Содержание к диссертации
Введение
2 Сигнатура абстрактных С—модулей. 15
2.1 Категория модулей и отображений 15
2.2 Определение сигнатуры 22
3 Сигнатура топологических многообразий . 27
3.1 Двойственность Пуанкаре в когомологиях с коэффициен тами 27
3.1.1 Топологические многообразия и гомологии с коэффициентам 28
3.1.2 Гомологии с компактным носителем 38
3.1.3 Доказательство основной теоремы 41
3.2 Категория сингулярных комплексов Пуанкаре 48
3.2.1 Бесконечномерная перестройка 54
3.2.2 Конечномерная перестройка 58
3.2.3 Определение сигнатуры GO
Литература 65
- Определение сигнатуры
- Топологические многообразия и гомологии с коэффициентам
- Категория сингулярных комплексов Пуанкаре
- Конечномерная перестройка
Введение к работе
Известно, что с каждой эрмитовой формой над комплексным векторным пространством можно связать число, которое равняется разности размерностей положительного и отрицательного подпространств формы в каком-то разложении исходного пространства. Это число называется сигнатурой формы и не зависит от способа приведения формы к диагональному виду.
В топологии квадратичные формы естественно возникают при изучении групп когомологий многообразия. Взяв два элемента когомоло-гий средней размерности ориентированного, замкнутого многообразия, мы можем рассмотреть их произведение и проинтегрировать его по фундаментальному циклу. В случае, если размерность многообразия делится на 4, полученная квадратичная форма будет обладать свойством эрмитовой симметрии, и для нее возможно определить сигнатуру.
Такая сигнатура естественно ведет себя по отношению несвязной суммы многообразий (сигнатура суммы равна сумме сигнатур) и по отношению к декартовому произведению (сигнатура произведения равна произведению сигнатур). Кроме того, сигнатура является инвариантом ориентированных бордизмов, то есть сигнатура многообразия, являющегося краем, равна нулю. Подобного рода свойства делают сигнатуру незаменимой при изучении многообразий и для их классификации.
Формула Хирцебруха [3] дает способ для вычисления сигнатуры многообразия А' в терминах L— рода Хирцебруха: sign{X)=
Фундаментальным по важности является результат Тома, использующий формулу Хирцебруха. Результат гласит, что рациональные классы Поитрягина и L— род Хирцебруха определяются сигнатурами специальных подмногообразий (то есть 4п-мерных подмногообразий с тривиальным конормальным расслоением). Такого рода взаимосвязь по- зволила СП. Новикову [9] решить проблему топологической инвариантности рациональных классов Понтрягина, сведя задачу к анализу сигнатур специальных подмногообразий. В работах Новикова возникла проблема гомотопической инвариантности высших сигнатур. Предполагается, что для любого класса а когомологий классифицирующего пространства Вп фундаментальной группы 7Г выражение является гомотопическим инвариантом, здесь ф : X —> В„. является классифицирующим отображением многообразия.
Эта проблема по праву считается одной из важнейших проблем современной математики и в полной мере не решена до сих пор. Вернемся к ней позже, а сейчас о возможных обобщениях сигнатурных инвариантов многообразий.
Естественное желание состоит в построении сигнатурных инвариантов для неодносвязных многообразий с нетривиальной системой коэффициентов, заданной представлением фундаментальной группы. Если мы возьмем в качестве кольца коэффициентов комплексные числа и рассмотрим какое-то представление фундаментальной группы в комплексных числах, то по-прежиему на когомологиях средней размерности будет существовать невырожденная эрмитова форма. Однако, мы не получим никакой дополнительной информации о многообразии, так как сигнатура полученной формы будет совпадать с сигнатурой исходного многообразия.
Для получения новых инвариантов необходимо использовать системы коэффициентов, порожденные представлением фундаментальной группы многообразия в каком-то инволютивном кольце с единицей. В качестве инварианта должен служить свободный (или всего лишь проективный) модуль с заданной на нем эрмитовой формой (или, иначе, биективное линейное отображение из исходного модуля в модуль антилинейных функционалов на нем). Разумно рассматривать такие модули с точностью до прибавления гиперболического прямого слагаемого, то есть как элементы эрмитовой А'— теории.
