Содержание к диссертации
Введение
1 Критерии е-компактифицируемости 11
1.1 Разбиение гиперабсолюта на замкнутые подмножества . 11
1.2 Отображения, непрерывные относительно всюду плотного множества 29
1.3 Близости и Я-структуры 32
1.4 Обобщенные близости 49
2 Продолжение непрерывных отображений хаусдорфовых пространств на их Я-замкнутые расширения 53
2.1 Непрерывные относительно всюду плотного множества отображения 53
2.2 Теорема о продолжении 58
3 Примеры 70
3.1 Квадрат X* и его применение к построению примеров . 70
3.2 О вполне регулярных пространствах, для которых еХ = J3X 76
3.3 О наибольшей полурегулярной е-компактификации 86
3.4 5-пространства 88
Литература
- Отображения, непрерывные относительно всюду плотного множества
- Обобщенные близости
- Теорема о продолжении
- О вполне регулярных пространствах, для которых еХ = J3X
Отображения, непрерывные относительно всюду плотного множества
Напомним, что гинерабсолютом ВХ пространства X называется множество ультрафильтров в семействе открытых подмножеств пространства X или, для краткости, просто ультрафильтров (других ультрафильтров в данной работе не встретится), тонологизированное определением открытой базы, состоящей из множеств вида Ои = { G ВХ : U G }, U — произвольное открытое подмножество пространства X. Абсолютом аХ пространства X называется множество таких ультрафильтров , что П{[U]х : U G } 0. Легко видеть, что последнее пересечение одноточечно и что П{[Z7]х U Е } = {ж} в том и только в том случае, если содержит все окрестности точки ж в X. На протяжении всей работы употребляется обозначение ж = { G ВХ : n{[U]x : U е О = {х}} = П{Ои : U — окрестность точки х в X}. В работе С. Илиадиса и С. В. Фомина [7] доказаны все необходимые нам для дальнейшего свойства ВХ, например, хаусдорфовость, компактность, экстремальная несвязность, плотность аХ в ВХ, замкнутость множеств О и и т. п. Напомним еще, что для отображения /:Х Уи множества PCX принято обозначение /#-Р) = \ f(X \ Р) = {у Є У f l(y) С Р} (словами: малый образ множества Р) и что система = {U\ открытых подмножеств пространства X называется регулярной, если для любого U Є f найдется У Є f со свойством [V] С U.
Предложение 1.1.1 Пусть R — разбиение ВХ на непустые замкнутые подмножества такое, что R D {х : х Є X}. Тогда фактормножество BX/R, наделенное топологией с базой w (W), где тг : ВХ - ВХ/ R — естественная проекция, aW — произвольное открытое под множество пространства ВХ, будет полурегулярным Н-замкнутым расширением пространства X, если само X полу регулярно.
Доказательство. Указанная топология на BX/R есть топология малых образов открытых множеств В. В. Федорчука, введенная в [15], и из предложений, доказанных там же, легко следует требуемое. Заметим только, что в определении базы пространства BX/R можно брать не все открытые множества W С ЛХ, а только множества вида O и, где U открыто в X, и что в ВХ/R пространство X отождествляется с тс(аХ) с помощью вложения g : X —» ВХ/ R,g(x) = х, поскольку если G — канонически открытое множество в X, то g(G) = ТГ (OQ) П7ггаХ), то есть g переводит базу X в базу тт(аХ). В дальнейшем, имея в виду это отождествление, вместо 7г(аХ) будем говорить просто о Х.П
Предложение 1.1.2 Всякое полурегулярное Н-замкнутое расширение Y полурегулярного пространства X может быть получено как пространство BX/R, где R — разбиение ВХ на непустые замкнутые мноотества, R Э {х : х Є X}, и множ.ества вида 7r#(W), тг : ВХ - BX/R, W открыто в ВХ, образуют базу пространства BX/R.
