Функция Грина конечнозонного при одной энергии оператора Шредингера на квад-графах Василевский Борис Олегович

Содержание к диссертации

Введение

2 Функция Грина пятиточечной дискретизации двумерного конечнозонного оператора Шрёдингера: случай четырёх особых точекнаспектральной кривой 10

2.1 Рост волновой функции 16

2.2 Квазиимпульсы 21

2.3 Ненормализованная функция Грина по С-контуру 24

2.4 Функция Грина оператора L 30

3 Достаточное условие несингулярности дискретного конечно зонного при одной энергии двумерного оператора Шредингера на квад-графе 32

3.1 Дискретные комплексы, квад-графы и комплексный анализ 33

3.2 Многоточечная волновая функция и дискретные уравнения Коши-Римана 37

3.3 Достаточное условие несингулярности оператора Лапласа 44

4 Функция Грина оператора Лапласа на квад-графах 55

4.1 Рост волновой функции 55

4.2 Квазиимпульсы 60

4.3 Функция Грина оператора Лапласа 63

Список литературы

• Квазиимпульсы
• Функция Грина оператора L
• Многоточечная волновая функция и дискретные уравнения Коши-Римана
• Квазиимпульсы

Введение к работе

Актуальность темы

В 1974 году Новиков¹ предложил «конечнозонный» подход решения периодической задачи для уравнения Кортевега — де Фриза. В дальнейшем с помощью этого подхода был построен широкий класс периодических и почти-периодических решений, ассоциированных с операторами, спектр которых имеет конечнозонную структуру ^{2 3 4 5}.

В 1985 году Кричевер⁶ применил конечнозонный подход для решения обратной задачи рассеяния двумерного дискретного периодического оператора на квадратной решетке

получив гиперболическую дискретизацию оператора Шредингера. Набор обобщенных спектральных данных выглядел следующим образом:

1. Компактная, регулярная риманова поверхность рода д.

2. Фиксированная точка R\ на Г — точка нормировки для волновой функции Ф(7, тп, п).

3. д точек 7i, j 7з на Г — дивизор полюсов волновой функции.

4. Четыре коллекции выделенных точек Р^~,...,Р^, Р^,... ,Р^, Qi ,.. .Qjy, Qi , , <3дг, где М, N — произвольные положительные целые числа.

По теореме Римана-Роха, для данных общего положения существует единственная функция Ф(7, тп, п), 7 Є Г, т, п Є Z, 1 ^ т ^ М, 1 ^ п ^ N, со следующими свойствами:

С.П.Новиков, «Периодическая задача для уравнения Кортевега—де Фриза I» // Функц. анализ и его прил., 8:3 (1974), 54—66

Б.А.Дубровин, «Обратная задача теории рассеяния для периодических конечно-зонных потенциалов» // Функц. анализ и его прил., 9:1 (1975), 65—66

А. Р. Итс, В. Б. Матвеев, «Операторы Шредингера с конечнозонным спектром и N-солитонные решения уравнения Кортевега—де Фриса» // ТМФ, 23:1 (1975), 51—68

P. Lax, «Periodic solutions of the KdV equation» // Lecture in Appl. Math., 15 (1974), 85-96

H. P. McKean, P. van Moerbeke «The spectrum of Hill’s equation» // Invent. Math., 30 (1975), 217—274

И. M. Кричевер, «Двумерные периодические разностные операторы и алгебраическая геометрия» // ДАН СССР, 285:1 (1985), 31—36

5. Ф(7> тп,п) является мероморфной функцией от 7 на Г.

6. Ф имеет полюса не более первого порядка в точках 71, , 7д, Рк , к = 1,... , m, Q~^, к = 1,..., п, и не имеет никаких других особенностей.

7. Ф имеет нули не более чем первого порядка в точках Р^, к = 1,...,го, Q-, к=1,...,п.

8. Ф(Д_ьт,п) = 1.

Коэффициенты дискретного оператора L, для которого Ф является волновой: ЬФ(7, т, п) = О для всех 7, т, п, — однозначно определяются через функцию Ф:

Ф(х тп + 1, п + 1)

a(ra,n) = - lim ,

т^р+ Ф(7, т+1,п)

' ттг-|-1 \ і ' /

і Ф(7, "г + 1, п + 1)
b(m,n) = - km ,

' ^ тг-|-1 ^ч ' '

w(m, п) = -1 - а(т, п) - Ь(т, п). Рассмотрим четырехточечное уравнение общего вида

В 2007 году в работе Доливы, Гриневича, Нишкорского и Сантини⁷ было показано, что уравнение (1) допускает рекукцию до пятиточечного уравнения на четную подрешетку (так что любое решение исходного уравнения является решением редуцированного) тогда и только тогда, когда выполняется

Рт,п^т— 1,п0т,п— l^fm— 1,п— 1 ^Ут,п^т— 1,п^т,п — lPm— 1,п— 1

Кроме того, при выполнении этого условия четырехточечное уравнение (1) эквивалентно с точностью до калибровки дискретному уравнению Коши-Римана (3).

