Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Слоения. Пуассоновы многообразия. Расслоения Вейля 12
1.1 Слоения на многообразиях 13
1.2 Скобка Схоутена-Нейснхейса 20
1.3 Пуассоновы многообразия 22
1.3.1 Симплектические многообразия 22
1.3.2 Пуассоновы многообразия 24
1.3.3 Когомологии Пуассона. Модулярный класс пуассоно-ва многообразия 31
1.3.4 Дифференциал Кошуля 40
1.4 Алгебры Вейля. Расслоения Вейля 47
1.5 Структура фробениусовых алгебр Вейля 57
Глава 2 Квантовые когомологии де Рама 61
2.1 Когомологии двойного комплекса Брылинского 61
2.2 Квантовые когомологии де Рама 68
Глава 3 Пуассоновы структуры на расслоениях Вейля 76
3.1 Лифты тензорных полей в расслоения Вейля 78
3.1.1 Реализации тензорных операций 78
3.1.2 Полный лифт ковариантпых тензорных полей . 82
3.1.3 Полный лифт контравариантпых тензорных полей . 88
3.1,4 Вертикальный лифт контравариантных тензорных полей 91
3.2 Расслоения Вейля пуассоновых многообразий 96
3.2.1 Полный лифт пуассоиовой структуры 97
3.2.2 Вертикальный лифт пуассоновой структуры 105
3.2.3 Полный лифт слоения. Связь слоевых когомологий слоения и его лифта 109
3.2.4 Полный лифт регулярной пуассоновой структуры , . 115
3.2.5 Модулярные классы лифтов пуассоновых структур на расслоениях Вейля 119
Список литературы 123
Список работ автора по теме диссертации
- Пуассоновы многообразия
- Дифференциал Кошуля
- Квантовые когомологии де Рама
- Вертикальный лифт контравариантных тензорных полей
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время теория пуассоновых многообразий является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов современной дифференциальной геометрии, имеющим широкие применения в математической физике (см., например, монографии В.И. Арнольда и А. Б. Гивенталя [1], М.В. Карасеваи В.П. Маслова [11], В.В.Трофимова и А.ТФоменко [23], [25], Дж.Марсдена и Т. Ратью [71], А. да Силвы и А. Вейнстейна [92], И. Вайсмана [97]).
Активно изучаются различные геометрические свойства пуассоновых структур, особенно в связи с задачами квантования. Здесь в первую очередь следует отметить основополагающую работу Ф. Байена, М. Флато, К. Фропсдаля, А. Лихнеровича и Д. Штернхаймера [34], в которой было указано, что «квантование следует понимать как деформацию структуры алгебры классических наблюдаемых», а кроме того работы М. Кон-цевича [64], Дж. Донина [43], Я. Грабовского [54], X. Омори, Й.Маеды, Н. Миязаки и А. Йошиоки [81, 82].
Общая теория деформаций ассоциативных алгебр была развита в работах М. Герстенхабера [49]-[52]. Алгебраические аспекты теории деформаций пуассоновых структур также исследовались в работе И.Хюбш-манна [60].
А. Лихнерович [67] ввел в расмотрение так называемые пуассоновы ко-гомологии пуассонова многообразия и показал, что в случае симилекти-ческого многообразия они изоморфны когомологиям де Рама. Ж.-Л. Ко-шуль [66] ввел понятие гомологии пуассонова многообразия, впоследствии названных Ж.-Л. Брылинским каноническими.
В работе Х.-Д. Као и Ж. Чжоу [38] было начато изучение когомоло-гий комплекса, получаемого деформацией комплекса де Рама пуассонова многообразия. Эти когомологии были названы ими квантовыми когомо-логиями де Рама пуассонова многообразия. В частности, было доказано, что для случая симплектического многообразия квантовые когомологии получаются деформационным квантованием когомологии де Рама. В работе Ж.-Л. Брылинского [36], с использованием результатов работ [66] и [67], был получен ряд результатов о строении двойного дифференциального комплекса, естественным образом ассоциированного с пуассоновой структурой.