Доказательство. Пусть Y — полурегулярное Я-замкнутое расширение пространства X. Определим отображение / : ВХ - У по правилу: /(f) = у, если и{[U]Y y : / О = =у} (или, равносильно, f содержит тсе множества вида WПХ, W — произвольная окрестность точки у в Y). Легко видеть, что / — отображение "на" и что если G — канонически открытое в X множество, то f (0G) = M(G) наибольшее открытое в У множество, дающее в пересечении с X множество G. Определим R = {f_1 (у) : У G Y} — разбиение ВХ на замкнутые подмножества, содержащее х для любого х G X, так как х = f l(x),x X. Пусть g — биекция, делающая коммутативной диаграмму
Так как д о 7г = /, то д отг = f или дотг = /#; если G — произвольное канонически открытое в X множество, то д(тт (Оо)) = / ( G) = M(G), то есть д переводит базу BX/R в базу У и является, таким образом, гомеоморфизмом (тождественность на X очевидна).
Напомним, что булевой алгеброй канонически открытых подмножеств пространства X называется множество всех таких подмножеств со следующими операциями: G Я = G П Я, G + Н = ([GU Н]х)х, -G = X \ [G]x. Обозначается эта алгебра символом ЩХ). В силу экстремальной несвязности и компактности ВХ алгебра ЩВХ), содержит все множества Ои, U открыто в X, и только их. Кроме того, в алгебре 21(ЛХ) сложение совпадает с обычным теоретико-множественным объединением, а переход к обратному элементу — со взятием обычного теоретико-множественного дополнения. Отображение О : ЩХ) -» ЩВХ), определяемое по правилу 0(G) = 0G, как легко видеть является изоморфизмом. Так как проекция 7Г в предложении 1.1.1 -непрерывна, неприводима и замкнута, то отображение 7г : ЩВХ) - ЩВХ/R), ставящее в соответствие множеству On мно-жество К (Ои), является изоморфизмом (см. [15]). Композиция этих ДВУХ изоморфизмов есть не что иное как изоморфизм М : ШХ) - ЩБХ/R).
Два расширения Yi и Уг пространства X считаются эквивалентными, если существует гомеоморфизм / : Yi - У2г тождественный на X. Заметим, что эквивалентные Я-замкнутые расширения пространства X индуцируют одно и то же разбиение ВХ; если разбиения Rx и Д2 (такие, как в предложении 1.1.1) различны, то расширения BX/R\ и BX/R2 неэквивалентны. Мы не будем различать эквивалентные расширения. Отметим также, что при отождествлении расширений пространства X условие тождественности на X весьма существенно: просто гомеоморфные расширения (даже если гомеоморфизм переводит X в X) могут давать различные разбиения гиперабсолюта (см. замечание в конце текущего раздела). Каждый раз, когда пространство X отождествляется с некоторым другим, гомеоморфизм, осуществляющий это отождествление, считается фиксированным раз и навсегда (это касается и гомеоморфизма д из предложения 1.1,1).
С учетом сказанного ясно, что предложения 1.1.1 и 1.1.2 показывают, что под частично упорядоченным множеством нолурегулярных Я-замкнутыx расширений данного полурегулярного пространства X можно понимать множество всех разбиений R гиперабсолюта ВХ на непустые замкнутые множества, содержащих х для любого х Є X.
Порядок в этом множестве, обозначаемом в дальнейшем SX, опреде ляется естественным образом: Rx Д2, если Дх вписано в Д2. Любое непустое подмножество ч. у. множества SX имеет точную верхнюю грань: если {Ra} — такое подмножество, то семейство і?, состоящее из множеств р(0 = П{ра :paeRa, Є р«}, взятых по всем Є ВХ, будет требуемым разбиением гиперабсолюта ВХ. В частности, в SX имеет ся наибольший элемент Rs, как множество, состоящее из всех х,х X и всех f Є ВХ \ аХ. Соответствующее полурегулярное Я-замкнутое расширение sX = ВХIRs пространства X является полурегуляриза цией расширений оХ и тХ (см. [7]), но в общем случае не совпадает с ними (см. пример 3.1.4). Для произвольного разбиения R0 Є SX вве дем также обозначения SX (R0) = {R Є SX : R R0}.
