую группу структурных уравнений, спектры тензора кривизны и тензора Риччи косимплектических многообразий. В силу Предложения 1.2 первая группа структурных уравнений косимплектических многообразий будет иметь вид: Так как УФ = 0 то, согласно (1.7), следующие компоненты формы ри Найдем вторую группу структурных уравнений. Для этого проведем стандартную процедуру дифференциального продолжения уравнений (1.9). Продифференцировав внешним образом (1.9i), получим: С учетом (1.9)i имеем: или Обозначив через последнее уравнение запишем в виде Далее, разложив 2-форму Д0 по базису {6Ь Ав в Ашк]шг Аи ,шг Аш}: и подставив ее в уравнение (1.12), получим: последнее уравнение запишется в виде или Принимая во внимание равенство (1.14) и подставив его в уравнение (1.16), получим: Таким образом

Проективные инварианты косимплектических многообразий

В этом параграфе мы введем в рассмотрение новые проективные инварианты косимплектических многообразий. Пусть (M2n+1, т/,, Ф,д)—косимплектическое многообразие. Вычислим спектр тензора проективной кривизны косимплектического многообразия М2п+1 на пространстве присоединенной G-структуры. В координатном виде этот тензор имеет вид: Из этой формулы видно, что тензор проективной кривизны кососиммет-ричен по двум последним индексам. С учетом (1.3),(1.19) и (1.20) получаем, что существенные компоненты спектра тензора проективной кривизны на пространстве присоединенной G- структуры имеют вид: и формулы комплексно сопряженные, а остальные нулевые. Отсюда непосредственно следует Теорема 2.1 Косимплектическое многообразие проективно плоско тогда и только тогда, когда является плоским многообразием. Доказательство: Пусть косимплектическое многообразие М2п+1— проективно плоско, то есть Pljkl = 0. С учетом (2.4) это равносильно Следовательно В этом случае, с учетом (1.18), получаем, что Rijki — 0, то есть M2n+l-плоское многообразие. Обратное утверждение очевидно.О Из (2.4) видно, что спектр тензора проективной кривизны имеет не более пяти (с точностью до комплексного сопряжения) ненулевых компонент. Введем в рассмотрение следующие семейства функций: Покажем, что эти семейства функций определяют на многообразий M2n+1 тензоры. Эти тензоры мы назовем основными проективными инвариантами. Предложение 2.1 Проективный инвариант Р\ вычисляется по формуле Таким образом, функции {Р\,} и {Р", } являются компонентами тензора fy(P(X Y№Z + P$X,Y№Z)t а следовательно , этот тензор совпадает с тензором Р\(Х, Y)Z, что и требовалось доказать.П Проведем аналогичные рассуждения для остальных проективных инвариантов.

Предложение 2.2 Проективный инвариант Рг вычисляется по формуле Аналогично доказывается, что Таким образом, функции {Р% } и {P\j} являются компонентами тензора (Р(ФХ, ФY)Z 4- Р(ФХ, У ФІ?), а следовательно, этот тензор совпадает с тензором Рг , Y)Z, что и требовалось доказать.О Предложение 2.3 Проективный инвариант Р4 вычисляется по формуле Доказательство: Здесь учитывалось то, что в А-репере справедливы соотношения Ф = Аналогично доказывается, что Таким образом, функции {РЙЬ0} и {Р0 } являются компонентами тензора Р(ФХ, Y Z, а следовательно, этот тензор совпадает с тензором Р4(Х, Y)Z, что и требовалось доказать.О Определение 2.2 Косимплектическое многообразие, для которого Рг = 0, будем называть косимплектическим многообразием класса Ті, г = 1,2,3,4,5. Предложение 2.4 Для косимплектических многообразий класс Vi совпадает с классом Vs, а класс V4 совпадает с классом 7V Доказательство вытекает из кососимметричности тензора проективной кривизны.О Рассмотрим более подробно классы Vi, V2 и Т4 косимплектических многообразий. Пусть М-косимплектическое многообразие класса Vi, то есть Ра- = 0. В силу (2.4i) это равносильно тому, что Свернув (2.13) по а и d, получим Отсюда, при п 1, следует Подставим это выражение в (1.20), как следствие получим то есть тензор Риччи тождественно равен нулю. Таким образом многообразие М2n+1 является риччи-плоским. Проводя рассуждения в обратном порядке, убеждаемся, что справедлива Теорема 2.2 Пусть М2п+1—косимплектическое многообразие размерности больше 3. Тогда M2n+1 является косимплектическим многообразием класса V\ тогда и только тогда, когда М2п+1 является риччи-плоским многообразием .О Тогда компонента тензора Риччи такого многообразия выражается следующим образом гаь = 0. То есть многообразие в силу (1.20) является риччи-плоским. Проводя рассуждения в обратном порядке, убеждаемся, что справедлива Теорема 2.4 Пусть М2п+1 косимплектическое многообразие.