В работах Ю.М. Воробьева и М.В. Карасева [10], X. Аскарраги, А. Пе-реломова и Х.Переса Буэно [33], В.Гинзбурга и Дж. Лю [53], Й.Хюбш-манна [60], Н. Наканиши [78], И. Вайсмана [96], А.Вейистейиа [101], П. Сю [102, 103] изучены свойства пуассоновых когомологии и приведены многочисленные примеры их вычисления. Работа в этом направлении активно ведется и в настоящее время (см. работы А. Гаммсллы [48], И. Кос-манн-Шварцбах [65], П. Моннье [75, 76], А. Пишерё [84], К. Роже и П. Ван-хеке [88]).
В работах Г. Митрича и И. Вайсмана [73], Я. Грабовского и П.Урбанского [55, 56] были построены и изучены различного типа лифты симплектических и пуассоновых структур на касательные расслоения. Э. Окассой [80] и В.А. Браиловым [2] изучались лифты симплектических структур на расслоения Вейля.
Расслоение Вейля ТАМ гладкого многообразия М, определяемое локальной алгеброй А (алгеброй Вейля), было введено А. Вейлем [99] как обобщение расслоения (N, д)-скоростей Ш. Эресмана [45]. К классу расслоений Вейля относятся, в частности, касательные расслоения. Геометрия расслоений Вейля и, в частности, лифты тензорных структур и связ-ностей с гладкого многообразия М на расслоение Вейля ТАМ, изучались А. Моримото [77], Л. Паттерсоном [83], П.Юэном [105].
А.П. Широковым [29] было обнаружено, что расслоение Вейля ТкМ несет на себе структуру гладкого многообразия над алгеброй А. Это позволило применять при изучении геометрических структур на расслоени- ях Вейля методы теории многообразий над алгебрами. Изучению геометрии многообразий над коммутативными ассоциативными алгебрами и их вещественных реализаций посвящены работы А.П. Нордена [16], [17], Б.А. Розенфельда [20], А.П. Широкова [26], [27], В.В. Вишневского [5], [6], [7], Г.И. Кручковича [14] и других авторов (ссылки на обширную литературу можно найти в монографии В.В. Вишневского, А.П.Широкова и В.В.Шурыгина [9], а также в работах [29], [8]). Наличие структуры гладкого многообразия над алгеброй А на расслоении Вейля ТАМ приводит к появлению на этом расслоении геометрических объектов специального типа, а именно, А-гладких геометрических объектов (в частности, А-продолжений геометрических объектов с базового многообразия М), а также вещественных геометрических объектов, являющихся реализациями А-гладких геометрических объектов. Реализации тензоров и тензорных операций в пространствах над фробениусовыми алгебрами посвящены работы В.В. Вишневского [6] и Г.И. Кручковича [14]. Геометрия расслоения Вейля ТАМ как многообразия над алгеброй А изучалась в работах А.П. Широкова [29], В.В. Шурыгина [30], А.Я. Султанова [21].
Соответствие, относящее гладкому многообразию его расслоение Вейля, представляет собой ковариаитный функтор, принадлежащий к классу так называемых функторов, сохраняющих произведение. Изучению функторов, сохраняющих произведение, и их связи с функторами Вейля посвящено много работ, библиографию которых можно найти в монографии И. Коларжа, П. Михора и Я. Словака [63].
Цель работы. Целью работы является решение следующих вопросов геометрии и топологии иуассоновых многообразий и геометрии гладких многообразий над алгебрами.
Вычисление квантовых когомологий де Рама пуассоновых многообразий.
Построение лифтов контравариантных тензорных полей и пуассо- новых структур с гладкого многообразия на его расслоение Вейля.
3. Изучение свойств пуассоновых структур на расслоениях Вейля гладких многообразий, их связей с нуассоновыми структурами на базовых многообразиях и вычисление их модулярных классов.
Методы исследования. В работе используются методы геометрии и топологии пуассоновых многообразий, теории многообразий над алгебрами, теории слоений.
Научпая новизна. Результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми и получены автором самостоятельно.
Теоретическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение при проведении научных исследований и чтении спецкурсов в Казанском, Московском, Нижегородском, Новосибирском и Саратовском государственных университетах.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
Международная конференция «Колмогоров и современная математика» (Москва, 16-21 июня 2003 г.).
IX Международная конференция «Дифференциальная геометрия и приложения» (Чехия, Прага, 30 августа - 3 сентября 2004 г.). XII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, 12-15 апреля 2005 г.).