На пути построения сигнатурного инварианта в эрмитовой Л— теории встает существенное препятствие: группы когомологий для произвольного кольца коэффициентов и произвольного представления фундаментальной группы не обязаны быть проективными модулями. Эта сложность была преодолена А. С. Мищенко в серии работ [4],[5]. А. С. Мищенко рассматривал комбинаторное многообразие. Группы симпли-циальных цепей и коцепей многообразия свободны и конечнопорожде-ны, двойственность Пуанкаре, которая реализуется оператором пересечения коцепей с фундаментальным циклом многообразия, действует из градуированного модуля симплициальных коцепей в симплициаль-ные цепи, индуцируя изоморфизм в гомологиях. Полученный комплекс называется алгебраическим комплексом Пуанкаре, его квадраты коммутируют с точностью до знака, а при надлежащем выборе фундаментального цикла комплекс является самосопряженным. С помощью алгебраической хирургии - последовательных перестроек комплекса, Мищенко удалось получить комплекс длины единица, то есть модуль с заданной па нем невырожденной эрмитовой формой.
Построенный Мищенко инвариант оказался полезным в изучении высших сигнатур. Мищенко определил [6],[7] сигнатуру sign ЛХ) многообразия X для фредгольмова, по обязательно конечномерного представления р фундаментальной группы 7Г многообразия. Им была доказана обобщенная формула Хирцебруха sign{X) =< Ь(Х)ф*с1ір,[Х] >, где р - некоторое расслоение над классифицирующим пространством. Эта формула описывает все гомотопически инвариантые высшие сигнатуры. Мищенко удалось для некоторых групп реализовать все классы когомологий классифицирующего пространства как chp. Таким образом Мищенко доказал таким образом гипотезу Новикова в важных частных случаях. Фредгольмовы операторы, используемые Мищенко, представляет собой хороший пример "бесконечномерного" объекта с "конечномерным" инвариантом — индексом, принадлежащим К— теории.
В настоящей работе рассмотрен другой пример бесконечномерной ситуации, и которой определена корректная конечномерная сигнатура [8],[10].
Обычным является рассмотрение модулей над алгеброй, которые являются аналогом гильбертова пространства над комплексными числами. То есть модулей с внутренним А— значным скалярным произведением, удовлетворяющим обычным условиям линейности, эрмитовой симметрии и неотрицательной определенности. Однако же, исследуемые в данной работе модули не несут никакой гильбертовой структуры. Рассмотрим прямой предел h последовательности конечномерных свободных А— модулей растущей размерности и отображений, которые порождаются отображением базиса в базис.
Иными словами, h — это свободный модуль над алгеброй со счетным числом образующих. Снабдим этот модуль топологией прямого предела и рассмотрим модуль Я линейных непрерывных функционалов на нем. Модуль Я несет естественную структуру обратного предела свободных модулей и естественную топологию обратного предела. Доказано, что модули h и Я являются взаимно дуальными.
Сигнатура определяется для самосопряженного непрерывного линейного биективного отображения а : Я ф j -4 (Я Є JY = h Є J, где модуль Я изоморфен J, a h изоморфен j. Однако, изоморфизм не фиксирован, и для обозначения изоморфных модулей выбраны разные символы.
Для отображения а оказывается возможно корректно определить сигнатуру как элемент эрмитовой А'— теории. Ключевым соображением, которое позволяет определить такую сигнатуру, является тот факт, что любое непрерывное линейное отображение из модуля Я в модуль h является отображением в конечномерную часть. Это соображение позволяет построить такое разложение пространства Я 0 j в прямую сумму, что матрица оператора а имеет почти гиперболический вид [ 0 0 0 ) а = і 0 а' * і , { Р* * * J где оператор о/ действует из конечиопорождепного проективного модуля в дуальный. Определим сигнатуру исходного оператора как сигнатуру а'. Доказано, что произвол и конструкции не влияет на класс элемента в эрмитовой А'— теории.