Тогда M2n+l является косимплектическим многообразием класса Vi тогда и только тогда, когда M2n+l является риччи-плоским многообразием .О Из Теоремы 2.2 и Теоремы 2.4 вытекает Следствие 2.1 Пусть M2n+l—косимплектическое многообразие размерности больше 3. Тогда следующие утверждения эквивалентны: 1)М2п+1— риччи-плоское многообразие ; 2) М2п+1—косимплектическое многообразие класса V\; 3)M2n+1—косимплектическое многообразие класса V\; Пусть (М2п+1,т/,, Ф, ?)—сасакиево многообразие. Рассмотрим геодезическое преобразование сасакиевых многообразий. Вычислим спектр тензора проективной кривизны сасакиева многообразия на пространстве присоединенной G-структуры. С учетом (1.34),(1.35) находим, что на пространстве присоединенной С-структуры соотношения (2.3) принимают вид: и формулы, комплексно сопряженные, а остальные нулевые. Теорема 2.5 Сасакиево многообразие проективно плоско тогда и только тогда, когда является многообразием постоянной секционной кривизны (+1). Доказательство: Пусть сасакиево многообразие М2п+1—проективно плоско, то есть Рг к1 = 0. С учетом (2.9) это равносильно учетом (1.34), спектр тензора кривизны примет вид: Отсюда следует, что Rijki = 9tk9ji QiWjk- Значит M2n+1—многообразие постоянной секционной кривизны (+1). Обратно теперь очевидней

Контактно геодезические преобразования некоторых классов почти контактных метрических многообразий

Рассмотрим ЛС-структуры с нулевым первым структурным тензором. Это весьма общий тип ЛС-структур, включающий большинство частных случаев ЛС-структур, изучаемых в печати. Сюда относятся ко-симплектические и сасакиевы структуры, а также их обобщения— ква-зисасакиевы и контактные метрические структуры, почти косимплекти-ческие и слабо косимплектические, структуры Кенмоцу, транссасакие-вы и почти сасакиевы, и ряд других [7]. Назовем такие ЛС-структуры, по аналогии с [8], структурами квазикелерова типа. Пусть М—АС-многообразие квазикелерова типа. Для него, по определению, В — 0. Подвергнем его метрику с-геодезическому преобразованию. Согласно (3.2г), для преобразованной структуры что вещественная часть тождества (1.8г) имеет вид {В(Х, Y),Z) + {X, Применив это тождество к тензору В с учетом (3.3), после упрощений получим: ф(Ф2Х)Ф2У = 0, а значит, (Ф ) = 0. Используя (1.1г) полу чаем отсюда, что В частности, с учетом (1.1з), В силу чего тождества (3.1) принимает вид а тождество (3.2i)—вид В = 0. В частности справедлива Теорема 3.3 с-геодезические преобразования метрики переводят АС-структуру квазикелерова типа в АС-структуру квазикелерова типа. Пусть, в частности, М—косимплектическое многообразие.Тогда (см. [30]). Подвергнем его метрику с-геодезическому преобразованию. Ковариантно дифференцируя тождество #(ФУ, Z)+g(Y, ФЕ) = 0, приходим к тождеству (очевидно, справедливому для всех ЛС-многообразий): С учетом (3.6) и (3.7) это тождество перепишется в виде или и, в силу невырожденности метрики д, Положив здесь Z — , с учетом (І.І4) получим, что ф()ФУ = 0. В частности, если Y Є -С—ненулевой вектор, то ф() = 0, и, в силу (3.4), ф = 0. Доказана Теорема 3.4 Косимплектическое многообразие не допускает нетривиальных с-геодезических преобразований метрики.