Обобщенные близости
Пусть ирострапство X е-компактифицируемо и {Ra} — непустое семейство е-разбиений ВХ. В этом случае элемент R = sup{Ra} ч. у. множества SX также является е-разбиением ВХ. В самом деле, выше было показано, что элементами разбиения R являются мно жества ,зяяые пП Осем
Из последнего предложения следует требуемое — R состоит из е комнактов. Если в качестве семейства {Ra} взять семейство всех е разбиений ВХ (предполагаем, что X е-компактифицируемо), то получим наибольшее е-разбиение Re = sup{Ra : Ra — е-разбиепие}, ко торому соответствует наибольшая полурегулярная е-комнактифика ция еХ = BX/Re пространства X. Далее, в работе [20] К. П. Хар та и Дж. Вермеера для е-компактифицируемого пространства X бы ла определена его е-компактификация єХ, обладающая следующим свойством: для любой е-компактификации е\Х пространства X су ществует непрерывное отображение / . єХ —t eiX тождественное на X (в [20] е-компактификация єХ обозначалась символом еХ но поскольку в настоящей работе рассматриваются в основном полуре гулярные расширения символ єХ служит для обозначения наиболь шей полурегулярной е-компактификации пространства X) Покажем что еХ = (еХ)„ то есть что еХ является полурегуляризацией еХ.
В самом деле в работе [5] А. В. Иванова показано что полурегу ляризация любой е-компактификации пространства X снова есть е комиактификация пространства X В частности (єХ) полурегу лярная е-комнактификация пространства X Имеем: для любой полурегулярной е-компактификации е,Х пространства X найдется В-непрерывпое отображение а (еХ) - е,Х тождественное па X Гздесь и / : єх — Є]Х) В частности существу-ет -непрерывное тождественное на X отображение еХ В разделе 1.2 настоящей работы показано что в этом случае (єХ) еХ По самому определению расширения еХ выполнено обратное неравен-ство еХ (єХ) Итак еХ = (єХ) Следующее предЛОЖЄНИЄ пока зывает что множество полурегулярных Я-замкнутых расширений е компактифицируемого пространства X не больших чем еХ сплошь состоит из е-компактификаций пространства X. ,
Предложение 1.1.6 Всякая полурегулярная е-компактификация пространства X имеет вид BX/R,R G SX (Re). И, наоборот, любой элемент R G 5Х (Ле) определяет е-компактификацию BX/R пространства X. Таким образом, SX (Re) можно отождествить с ч. у. множеством всех полурегулярных е-компактификаций пространства X.
Доказательство. Первая часть предложения прямо вытекает из определения разбиения Re. Вторая часть вытекает из следующей ниже леммы, так как если R 6 SX (Re), то любой компакт р Є R будет суммой содержащихся в нем элементов разбиения Ле, каждый из которых есть е-компакт.П
Лемма 1.1.1 Пусть {ра} — система е-компактов в ВХ. Если множество р = Upa компактно, то р обязательно будет е-компактом.
Доказательство. Пусть Go G П{ : Е р} П ЩХ). Тогда р = Upa С 0Go. Для каждого а имеем: Go G П{ : 6 Ра} П 21(Х). Поскольку j9a — е-компакт, найдется На G П{ : 6 } П 21(Х) такое, что [Яаjx с Go. Для каждого а выполняется включение ра С Оца, и получаем поэтому: р = Upa С UO#e. В силу компактности р найдутся такие индексы а,-,г = 1,...,п, что р С и?=10Яа. = #"_ Я0 = Е?.1Яа. eng: Gp}n 21(Х). Так как [Я0]х = [Ё Яа.]х = получаем: для любого Go G П{: G р}П21(Х) найдется Яо G П{ : Є р}ґШ(Х) со ссойством [Яо]х С Go, что по определению и означает, что р — е-компакт. Лемма доказана.