Возникает естественный вопрос — можно ли сформулировать аналогичное условие на языке спектральных данных, при котором общее четырехточечное уравнение допускает редукцию до пятиточечной схемы на четную подрешетку. Такое достаточное условие также было получено в работе 2007 года, оно строится следующим образом.

A. Doliwa, P. Grinevich, М. Nieszporski, Р. М. Santini, «Integrable lattices and their sub-lattices: from the discrete Moutard (discrete Cauchy-Riemann) 4-point equation to the self-adjoint 5-point scheme» // Journal of Mathematical Physics, 48:1 (2007)

Лемма 1. Пусть теперь на Г определена голоморфная инволюция а ровно двумя неподвижными точками Д+ = R\, Д_ и следующими свойствами:

1. На Г существует мероморфный дифференциал Сі с двумя по
люсами первого порядка в Д₊ = R\, Д_ и 2д нулями в

7i,..., 7з і ^<т7і і і о"7з .

2. crPj[ = Р^ , crQk = <ЗдГ.
Тогда

Ф(Д_,т,п) = (-1)^т+п, ai(m,n) + a₂(m,n) = 0, а₃(т,п) = -1, (2)

а волновая функция Ф удовлетворяет 4-точечному уравнению Коши-Римана

Ф(т + 1, п + 1) — Ф(т, n) = if(m, п)(Ф(т + 1, п) — Ф(т, п + 1)), (3)
/(т, п) = іаі(т, п) = -*а₂(т, п). (4)

Замечание 1. В работе Кричевера и Грушевского⁸ было замечено, что типичные конструкции отвечают случаю, когда инволюция а не имеет неподвижных точек, а 7-дивизор состоит из g — 1 точки. При этом дифференциал Сі голоморфен, имеет нули в точках 7-дивизора и <77-дивизора, aCl = Сі.

Пусть такие <т и Сі существуют. Пятиточечный оператор определяется на четной подрешетке (т = ц — і/,п = ц + v, a_MjJ, = 1//(т, n), 6_MjJ, = /(т — 1, n)):

(5)

Он является самосопряженным.

Помимо редукции гиперболического оператора на четную подрешетку, в упомянутой выше работе приводится достаточное условие вещественности коэффициентов.

Лемма 2. Пусть на Г существует антиголоморфная инволюция т, та-коя что

S. Grushevsky, I. Krichever, «Integrable discrete Schrodinger equations and a characterization of Prym varieties by a pair of quadrisecants» // Duke Math. J., 152:2 (2010), 317—371

9. т и а коммутируют.

10. тД₊ = Д_.

11. Точки PfT, Pf7, Qfc", <5дГ являются неподвижными для т.

12. Дивизор 7i, , 7з инвариантен относительно т. Тогда

/(ra,n)eR, (6)

Ф(т₇, т, п) = (-1)^т+Ф(₇,т,п). (7)

Как известно, одним из наиболее мощных методов математической физики является метод функций Грина, знание которых позволяет, в частности, эффективно строить теорию возмущений. Естественный шаг в исследовании оператора L — построение его функции Грина. По аналогии с непрерывным случаем, интересна такая функция Грина, асимптотика которой совпадает с асимптотикой волновой функции.

Еще одно интересное направление заключается в рассмотрении более общих решеток, на которых вводится дискретный аналог оператора Шредингера, применении к ним конечнозонного подхода и исследованию полученного оператора.

В середине 20 века в работах Ферранд⁹ и Даффина¹⁰ рассматриваются комплексные функции на двумерной решетке Z², удовлетворяющие уравнению (Коши-Римана)

/m,n+l " /m+l,n = »(/m+l,»+l " /m,n).

В другой своей работе Даффин¹¹ обобщил квадратную решетку до квад-графа — произвольного планарного графа, у которого все грани являются ромбами. Квад-граф является двудольным графом. В этой теории определяется дискретный оператор Коши-Римана, действующий на функциях, определенных на вершинах квад-графа, и дискретный оператор Лапласа, действующий на функциях, определенных на вершинах одной из долей квад-графа.

