Содержание к диссертации
Введение
1 Продолжение тензорных полей с гладкого многообразия в касательное расслоение 15
1.1 Касательное расслоение первого порядка. Лифты функций 15
1.2 Гладкая структура на касательном расслоении над алгеброй дуальных чисел 18
1.3 Лифты тензорных полей с М в ТМ 22
1.4 Полный лифт линейной связности 27
1.5 7-лифты тензорных полей 31
1.6 Vy-лифт тензорных полей типа (1,г)(г 1) и его свойства 34
1.7 Я7 лифты тензорных полей 37
1.8 Я7г-лифты тензорных полей типа (1, г)(г 1) и их свойства 43
2 Инфинитезимальные аффинные преобразования в касательных расслоениях со связностью полного лифта с непроективно-евклидовой базой 46
2.1 Инфинитезимальные аффинные преобразования в касательных расслоениях со связностью полного лифта 46
2.2 Условия интегрируемости уравнений инфинитезимальных аффинных преобразований 53
2.3 Структура алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований касательного расслоения со связностью полного лифта
2.4 Оценка размерностей алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространства (TM,(0)) c непроективно-евклидовой базой Схоутена-Стройка первого типа 59
2.5 Оценка размерностей алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространства (TM,(0)) c непроективно-евклидовой базой Схоутена-Стройка второго типа 67
3 Аффинные преобразования касательных расслоений со связностью полного лифта с проективно-евклидовой базой 78
3.1 Оценка сверху размерностей алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространств (TM,(0)) с проективно-евклидовыми связностями с симметрическим тензорным полем Риччи 78
3.2 Размерности алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований с несимметрическим тензорным полем Риччи 85
3.3 Проектируемые аффинные векторные поля 99
3.4 Анализ размерностей алгебр Ли и исследование лакун в распределении инфинитезимальных аффинных преобразований пространств (TM, (0)) 103
3.5 Группы аффинных преобразований в (TM,(0)) над двумерными максимально-подвижными пространствами линейной связности 1
- Лифты тензорных полей с М в ТМ
- Vy-лифт тензорных полей типа (1,г)(г 1) и его свойства
- Структура алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований касательного расслоения со связностью полного лифта
- Размерности алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований с несимметрическим тензорным полем Риччи
Лифты тензорных полей с М в ТМ
Гладкая структура касательного расслоения тесно связана с гладкой структурой на ТМ над алгеброй дуальных чисел А = Ще). В общем случае, существование на касательном расслоении ТТМ порядка г гладкой структуры над алгеброй плюральных чисел Ш(ег) было показано А.П. Широковым в [45]. Опишем гладкую структуру на ТМ над алгеброй Ще) = {а + Ьє а, Ь Є М, є2 = 0}. Естественный базис этой алгебры составляют элементы є0 = 1,6і = є. Наряду с алгеброй А = Ще) удобно пользоваться векторным пространством А линейных форм, заданных на А и принимающих значения в К. [34]. В этом пространстве выберем базис (є0,єі), дуальный базису (є0, є1), то есть єа(є ) = 8%(а,Р = 0,1).
Следуя А.П. Широкову, в каждой карте (тг"1 ), хг0,х\) введем дуальные переменные (координатные функции) (хг)А = 4 + х[є. Будем считать, что (x:)A(tp)=x:0(tp)+x\(tp)s. Рассмотрим функцию F, зависящую от переменных (хг)А. Она задает на ТМ две функции FQ(X Q, Х\), FI(X Q, Х\), которые связаны с F равенством F((xi)A) = F0(xii,x[) + F1(xlx[)e. Будем считать, что функции F0,Fi имеют класс гладкости С. Дифференциал dF((:r )A) определим формально равенством dF((xY) = dFoixlxD + dF xlxDs, в частности Определение 1.2.1[9]. Функция F{{xl)A) называется А-гладкой, иначе голоморфной по Шефферсу, если дифференциал dF((xl)A) можно представить следующим образом: dF((x:)A) = Ф,ф )А (1.2.1) для некоторых функций Ф,, заданных на тг"1 ) и принимающих значения в алгебре А дуальных чисел. Функции Ф,(ИА), удовлетворяющие условию (1.2.1), называются частными производными F по переменным (х )А:
Левую часть в этих равенствах для краткости запишем так: dfFdxY) Для любой функции / Є С(М) ее ограничение на U будет зависеть от переменных х. На тг"1 ), снабженном координатными функциями хг0} х\, зададим функцию /А условием /А = /(0) + /(1)є, (1.2.2) где /(0) и /(1) - функции, введенные выше. Функция /А - А-гладкая, так как (df)A = ((ЭД(о) + (dJ)(1)s)d(x:)A. Из этого равенства следует, что dAfA = (ад(0) + (di/)(i)e = ( ЗДА (1.2.3) Таким образом, на тг"1 ) можно ввести координатные функции (хг)А. При переходе к другой карте (V,xl) на М возникают координатные функции (хг)А. Если UP\V 0, то на пересечении UP\V функции перехода имеют вид: хг = хг(х1, ...,хп). На основании формул (1.1.1) заключаем, что (х Піх1) X = (X ) \[Х , ..., [X iA iA 1A nA То есть функции перехода от (хг)А к (хг)А на тг-1( )Птг-1( ) являются А-гладки-ми. На основании этого можно сделать вывод, что совокупность окрестностей тг-1(С7), снабженных функциями (хг)А, составляют атлас А-гладкой структуры на касательном расслоении ТМ.