Если многообразие триангулировано, то конструкция Мищенко позволяет построить сигнатуру многообразия. Однако, для топологического многообразия возможность триангуляции неизвестна. Вес известные конструкции: гомологии Чеха, сингулярные гомологии, точечные гомологии Александера-Спеньера, применимые в топологическом случае, приводят к появлению бесконечнопорожденпых групп цепей и коцепей. Здесь для прямого определения сигнатуры топологического многообразия в терминах исходных групп цепей и коцепей мы вынуждены работать с бесконечномерными модулями. Результат существования сигнатурного инварианта в бесконечномерном случае дает надежду на возможность построения сигнатуры топологического многообразия с системой коэффициентов, порожденной представлением фундаментальной группы.
Как известно, группы гомологии ориентированного, замкнутого топологического многообразия с тривиальной системой коэффициентов и комплексных числах являются конечнопорожденными (см. [1]). В топологическом случае, как и в триангулируемом, возможно рассмотреть билинейную форму на когомологиях средней размерности и определить целое число, се сигнатуру.
Однако, для нетривиальной системы коэффициентов в топологическом случае существование сигнатуры было неизвестным по уже указанной причине — группы гомологии и когомологий не являются, вообще говоря, проективными модулями. Определение сигнатуры в этом случае весьма желательно, так как оно позволяет написать обощенную формулу Хирцебруха в топологическом случае.
В работе такая сигнатура построена. Для ее построения пришлось, во-первых, модш фи ци ропать конструкции Спеньера [] для сингулярных гомологии. Рассматривается комплекс сингулярных цепей и коцепей с коэффициентами, порожденными представлением фундаментальной группы в собственной групповой алгебре.
Доказано, что двойственность Пуанкаре, реализованная оператором пересечения со специально выбранным представителем фундаментального класса, индуцирует изоморфизм когомологий и гомологии. Кроме того, сингулярный алгебраический комплекс Пуанкаре обладает обычными свойствами самосопряженности и (анти)коммутативиости квадратов.
Полученный комплекс бесконечен вправо и влево, группы сингулярных цепей свободны, но имеют континуальную размерность. Размерность дуальных групп коцепей превосходит континуум. Однако известно, что образ гомоморфизма двойственности Пуанкаре является конечномерным. Это позволяет, используя хирургию, аналогичную хирургии Мищенко в конечномерном случае, редуцировать комплекс до комплекса с единственным нетривиальным отображением двойственности. Для такого комплекса определяется сигнатура как элемент эрмитовой А'— теории групповой С*— алгебры.
Работа состоит из трех частей. В перпой, вводной главе, дан обзор С*— алгебр, гильбертовых модулей над ними, эрмитовой А"— теории (теории квадратичных форм) и обычной А*— теории (теории проективных модулей). Кратко описана связь этих двух теорий.
Во второй части определяется сигнатура абстрактных самосопряженных отображений в специальной бесконечномерной категории, которая была кратко описана выше.
В третьей, заключительной части, определяются сингулярные цепи и коцепи с коэффициентами, порожденными представлением фундаментальной группы в собственной групповой алгебре. Исследуются свойства гомоморфизма двойственности Пуанкаре, определяются сингулярные алгебраические комплексы Пуанкаре. Для таких комплексов построена сигнатура.
Автор выражает благодарность проф. А. С. Мищенко за постановку задачи и денные обсуждения и проф. Е. В. Троицкому.
Определение сигнатуры
Фундаментальным по важности является результат Тома, использующий формулу Хирцебруха. Результат гласит, что рациональные классы Поитрягина и L— род Хирцебруха определяются сигнатурами специальных подмногообразий (то есть 4п-мерных подмногообразий с тривиальным конормальным расслоением). Такого рода взаимосвязь позволила СП. Новикову [9] решить проблему топологической инвариантности рациональных классов Понтрягина, сведя задачу к анализу сигнатур специальных подмногообразий. В работах Новикова возникла проблема гомотопической инвариантности высших сигнатур. Предполагается, что для любого класса а когомологий классифицирующего пространства Вп фундаментальной группы 7Г выражение является гомотопическим инвариантом, здесь ф : X — В„. является классифицирующим отображением многообразия. Эта проблема по праву считается одной из важнейших проблем современной математики и в полной мере не решена до сих пор. Вернемся к ней позже, а сейчас о возможных обобщениях сигнатурных инвариантов многообразий.