Всероссийские молодежные научные конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2003, 2005 г.).
Кроме того, результаты работы регулярно докладывались на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета и заседаниях Казанского городского геометрического семинара.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 печатных работах автора [106]—[112].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа набрана в системе ВД^Х и содержит 135 страниц. Список литературы насчитывает 112 наименований.
На защиту выносятся следующие результаты.
Вычислены когомологии двойного комплекса Брылинского пуассо-нова многообразия и квантовые когомологии де Рама пуассонова многообразия.
Развит единый метод построения лифтов тензорных полей с гладкого многообразия М на тотальное пространство его расслоения Вейля ТАМ для фробениусовой алгебры Вейля А.
Показано, что операция взятия полного лифта дифференциальных форм индуцирует гомоморфизм когомологии де Рама Щп(М) —> Щп(ТАМ). Выяснена структура этого гомоморфизма в зависимости от выбора фробениусова ковектора на алгебре А.
Исследованы свойства пуассоновых структур на расслоении Вейля ТАМ пуассонова многообразия (М, ги), оп
Краткое содержание диссертации
Введение содержит обзор литературы по теме диссертации, обоснование актуальности выбранной темы и краткое содержание работы.
Пуассоновы многообразия
Определение. Симплектической структурой на гладком многообразии М называется замкнутая невырожденная дифференциальная 2-фор-ма и Є П2(М). Пара (М,и) называется симплектическим многообразием, а форма и) — симплектической.
Условие невырожденности означает, что в каждой точке х Є М форма ш{х) на ТХМ невырождена, а именно, если для X Є ТХМ верно равенство u{x)(X,Y) = 0 для любого У Є ТХМ, то X = 0. Если (ж1,.. .,sm) — локальная система координат на многобразии М, то ш = Wij(xk)dxl Adx? и матрица wij(a;fc)j невырождена.
Теорема 1.4. (Дарбу) Пусть (М, и) — симплектическое многообразие. Тогда для любой точки х Є М существует окрестность с локальными координатами р1,..., рп, g1,..., qn такими, что в них форма ш записывается в каноническом виде Yli P1 dql, т.е., в каоюдой точке этой окрестности матрица \\tOij\\ имеет вид 0 Е -Е 0 где Е — единичная матрица размера п х п. Кососимметрическое скалярное произведение в ТХМ, индуцированное симплектической структурой, определяет канонический изоморфизм TXM — Г М но формуле
На произвольном многообразии, вообще говоря, не существует сим-плектической структуры. Например, любое симплектическое многообразие четномерно, поскольку кососимметрическая матрица нечетного порядка обязательно вырождена. Имеют место также следующие ограничения на топологию симплек-тических многообразий (см., напр., [25]). Теорема 1.5. Симплектическое многообразие ориентируемо. Теорема 1.6. Если на компактном многообразии М существует сим-плектическая структура, то все четномерпые группы когомологий де Рама многообразия М отличны от пуля.
Пример 1.3.1. Простейшими примерами симплсктических многообразий являются ориентируемые замкнутые поверхности. В качестве сим-плектической структуры на них можно взять стандартную форму двумерного объема.
Пример 1.3.2. Для любого многообразия М его кокасательное расслоение Т М несет на себе естественную симплектическую структуру. Пусть U — координатная окрестность на многообразии М, и rr1,..., хт —- координаты в U, а і,..., ш — соответствующие координаты в слое Т М. Тогда корректно определена форма о? = d Adx1 — diAdxl+.. .+dmAdxm. Ясно, что форма и замкнута и невырождена. Кроме того, форма и является точной, а именно, ш = da, где a = fydx1 — \dxl + .., + mdxm.