J. Ferrand, «Fonctions preharmoniques et functions preholomorphes» // Bull. Sci. Math., 68:2 (1944), 152—180

R. J. Duffin, «Basic properties of discrete analytic functions» // Duke Math. J., 23 (1956), 335—363

R. J. Duffin, «Potential theory on a rhombic lattice» // J. Combinatorial Theory, 5 (1968), 258—272

В работе Бобенко, Мерката и Суриса¹² рассматривается пример квазикристаллического параллелограммного погружения квад-графа в плоскость, при котором соответствующее уравнение Коши-Римана интегрируемо в смысле «3D-совместности». Особое место отведено для случаю положительных весов, в котором параллелограммы обращаются в ромбы.

При использовании конечнозонного подхода получается в некотором смысле обобщить квазикристаллический пример, при этом последний соответствует спектральной кривой рода 0.

Случай положительных весов интересен и в связи с определением несингулярного дискретного оператора. Дело в том, что перенос определения несингулярности в чистом виде с непрерывного случая на дискретный не имеет большого смысла. Действительно, ограниченность коэффициентов в совокупности у дискретного оператора будет выполняться с вероятностью 1 даже если исходный непрерывный оператор сингулярен. Для данной работы П. Гриневич предложил следующее определение несингулярности: оператор несингулярен, если он эллиптичен, то есть имеет положительные веса.

Цель работы

Найти представление для функции Грина пятиточечной дискретизации оператора Шредингера (5) в виде контурного интеграла, построенного по спектральным данным, которое имеет асимптотику волновой функции. Выделить конечнозонные операторы Лапласа на квад-графе, найти достаточные условия для эллиптичности. Найти представление для функции Грина конечнозонного оператора Лапласа в виде контурного интеграла, построенного по спектральным данным, которое также имеет асимптотику волновой функции.

Научная новизна

Все результаты работы являются новыми, получены автором самостоятельно. В диссертации получены следующие основные результаты:

Представление функции Грина для пятиточечной дискретизации оператора Шредингера в виде интеграла по специальному контуру от дифференциала, построенного по спектральным данным.

A. Bobenko, С. Mercat, Y. Suris, «Linear and nonlinear theories of discrete analytic functions. Integrable structure and isomonodromic Green’s function» // J. Reine Angew. Math., 583 (2005), 117—161

Условия на обобщенные спектральные данные и квад-граф, достаточные для положительности коэффициентов конечнозонного дискретного оператора Лапласа (то есть его несингулярности) на квад-графе.

Представление функции Грина для конечнозонного дискретного оператора Лапласа на квад-графе в виде интеграла по специальному семейству контуров от дифференциала, построенного по спектральным данным.

Методы исследования

Классическая теория римановых поверхностей, элементы теории вещественных алгебраических кривых, методы конечнозонного интегрирования, линейный подход к построению дискретного комплексного анализа на дискретных решетках.

Теоретическая и практическая значимость

Работа имеет теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при исследовании конечнозонных дискретных операторов Шредингера.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались автором на следующих семинарах и общеуниверситетских, всероссийских и международных конференциях:

Конференция «Ломоносов» (Москва, 11-15 апреля, 2011 г.).

Семинар «Геометрия, топология и математическая физика» под руководством акад. С. П. Новикова, чл.-корр. РАН В. М. Бухштабер, 2012 г.

«55 научная конференция МФТИ» (Москва, 19-–25 ноября 2012 г.),

Конференция «Ломоносов» (Москва, 8-13 апреля 2013 г.).

Семинар «Алгебраическая топология и ее приложения» под руководством чл.-корр. РАН В. М. Бухштабера, проф. А. В. Чернавско-го, проф. И. А. Дынникова, проф. Т. Е. Панова, доц. Л. А. Алании, проф. А. А. Гайфуллина, доц. Д. В. Миллионщикова, 2013 г.

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в шести работах, список которых приводится к конце автореферата [1-6]. Три из них опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК.

Структура диссертации

Квазиимпульсы

Фиксируем и рассмотрим множество всех значений аргументов рассматриваемой -функции при различных т, п Докажем, что замыкание V(X) в J (Г) не содержит нулей -функции. Пусть такой нуль z Є J(r) все-таки нашелся. Тогда разность Z — тт.! А ) — У Ау ) — i\ к=1 сколь угодно приближается суммой тАр + пДд Є Л и по замкнутости сама принадлежит R. Следовательно, найдется такая До Є Г, тАо = Ао, что на /(Г) выполняется равенство к=\ откуда следует A{XQ) — А{Х) Є R. Воспользуемся теперь возможностью выбрать пути интегрирования и добьемся вещественности последней разности: A{XQ) — А(Х) Є Ш9. Из rujj = ujj вытекает а из вещественности правой части А(Х) = А(тХ). Поскольку г А ф А, такое может быть только на сфере д = 0, где доказываемая оценка тривиальна. Из отсутствия нулей в замыкании V(X) С /(Г) и компактности по следнего следует существование искомых Rmin(\), Лтоаж(Л) для всех этим и завершается доказательство.