Пусть теперь M2n+1—многообразие Сасаки. Напомним [30], что многообразие Сасаки характеризуется следующим тождеством С учетом (1.39) и (3.9) убеждаемся, что В = 0, т.е. M2n+1—многообразие квазикелерова типа. Подвергнем его метрику с-геодезическому преобразованию. С учетом (3.6) и (3.9) тождество (3.8) перепишется в виде где h—оператор геод&зической деформации от метрики д к метрике д, или и, в силу невырожденности метрики д, X, Y Є X(M). Положив здесь Z = , с учетом Замечания 1 и (l.li) получим, что Заметим, что Л—самосопряженный оператор, т.е Используя тождество (3.11), получим отсюда, с учетом невырожденности метрики, что ф()ФУ — 0. В частности, если Y Є —ненулевой вектор, то ф() — 0, и, в силу (3.4), ф = 0. Доказана Теорема 3.5 Сасакиево многообразие не допускает нетривиальных с-геодезических преобразований метрики. Пусть, наконец, М2п+1—многообразие Кенмоцу (см. [35]). С учетом (1.39) и (3.12) убеждаемся, что M2n+1—многообразие квазикелерова типа. Подвергнем его метрику с-геодезическому преобразованию. С учетом (3.6) и (3.12) тождество (3.8) перепишется в виде 0, где h—оператор геодезической деформации от метрики д к метрике д, или и, в силу невырожденности метрики д, Подставляя это тождество в (3.13), убеждаемся, что (3.13), а значит, и (3.8), удовлетворяются тождественно в силу (3.4). Лемма 3.1 Оператор геодезической деформации с-геодезического преобразования метрики АС-структуры коммутирует со структурным эндоморфизмом. Доказательство: С учетом (3.11) имеем: или, с учетом (I.I5), (3.17) Пусть V и V—римановы связности метрик д и д. Вычислим тензор аффинной деформации Т(Х, У) = VxY — V F от связности V к связности V. Для этого применим к обеим частям тождества (3.17) оператор Vz, учитывая, что Vz{v)(X,Y) = (X,У) - rj(X)ri{Y) (см. [35]): (где Ту У = Т(Х,У); эндоморфизм Тд- отождествляется с порожденным им дифференцированием тензорной алгебры многообразия), или

Дважды производя циклическую перестановку аргументов и затем почленно складывая первые два и почленно вычитая третье, получим: С учетом невырожденности метрики д и того, что r](Y) = /(, У), получаем: В частности, в силу (I.I4), Т(,) — 0. Но, поскольку переход от метрики д к метрике д является проективным преобразованием, а значит, 2ф() = Г(, ) = 0. В силу (3.4), ф = 0, а значит, справедлива Теорема 3.6 Многообразие Кенмоцу не допускает нетривиальных с-геодезических преобразований метрики.

Контактно 2-геодезические преобразования первого линейного типа

Пусть д - д контактно 2-геодезическое преобразование первого линейного типа АС-структуры S. Пусть V—риманова связность метрики д, V— риманова связность метрики д, Т— тензор аффинной деформации, тогда уравнение (4.1) в безиндексной записи имеет вид В частности, доказана Теорема 4.1 Третий структурный тензор D(X) — — {ФоУф2х(Ф)— Ф2 о УФХ(Ф) - Ф о Ч$(Ф)(Ф2Х) + \Ф2 о У (Ф)(ФХ)} является инвариантом контактно 2-геодезических преобразований первого линейного типа АС-многообразий. Рассмотрим контактно 2-геодезическое преобразование р первого линейного типа нормальных ЛС-структур. Из определения 1.2 следует, что условие нормальности ЛС-структур не зависит от преобразований метрики. Напомним, что нормальные ЛС-структуры характеризуются тем, что C = D = F = G = 0, а это значит, что и для преобразованной ЛС-структуры C = D = F = G = 0. Тогда из формулы (4.5б), получаем Следовательно

