Введение к работе
Актуальность теш. В настоящее время дифференциальная геометрия представляет собой широкий фронт исследований разнообразных структур на гладких многообразиях. Геометрическая структура на таких многообразиях или подмногообразиях задается априори или индуцируется объемлющим пространством при помощи того или иного поля дифференциально-геометрического объекта.
Наряду с интенсивным изучением структур высших порядков (см., например, обзорные работы ' '), остается актуальным изучение дифференциально-геометрических структур первого порядка. Известно, что теория связностей занимает существенное место в дифференциальной геометрии; в рамках этой теораи, например, чаще всего находят приложения линейные связности при изучении геометрии оснащенных многообразий.
Дифференцируемое многообразие, погруженное в пространство с фундаментально-групповой связностью, называется оснащенным э{ если на нем определено поле некоторого геометрического объекта Q0-' (поле оснащающего объекта многообразия):
где 0dSl - главные (первичные) формы, СО z - игоричные формы Пфаффа на многообразии. Тип оснащения погруженного многообразия характеризуется.строением основных функций tyf (о) , определяющих оснащающий объект (ХЛу .
Отметим, что задача, возникающие при изучении оснащенных многообразий, в зависимости от типа оснащеная, характера объем-лвдего пространства и исходного погруженного многообразия, оказываются весьма разнообразными, что, повидимому, делает проблему построения дифференциальной геометрии оснащенных многсобра-
I. Ептушак Л.Е,, Лумиста В.Г., Остиану Н.М., Широков АЛ. ф|ершщиально~геометрачестае структуры на шогообразиях.-В сб. роблеш геометрия, т.9 (Итога науки, л техн. ВШШЇЙ АН СССР)", М,, 1979, -246 с.
2; Широков Д.П, Структура на даффереицаруеиых многообразиях. -В со. «Алгебра. Топология. Геометрия, т.II (Итоги науки а техн. ВИНИТИ ЛИ Ш#)» М., 1974. с.153-207! ^ -
3. лшшш Г.4. Дйфференциалышя геометрия погрухенных много-оОраанй. -Тр. Моск. матем. о-ва, 1953, т.2, 0.275-382.
зіііі неисчерпаемой.
Теория полей геоыетрических,объектов на дифференцируешх многообразиях составляет одно из основних направлений исследования современной дифференциальной геоиетрші. Актуальніш раздел лои этой теории, благодаря своей многоаспектносте и широто поо-тоаовки задач, является дифференциальная геометрия оснащешшх многообразий, погруженных в различные однороднио и обобщенные пространства. В рамках этой геометрии большой научный интерес представляет создание двойственной теории оснащенных многообразий , погруженных в пространство проективной СВЯЗНОСТИ Рц^н .
Следует заметить, что до настоящего времени вопросы двойственно!! геометрии рассматривались лишь в случае, когда объели»» щео пространство, как правило, является проективный (P^sp )
Используя двойствешшй характер геометрии проективного пространства Р„ , Б.В.Вагнер х)>2}( ^.п.Иордек 3^, А.И.Чахта-'ури 4''^', А.П.Широков *>', а также ряд другихгвопэгров Сар&» това, Каашш, Тбилиси, Еревана, Калининграда получила глубокие результаты по изучении некоторых вопросов двойственной геоыет-рии нормализованной гиперповерхности Vh-i С Рп , гиперполосы Ц№Срп і нормализованного пространства р„ , а гаже по изучении двойственной геоглетріш сетей SI^P^ в ^cV^CPj.. В указагашх работах важное место зшшмаат исследования по двойственным аффинаш связностям,
-
Ваткер В,В. Теория поля локальных гиперполос. -Тр. сешд. по вектори, и тензори, алализу, 1950, в.8,с.197-272»
-
Вагнер В,В. Общая аффинная и центрально-проективная гео* метрия гидерповерхнооти в центрально*аффйнном пространстве и ... ее приложения к геометрической творив преобразовании Каратеодси рв в вариационном исчислении, -Тр. сешш. по вектори, и тензора» анализу, 1952, в.9, с,75-145.