По всей видимости, оценка (2.13) выполняется почти всюду и в более общем случае, когда Г не является M-кривой. Но строгое доказательство требует более серьезной техники. Эта задача — тема для дальнейших исследований.

Дифференциалы квазиимпульсов dpm, dpn определяются по аналогии с [46]. А именно, это мероморфные дифференциалы третьего рода; dpm имеет вычеты г, — і в точках Р+, Р соответственно, dpn — такие же вычеты в точках Q+, Q соответственно. Дифференциалы квазиимпульсов однозначно определяются условием вещественности интегралов по всем контурам. Сами квазиимпульсы определяются как и являются многозначными на Г, однако их мнимые части ImpTO(7), Impn(7) уже являются однозначными на Г.

Из замечания 2.3 и единственности дифференциалов квазиимпульсов следует, что при выборе канонического базиса циклов и путей интегрирования как в теореме 2.1 выполняется Q(P+, Р ) = —idpm, Q(Q+ ,Q ) = —idpn. Поэтому оценка (2.13) может быть переписана в терминах квазиимпульсов:

Отметим, что поскольку и левая часть, и квазиимпульсы уже не зависят от выбора базиса или путей интегралов, то функция R(j) также не зависит от них. Оценка абсолютной величины двойственной волновой функции получается заменой 7 на aj Дифференциал —dpm(aj) имеет полюса в Р+, Р с вычетами соответственно -И, —г, а также интеграл от него по любому контуру является вещественным. Следовательно, dpm{(j ) = —dpm. Рассуждая аналогично, получим dpn{(j ) = —dpn. Поэтому последнее неравенство можно переписать в виде

Для контроля роста Ф мы будем рассматривать множества вида С\ = І7 : ІтРп(т) = 1тРп(А)}, Л Є Г. Такого рода контуры возникли ещё в работе И. М. Кричевера и С. П. Новикова [45]. Пример 2.2. Продолжим рассмотрение случая д = 0. В качестве дифференциалов квазиимпульсов подходят

На сфере Римана контуры lmpm = const, lmpn = const представляют собой окружности с центрами в Р±, Q± соответственно. Заметим, что точки Р±, R± лежат на одном контуре Im рп = 0. Оценки (2.15) и (2.16) в случае сферы обращаются в равенства при R = 1. Перечислим важные для нас в будущем свойства контура С\. Для начала заметим, что при Л = Q± он вырождается в точку. Лемма 2.2. Для всех А Є Г \ {Q+, Q } верны следующие свойства. 1) С\ является объединением некоторого количества кусочно-гладких замкнутых кривых, 2) С\ гомологичен точке, 3) точки R+, R- лежат по одну сторону относительно С\, точки Q+, Q — по разные.

Доказательство. 1) Дифференциал dpn имеет 2д нулей на Г с учетом кратностей. Если С\ через них не проходит, то по теореме о неявной функции в окрестности каждой своей точки С\ представляет собой гладкую неособую кривую. При прохождении через нули кривая может потерять гладкость, но она остается непрерывной. Из компактности Г следует замкнутость каждого пути. 2) Гомологичность точке С\ следует из того, что он является границей подмногообразия с краем {7 : 1ш.рп{ ) Impn(A)}, гладкого почти для всех А. 3) Утверждение о Q+, Q следует из Impn{Q+) = — оо, lmpn(Q ) = +оо. В силу предыдущих пунктов достаточно показать, что lmpn(R_) = lmpn(R+) = 0. Для начала заметим, что дифференциал —r(dpn) является мероморфным, имеет простые полюса в Q+, Q с вычетами і и —і соответственно, а также интеграл от него по любому контуру является вещественным. Тогда по единственности r(dpn) = —dpn. Используя rR+ = R- и вещественность интегралов по контурам, получаем гладкая в точках выполнения неравенства. Другими словами, почти всюду рост абсолютной величины G такой же, как и Ф.

Предположение П. Г. Гриневича заключалось в том, что функцию Грина можно найти примерно в таком же виде, что и в непрерывном случае (см. [47]). Здесь мы покажем справедливость предположения. Искомую G будет строить в два шага: сначала построим ненормализованную функцию Go, удовлетворяющую (2.17), а затем подправим её, чтобы обеспечить нужный рост (2.19).

