Формы кривых четвертого порядка Небукина, Галина Федоровна

Введение к работе

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Задача классификации форм вещественных алгебраических кривых С_т порядка m в проективной плоскости. -одна из классических задач теории алгебраических кривых.

Еще в начале ХУІІ века И. Ньютон дал классификацию особых точек и типов нераспадающихся вещественных кривых третьего порядка, откуда следует, что кривая С может иметь особую точку одного иэ из трех типов (узловую А , изолированную А*, точку возврата А )" и принадлежать одному из пяти типов?' Для каждого иэ этих пяти типов он установил число и расположение вещественных точек перегиба, т.е. форму кривой С_г данного типа. С тех пор делались неоднократные попытки получить аналогичную исчерпывающую классификацию для кривых четвертого порядка ( Л. Эйлер, Т.Крамер, Ю. Плюкер, А.Кэли, И.Цейтен и другие ). Сравнительно недавно, в 1966 г., Д. А. Гудковым и его учениками М. Л. Тай и Г. А. Уткиным была получена

о Здесь и всюду в дальнейшем применяются обозначения особых точек, данные В.А.Арнольдом в раооте "Критические точки гладких функций и их нормальные формы" (УМН. т.30:5(185),1975,с.3-63), со следующими дополнительными соглашениями: пометка "1т" означает, что особая точка мнимая, в остальных случаях точки веие-ственнные; значок » указывает наличие мнимых комплексно-сопряженных ветвей с центром в этой точке; коэффициент перед обозначением особенности указывает число особых точек данного типа у кривой.

г> У Ньютона была дана аффинная классификация типов кривых С_?, но он понимал и ее проективный смысл.

-/

классификация алгебро-топологических типов вещественных нераспадающихся кривых С без мнимых особых точек, а именно-, было доказано, что существует ровно 99 типов таких кривых. Затем в 1988 г. Ц. А.Гудков дал классификацию нераспадающихся кривых С₄ с мнимыми особыми точками (18 типов), а в 1990 г. Л.А.Гудков и-Г.М.Полотов-ский получили классификацию вещественных распадающихся кривых С_л (96 типов).

В работе 1966 г. была поставлена задача: изучить все возможные формы кривых С для каждого алгебро-топологического типа. Надо заметить, что все типы неособых вещественных нераспадающихся кривых С были известны еще в начале этого века и И. Цейтен построил все 42 возможные их формы. Отметим еще, что отдельные формы, кривых С без мнимых особых точек (кривая Штейнера, три формы кривой Никомеда) и с мнимыми особыми точками (кардиоида, кривые Персея, овалы Декарта, овалы Кассини, улитка Паскаля) были известны еще раньше. Однако, для кривых С с более сложными особенностями (особенно с тройными особыми точками) задача построения форм долго не могла быть решена ввиду отсутствия адекватного математического аппарата.

Толчком к продолжению работы по изучению форм кривых С послужило опубликование О.Я. Виро в 1981 г. обобщения формулы Клейна, что позволяет определить количество вещественных точек перегиба алгебраических кривых с любыми особенностями. В диссертации получена классификация грубых форм вещественных нераспадающихся кривых С₄ с любыми особенностями. (Форму кривой С₊ данного типа назовем грубой, если все вещественные точки перегиба находятся в общем положении, т.е. ни одна из них не совпадает ни

с другой точкой перегиба, ни с особой точкой кривой. В противної* случае форму назовем специальной). Заметим, что к настоящему времени Д. А. Гудковым построены все специальные формы таких кривых С₄, а Д. А. Гудкоеым и Г. М. Полотовским - все формы распадавшихся вещественных кривых С . Таким образом, имеется исчерпывающая классификация форм всех типов вещественных кривых С в проективной плоскости.

1. Получить классификацию грубых форм вещественных нераспадающихся кривых С без мнимых особых точек в вещественной проективной плоскости, т.е. для каждого из 99 типов таких кривых С перечислить все логически возможные грубые формы и доказать существование или нереалиэуемость каждой из них.

2. Решить аналогичную задачу для 18 типов вещественных нераспадающихся кривых С с мнимыми особыми точками.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации новые. Для полноты картины и систематизации в работу включены и известные ранее (см. выше) формы. Все они получены новым способом, причем впервые доказана нереализуемость одной из логически возможных форм кривой С без особенностей с восемью вещественными точками перегиба на одном из четырех овалов (у И. Цейтена такая форма даже не рассматривалась).

Диссертация содержит следующие основные результаты. 1) Получена полная классификация грубых форм кривых С₊ без мнимых особых точек. Доказано, что имеется 347 форм таких кривых. При этом доказана нереализуемость 41 логически возможной формы. (Здесь и ниже учитываются только логические возможности, не запрещаемые тривиальными следствиями теоремы Безу).

)

2) Получена полная классификация грубых форм кривых С₄ с мнимыми особыми точками, состоящая из 33 форм.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Диссертация носит теоретический характер. Результаты работы и методы, в ней применяемые, могут быть ислользованы в дальнейших исследованиях: построении типов и форм кривых более высоких порядков. Кроме того, полученные формы кривых С могут найти применение при аьтома-изированном проектировании и обработке (например, на станках с ЧПУ) деталей машин и механизмов.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на геометрическом семинаре Казанского университета в 1992 т., на итоговых научных конференциях Нижегородского госуниверситета в 1984-1990 гг. и в совместных с научным руководителем Д. А. Гудковым сообщениях на объединенных заседаниях семинара им. И. Г. Петровского и ШО в 1984-1983 гг.

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано И работ, список которых приведен в конце гатореферата. В совместных работах II]-[31, [5]-18] определение формы кривой С₄ данного типа и общая схема исследования принадлежат' . научному руководителю Д. А.Гудкову, все вычисления проводились автором. В работе НО] классификация типов нераспадающихся вещественных кривых С с мнимыми особыми точками получена Д. А. Гудковым, а классификация форм таких кривых - автором. Некоторые фрагменты вычислений в работах Ц], 121 параллельно с автором проводились Н. А. Кирсановой; в то время дипломницей Д. А. Гудкова.

ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения и занимает Й/ страницумашинописного текста библиография содержит 35 наименований.