Дальнейшие сведения но теории симплсктических многообразий читатель может найти, например, в [1, 23, 25]. 1.3.2 Пуассоновы многообразия Определение. [11, 92] Скобкой Пуассона на многообразии М называется R-билинейное кососимыетричное отображение {, } : С{М) х С(М) - С(М), удовлетворяющее правилу Лейбница {Lgh} = {f,g}h + g{f,h} (1.3.1) и тождеству Якоби {{/, ?}, h} + {{$, ft}, /} + {{/і, Л, 5} = 0. (1.3.2)
Гладкое многообразие, на котором задана скобка Пуассона, называется пуассоиовым многообразием. Скобка Пуассона на гладком многообразии М однозначно определяет контравариантный кососимметрический тензор w Є V2(M) такой, что {/, 9} = «MMf Л dg) = w(df, dg) (1.3.3) для всех /, 7 Є С{М). Этот тензор обычно называют тензором Пуассона (бивектором Пуассона). Известно, что скобка (1.3.3) на С(М), построенная по такому тензору, удовлетворяет тождеству Якоби тогда и только тогда, когда Кш] = 0, (1.3.4) где [, ] — скобка Схоутена-Нейенхейса на V (M) (см. [11, 92, 97]). В локальных координатах это условие записывается как isdwk kadwe e$dwik п oxs oxs ox3 Тензор Пуассона определяет отображение расслоений w:T M TM, (1.3.5) определенное следующим образом: («?«)(/?) :-U/(Q,/?) для всех а, (З Є Т М. Скобка Пуассона индуцирует скобку 1-форм на многообразии М по формуле {а, /3} = $ар - я0а - d{w{a, /?)). (1.3.6) Эта скобка естественным образом распространяет скобку {df,dg} :— d{f,g} с пространства Bl{M) := {df\f = С{М)} на 0}{М). При этом (11(М), является алгеброй Ли [11, 96]. В дальнейшем мы будем обозначать пуассоново многообразие символом (М, w). Пусть / Є С Х {М) — гладкая функция на М. Рассмотрим линейное отображение Xf : С(М) - С(М), Xf(g) = {/, д}. Используя правило Лейбница (1.3.1), легко видеть, что X/ является дифференцированием на Ссо(М) и, следовательно, векторным полем на М. Оно называется гамилътоповъш векторным полем
Дифференциал Кошуля
Пусть (М, ги) — регулярное иуассоново многообразие и F — его сим-плектическое слоение. В обозначениях 1.1 выберем трансверсальное распределение vT. Будем предполагать, что локальные карты слоеного атласа выбраны таким образом, что коэффициенты тензора Пуассона w в них постоянны. Тогда в любой карте (U, (хг,уа)) выполняется tuu = wia — 0. Из формулы (1.1.1) следует, что оператор i(w) имеет тип (0, —2). Тогда дифференциал 5 распадается в сумму ЕГО диагональный комплекс — это в точности канонический комплекс (fi (M), S). Поэтому когомологии двойного комплекса (1.3.19) совпадают с каноническими гомологиями.
В известной нам литературе мы не нашли других примеров вычисления канонических гомологии. Поэтому мы вычисляем их для двух типов рассмотренных ранее пуассоновых многообразий.
Пример 1.3.11. Вычислим канонические гомологии для случая регулярного пуассонова многообразия М — S X N, являющегося произведением симплектического многообразия S размерности 2т и произвольного гладкого многообразия N в предположении, что dim H R(S) со. Локальные координаты на многообразиях N и S будем обозначать (х1) и (уа), соответственно.
Пусть ргдг :М — SxN -N — каноническая проекция. В качестве трансверсального распределения выберем обратный образ pr N(TN) С T(S X N). Тогда коэффициенты связности tf равны нулю и внешний дифференциал формы = .,лгаі...аАхЧ А ... Л dxlr Л dyai Л ... Л dya имеет вид df = д - ---а dxj л dxh Л... Л dya + dfa-..ir«i...«,d 0 л dxn д д da охз ay? где первое слагаемое есть d , а второе — d %. Покажем, что в рассматриваемом случае 5 — 0, т.е., 6 — б". Будем считать, что коэффициенты wa тензора w постоянны по отношению к выбранной системе координат. В случае, когда s 2, имеем i{w)d i = k p iw0ydxJ AdxhA...A dxir A dya ...A dya и d i{w)t, = = d n. ya a dx Л ... Л dxjr A dya ...A dya) = to y y
Ясно, что разность двух последних выражений равна нулю. Если же 5 равно 0 или 1, оба слагаемых i{w)d , и d i{w) равны нулю. Таким образом, 8 — 8".