Доказательство. Посчитаем порядок полюса в Р+ у левого дифференциала. Функция Фм+і,г/(7) имеет в Р+ полюс не более чем /І — v + 1 порядка, Фд -(7) имеет в Р+ нуль не менее чем Д — v порядка; в сочетании с условием леммы это означает, что левый дифференциал имеет в Р+ полюс не более чем 1 порядка. Аналогично получаем, что и у правого дифференциала в Р+ полюс не более чем 1 порядка. Следовательно, при вычислении вычетов мы можем использовать

Функция Грина оператора L

В работе [34] Р. Даффин обобщил квадратную решетку до произвольных планарных графов, у которых все грани являются ромбами. В 2001 году К.Меркат [35] существенно обобщил идеи Даффина, построив линейную комплексную теорию на дискретных римановых поверхностях.

Вслед за работой [34], в данном разделе мы перейдем от квадратной решетки к квад-графу, то есть графу, у которого каждая грань является четырехугольником. При наличии весовой функции, определенной на гранях квад-графа, на нем можно ввести дискретную комплексную теорию, как это сделал К.Меркат [35]. Используя конечнозонный подход, мы строим весовую функцию по обобщенным спектральным данным, и работаем с полученным оператором Лапласа и его волновыми функиями. В этом построении для волновой функции имеется уже d 2 пар выделенных точек, что обобщает построение части 1. Подобное построение уже было проделано в более общем виде у А. Ахметшина, Ю. Вольвовского, И. Кричевера [44], где оно использовалось для построения дискретного аналога решетки Дарбу-Егорова.

П.Гриневич предложил следующее определение несингулярности дискретного оператора Лапласа: оператор несингулярен, если он эллиптичен. В разделе 3.3 мы остановимся более подробно на обоснованности такого определения. Мы приводим условия на обобщенные спектральные данные, достаточные для положительности весовой функции оператора Лапласа, что эквивалентно его несингулярности. Примечательно, что это условия весьма похожи на соответствующие достаточные условия в непрерывном случае [16]. Основные результаты данного раздела получены автором в работе [49].

В данном разделе активно используются определения и конструкции из [37]. Рассмотрим двумерный дискретный подкомплекс QT (і-мерной квадратной решетки И1 для произвольного d 2. Каждая грань Qx является двумерным единичным квадратом. Потребуем, чтобы подкомплекс укладывался в плоскость С без самопересечений, то есть представлялся в виде связного планарного графа Т . Обратное отображение отправляет вершины графа в узлы решетки n

Определение 3.1. Квад-графом на С называется связный планарный граф на С, каждая грань которого является четырехугольником.

По построению, Т является квад-графом. От квад-графа общего положения он отличается лишь наличием отображения n : V(T ) — Zd, переводящим его в двумерный дискретный подкомплекс (і-мерной квадратной решетки. Определение 3.2. Пусть Ті — произвольный граф. Обозначим через У {Ті) множество его вершин, через Е{7і) — множество его ребер. Пусть Ті произвольный планарный граф на С, обозначим через F{7i) множество его положительно ориентированных граней.

Четностью вершины р Є V{T ) назовем четность суммы координат ее образа в IIі: п\{р) + - rid{j)). По построению, каждая грань Т является четырехугольником, ребра которого соответствуют в IIі единичным отрезкам, параллельным осям. Следовательно, ребра всегда соединяют вершины различной четности. Таким образом, Т является двудольным: в одну долю попадают вершины одной четности.

Возьмем вершины одной доли и соединим ребрами те из них, которые лежат в одной грани (хо и х\, г/о и г/і на рисунке 2). Полученный граф обозначим через Я, а построенный аналогично по другой доле — Q . Таким образом, У{Т ) = У {Я) U V(Q ). Кроме того, для любой грани Т одна из ее диагоналей е является ребром в Т ((жо,Жі) на рисунке 2), а другая е — ребром в Т ((уо,Уі) на рисунке 2).

Назовем двойственными все пары ребер E{Q) и E{Q ), лежащими в одной грани графа V. Несложно видеть, что оба построенных графа являются связными. Определение 3.4. Граф Q2 называется двойственным к планарному графу Q\ если и только если (а) существует взаимно-одназначное сооветствие между вершинами Q2 и гранями Q\, (б) вершины графа Q2 соединены ребром тогда и только тогда, когда соответствующие грани Q\ имеют общее ребро.

Графы Q и Q являются двойственными друг к другу. Рисунок 3 иллюстрирует факт двойственности Я к Я: например, уо соответсвует грани (жі, жо, х$,...), у\ соответствует (#2, Хо, Хі,...); в графе Я имеется ребро (г/о, 2/1), поскольку г/о X2

Окрестность вершины Хо графа Т , его ребра нарисованы сплошными линиями. Граф Q представлен вершинами ж , его ребра нарисованы пунктирными линиями. и у\ лежат в одной грани графа Р; соответствующие им грани графа Q имеют общее ребро (XQ,X\).