-
Норден А«П. Пространства аффинной связности. -М,, над. «Наука" 1976, -432 с.
-
Чахтаури А.И. Внутренние геометрии плоских сетей. -Тр. Тбилисск. матем. ин-та АН ГрССР, 1947, 15, с.101-148.
-
Чахгаури А.И. Приложения внутренних геометрий плоских сетей .в теорию поверхностей. -Тр. Тбилисск. матем, ин«-та АН ГрССР, IS54, 20, С.В9-І30.
-
Широков А.П. Пространства аффинной связности (некоторое аспекты метода нормализации А,П.Нордена), -В сб. „Проблей гас* кгтрим, т.17 (Итоги науки и техн. ВИВШИ АН СССР)", 12., ISdS,
О»2. ДІ *"Л DJ. в
Определение двойственных пространств с линейной (проективной, аффинной, нормальной) связностью, данное нами с точки зрения ИНБОЛПТИБ1ШХ преобразований форм их связг.остей (двойствен-ность в смисле инволютивности автоморфизма алгебры Ли используется такке Л.В.Сабининым ' при изучении простих компактних алгебр Ли) позволило:
-
ігри изучений двойственной геометрии подалогообразиЛ расширить объемлющее пространство (проективное) до пространства проективн ой связности;
-
при&чечь к изучению геометрии подмногообразия его двой-ственішД образ (то есть прозодигь изучение его геометрії)! одновременно с двух сторон);
-
рассматривать двойственные вопросы яе только при нормализации подмногообразия, но и при различных других его оскачаниях (в смысле З.Картаиа , Э.Бортолотти К а также при касательном оснащении, определяемом тканью (сетьп));
-
обобщать некоторые известные ранее геометрические фактн и получить новые результаты по двойственной геометрии подагсого-образкй (часть из кпх нельзя обнаружить, находясь в ракхах проективного пространства);
-
впервые проводить изучение вопросов двойственной геоиет-ряз неголскомных многообразий, а именно, рзспредатеяий.
. Следует заметить, что актуальность изучения геометрии рас-арзделений, а следовательно, и ваяность проолені Пфаффа % зпределяегоя тем, что систеьу дифференциальных уравнений в чяст*
І. Сабинин Л.Б. Инволэтивяая двойсгвеиност?. з простих ксм-іантннх алгебрах да, -Тр. Гсоизтр. семинара, їін-г иаучя, ивіогі!. Ш СССР, 1969, T.2, с.277-293.
2»Cartsfl в. Lea espaces a connexion, jprojectirs. -Ір .'.'с;м=і. о вектори, r тензори, акаллзу, 1937, 4, c.J У7-15Э.
З, .Bortolotti К. Соплеєоіаді пєііо variety iuogo пі vn^i) ipplicazions? alia yRonetria metrics difforenr.inlr dslie cc-'ubt" It rstte.-Hsnd Seaia, ?as. Sci. Univ4 Сагііягі. 1933,3,.ь.'::'-ЗЭ
4t ttttti 3. - B?.rl. ДЬЬ., 18I<5, a.76-2-:>.
ш производных всегда можно трактовать *>'*> как пфаффову систем, то есть задача об интегрировании любой конечной системи дифференциальных уравнений с частными производными эквивалентна задаче об интегрировании некоторой системы Пфаффа.
Цель работы. Целью диссертационной работы является инвариантное построение основ двойственной теории оснащешшх многообразий, погруженных в пространство проективной СВЯЗНОСТИ Ри>ц , на основе широкого привлечения их двойственных образов; эта теория включает в себя решение следующих ключевых проблем:
-
рассмотреть с общих позиций и попытаться значительно пополнить и расширить теорию двойственных линейных свяэностей (проективных, аффинных, нормальных), индуцируемых при различных классических оснащениях (в смысле Э.Картана, А.П.Нордена, Э.Борголотги) некоторых многообразий пространства проективной связности (главы І-ІУ);
-
построение основ инвариантной двойственной теории распределений, а именно, регулярного гиперполосного распределения 'if c"Ph у, Yn -мерных линейных элементов (глава И) и регулярного распределения гипершюскостннх элементов (глава ІУ), а также нахоадение путей ее приложения;
-
построение основ инвариантной двойственной теории регулярной щ-мерной гиперполосы Ц^С ph „ (глава Ш) и регулярной гиперповерхности (глава ІУ), а теґкже нахождеіше путей ее прило-кения;
-
построение основ двойственной теории многомерных сетей (тканей) и ее приложение к изучению геометрии различных подмногообразий, несущих такие сети (ткани) (главы І, П, ІУ).