Обозначим символом Qs(S,Q,r(N)) пространство Пг(Лг)-значных s-форм на 5. В рассматриваемом случае пространства ПГ 3(М) изоморфны пространствам QS(S, fir(7V)) посредством отображения, относящего форме Є lr s(M) форму Є 0,S(S, Q,r(N)), определенную следующим образом: fe..,y,)).ft ) = (-1).... .... где х Є N, у Є 5, ХІ Є TXN, Ya Є TyS (см. [96]). Более того, этот изоморфизм переводит дифференциал d" во внешний дифференциал d на ST(iV)-3Ha4Hbix формах. В частности, отсюда следует Теорема 1.3.
Ясно также, что рассматриваемый изоморфизм переводит 5 = 8" в оператор 8 = iod—doi на Пг(ІУ)-значньіх формах. Оператор продолжается с QS(S) на пространство Пг(Лг)-значііьіх s-форм на 3 и по-прежнему для Є QS(S, Qr(N)) имеет место равенство S = (—l)s+1 d . Поэтому из Теоремы 1.3 и формулы (1.3.18) следует, что HLn(S xN,w) ф H{ilk{S,ns k{N)),8) к=0 и Є tf2- (S,ns-fc(7V)) ф H$g-k(S)ns-k{N). к=0 к=0 Итак, в рассматриваемом случае HLn(S xN,w) ф H2 k{S) g ns"fc(iV). Пример 1.3.12. Вычислим канонические гомологии квадратичных пуассоновых структур на R2 (см. Пример 1.3.8). 1. Случай эллиптической структуры weu = (х2 + jf2) Л , a) #2an(R2, weii) = 0. Действительно, пусть — f(x, у) dxAdy и S — 0. Имеем = - й - -d((x2 + y2)f(x,y)) - 0, откуда (я2 + y2)f(x,y) = const. Подставив а: = у = 0, получаем, что (х2 -\-y2)f(x,y) = 0, поэтому f(x,y) = 0u = 0.
Квантовые когомологии де Рама
Пусть А — ассоциативная алгебра с единицей над Ш. Обозначим символами A[h] и A[[h]\ алгебру многочленов от h и алгебру формальных степенных рядов от h с коэффициентами в А соответственно. Аналогично, обозначим символами A[h, h-1] и A[[h, h 1]] алгебры многочленов и формальных рядов от h и /г"1.
Будем говорить, что алгебра Ah над M[h] получена из алгебры А деформационным квантованием, если имеет место изоморфизм М[Д]-моду-лей Ah — A[h] — А M.[h], причем A /hAh = А (аналогично для случая алгебры Ah надМ /Г1], Щ[Щ или R[[h, /г-1]]) Подробнее о деформационном квантовании см., напр., [34, 38, 43, 54, 60, 64, 81, 82].
Один из примеров деформационного квантования на пуассоновых многообразиях был рассмотрен Х.-Д. Као и Ж. Чжоу в [38].
Пусть V — конечномерное векторное пространство над R. Выберем в нем любой базис {ei,..., еп}. Обозначим символом Т (К ) алгебру ко-вариантных тензоров на V. Для а Є Tk(V ) определим свертки с v Є V справа и слева формулами (а -\ v){yu . м Vk-i) := a(vi, ,-и v), (v h a)(vu ..., Vk-i) = a(u, vb ..., vk-i), где v, vit..., Vk-i V. Выберем произвольный контравариантный тензор w = w eiAej A2(V). Определим квантовое внешнее умноэюепие A/t — Ah,w : A (V ) A (V ) — A (V )[h] следующим образом: Jfc 0 (2.2.1) где а, (З Є A (V ). Легко видеть, что это определение не зависит от выбора базиса {єі,..., еп}. В дальнейшем будем писать просто Ад вместо Ад,ш. Введем на A h(V ) := /\ (V )[h] следующую Z-градуировку: элементы пространства Ak(V ) имеют степень к, a h имеет степень 2. Распространим умножение Л/Ї на A(V )(8 R[/i]Ajj(V ) как отображение R[/і]-модулей. Обозначим символом Л ДК ) пространство однородных элементов степени к. Легко видеть, что тогда (л? (П) л, (AM(V)) С AJf+V). В [38] доказана следующая Теорема 2.2. [38] Квантовое внешнее умиооїсение является супер-коммутативным, т.е., aAh{3 = (_1)ИЯ/3 Л, а, а,/? Є Л(П и ассоциативным, т.е., (а ЛЛ /3) ЛЛ 7 = а Лл (/3 Л/, 7), а, /?, 7 Є Aj(V ).