Замечание 3.1. Таким образом, по Р мы построили графы Q и Q , вершины которых являются долями Р, а ребра — диагоналями граней Р. Это построение однозначно с точностью до перестановки Q и Q , зафиксируем одну из них.

Напомним некоторые определения из линейной теории дискретного комплексного анализа. Более подробное изложение можно найти например в [37]. Пусть на ребрах графа Q определена комплекснозначная функция v : E{Q) — С. Рассмотрим оператор А, действующий на функциях / : V(Q) — С по формуле (А/)(жо) = / v{xo,x){f{x) f{xo))i (3.1) где суммирование проходит по всем соседним с Хо вершинам в графе Q. На зовем этот оператор Лапласианом, соответствующим весовой функции v. Дискретной гармонической (относительно весовой функции v) назовем функцию / : V(G) С, для которой выполняется Д/ = 0. Продолжим весовую функцию на двойственные ребра є Є E{Q ) по формуле v(e ) = l/v(e). Таким образом v корректно определена на E{Q) U E{Q ).

Голоморфные функции живут уже на вершинах V. Функция / : V{T ) — С называется дискретной голоморфной относительно весовой функции z/, если для любой положительно ориентированной грани (хо,уо,%і,Уі) Є F(T ) (см. рисунок 2) выполняются дискретные уравнения Коши-Римана

Несложным вычислением проверяется, что ограничение дискретной голоморфной функции на любую из долей V(Q), V(Q ) является гармонической. Обратно, по любой гармонической функции на V(Q) строится дискретная голоморфная на V (Р), однозначная с точностью до прибавления константы на V(Q ).

Меткой произвольного ребра графа Т назовем тот координатный вектор Zd, в который переходит это ребро. Введем ориентацию на ребрах Т в сторону увеличения координаты.

Параллелограммным погружением квад-графа в комплексную плоскость называется погружение р : V (Т ) — С без самопересечения и самокасания ребер и граней графа, такое что для любой грани (хо,уо,%і,уі) Є F(T ) выполняется РІУО) P{XQ) = p{%i) р{уі). Параллелограммное погружение назвывается ромбовидным, если ребра переходят в отрезки единичной длины: \р(у) — р(х)\ = 1 для любого (ж, у) Є Е(Т ).

Определение 3.5 (Параграф 3 [37]). Параллелограммное погружение р : V(T ) —С квад-графа Р называется квазикристаллическим, если множество значений А = {р(у) — р(х),(х,у) Є Е(Т ) конечно. Обозначим А = {±«1,..., ±а }.

Многоточечная волновая функция и дискретные уравнения Коши-Римана

Для этого рассмотрим мероморфную на Г функцию /(7) = Ф(Рз,7)/ (Р4,7). Ее ограничение на овал с чисто мнимое (вершины рз и PA соседние), имеет один нуль первого порядка в А и один полюс первого порядка в А . Нужное требование эквивалентно тому, что значения /(АЇ) и f(A ) имеют разный знак. Другими словами, точки АЇ и А лежат на разных дугах, соединяющих А+, А на овале с. Аналогичными рассуждениями с остальными соотношениями приходим к следующим выводам.

Рассмотрим две произвольные соседние грани квад-графа {P\IP2IPZIPA) F{V), {Р2-,РЪ-,Р&-,РА) F(T ). Пусть ребро (p2iPi) имеет метку еу, ребро {р\)р2) — метку ех, ребро (р2,Рь) метку ez. Ориентация (Р2,РА) может быть произвольной. Потребуем, чтобы ребра (pi,P2) и {р2-,Ръ) были направлены в разные стороны (имели общий конец или общее начало) тогда и только тогда, когда точки А , А лежат на разных дугах, соединяющих АЇ, А на овале с (см. рисунки 7, 8). Тогда будем говорить, что разметка ребер квад-графа V положительно согласована с их ориентацией.

А, А лежат на разных дугах Д+ А на овал с, на остальные овалы попадает по одной точке -дивизора: 7& &k, к = 1,...,д. Все значения весовой функции v, построенной по этим спектральным данным, имеют один знак тогда и только тогда, когда разметка ребер квад-графа V положительно согласована с их ориентацией.

У стандартной квадратной решетки (d = 2) координат разметка ребер положительно согласована с их ориентацией по возрастанию координат.

Рассмотрим квадратную решетку, отображенную в Z3 в виде лесенки: на вертикальных сторонах решетки написано ез, а на горизонтальных чередуются е\ с Є2, ориентация ребер такая же, выделенные точки располагаются на овале в порядке нумерации А А А . Положительная согласованность также достигается, так как любые две соседних грани отвечают случаю рисунка 7 и порождают условия «точка А% не лежит между А , А » и тривиальное «точки А 1, А не лежат между А% и А%».