Задача сводится к изучению двойственной геометрии различных многообразий, оснащешшх в том или ином смысле, через посредство исследования дифференциально-геометрических структур ^, инду-
-
Картам . Э. Внешние дифференциальные система и их геокзг-раческне приложения. Изд. МГУ, 1252, -238 с.
-
Рошевский Ц.К. Геометрическая теория уравнений с частника производными, и., Гостехиздат, 1947, -354 с.
-
Осгиану Н.М. Диффереіщиально-геоиетричесі-ак1 структуру на дифференцируемых многообразиях; -В сб. „Проблем, геоивтгаш. т.8. (Итога науки и техн. ВИНИШ Ш СССР)", 1977, С.83-ПГ
цировашшх нолями их фундаментальных и оснащающих объектов.
Метвдика исследования, двойственная теория оснащенных многообразий развивается инвариантный аналитическим методом дифференциально-геометрических исследований (метод продолжений и охватов), созданным. Г.-Ф.Лалтевьш и опирающимся на исчисление внешних дифференциальных форм и на теорию представлений конечных групп Ли (А.М.Васильевым *' эта схема исследования распространена на пространства представления бесконечных групп Ли); это позволило:
-
исследование провести инвариантным образом путем построения и изучения падей геометрических объектов, охваченных полями фундаментальных и оснащающих объектов;
-
изучить дифференциально-геометрические факты оснащенных многообразий, связанные с дифференциальными окрестностями по возможности высоких (до 3-го и 4-го) порядков.
Все результаты работы получены в минимально специализированной системе отнесения, что также позволило получить результаты в инвариантной форме и глубже понять природу геометрических свойств оснащенного многообразия.
Наунная новизна результатов, полученных автором и выносимых на защиту, определяется следующим:
I) Значительно обогащена теория двойственных линейных свяэ» ностей (проективных, аффинных, нормальных), индуцаруемых пра классических оснащениях (оснащениях в смысле А.П.Нордена, Э.Кар* тана, Э.Бортолотти) пространства проективной связности Ри „ , регулярного гиперполосного распределения "Цс'Р^ п , регулярной гиперполосы Ныс1рИ)й| регулярного распределения гаперплоскоот-
ННХ ВЛемеНТОВ >(Т1Сри И регулярной ГИПерПОВерХНОСТН\/ц jCPh „
(глави І-ІУ). ' "
Полученные результата по двойственным аффинным связносгям на оснащенных подмногообразиях значительно обобщают известные ранее результати. Исследования по двойственным проективным а нормальным сЕЯзнссїям на оснащенных под^огообразиях ранее геометрами вообще не проводились.
I. Васильев A.M. Общие инвариантные метода в диффеоенииаль-ир« reouevpui, -Лова. Ш СССР, І95Г, <г.79, }) I, с.5-2.
2) Построена (главы П, Ш основы инвариантных теорий рої дярного гаперпс іосііого распределения ifji -мерных линейных ъы мєііїов JfCpr,jrt (теория иеголоношой ишерполосн) и регулярне распределение гдперплоскостішх элементов ЙТС^Рп,*] , показааг дбоЄсї*їлшосїь :;акдой из аткх теорий.
5) Б случаа регулярной пшерполосц Йж^Ри решены (главе'
III) такне принципиальные вопроси как:
а) цахоадйяае ее полного внутреннего фундаментального
объекта,
6) нахожд^нсе инвариантного услов&я ее квадратн'шооти.
