Формально самосопряженные коммутирующие обыкновенные дифференциальные операторы ранга 2 и их деформации, заданные солитонными уравнениями Давлетшина Валентина Николаевна

Введение к работе

Актуальность и степень разработанности темы исследования.

В диссертации изучаются коммутативные кольца формально самосопряженных обыкновенных дифференциальных операторов ранга два. Пусть

ть — 2 та— 1

i=0 j=0

- обыкновенные дифференциальные операторы порядков п, го > 2. Условие коммутации операторов L_n и L_m

[L_n, L_m] = L_nL_m - L_mL_n = 0

представляет собой сложную систему нелинейных дифференциальных уравнений на коэффициенты этих операторов.

Один из первых важных результатов в теории коммутирующих дифференциальных операторов был получен Шуром [1] в 1905 году.

Лемма 1. Пусть L_n, L_m и L_k - дифференциальные операторы порядков п, го и к соответственно (п > I). Если L_nL_m = L_mL_n и L_nL_k = L_kL_n, то L_mL_k = L_kL_m.

Лемма 1 означает, что множество операторов, коммутирующих с заданным оператором, образует коммутативное кольцо. Позднее в 1923 году Бурхналл и Чаунди в [2] доказали следующую лемму.

Лемма 2. Если L_nL_m = L_mL_n, то существует ненулевой полином Д(А, ц), такой что R(L_n, L_m) = 0.

Уравнение Д(А, /л) = 0 определяет спектральную кривую Г пары коммутирующих дифференциальных операторов Ь_п и Ь_т

Г = {(А,_М) : Д(А,_м)=0}сС².

Если ф является совместной собственной функцией

Ь_пф = Хф, Ь_тф = цф,

то точка с координатами (Л,/х) принадлежит спектральной кривой Г.

Размерность пространства совместных собственных функций, для (А, ц) в общем положении, является общим делителем п и го. Рангом I называется наибольший общий делитель всех порядков операторов из максимального коммутативного кольца, содержащего L_n и L_m.

В случае коммутирующих операторов ранга один совместные собственные функции (функции Бейкера-Ахиезера) и коэффициенты операторов выражаются через тэта-функцию многообразия Якоби спектральной кривой с помощью конструкции И.М. Кричевера [3].

Коммутирующие операторы ранга / > 1 классифицированы Кри-чевером И.М. [4]. Совместные собственные функции таких операторов отвечают спектральным данным Кричевера (см. гл. 1 для / = 2), но найти в явном виде собственные функции не удается. Первые результаты об операторах ранга / = 2 получены Ж. Диксмье [5]. Им найдены примеры коммутирующих операторов ранга два порядков 4 и 6 с полиномиальными коэффициентами:

L₄ = {dl - х³ + а)² - 2х,

L₆ = (д²_х -х³- а)³ - hx(d²_x - х³ - а) + (д²_х - х³ - а)х).

Спектральная кривая пары L₄ и L₆ является эллиптической кривой, которая задается уравнением

п? = z³ - а.

Операторы Диксмье были первыми примерами нетривиальных коммутирующих элементов в первой алгебре Вейля.

В случае эллиптических спектральных кривых операторы ранга / = 2 порядков 4 и 6 найдены И.М. Кривечером и СП. Новиковым [6], причем оператор четвертого порядка имеет вид

U = (д1+и)²+2с_х{рЫ-рЫ))д_х+{с_х{рЫ-рЫ)))_х-рЫ-рЫ),

7і(х) = 7о + Ф0, Т2(а0=7о-Ф0, и(х) = -^+ 1^+2Ф(₇₁,₇₂)с_жж-|=+_С2(Ф_ж(₇о+с,₇о-с)-Ф²(₇₁,₇₂)),

*(7Ь 72) = С(72 - 71) + С(7і) " С(7а),

где с(х) - произвольная гладкая функция, ₇о Є С, р(х), ((х) - функции Вейрштрасса. Оператор Ь₆ можно найти из уравнения

L²₆=4(L₄f + g₂L₄ + д₃.

Данные операторы изучались в [7]- [13]. При д = 1, / = 3 операторы найдены О.И. Моховым [14]. В [15]- [18] найдены некоторые примеры операторов ранга / = 2 и 3 при д = 2,3, 4. До недавнего времени примеров коммутирующих операторов ранга / > 1, отвечающих спектральным кривым рода д > 4, не было известно.

В работе [19] изучались операторы ранга / = 2 в случае гиперэллиптических спектральных кривых произвольного рода д. Пусть L₄ и L_4g+2 - пара коммутирующих дифференциальных операторов ранга два, отвечающих гиперэллиптической спектральной кривой рода д

Y:w² = F_g(z) = z*⁺¹ + c_2gz^ + ... + c₀,

с выделенной точкой q = oo, тогда

Ь₄ф = гф, Ь_4д+2'ф = тф.

Совместные собственные функции этих операторов удовлетворяют дифференциальному уравнению второго порядка [6]

ф" =_Хі(х,Р)ф' +_Хо(х,Р)ф, P(z,w)T,

где хо и XI - рациональные функции на Г. Пусть Ь₄ является формально самосопряженным оператором. Оператор L₄ формально самосопряжен тогда и только тогда, когда

Xi(x,P) = xi(x,a(P)),

гдеa(z,w) = (z,-w) [19].

Пусть L₄ самосопряжен, т.е. имеет вид

L₄ = (dl + V(x))²+W(x).