Выберем в нашей квадратной решетке вертикальную прямую из ребер и поменяем ориентацию на противоположную у всех горизонтальных ребер слева от этой прямой. В каждой из половинок по отдельности положительная согласованность продолжит выполняться, но на границе появятся противоречия в виде условий «А лежит между А 1, А 2». Положительную согласованность можно вернуть, добавив еще две размерности, d = 5, и поменяв пометку каждого горизонтального ребра слева от выбранной прямой: с е\ на е и с Є2 на

Вернемся к примеру 3.1. Пусть спектральные данные (д = 0) построены по квад-графу, для которого существует квазикристаллическое роб-мовидное погружение р, {A j , А } = { х,-, — х,-}, х,- = 1 (необходимо для существования г). Проверим, что условие положительной согласованности разметки ребер и ориентации выполняется. Рассмотрим Р, вложенный в С посредством р и две произвольные соседние грани из определения 3.7. Будем считать, что (p2iPi) направлено в сторону р в этом случае At = р(р ) — p{pi). Пусть сначала ребро (pi,P2) направлено в сторону р2, {р2-,Ръ) — в сторону р$. Тогда Ах = Р(Р%) — р{р\), А = Р(Рь) — р{Р2). Поскольку обе грани невырождены и не пересекаются, точки р{р2) — р{р\), р{ръ) — р{р2) лежат по одну сторону относительно прямой, соединяющей p(pi) — р{р2), р{Р2) РІРІ) (прямая АуА ), что и требовалось. Пусть теперь ребра (pi,P2), {р2-,Ръ) имеют общее начало р2, тогда А = р{р\) — р{р2), А = Р{Рь) — p{p2), и по невырожденности и непересечению граней эти точки лежат по разные стороны относительно прямой АуА Если ребра (pi,P2), {р2-,Ръ) имеют общий конец р2, то А = р{р2) —p{pi), A l = р{р2) — р{ръ) и они снова лежат по разные стороны относительно АуА

Утверждение 3.3. Если граф V имеет квазикристаллическое робмовидное погружение р [37] и комплекс QT получен из V с помощью р (замечание 3.2), то для любого корректного набора спектральных данных (требуется существование о , и т) конечнозонный подход дает после подходящей перенумерации пар точек А- разметку, положительно согласованную с ориентацией.

Под перенумерацией А- здесь понимается изменение взаимно-однозначного соответствия {еі,..., е } -о- {Аг ,..., Ad }, индексы Gj остаются на месте. Доказательство. Построим по квазикристаллическому вложению р вспомога тельный набор спектральных данных на сфере g = 0. По примеру 3.4, для полу ченной разметки будет выполняться положительная согласованность с ориента цией. Рассмотрим теперь выделенные точки исходного набора А- . По условию, они лежат на овале с. Перенумерацией можно добиться того, что их порядок на овале с будет совпадать с порядком ± х,- на единичной окружности. После этой перенумерации разметка ребер графа Т для исходного набора спектраль ных будет совпадать с разметкой для вспомогаельного, и соотношения вида А+, А лежат на одной/разных дугах AtA будут равносильны соотношениям для ± х,-. Следовательно, из положительной согласованности для вспомогательного набора вытекает положительная согласованность для исходного, что и требо валось.

Квазиимпульсы

Вопрос о том, как ведет себя Ф(п, 7) при фиксированном 7, очень важен для оценки роста функции Грина. Для формулировки и доказательства теоремы нам потребуются некоторые понятия теории римановых поверхностей.

Основной результат настоящего раздела являются обобщением основного результата раздела 2.1. А именно, теорема 2.1 является частным случаем теоремы 4.1 при d = 2.

Нормировка базиса голоморвных дифференциалов, определение тета-функции Римана, отображения Абеля и дифференциала Q(P,Q) в точности такие же, как и в разделе 2.1, мы не будем повторять их здесь. По аналогии с 5.2 [41], для волновой функции Ф можно написать явную формулу, верную при любых п Є IIі: и пути во всех интегралах берутся одинаковыми. Проверим, что (4.2) задаёт однозначную на Г функцию. Если путь до фиксированного 7 изменяется на некоторый цикл, гомологичный У (Njdj + Mjbj), N, М Є Z5, а следовательно, экспонента умножится на t l.