В заключение отметим, что равенство (1.2.2) позволяет установить, что касательное расслоение можно рассматривать как расслоение А. Вейля над алгеброй А дуальных чисел. Действительно, каждый касательный вектор tp к многообразию М в точке р Є М порождает отображение tp : С (М) А, удовлетворяющее условию Это отображение является гомоморфным, так как для любых f,ge С(М) и ХеШ будем иметь: tp(f + g) = {f + g)A{tv) = (/ + g\Q)(tp) + (/ + g\i)(tp)e = = (f\o){tp) + f{i)itp)e) + {д{фР) + 9{i)(tp)e) = fA{tp) + gA{tp) = tp{f) + tp{g). Аналогично, tp(Xf) = Xtp(f) для любого АєЕ. Далее, с одной стороны, W 9) = (fg)A(tp). С другой - на основании равенства (1.2.2), получим fA(tp)gA{tp) = {f(o){tp) + f{i){tp)e){g{0){tp) + g{1){tp)e) = {fg)(0){tp)+ +(/(i)0(o) + f(o)9(i))(tp)e = (Cfa)(0) + lfg)(i)e)(tp) = (fg)A(tp). Значит, (fg)A(tp) = /Afe)pAfe), поэтому tp(fg) = tp(f)tp(g).
Таким образом, tp гомоморфизм. Кроме того, tp(f) - f(p) Є I, где I = {Хє\Х Є Щ радикал алгебры дуальных чисел А = Ще). Следовательно, tp(f) = f(p)(modl). Значит, касательный вектор tp является А-близкой точкой в смысле А. Вейля к точке р Є М. Поэтому, расслоение (ТМ,тг,М) является расслоением А. Вейля. В ходе вычислений мы получили такие тождества: (/ + д)А = fA + /, Ш)А = А/А, (fg)A = fAgA Алгебру А = Ще) и пространство А линейных форм удобно использовать при построении лифтов объектов, заданных на базе. Сначала определим на А внешнюю операцию умножения линейных форм на дуальные числа из А. Пусть а Є А , Ь Є А. Произведение а -Ь определим условием а -Ь(с) = а {Ь-с) для каждого элемента с Є А.
Vy-лифт тензорных полей типа (1,г)(г 1) и его свойства
Пусть M – дифференцируемое многообразие размерности n, – линейная связность, заданная на M, TM – касательное расслоение над многообразием M, (0) – линейная связность, являющаяся полным лифтом связности , определенная на TM.
Приведем определение инфинитезимального аффинного преобразования многообразия, снабженного линейной связностью.
Определение 2.1.1. [12]. Векторное поле X называется инфинитезималь-ным аффинным преобразованием пространства линейной связности (M,), если LX=0, (2.1.1) где Lx - символ производной Ли относительно векторного поля X. В настоящей работе мы изучаем инфинитезимальные аффинные преобразования касательного расслоения ТМ, снабженного связностью V полного лифта связности V с нулевым тензорным полем Т кручения, заданной на базе М. В некоторых случаях связность V для удобства будем обозначать через V.