Таким образом, алгебра (Лд(У ),Л/г) изоморфна алгебре, полученной деформационным квантованиелі алгебры (A (V ),A).
Ясно, что аналогичные результаты имеют место в случаях алгебр Л (К )[М-1], Л (У )[[А]] и Л О ШМ"1]] Пусть теперь (М, ги) — пуассоново многообразие. Для каждой точки х Є М тензор Пуассона wx индуцирует квантовое внешнее умножение на Л (Т М). Таким образом, операция квантового внешнего умножения естественным образом распространяется на кольцо fi (M)[/i].
В [38] был введен квантовый внешний дифференциал dh:=d-h8: П {МЩ - П (МЩ. Там же показано, что квадрат этого оператора равен нулю о d h = О и что он удовлетворяет правилу Лейбница относительно квантового внешнего умножения: dh(a Ah 0) = (dha) Ah /3 + (-І) а Ah (4/3), гдеа,/?єП (М)[Ь]. В [38] были определены квантовые когомологий де Рама QhHdR(M) и Qh -iH R{M) пуассонова многообразия (М, го) как КОГОМОЛОГИЙ дифференциальных групп (Q, (M)[h],dh) и (n (Af)[A,/і-1],гіл) соответственно: QhH dR(M) := H(tt (M)[h],dh), QhA-iH dR(M) := H(n (M)[h,h-l\,dh), Мы введем в рассмотрение «сопряженный» оператор d h:=d + h5: П (МЩ -» Q (M)[h]. Проверка того, что d h о d h = 0 и 4(а ЛА /3) = (4а) ЛЛуЗ + (-1) Ah Й/З) осуществляется точно так же, как и в [38].
Операторы dh и йд можно распространить также на алгебры fi (M) [[h}\ и П (М)[[/І, /І-1]] формальных рядов от /і соответственно. Соответствующие пространства когомологий будем обозначать следующим образом: TQhH dR(M) :=H(Sr(M)[[h]]tdh)t LQh H dR(M) := H(Q (M)[[h,h-%dh), Q hH dR(M):=H(n (M)[h},d h), Qlh.lH dn(M):=H(n (M)[h,h- ],d h)} ТВДЙ(М):=Я( (М)[Й],4),
4 -.%M -= m (M){[h,h %dfh). На дифференциальной группе (Q (M) [h], dh) можно ввести структуру двойного комплекса С = (С, hS, d = ( l)pd), где Сш = /№ (М), p 0. Аналогично, на дифференциальной группе (Q (M)[h,h jrfji) можно ввести структуру двойного комплекса С — (Cp q, — h5, d! — (—l)pd), где Cp « = h?Qq-p{M), p,qZ (CM. (2.2.2), n = dim M). По комплексу С строится спектральная последовательность Е, сходящаяся к QhHdR{M), первый член которой есть % q = hPHq{Cp \d) = h?HqdRv(M), р 0. По комплексу С строится спектральная последовательность Е, сходящаяся к Qh,h iH R{M), первый член которой есть Щ я = hpHq p(M), p,qZ.
Вертикальный лифт контравариантных тензорных полей
Кроме того, ясно, что отображения 7гА : ЩК{М) — Щп{ТкМ) и s A . ЩЯ(ТАМ) — ЩН(М) — взаимно обратные изоморфизмы когомо-логий де Рама (мы используем символы 7ГД и sA как для обозначения отображений пространств внешних форм, так и для обозначения соответствующих отображений пространств когомологий де Рама). Следовательно, имеется сквозной изоморфизм Hl-m(TAM) -5_ А0Щн(М) АЯ (ТАМ). Пусть Є П (М) = R П (М) С А П (М) — замкнутая форма и А = % + ... + пе„ Є Q. A_m(TAM) — ее аналитическое продолжение. Нетрудно видеть, что отображение s A : Пд_$в(ТАМ) АП (М) переводит форму в , а все формы 1, ..., " переводит в нуль. Следовательно, отображение sA:H A_diii(TAM) AH dIl(M) переводит класс [] в класс [], а классы когомологий [ ],..., [п] — в нуль, и, соответственно, отображение 4 : Н т(ТАМ) - А Я, Л(ГАМ) переводит класс [] в себя, а классы когомологий [ ],..., ["] переводит в нуль. Из формулы (3.1.6) следует, что = раа — Po+pit;i+.. .+Рпп-Поэтому [] = роК] = Ро[ ІЙ е Н(ііі{ТАЩ- Отсюда и следует утверждение теоремы. Замечание 3.1.2. Каждая фробениусова алгебра Вейля (A, q) определяет автоморфизм пространства когомологий ДА,,: Щп(М) - Щ„(ТАМ) С ЩЛ(М), где первая стрелка означает полный лифт. Из Теоремы 3.1 следует, что если Р(1А) 7 0, то автоморфизм Дд)? является изоморфизмом, а если р(Ц) = 0, то автоморфизм Ддл является нулевым.