Естественное желание состоит в построении сигнатурных инвариантов для неодносвязных многообразий с нетривиальной системой коэффициентов, заданной представлением фундаментальной группы. Если мы возьмем в качестве кольца коэффициентов комплексные числа и рассмотрим какое-то представление фундаментальной группы в комплексных числах, то по-прежиему на когомологиях средней размерности будет существовать невырожденная эрмитова форма. Однако, мы не получим никакой дополнительной информации о многообразии, так как сигнатура полученной формы будет совпадать с сигнатурой исходного многообразия.
Для получения новых инвариантов необходимо использовать системы коэффициентов, порожденные представлением фундаментальной группы многообразия в каком-то инволютивном кольце с единицей. В качестве инварианта должен служить свободный (или всего лишь проективный) модуль с заданной на нем эрмитовой формой (или, иначе, биективное линейное отображение из исходного модуля в модуль антилинейных функционалов на нем). Разумно рассматривать такие модули с точностью до прибавления гиперболического прямого слагаемого, то есть как элементы эрмитовой А — теории.
На пути построения сигнатурного инварианта в эрмитовой Л— теории встает существенное препятствие: группы когомологий для произвольного кольца коэффициентов и произвольного представления фундаментальной группы не обязаны быть проективными модулями. Эта сложность была преодолена А. С. Мищенко в серии работ [4],[5]. А. С. Мищенко рассматривал комбинаторное многообразие. Группы симпли-циальных цепей и коцепей многообразия свободны и конечнопорожде-ны, двойственность Пуанкаре, которая реализуется оператором пересечения коцепей с фундаментальным циклом многообразия, действует из градуированного модуля симплициальных коцепей в симплициаль-ные цепи, индуцируя изоморфизм в гомологиях. Полученный комплекс называется алгебраическим комплексом Пуанкаре, его квадраты коммутируют с точностью до знака, а при надлежащем выборе фундаментального цикла комплекс является самосопряженным. С помощью алгебраической хирургии - последовательных перестроек комплекса, Мищенко удалось получить комплекс длины единица, то есть модуль с заданной па нем невырожденной эрмитовой формой.
Построенный Мищенко инвариант оказался полезным в изучении высших сигнатур. Мищенко определил [6],[7] сигнатуру sign ЛХ) многообразия X для фредгольмова, по обязательно конечномерного представления р фундаментальной группы 7Г многообразия. Им была доказана обобщенная формула Хирцебруха где р - некоторое расслоение над классифицирующим пространством. Эта формула описывает все гомотопически инвариантые высшие сигнатуры. Мищенко удалось для некоторых групп реализовать все классы когомологий классифицирующего пространства как chp. Таким образом Мищенко доказал таким образом гипотезу Новикова в важных частных случаях. Фредгольмовы операторы, используемые Мищенко, представляет собой хороший пример "бесконечномерного" объекта с "конечномерным" инвариантом — индексом, принадлежащим К— теории. В настоящей работе рассмотрен другой пример бесконечномерной ситуации, и которой определена корректная конечномерная сигнатура [8],[10]. Обычным является рассмотрение модулей над алгеброй, которые являются аналогом гильбертова пространства над комплексными числами. То есть модулей с внутренним А— значным скалярным произведением, удовлетворяющим обычным условиям линейности, эрмитовой симметрии и неотрицательной определенности. Однако же, исследуемые в данной работе модули не несут никакой гильбертовой структуры. Рассмотрим прямой предел h последовательности конечномерных свободных А— модулей растущей размерности и отображений, которые порождаются отображением базиса в базис.