Тогда тензор аффинной деформации имеет следующий вид Следовательно р является контактно-геодезическим преобразованием. В этом случае при таком условии легко заметить, что из соотношений С = С = О, D — D = 0, F — F = 0, G = G = 0 не вытекает других условий. Доказана Теорема 4.2 Пусть р контактно 2-геодезическое преобразование первого линейного типа нормальных АС-структур, где а () = 0 и К{) ф А. Тогда р является контактно-геодезическим преобразованием. В этом случае структурные тензоры (4.5) имеют следующий вид: Используя (1.1г), получаем Применив Ф к обеим частям тождества, имеем Из тождеств (4.8) и (4.9) следует Положим в это выражение X = ФУ, тогда Итак Если соотношения (4.7), (4.8),(4.10), (4.11) применить ко второму структурному тензору, получим, что С — С = 0. Теорема 4.3 Пусть р контактно 2-геодезическое преобразование первого линейного типа нормальных АС-структур, где и;() 0к К{) — А. Тогда справедливо тождество Ф2 о К{Х) = Ф о К(ФХ) и структурные тензоры преобразованных нормальных АС-структур имеют следующий вид: Пусть д —» д контактно 2-геодезическое преобразование второго линейного типа ЛС-структуры S. Пусть V—риманова связность метрики д, V— риманова связность метрики д, Т— тензор аффинной деформации. Уравнение (4.2) в безиндексной записи имеет вид Вычислим Ух(Ф)У с учетом (4.12i) Пусть В, С, Д J5, F, С-структурные тензоры исходной ЛС-структуры {?7, , Ф, у}; #, С, D, Е, F, С-структурные тензоры ЛС-структуры {rj, , Ф,д) Изучим связь между этими тензорами. Итак, Из полученных формул сразу вытекает Теорема 4.4 Третий структурный тензор D(X) = — {Фо7ф2 (Ф)— Ф2 о Vфл(Ф) - Ф о Ч$(Ф)(Ф2Х) + Ф2 о У (Ф)(ФХ)} является инвариантом контактно 2-геодезических преобразований второго линейного типа АС-многообразий. Заметим, что из Теоремы 4.1 и Теоремы 4.4 получаем

Следствие 4.1 Третий структурный тензор D является инвариантом контактно 2-геодезических преобразований линейного типа АС-многообразий. Теперь рассмотрим контактно 2-геодезическое преобразование нормальных ЛС-структур. Это значит, как и в предыдущим параграфе,что справедливо следующее: С = С = О, F = F = О, G = (3 = 0. Тогда из формулы (4.14б) получаем отсюда 1)0(60 = 0 или 2)Ф2С = 0 = С = А. (4.15) Рассмотрим первый случай. Пусть 0(, ) = 0 и ф А, тогда из того, что F — F = О следует Так как ( ф А, то векторы ФС Ф2С линейно независимые. Следовательно Так как то Используя, что С = С — 0, получаем как векторы Ф, Ф2—линейно независимые, следовательно Подставляя Ф2У = —У -+ т;(У)С в первое соотношение, получаем Из второго соотношения таким же образом получаем Теорема 4.5 Пусть р контактно 2-геодезическое преобразование второго линейного типа нормальных АС-структур, где #(, ) = 0 и С, ф \.Тогда справедливы тождества 9(У,ФХ) = -9(ФУ,Х), 9(Y,X) = в(ФУ, ФХ) и структурные тензоры преобразованных нормальных АС-структур имеют следующий вид: Во втором случае имеет место Теорема 4.6 Пусть р контактно 2-геодезическое преобразование второго линейного типа нормальных АС-структур, где = А. Тогда структурные тензоры преобразованных нормальных АС-структур имеют следующий вид:

Похожие диссертации на Геодезические преобразования почти контактных метрических многообразий

Группы ЛИ с левоинвариантными связностями и группы конформных преобразований псевдоримановых многообразийПодоксенов, Михаил Николаевич

Преобразование некоторых классов многообразий с аффинорной структуройЭме Доапре, Эни

Голоморфно-проективные преобразования почти эрмитовых многообразийНикифорова Анна Валентиновна

Голоморфно-геодезические преобразования почти эрмитовых многообразийАбоуд Хабееб Муташар

Голоморфно 2-геодезические преобразования линейных типов почти эрмитовых многообразийДемченко Эльвира Аллахвердиевна

Геодезические и конциркулярные преобразования локально конформно квази-сасакиевых многообразийПолькина Елена Александровна