Теперь обратимся к установлению характеристического свойства элементов ч. у. множества SX, соответствующих компактификаци-ям пространства X (если таковые имеются) и только им. Поскольку для любого R G SX пространство BX/R является хаусдорфовым Я-замкнутым, регулярность пространства BX/R равносильна его компактности.
Переходим к формулировке необходимого и достаточного условия, которому должно подчиняться разбиение R G SX, чтобы пространство BX/R было регулярным. Регулярность пространства BX/R означает следующее: для любой точки р G BX/R и любой базисной окрестности 7г#(0[/) точки р в пространстве BX/R (как всегда, х : ВХ — BX/R — естественная проекция) найдется такая базисная окрестность 7Г (Оу) точки р в пространстве BX/R, что выполняется включение [K {OU)]BX/R С тг (Ои). Заметим, что р G TT (OW) Р С Ow (W открыто в X). Покажем, что [n#{Ov)]BX/R = тг(Ок). В самом деле, множество 7г(Оу) замкнуто в пространстве ВХ/R как образ компакта при б-ненрерывном отображении на хаусдорфово пространство ([15]). Так как 7T (0V) С TT(CV), получаем: [ #(Ov)]BX/R С ir(Qv). Обратное включение установим от противного. Предположим, что найдется q G тггОу) такой, что q [TT (OV)]BX/R. Найдется тогда базисная окрестность 7Г#(Ору) точки q в пространстве BX/R такая, что Ж (Оу)Ш (0Ш) = 0, откуда OvПOw = 0. Далеее , Є Gг#(Ож) С О и/. Из зключения g G тг(Оу) следует, что g П Оу ф 0- Получили противоречие с равенством OvnOw = 0. Итак, тг(Оу) С [тг#(07)Ьх/д и [TT#(CV) W = тг(Ок)- Получаем следующую формулировку условия регулярности пространства BX/R: для любой точки р Е BX/R и любой ее базисной окрестности -к (Ои) в BX/R найдется такая ее базисная окрестность тг (Оу) в BX/R, что выполнено включение Последнее включение можно переписать в виде: 7г 1(тг(Оу)) С Ои. Далее 7г-1(7г(0 )) =St (Ov) = U{gеR:gnOy 0} — звезда множества Оу С 5Х относительно разбиения R пространства ВХ. С учетом всего сказанного получаем: пространство BX/R регулярно в том и только в том случае, если для любого р G BX/R и любого О и 6 ЩВХ) такого, что р С Ои, найдется Оу G ЩВХ) такой, что р С Оу и StR(Ov) С Оп. Разбиения R G SX, удовлетворяющие этому условию, будем называть с-разбиениями.
Итак, выше мы установили, что полурегулярное пространство X вполне регулярно в том и только в том случае, если среди элементов ч. у. множества SX имеются с-разбиения, и в этом случае между компактификациями пространства X и с-разбиениями его гиперабсолюта ВХ существует взаимно однозначное соответствие. Пусть теперь X — вполне регулярное пространство. Хорошо известно (см. Р. Энгелькинг, [17], Теорема 3.5.9), что в ч. у. множестве всех компак-тификаций данного вполне регулярного пространства X любое непустое подмножество имеет точную верхнюю грань. Мы докажем сейчас следующее утверждение: если {Ra} — непустое семейство с-разбиений гиперабсолюта ВХ, то элемент R = sup{#ft} ч. у. множества SX также будет с-разбиением. Из результатов раздела 1.2 настоящей работы вытекает тогда, что с-разбиение R = sup{Ra} соответствует точной верхней грани семейства {BX/Ra} в ч. у. множестве всех компакти-фикаций пространства X в смысле книги [17] Р. Энгелькинга. Итак, пусть {Ra} — непустое семейство с-разбиений гиперабсолюта ВХ и R = sup{Ra}. Рассмотрим произвольные элемент р Є R и Оц G ЩВХ) такое, что р С Ои- По определению разбиения R имеем: р = Пра, ра G Ra для каждого а. Далее, р = Пра с Ои
Теорема о продолжении