Справедлива следующая

Теорема 1.2 ( [19]). Имеют место равенства:

Qxx w _лг Q_x

Хо = рг + 7Ї ^— ' Xi = 7Г7

где Q — полином по z степени g с коэффициентами, зависящими от х :

Q = z+a_g-₁(x)z-¹ + ... + a₀(x).

Полином Q удовлетворяет уравнению

AF_g{z) = A{z - W)Q² - W(Q_X)² + {Q_xxf - 2Q_XQ_XXX

+2Q(2V_XQ_X+AVQ_XX + Q_XXXX). (1)

В [19]- [20] с помощью теоремы 1.2 были построены примеры операторов

b{ = {д²_х + а₃х³ + а₂х² + о_Лх + а₀)² + a₃g(g + 1),

L\ = {д²_х + оц ch(x) + а₀)² + a_l9(g + 1) ch(x),

коммутирующих с соответствующими операторами порядка 4# + 2 (другие примеры построены в [21], [1*], [3*]). Отметим, что при g = а₃ = 1, а₂ = сні = 0 операторы L\, Ь\ совпадают с операторами Диксмье [5]. Действия автоморфизмов первой алгебры Вейля на b{, b{_g+2 изучались в [22]. С помощью замены координат и автоморфизмов первой алгебры Вейля О.И. Моховым [23] из операторов l\, b\_g+2 получены примеры операторов ранга /.

Отметим, что коммутирующие дифференциальные операторы имеют приложения в солитонных уравнениях. Лакс заметил [24], что условие коммутации дифференциальных операторов

[L₂,d_t-A]=0,

где

L₂ = dl + и(х, t), A = dl + -и(х, t)d_x + -и_х(х, t)
v x 2 v 4 ^v

эквивалентно уравнению Кортевега-де Фриза (КдФ)

Au_t + 6ии_х + и_ххх = 0.

Это уравнение описывает солитоны (уединенные волны на мелководье). Важным классом решений уравнения КдФ являются конечнозонные решения. Эти решения выделяются дополнительным условием

[L₂,L_2g+1}=0,

где L_2g+1 - обыкновенный дифференциальный оператор нечетного порядка с коэффициентами, зависящими от х и t. Пара коммутирующих операторов Ь₂ и L_2g+1 является операторами ранга 1.

Другим примером, где обыкновенные коммутирующие операторы играют важную роль, является уравнение Кадомцева-Петвиашвили (КП)

lu„ = ±w, + luu,-\u„).

Это уравнение допускает представление Захарова-Шабата

[d_t -A,d_y -L}= О, где

L = д² + U{x, у, t), A = d³ + hj{x, у, t)d_x + Р{х, у, t),

P(x,y,t) — некоторая функция. Решения КП ранга / выделяются дополнительным условием, при котором операторы (d_t — А) и (д_у — L) коммутируют с элементами коммутативного кольца A; обыкновенных дифференциальных операторов ранга /

[L_n,d_t-A]=0, [L_n,d_y-L]=0,

где L_n Є Aг. Решения ранга один задаются известной формулой Криче-вера

U(x,t,y) = 2д²Ыв(У₁х + V₂y + V₃t + V₄) + const,

где Vi - некоторые векторы, Є - тэта-функция многообразия Якоби спектральной кривой. Решения КП ранга / > 1 в общем случае не найдены.

Целью диссертации является построение новых примеров коммутирующих дифференциальных операторов ранга два, а также изучение коммутативных колец самосопряженных обыкновенных дифференциальных операторов ранга два и их деформаций, заданных солитонными уравнениями.

Основные результаты диссертации.

1. Построены новые примеры коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов порядков 4 и 4д + 2 ранга два.

1. Доказано, что некоторые уже известные пары коммутирующих дифференциальных операторов порядков 4 и 4g + 2 не коммутируют с операторами нечетного порядка, т.е. являются операторами ранга два (совместно с Э.И. Шамаевым).

2. Изучены деформации коммутативных колец самосопряженных обыкновенных дифференциальных операторов ранга два, заданные со-литонными уравнениями.

Научная новизна и значимость работы. Работа носит теоретический характер. Все результаты диссертации являются новыми. Результаты работы могут быть использованы при дальнейшем исследовании коммутирующих дифференциальных операторов ранга два, а также при построении решений ранга два солитонных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре Геометрия, топология и их приложения под руководством академика И.А. Тайманова (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2012, 2014, 2015); семинаре Инварианты трехмерных многообразий под руководством чл.–корр. РАН А.Ю. Веснина (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2012); семинаре Интегрируемые системы под руководством д.ф.– м.н. А.Е. Миронова (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2013, 2014); семинаре лаборатории геометрической теории управления под руководством д.ф.–м.н., профессора А.А. Аграчева (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2013, 2014).

Результаты диссертации были представлены на Международной научной студенческой конференции Студент и научно-технический прогресс (Новосибирск, 2013); 44–ой Международной молодежной школе-конференции Современные проблемы математики (Екатеринбург, 2013); Международной конференции Геометрия и анализ на метрических структурах (Новосибирск, 2013); Международной молодежной конференции Геометрия и управление (Москва, 2014); Международной школе-конференции Геометрическая теория управления и анализ на метрических структурах (Артыбаш, 2014);

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в семи печатных и электронных изданиях [1*]– [7*], четыре из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [1*]– [4*], три — в тезисах докладов и материалах конференций [5*]– [7*]. Результаты работы [2*] получены в неразделимом соавторстве с Э.И. Шамаевым.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Список литературы