Иными словами, h — это свободный модуль над алгеброй со счетным числом образующих. Снабдим этот модуль топологией прямого предела и рассмотрим модуль Я линейных непрерывных функционалов на нем. Модуль Я несет естественную структуру обратного предела свободных модулей и естественную топологию обратного предела. Доказано, что модули h и Я являются взаимно дуальными. Сигнатура определяется для самосопряженного непрерывного линейного биективного отображения
Топологические многообразия и гомологии с коэффициентам
Это соображение позволяет построить такое разложение пространства Я 0 j в прямую сумму, что матрица оператора а имеет почти гиперболический вид где оператор о/ действует из конечиопорождепного проективного модуля в дуальный. Определим сигнатуру исходного оператора как сигнатуру а . Доказано, что произвол и конструкции не влияет на класс элемента в эрмитовой А — теории. Если многообразие триангулировано, то конструкция Мищенко позволяет построить сигнатуру многообразия. Однако, для топологического многообразия возможность триангуляции неизвестна. Вес известные конструкции: гомологии Чеха, сингулярные гомологии, точечные гомологии Александера-Спеньера, применимые в топологическом случае, приводят к появлению бесконечнопорожденпых групп цепей и коцепей. Здесь для прямого определения сигнатуры топологического многообразия в терминах исходных групп цепей и коцепей мы вынуждены работать с бесконечномерными модулями. Результат существования сигнатурного инварианта в бесконечномерном случае дает надежду на возможность построения сигнатуры топологического многообразия с системой коэффициентов, порожденной представлением фундаментальной группы. Как известно, группы гомологии ориентированного, замкнутого топологического многообразия с тривиальной системой коэффициентов и комплексных числах являются конечнопорожденными (см. [1]). В топологическом случае, как и в триангулируемом, возможно рассмотреть билинейную форму на когомологиях средней размерности и определить целое число, се сигнатуру. Однако, для нетривиальной системы коэффициентов в топологическом случае существование сигнатуры было неизвестным по уже указанной причине — группы гомологии и когомологий не являются, вообще говоря, проективными модулями.
Определение сигнатуры в этом случае весьма желательно, так как оно позволяет написать обощенную формулу Хирцебруха в топологическом случае. В работе такая сигнатура построена. Для ее построения пришлось, во-первых, модш фи ци ропать конструкции Спеньера [] для сингулярных гомологии. Рассматривается комплекс сингулярных цепей и коцепей с коэффициентами, порожденными представлением фундаментальной группы в собственной групповой алгебре. Доказано, что двойственность Пуанкаре, реализованная оператором пересечения со специально выбранным представителем фундаментального класса, индуцирует изоморфизм когомологий и гомологии. Кроме того, сингулярный алгебраический комплекс Пуанкаре обладает обычными свойствами самосопряженности и (анти)коммутативиости квадратов. Полученный комплекс бесконечен вправо и влево, группы сингулярных цепей свободны, но имеют континуальную размерность. Размерность дуальных групп коцепей превосходит континуум. Однако известно, что образ гомоморфизма двойственности Пуанкаре является конечномерным. Это позволяет, используя хирургию, аналогичную хирургии Мищенко в конечномерном случае, редуцировать комплекс до комплекса с единственным нетривиальным отображением двойственности.
Для такого комплекса определяется сигнатура как элемент эрмитовой А — теории групповой С — алгебры. Работа состоит из трех частей. В перпой, вводной главе, дан обзор С — алгебр, гильбертовых модулей над ними, эрмитовой А"— теории (теории квадратичных форм) и обычной А — теории (теории проективных модулей). Кратко описана связь этих двух теорий. Во второй части определяется сигнатура абстрактных самосопряженных отображений в специальной бесконечномерной категории, которая была кратко описана выше. В третьей, заключительной части, определяются сингулярные цепи и коцепи с коэффициентами, порожденными представлением фундаментальной группы в собственной групповой алгебре. Исследуются свойства гомоморфизма двойственности Пуанкаре, определяются сингулярные алгебраические комплексы Пуанкаре. Для таких комплексов построена сигнатура. Автор выражает благодарность проф. А. С. Мищенко за постановку задачи и денные обсуждения и проф. Е. В. Троицкому.