Пусть сначала X иУ — вполне регулярные пространства и / : X —у У — непрерывное отображение. Последнее можно продолжить непрерывным образом на расширения Стоуна-Чеха данных пространств: F : (ЗХ -+ (3Y. Пусть eiA\ е2У — некоторые е-компактификации пространств X и Y соответственно, в которых они s-внолне регулярны. Согласно результатам работы А. В. Иванова [5], под ехХ можно понимать пространство (3X/R\, где R\ — разбиение (ЗХ на непустые замкнутые множества, все неодноточечные элементы которого лежат в наросте /ЗХ \Х; аналогично, под е2Y можно понимать /ЗУjR2 для другого такого разбиения R2 пространства (3Y. Разбиения Rx и R2 оопеделяют на (ЗХ и (3Y отношения эквивалентности v\ и v2 соответственно. В работе [6] доказано следующее утверждение: непрерывное отображение f : X -+ Y можно продолжить до -непрерывного отображения / : е\Х —» e2Y в том и только в том случае, если для любых w,z Є (ЗХ из zvxw следует F(z)v2F(w). Цель настоящего параграфа состоит в том, чтобы распространить последнее утверждение на случай произвольных полурегулярных хаусдорфовых пространств X и У и непрерывного отображения / : X - У. Однако, как показано ниже, существует несколько путей для осуществления этого плана. Определение 2.1.1 Пусть Z С X, [Z]x = X и / : X - У — некоторое отображение. Назовем f слабо непрерывным относительно Z, если для любой точки х Є X и любой окрестности W точки у = f[x) Е У найдутся такие окрестность U точки х в пространстве X и открытое в Z множество V, что [Ur\Z]z = [V)z uf{V)СW.
ЗАМЕЧАНИЕ. В онределении 2.1.1 окрестности U точки ж и ТУ точки у можно считать принадлежащими фиксированным базам пространств X и У соответственно.
Итак, если Z — всюду плотное в X подмножество, то для отображения / : X — У можно рассмотреть следующие условия: непрерывность, непрерывность относительно Z (см. раздел 1.2), слабая непрерывность относительно Z, -непрерывность. Здесь эти условия расположены в порядке ослабления (строгого, как показано ниже). Доказательства требует только последний переход от слабой непрерывности относительно Z к -непрерывности.
Предложение 2.1.1 Если Z — всюду плотное подмножество в X и /:X У— слабо непрерывное относительно Z отображение, то f будет и 9 -непрерывным.
Доказательство. Пусть х Є X и у = f(x). Рассмотрим произвольную окрестность W точки у. Найдутся такие окрестность U точки х и открытое в Z множество У, что [U П Z]z = [V]z и /(У) С ТУ. Покажем, что f([U]x) С [W]Y. Действительно, если бы это было не так, нашлась бы точка хх Є [U]x такая, что у у = f(Xl) ф [W]Y. Пусть Wi — окрестность точки уі со свойством Wi П W = 0. Найдутся, далее, такие окрестность U\ точки х\ и открытое в Z множество Уі, что [Ui П Z]z = [Vi]z и /(Vi) С Wi. Так как хi 6 [U]x, получим Ui П U ф 0 откуда (U\C\Z)C\{UnZ) ф 0. Из последнего неравенства легко следует, что Уі П У ф. Если бы было Vi П У = 0, то и (Щ2)z П {[V]z)z = 0 что невозможно, так как UyHZ С ([Vi]z)z и UDZ С {[V]z)z- Найдется таким образом, точка х2 Є Vx ПУ. НО для нее получим }{х2) Е W\ ПТУ, что противоречит дизъюнктности W\ и ТУ. Итак, f([U]x) С [ТУ] у и отображение / /9-непрерывно.П
Пусть Ш — некомпактное полурегулярное Я-замкнутое расширение пространства N (в дискретной топологии). Тогда естественное— будет непрерывным относительно N, но не непрерывным (sN = BN компактно, а hN — нет), так что непрерывность отображения относительно всюду плотного подмножества является более слабым условием, чем его непрерывность.