Замечание 3.1.3. Из Замечания 3.1.1 следует, что при к 1 полный лифт задает инъективное отображение Тк (М) — Тк,,0(ТАМ), т.е., с = 0 тогда и только тогда, когда = 0. Кроме того, это можно показать и непосредственно: например, (6 i-»JAeoeo - -еп — ... е , откуда
При & = 0 полный лифт задает инъективное отображение С(М) — С ІТ М) тогда и только тогда, когда р(1д) — Ро / 0- При р(1л) — 0 ядром полного лифта является множество постоянных функций. В самом деле, пусть / С(М) ненулевая функция и пусть /А = faea; тогда fG = pafa- Из формулы (1.4.8) следует, что при а 1 функции /а имеют вид fa — -7г %га + слагаемые степени 2 по х ь J дхг (напомним, индекс Ь пробегает значения от 1 до гг.) Поэтому fa = 0 тогда и только тогда, когда все частные производные -- обращаются в нуль, т.е., когда / — const. Отсюда следует, что условие fc — paf + p&fa — 0 эквивалентно равенствам pof — Pafa = 0. Первое равенство дает / — 0 при Р(1А) Ф 0. Если же Р(1А) — 0 второе равенство с учетом рп ф 0 означает, что /п — 0, и, следовательно, / = const.
Замечание 3.1.4. Отметим, что до сих пор при рассмотрении полных лифтов ковариантных тензорных полей мы нигде не использовали невырожденность матрицы \\qab\\ — І7абРс т.е., тот факт, что р является фро-бениусовым ковектором. Поэтому все результаты, изложенные в п. 3.1.2, остаются верными и в том случае, когда алгебра Вейля А не является фробениусовой, а ковектор р на ней выбран произвольно.
Пример 3.1.1. Рассмотрим подробнее случай касательного расслоения г — я"к(є) : ТМ —» М. Обозначим через (хг) локальные координаты на М и через (хг,уг) соответствующие локальные координаты на ТМ. Пусть = .„ikdx 1 Л ... Л dxlk Є Qk(M) — замкнутая форма. В качестве базиса Жордана-Гельдера в алгебре Ш(є) возьмем базис {єо — 1, е\ = є}. Рассмотрим два фробениусовых ковектора р = (0,1) ИР(1) = (1J 1) на Ще). Для ковектора р(р) полный лифт L имеет вид ГГЛТПТ1 ти ТІТЯГТЛГП С (0) -.С _ -jG&i-ik ( = yJ ":lhdx4 A...Adxlk + ii ikdxil A ... Л dxik l Л dyik.
Из закона преобразования координат уг = -уг следует, что П = y jh.-.h dx4 Л ... Л dx4 1 — корректно определенная форма на ТМ. Нетрудно проверить, что усло виє замкнутости формы эквивалентно тому, что L = гії/, т.е., [j = gj - drj, т.е., Kg}] оєяутм). Для ковектора p(ij полный лифт \ имеет вид ) = 1... 1 А... Л dxik + + yj dxh Л ... Л dxik + ,...,- 1 Л ... Л rfa; -1 Л dj/ = ПозтомуК ІгЧІЄЯ ГМ). Замечшше 3.1.5. Пусть Є Тк (М) — тензорное поле типа (к, 0) на М и А Є ldiff( Aj ) — его аналитическое продолжение на ТАМ. Тогда епЛ также является А-гладким тензорным полем. Если в локальных координатах = ix...ikdx11.. .dxlk, тоепА — eniv„ikdXlltg .. .dJ = Єп&і-.и 10 ... сжи.