Категория сингулярных комплексов Пуанкаре
Наше изложение во многом следует [4]. Однако, рассматриваемые па-ми модули не являются копечнопорожденными. Определения сингулярных комплексов Пуанкаре, пар Пуанкаре, отношения бордантности сходны с определениями, данными Мищенко. Однако мы вынуждены по-другому перестраивать комплексы из-за отсутствия конечной поро-жденности. Рассмотрим комплекс А—модулей С = {Ci, 5,-,i = 0,.., со}, свободных над алгеброй А и дуальный к нему комплекс С {С,(5 Мощность базиса в свободных модулях С; для нас непринципиальна. Заметим, что комплекс СІ бесконечен вправо, поскольку мы хотим имитировать комплекс сингулярных цепей. В этом комплексе для любого топологического пространства модули с произвольным неотрицательным индексом г нетривиальны. Скажем, что задан сингулярный комплекс Пуанкаре размерности п, если задан набор гомоморфизмов Д : Сп — СІ (3.87) обладающий следующими свойствами: 1.) Образ каждого гомоморфизма Д лежит в копсчномсрпом координатном подмодуле модуля С,-. 2.) Выполнены соотношения (супер-)коммутативности и самосопряженности 3.) Индуцированные отображения модулей гомологии Д : Н(С ) — Н(С ) яВЛІІюте я изоморфизмами. Аналогично определим сингулярную пару Пуанкаре размерности п + 1. (3.90) Здесь В - свободный подкомплекс С , выделяющийся прямым слагае-мым. Градуировка оператора двойственности
Пуанкаре Д равна п + 1 и выполнены следующий соотношения: 1.) Образ каждого гомоморфизма Д лежит в конечномерном координатном подмодуле модуля С, . 2.) Выполнены соотношения (супер-)коммутативности по модулю подкомплекса В и самосопряженности 3.) Индуцированные отображения модулей гомологии Д : Н[С ) — H(C /Bt) являются изоморфизмами. Конструкция 5 По заданной сингулярной парс комплексов Пуанкаре (С , Д, , } степени п + 1 построгім сингулярный комплекс Пуанкаре {Д,, "} степени п, который назовем границей пары. Поскольку оператор уважает подкопмлекс В, его возможно взять в качестве дифференциала нового комплекса. Для того, чтобы построить гомоморфизм двойстенности Пуанкаре Е на единицу меньшей градуировки, чем Д рассмотрим следующий оператор, отвечающий за сумму двух возможных обходов квадратов в диаграмме 3.90: Убедимся, что оператор Е \ обладает необходимым свойством самосопряженности: Поскольку квадраты комплекса пары Пуанкаре коммутативны с точностью до В, то выполнено свойство РГВІЕІ — 0. Сопрягая это равенство, получаем равенство En-iPr B = 0. Итак, определен гомоморфизм: Et : Bn l -j. В,-. (3.95) С помощью леммы о пяти изоморфизмах, примененной К ТОЧНОЙ длинной последовательности групп гомологии, порожденной короткой последовательностью комплексов U-4C4 С/В (3.96) убеждаемся, что оператор ЕІ осуществляет изоморфизм в гомологиях Н(В ) иЯ(В,). Итак, построенная диаграмма задает сингулярный комплекс Пуанкаре. Для сингулярного комплекса
Пуанкаре с = {C ,5r,Dr} построим сингулярный комплекс Пуанкаре с "обращенной ориентацией" —с = {С,, , —/) }, умножив оператор двойственности на минус единицу. Для двух сингулярных комплексов Пуанкаре с = {С , 5 , D } п d — {СІ, Ї«,Д1} одной и той же размерности построим третий комплекс cU d = {С С, 8 0 8 „ D 0 ) }, который назовем прямой суммой. Назовем сингулярные комплексы Пуанкаре end размерности п бор-дантными, если существует сингулярная пара Пуанкаре размерности п + 1 такая, что ее граница (в смысле конструкции 5) равна cU —d. 51 Теорема 6 (ср. [4J, Лемма 1.3) Отношение бордантности на категории сингулярных комплексов Пуанкаре является отношением эквивалентности. Итак, пусть даны две сингулярные пары Пуанкаре: с = {С , В , 8 , } и d — {С , Bl,8 ,D } размерности п + 1. Пусть комплексы представлены в следующем виде: 3.97) Д = - « eD? Положим С" = (С, Ф С1)/Е , где факторизация производится по диагональному вложению, рассмотрим дифференциал на этом фак-торкомплексе, индуцированный дифференциалом S + 6 на комплексе С,фС1 Рассмотрим подкомплекс В" — F G комплекса С". Все условия коммутативности и самосопряженности для пары {С", В",", D"} выполнены. Двойственность Пуанкаре Z?