При изучении продолжений непрерывного отображения / : X - У на Л-замкнутые расширения hX и /гУ пространств X и У соответственно требование непрерывности продолжения / : hX — hY представляется слишком ограничительным: если X вполне регулярно, f(X) = У и hX — компактификация X, то hY должно быть тогда обязательно комнактификацией пространства У, а само пространство У — вполне регулярным. С другой стороны, если hX и hY являются е-компактификациями пространств X и У соответственно, то требования (слабой) непрерывности относительно X и -непрерывности продолжения / : hX — hY равносильны, как поокаывает
И только лишь при переходе к случаю произвольных полурегулярных Я-замкнутых расширений проявляется различие между понятиями, введенными выше. Именно: продолжение / : hX —» hY ненрерывного отображения / : X - У на нолурегулярные Я-замкнутые расширения пространств X и У может быть 6 -непрерывным, но не слабо непрерывным относительно X (см. пример 3.1.3); слабо непрерывным относительно X, но не непрерывным относительно X, как мы чуть ниже покажем.
Предложение 2.1.3 Пусть R G SX и проекция тг : ВХ - BX/R непрерывна относительно аХ. Тогда пространство BX/R будет е-компактификацией пространства X.
Доказательство. Достаточно проверить (см. Введение) сильную регулярность X в BX/R, то есть для любой точки р Е BX/R убедиться в регулярности системы {U П X : U — окрестность р в BX/R}. Итак, пусть р Є BX/R и TT#(OG),G Є ЩХ) — произвольная базисная окрестность точки р в BX/R. Так как 7Г непрерывно относительно аХ, для любого ультрафильтра Є р найдется Щ такое, что ж(Ощ П аХ) С 7T#(0G) Ш = С. Имеем: р С и{Оя, : G р}. Найдутся такие &,г = 1,...,п, что р С и?=1Оя.- Положим Я = ([и?=1Щ.]х)х. Теперь р С и?=10Яе. = Оя. Далее, тг(Оя П аХ) = тг((и?=16я(.; П аХ) = тг(и?=1(0Яе. ПаХ)) = и?=1тг(Оя{. П аХ) С G и р Є тг#(Оя). Покажем, что [тг#(Оя) П Х]х = [Н]х С 2. Действи тельно так как
Как следствие предложений 2.1.2 и 2.1.3 получаем следующую теорему, Теорема 2.1.1 Пространство X в том и только в том случае е-ком-пактифицируемо, если найдется такой элемент R Є SX, что проекция 7г : ВХ — BX/R будет непрерывна относительно аХ. Более того, элементы множества 5Х (Ле); где Re — разбиение, соответствующее еХ, и только они индуцируют непрерывные относительно аХ проекции ВХ на BX/R.
Компактификации пространства X (если таковые имеются) характеризуются при помощи проекций ВХ на BX/R более очевидным образом: пространство X в том и только в том случае вполне регулярно, если найдется такой элемент R Є SX, что проекция 7г : ВХ —» BX/R будет непрерывна; более того, элементы множества SX (Rp), соответствующие компактификациям X, где R0 — разбиение, соответствующее /ЗХ, и только они индуцируют непрерывные проекции ВХ на BX/R.
Для построения примера слабо непрерывного, но не непрерывного относительно всюду плотного подмножества отображения понадобится еще Предложение 2.1.4 Пусть X — регулярное пространство, R G SX. Тогда проекция п : ВХ — BX/R слабо непрерывна относительно аХ.