-
Найдена Еззаогносгь, описана схеиз и приведены прнызр: (гласи II, ІУ) применения де -Рсгвенисй теории ГЕДерполосного распределена* j-fcpM и и распределеная гилерплосксстних алеы! тов ТїІСр„ „ і: построена ииваргактиах нермалззецаіі указанна: подмногообразий; описанная схема пригодна таксе для регулярні гипьрнолосы Цкп^Ри и u регулярной гиперповерхности Vh-I^Ph і
-
Найде;ш (главы Я, Ш) а другде лути лрилесшшя теория регулярного гипернолосного распределения 1{СРпгЯ и регулярні гаперполосы ИщСР,,, к изучешш внутренней геометрии распре, леиай ЇЇІС РП)„ ni-».apuux лшейных элементов, in-мерных поваї ностей \Дл С Р*;И (Щ і. м-і ) и к изучении геометрии различии: оснащений их. В частности, используя теории регулярних гипері лос, доказано, что порядок полного внутреннего фундаментальні объекта поверхности УмсРи (< v*< И-і.) не превосходит № та,
б) Разработана*(гласи I, II, ІУ) двойственная теория шоп
мерных сетей (тканей)j эта теория основана на других ыатераа;
работы и разработана в предположениях, позволявших раскрцть і
в более полном объема и увеличиващах область ее прилсаеннй,
Теоретическая и практическая значимость. Результаты, нац чєьнііє в работе, ш/еат теоретическое значение, квляатся даль нейикм развитием методов построения двойственной теорзв оска-щенша подмногообразий, погруженных в пространство прсектавк» связности. Псяучеяшіє в ней результаты могут быть кспольгоглі при исадгдояаш". да^еленадруешх многообразий, погруженных ! ярсстракотаа беле« о&#к (ила, наоборот, псіг-жненкоі') струмг
ория гиперполос и гнперполосних распределении находит нрадохо-о в механике, теоретической физике, при изучении геометрии огомерных поверхностей и распределений Ы -мерных линеЬшх емеитов.
Теория, разработанная в диссертационной работе, может бить пользована в качестве специальных лекционных курсов для сту-нтрв старших курсов и аспирантов математических факультетов, и определении тем курсових, дипломних и научных работ.(см. [ЗЗ] ).
Апробация диссертации. Основные результати диссертации док-давались и обсуждались на международных и всесоюзных научдих пференциях по современным просЗлеиам геометрии (Тбилиси, 1969, .J2] ; Самарканд, 1972, cM.jV]; Вильнюс, 1975, см.[Ю]; Казань, 76, см. [іб]; Минск, 1979, см.[22]; Кемерово, 1983, см.[2б]; есса, 1984, см. [28]; Казань, 1992, см.[3і]), на Прибалтийских ометрических конференциях (Друскшшнкай, 1978, см.[20]; Талії, 1984, см.[27]), на заседании Всесоюзного Геометрического шшара имени проф. Г,Ф,Лаптева при Отделе математики ВИНИТИ
СССР, на заседаниях научно-исследовательских семинаров в скве (МГУ, МГПИ, МОЛИ, Отдел математики ВИНИТИ АН СССР), Kara (ун-т), Тарту (ун-т), Калининграде (ун-т), Чебоксарах здин-т), а также в Казанском государственном университете
Международном геомеррическом семинаре „Современная геометрия эе приложения", посвященном ІОО-летиіз со дня рождения проф. І.Широкова (январь-февраль 1995 г.).
Публикации. Основные научные результаты, включенные в дас-этацив, опубликованы в тридцати четырех печатных работах (сы. |-[34]), опубликованных в ведущей отечественной научной перзо-
Вклад автора п разработку избранных проблей. Диссертация шется самостоятельным исследованием автора. Все опубликовал-і работы по теме диссертации, кроме одной (см. [3-і]), вшголлз-боз соавторов; результаты 5 работы [34І принадлежат автору :сертацаи.
Структура и объем работы, Диссертация состсат пз вьсдеиал, ырех глав и списка цитированной литературы, содержащего 218 жиопаияП. Полный сбъсм работы состаялмст 290 странен глслг.с-к, в том число 270 сг/.аг.пц текста,