« ф ) . индуцирует оператор D" : С " -4 С", причем построенный оператор " индуцирует изоморфизм в гомо-логиях С 1 и С/В?. Кроме того, образ оператора D" принадлежит подкомплексу В", так как после факторизации по диагональному вложению модуля Е+ в модуль С ф С[ слагаемые с разными знаками сократятся. Итак, нами построена третья сингулярная пара Пуанкаре, которая обеспечивает бордантность комплексов F и — 2 в предположении того, что бордантны попарно комплексы F и — Е и Е+ и G . Отношение бордантности рефлексивно, теорема доказана. Теорема 7 (ср. [4], Лемма 1.4) Сгтгулярный комплекс бордантен самому - сингулярный комплекс Пуанкаре. Построим пару Пуанкаре Ь = а оператор двойственности Пуанкаре выражается как 0Граница этой нары равна cU —с. Введем отношение гомотопической эквивалентности. Скажем, что два комплекса с = {С , », D } и d = {C d D } являются гомото-пически эквивалентными, если существует гомоморфизм / : С — С, коммутирующий с дифференциалом и двойственностью Пуанкаре: который индуцирует изоморфизм в гомологиях. (3.100) Теорема 8 (ср. [4], Лемма 3.1) Гомогаопичееки .эквивалентные сингулярные комплексы Пуанкаре бордантны. Рассмотрим две сингулярные пары Пуанкаре: с размерности n+ 1. Пусть комплексы представлены в следующем виде: В, = F ) Дальнейшее доказательство повторяет доказательство теоремы б. Мы построили трегыо пару Пуанкаре, которая связывает бордизмом комплексы F иС . Взяв в качестве F комплекс мав качестве комплекса G+ комплекс , мы построим искомый бордизм между двумя гомотопичсски эквивалентными комплексами. Теорема доказана. Цель дальнейшего изложения - приведение произвольного сингулярного комплекса Пуанкаре к такому комплексу, у которого опреатор двойственности Пуанкаре нетривиален только в члене средней размерности. Приводить комплексы к такому виду мы будем последовательностью из перестроек. Перестройки бывают двух видов - бесконечномерная перестройка и конечномерная. Каждая перестройка меняет комплекс Пуанкаре па бордантный исходному комплекс.
Конечномерная перестройка
Ниже приведен интересующий нас фрагмент комплекса, в котором мы хотим совершить еще одну перестройку, на этот раз с помощью конечномерного модуля. Произведены очевидные переобозначения. Модуль В конечнопорожден и свободен. Из того, что двойственность Пуанкаре осуществляет изоморфизм в гомологиях, каждый базисный в В элемент представляется в виде Таким образом определено отображение такое что Оафх + 80фх — х. Перестроим комплекс по данному отображению: где знак =р будет ныбран позже. Заметим, что гомологии коцепнои группы Сп обнулились после перестройки. Действительно, рассмотрим коцикл ж, J x = 0. Преобразуем равенство следующим образом: Поскольку двойственность Пуанкаре осуществляет изоморфизм на уровне групп гомологии, то для некоторого элемента у Є С"-1 выполнено равенство:
Таким образом, нам удалось с помощью отображения ф накрыть каждый коцикл с точностью до кограницы. Действительно, новая группа гомологии Ст равна 0. Далее рассмотрим границу 8аа. Выполнено тождество Поскольку элемент ІУдфб сі равняется границе, то фб о, — 5 _]С для некоторй цепи с Є С"-1. Тогда где знак rb выбирается в зависимости от того, коммутируют или ан-тикоммутируют операторы d и D. Выберем знак в выражении D\ р V противоположным. Далее, для некоторого элемента є Є Сп г. Следовательно, любой элемент а в "новых" гомологиях Сі может быть накрыт элементом в гомологиях БфСп \ Нам осталось показать, что отображение D\ =F ф мономорфно отображает гомологии. Пусть некоторый элемент гомологии АфС"-1 пс-реходит иод "новой" двойственности Пуанкаре в границу. Рассмотрим тождества Применим к первому тождеству оператор 5Q, КО второму DQ. Сложив два равенства, получим а = 0. То есть выполнено равенство D\x — (Si г, и х = $п-2У- Это означает, что отображение D\ ± ф мономорфно отображает гомологии. Итак, нам удалось перестроить комплекс, уменьшив число модулей в верхней строке на единицу. Нижняя строка будет перестроена по дуальности, и свойство самосопряженности и точности будет сохранено.