Доказательство. Пусть р G BX/R, G р, то есть 7г( ) -р,ире тг#(Ос)- Сужение 7Г : БХ - БХ/Я нааіиі обозначим тго : аХ - X. Так как X регулярно и TTQ -непрерывно, то 7TQ И непрерывно. Согллсуя обозначения с введенными в определенни 2.1.1, обозначим W = TT (OG). Мы покажем, что можно взять окрестность U = OG ультрафильтра 6 р С OG и V = irol(n#(0G) П X) — множеесво, открытто в силу непрерывности TTQ В аХ и обладающее свойством 7г(У) С W. Итак, достаточно показать, что как то получаем включение
О вполне регулярных пространствах, для которых еХ = J3X
Если точка х = (гиГ2) G X лежит выше оси абсцисс, то сначала находим две точки х\ и хг на оси абсцисс такие, что XI = Г! - г22л/3, ж = ri + г22л/3 (две , другие вершины правильного треугольника с основанием на оси абсцисс и с вершиной в точке х). Далее определяем xi = xi- 1/г,х2 = xt + 1/г,ж3 = жг- 1/г ,ж4 = xr+l/i и функции /,- : R - Е, , = 1,,.., 4 следующим образом: /,-(г/) = л/% - аг,-, у Є R,г = 1,...,4. Множество Vi(x) состоит из внутренности (в смысле стандартной евклидовой метрики на Ж2) ромба, стороны которого образованы графиками функций /,-, г = 1,..., 4, и который содержит точку ж, а также из внутренности (в том же смысле, что и выше) двух правильных треугольников с основаниями на оси абсцисс, боковые стороны которых также образованы графиками функций /г-,г = 1,,..,4. Если точка ж = (ri,0) G X лежит на оси абсцисс, то аналогично определяем Х\ = 7 1 1/г 2 = r + l/iji(y) = л/3у - Хі\,у Є Е,г = 1,2.
Множество Vi(x) образовано внутренностью правильного треугольни ка, основание которого лежит на оси абсцисс а боковые стороны обра зованы графиками функций /,-, і = 1,2. Теперь приступим к определе нию ультрафильтра G ВХ \ аХ и открытого в X множества U G с нужными нам свойствами. Полагаем -R = {(гьг2) Є X : г2 1} — вну тренность полосы, ограниченной осью абсцисс и прямой у = 1, плюс ось абсцисс. Для любого натурального п определяем Т„ G X : л/3(гі-п)} — внутренность лежащего в верхней полуплос кости угла равного тг/З с вершиной в точке (п 0) одной из сторон которого является луч [п оо) плюс рациональные точки интервала (поо). Далее обозначаем Ж = КПГ п G N и - Vvn f м — центри рованная система открытых в X множеств причем nZ[W 1 х = 0 откуда следует, что любой открытый ультрафильтр, м корирующий систему лежит в наросте БХ\аХ. Фиксируем произвольный ультрафильтр G ВХ\аХ такой что D {W ) м Покажем что уль трафильтр и открытое в X множество V/G І - искомые то есть для любого G G ГМ(Х) выполняется W Предположим противное: нашлось канонически открытое в X множество G Є и G cVb Так кriк дЛЯ любого натурального GnW \ ф 0, найдутся та кие точки хi = (У і 0) G G и Ж9 = (г2 0) G G что го п и го - гі 2 А/Я (что означает что высота правильного треугольника со стороной г2-П больше 1). Найдется г что V-(x) С G и У-(я?) г G в силу каноничности G имеем: {[Щхі)иЩх-і)]х)х С G. Легко видеть, что {[ViixdVVifallxte Wx— противоречие. Итак, для пространства X выполняется аХ ф sX. Тем более тХ ф sX (см. определение гХ, например, в [7]). С другой стороны, расширение sX является полурегуляризацией расширений аХ и гХ, что сразу вытекает из предложений, доказанных в работе [15] В. В. Федорчука.