Пусть Г является М-кривой, то есть инволюция г имеет д + 1 неподвижный овал 2i, Й2, ..., ад, с. Теорема 4.1. Пусть Г является М-кривой, выделенные точки А- , j = 1,..., і, попадают на овал с, на остальные овалы попадает по одной точке -дивизора: 7& &k, к = 1,... ,д. Тогда канонический базис циклов и пути интегрирования на Г можно выбрать таким образом, что для любого фиксированного выполняется неравенство при всех п Є И1:

Как было указано автору С. М. Натанзоном, теорема имеет более простое доказательство, нежели то, что приведено ниже. Оно основано на следующих соображениях. Рассмотрим дивизор Отображение Абеля переводит его на единственный неособый (не пересекающийся с тета-дивизором) тор вещественной части якобиана, см. теорему 8.1 главы 2 [20]. Из этого вытекает, что модуль тета-функции ограничен сверху и снизу положительными константами, откуда и следует утверждение теоремы.

Доказательство. Благодаря расположению 7& все нули Ф(п,7) при любых п Є И1 располагаются только на неподвижных овалах Действительно, на каждом из а (k = вещественная или чисто мнимая (3.14) и имеет полюс первого порядка. Тогда на а найдется и нуль по крайней мере первого порядка. Степень дивизора Ф равна (—д) и по построению у Ф(п, 7) нет полюсов вне точек этого дивизора. Следовательно, все нули на а имеют первый порядок и больше на Г нулей у Ф(п,7) нет.

Возьмем в качестве а-циклов канонического базиса неподвижные овалы г с точками 7-дивизора ai,...,ag. Благодаря такому выбору мы получаем целый ряд свойств.

Для каждого к = 1,..., д дифференциал rcuk является голоморфным и имеет ту же нормировку, что и ujk. Следовательно, rcuk = uJk и ujk принимает вещественные значения на неподвижных овалах т.

Рассмотрим подмножество R С /(Г) классов эквивалентности с вещественными представителями х + ВМ, где х Є М5, М Є Ъд. По построению R является замкнутым множеством.

Вспомним, что при изменении d аргументы -функций изменяются на Aj = А(А ) — А(А ), j Тогда из вещественности ujk на неподвижных овалах и определения (Aj)fc = ujk следует Aj Є Д, так как от вещественного вектора они могут отличаться только на периоды многообразия Якоби.

Фиксируем и рассмотрим множество всех значений аргументов рассматриваемой -функции при различных п Є IIі: откуда следует Л(Ао) — А(А) Є R. Воспользуемся теперь возможностью выбрать пути интегрирования и добьемся вещественности последней разности: A{XQ) — А(Х) Є Ш9. Из rujj = ZJj вытекает из вещественности правой части А(Х) = А(тХ). Поскольку тХ ф А, такое может быть только на сфере д = О, где доказываемая оценка тривиальна.

Из отсутствия нулей в замыкании V(X) С /(Г) и компактности по следнего следует существование искомых Rmin(\), Rmax{X) для всех Л [а\ U U ah U с), этим и завершается доказательство. Замечание 4.2. Выбор путей интегрирования в точности соответствует случаю Aj Є MP, j = 1,..., d, поэтому по (4.3) интегралы от Q(A , А ) по любому циклу являются чисто мнимыми.

Дифференциалы квазиимпульсов dpj, j = 1,..., і, определяются по аналогии с [46]. А именно, это мероморфные дифференциалы третьего рода; dpj имеет вычеты г, — і в точках А , А соответственно. Дифференциалы квазиимпульсов однозначно определяются условием вещественности интегралов по всем контурам. Сами квазиимпульсы определяются как Pjil) = / dPj (4.5) и являются многозначными на Г, однако их мнимые части lmpj(j) уже являются однозначными на Г.

Из замечания 4.2 и единственности дифференциалов квазиимпульсов следует, что при выборе канонического базиса циклов и путей интегрирования как в теореме 4.1 выполняется Q(P+, Р ) = —idpm, Q(Q+,Q ) = —idpn. Поэтому оценка (4.4) может быть переписана в терминах квазиимпульсов: множество Ск(А) при любом к Є Rd\{0} является объединением конечного числа непрерывных замкнутых кривых. Ориентация на нем корректно задается условием Hedp j) 0, получаемый при этом контур оказывается гомологичным точке. Кроме того, то есть, точки R+, R- одинаково обмотаны этим контуром.

Доказательство. Функция Impk является гармонической и множество ее нулей не имеет на Г внутренних точек. Благодаря этому почти для всех А рассматриваемое множество точек, находящихся на одном уровне с А, является непрерывным. Конечность и замкнутость кривых следует из компактности Г. Контур Ok (А) с указанной ориентацией гомологичен нулю как граница подмногообразия {7 : Ітрк(т) 1тРк(А)}.