При конечномерной перестройке мы получили сингулярный комплекс Пуанкаре, бордантный исходному. Теорема 9 Любой сингулярный комплекс Пуанкаре размерности J k бордантен такому сингулярному комплексу Пуанкаре размерностгі 4К у которого двойственность Пуанкаре ненулевая только в члене размерности 2k. Такой комплекс корректно (т.е независимо от способа приведения) определяет элемент эрмитовой К—теории. рассмотрим случай п = 4k. Действуя по индукции, мы будем уменьшать число ненулевых модулей, пока не приведем комплекс к виду: Модуль Cik с помощью операции бесконечномерной перестройки можно сделать конечнопорожденным свободным. Отображение Z)2jt является самосопряженным. Аналогично тому, как мы действовали для конечномерной перестройки, обратим оператор D2k 0 b 2k С2к 0 С2к+\ — С2к- Для этого для каждого базисного вектора ej сначала накроем представляемый им элемент гомологии как D2kXj для некоторого х Кег52к, потом представим разность tj — Dxj как S2kyj для некоторого yj Є C +i Итак, определен оператор Легко заметить, что оператор фВ2к является проектором, и что его образ совпадает с Кег62к. Действительно, отображение ф отправляет любой элемент модуля Сік R в элемент H2fc, то есть в ядро оператора 32к. Кроме того, оператор фВ2к является тождественным на ядре оператора 62к. Этот модуль является проективным и имеет дополнение в С2к : Представим полученный комплекс как прямую сумму двух комплексов. Первый комплекс имеет вид: здесь все операторы двойственности Пуанкаре нулевые. Гомологии комплекса нулевые и он бордантен нулю. Второе слагаемое имеет вид: Таким образом, нами получен проективный конечнопорожденный модуль с заданным скалярным произведением. Оператор D : KerS 2k — KerS2 1 является самосопряженным и обратимым. Определим теперь сигнатуру сингулярного комплекса Пуанкаре как р2 ] Є о(С Ы ))). для некоторого бордантного ему комплекса вида 3.140. Два разных комплекса, бордаитных исходному, также будут бор-дантны. Но уже не в категории сингулярных комплексов Пуанкаре, а в категории алгебраических комплексов Пуанкаре. Согласно результатам теорему 4.1 из [4], они будут определять один и тот же элемент эрмитовой Л — теории. Теорема доказана. Для построения сигнатуры топологического многообразия с коэффициентами в естественном представлении фундаментальной группы в групповой С алгебре применим результат доказанной теоремы к комплексу Пуанкаре, образованному сингулярными цепями и коцепями. Двойственность Пуанкаре задается операцией пересечения с фундаментальным циклом. Согласно результатам предыдущей главы, эта операция индуцирует изоморфизм в гомологиях. Образ двойственности Пуанкаре лежит в коночиопорожденпом свободном базисном подмодуле. 62 Взяв цепь, реализующую фундаментальный класс, мы можем усреднить ее по четным перестановкам симплексов. Полученная цикл также будет реализовать фундаментальный класс, и операция пересечения с ним будет обладать необходимыми условиями самосопряженности. Таким образом, нами построена сигнатура топологического многообразия с коэффициентами в естественном представлении фундаментальной группы в групповой С алгебре.