О вполне регулярных пространствах, для которых еХ = (ЗХ
В данном пункте речь пойдет о поведении свойства еХ = (ЗХ при взятии сумм, произведений и переходе к подпространству (см. [9]). Пусть X — регулярное пространство. Через RX обозначим множество регулярных концов пространства X, то есть регулярных центрированных систем открытых в X множеств, максимальных но отношению к этим двум свойствам. Множество RX нревращается в топологическое пространство (см. работу [1] П. С. Александрова), если определить базу топологии состоящей из множеств вида 0(U) = {7 6 RX : U G 7}, U открыто в X. Как легко видеть, пространство RX является хаус-дорфовым расширением пространства X; при этом точка х Є X отождествляется с регулярным концом, состоящим из окрестностей точки
Теорема 3.2.1 Если пространство RX полурегулярно и Н-замкнуто, то пространство X е-компактифицируемо и RX = еХ — наибольшая полурегулярная е-компактификация пространства X.
Доказательство. В самом деле, каково бы ни было регулярное пространство Х, оно сильно регулярно в RX, так как след на X системы {0(U) : U Є 7} базисных окрестностей любого регулярного конца 7 G RX совпадает с самим концом 7 (то есть {0(U)ПХ : U Є у} = т) и тем самым регулярен в X. Таким образом, RX — полурегулярная е-компактификация пространствах, и X е-компактифицируемо. Имеем: еХ RX. С другой стороны, пусть eiX — произвольная полурегулярная е-компактификация пространства X. Рассмотрим произвольный регулярный конец 7 = {U} Є RX. В силу Я-замкнутости расширения ехХ найдется Л 6 е\Х такое, что Л G n{J77]eiX : U G 7}- Легко видеть, что в этом случае n{[U]eiX : U G 7} = {А}. Таким образом, мы можем определить отображение / : RX - еіХ, полагая /(7) = А. Отображе ниє / есть отображение "на": если Л Є ехХ, то система открытых в X множеств {W П X : W — окрестность Л в е\Х} центрирована и регулярна в X, и для любого регулярного конца 7 Є RX, мажорирующего эту систему, получим /(7) = Л. Итак, /(7) = Л & 7 Э Л- Легко видеть, что отображение / тождественно на X и -непрерывно, откуда RX eiX (см. раздел 1.2).
Если система непустых открытых множеств пространства X свободна, регулярна и замкнута относительно конечных пересечений, то она и вполне регулярна.
Пусть = {[/} — система открытых множеств пространства X , удовлетворяющая условию. Возможны два случая: 1) для любого U Є множество U П (LU R) бесконечно; 2) найдется U Є f такое, что множество U П (X U R) конечно. Рассмотрим первый случай. Пусть U0 Є f. Найдется Ui такой, что p/i] С Щ. Так как J7i П (L U Д) N0, то либо \U{ П L\ N0, либо \Ui Г) R\ N0. Предположим, для определенности, что ЦЛ С\ L\ N0. Пусть {(0,2/n)}n6N — попарно различные точки, лежащие в Щ П L. Тогда для п Є N найдутся такие Кп, что (J х {уп}) \ Кп с С/і и Л „ Ко-Далее, U i Кп\ о и все точки из R кроме, возможно, счетного их множества имеют абсциссы, не совпадающие ни с одной из абсцисс точек из (J Li Кп Понятно, что все такие точки из R принадлежат [Ui], а, значит, и UQ. Итак, для любого множества U Є пересечения U П L и U Г) R бесконечны. Повторяя рассуждение, получаем, что для любого U Є справедливо: \L \ U\ N0 и Д \ U\ N0. Докажем больше: для любого U Є множества L\U и R\U конечны. Предположим противное. Тогда найдется U0 Є , для которого, скажем, \L\U\ Щ. Пусть {(0, у7г)} рМ — попарно различные точки, не принадлежащие UQ. Найдем Ui Є f такой, что [Щ] С U0. Для любого n G N найдется конечное множество Кп такое, что {(Ix{yn})\Kn)C(Ui = 0. Так как UL і Кп\ о n\R\Ui\ N0, то найдется точка (я0,0) Є Ui такая, что ж0 не совпадает ни с одной из абсцисс точек из {J=1 Кп. Точка х0 лежит в U\ с некоторой своей окрестностью, и в то же время любая ее окрестность имеет непустое пересечение с ІЄІ,(/ х \уЛ) \ Кп