Производная Ли LXV удовлетворяет тождеству LXV{Y) Z) = Lx{VfZ) - VfLxZ - V[X Y]Z. (2.1.2) Полагая в (2.1.2) Y = Of и Z = d, получим, что в координатной форме уравнение (2.1.1) равносильно системе дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка др Хга + Г ДаХтт + Г ХХ - Г]кдттХга + Х?дГГ& = 0. (2.1.3) Здесь Х1а - координаты векторного поля X = Xladf. Условия интегрируемости системы (2.1.3) представляют собой соотношения LxVkR = 0(k = 0,l,...), где VkR - ковариантный дифференциал порядка к тензорного поля R кривизны связности V. При к = 0 считаем, по определению, VR = R. Этому случаю соответствует первая серия условий интегрируемости LXR = 0 уравнения (2.1.1), в локальных координатах равносильная системе линейных однородных уравнений RmklaAT + R7SaAl7 + ЩктаАї ЩкГ Ата + т% тЩш = (2-1А) относительно X и Л _т, где Af = д Х. Cистему (2.1.4) представим в развернутой форме, придавая индексам а, /3, а, /І значения 0,1. Всего упорядоченных двоичных наборов {а,(3,а,ц) будет 24 = 16. Мы здесь перечислим лишь те уравнения, которые остаются после исключения следствий системы уравнений (2.1.4).
Полученную систему мы будем исследовать, учитывая структуру инфинитезимального аффинного преобразования X.
Х. Шадыев в работе [42] доказал, что векторное поле X на ТМ, снабженном связностью полного лифта V , является инфинитезимальным аффинным преобразованием тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: (1) существуют векторные поля X, У, тензорные поля G,F типа (1,1) на М такие, что X = X + YW + Gv"i + FH (2.1.5) (2) имеют место равенства bxV = 0; (2.1.6) LyV = 0; (2.1.7) VG = 0; (2.1.8) VF = 0; (2.1.9) R1oF = FiR = 0] (2.1.10) R1OG-GIR = 0. (2.1.11) Из этого результата следует, что каждое слагаемое в разложении (2.1.5) является инфинитезимальным аффинным преобразованием пространства (ТМ, V(0)). Действительно, векторное поле Х(0) можно представить следующим образом х(0) = х(0) + 0 (1) + о177 + 0Я7 где 0 в выражении О(1) является нулевым векторным полем, а 0 в последних двух слагаемых - нулевое тензорное поле типа (1,1). Равенства (2.1.6)-(2.1.11) имеют место. Следовательно, векторное поле входящее в разложение (2.1.5), является инфинитезимальным аффинным преобразованием пространства (ТМ, V(0)). Аналогичным образом доказывается, что остальные слагаемые также являются инфинитезимальными аффинными преобразованиями.
Учитывая разложение (2.1.5), можно доказать следующую теорему: Теорема 2.1.1. Для каждого инфинитезимального аффинного преобразованиях пространства (ТММ0)) разложение (2.1.5) является единственным.
Доказательство. Достаточно установить, что если X нулевое векторное поле, то каждое слагаемое в (2.1.5) - нулевое. Пусть р Є М - произвольная точка многообразия М, (С/, х1)- координатная окрестность такая, что peU. Тогда Xі[р) =р ив каждой точке р слоя над ней Хр = 0.
Структура алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований касательного расслоения со связностью полного лифта
Общее решение системы дифференциальных уравнений VjGf = 0 зависит от п2 - 2п + 2 произвольных постоянных и является линейной комбинацией следующих линейно-независимых тензорных полей типа (1,1): f1 dx1 + д1 dx3 + д2 dx2 д1 dx2 д1 dx3, д1 dxk (к 3), 93 d:r2 - f1 0 fa2, 0 Же - д1 d:r (А; 2), 4 0 d:r (h 3, jfe 1). Вычислив У7-лифты этих тензорных полей, получим базис алгебры L2: (х11 + 0x31)d11 + ж2 92\ х1д11 (к 1), 0ж 11 + ж103 (А; 1), ж101 (/і 3, к 1). Отсюда следует, что размерность алгебры Ли L2 инфинитезимальных аффинных преобразований пространства (TMn, V(0)) равна п2 — 2п + 2. Для тензорного поля F Є 11(М) первая серия условий интегрируемости уравнения VF = 0 представляет собой соотношения F1 = 0 , F2 = 0(к 1), F3 = 0(1 1). Общее решение системы V jFfJ = 0 зависит от п2 — Зп + 2 произвольных постоянных и является линейной комбинацией следующих линейно-независимых тензорных полей типа (1,1), заданных на М.п: д1 dxk (к 1), dh dxk (/г 3, к 1). Я7 -лифты этих тензорных полей образуют базис алгебры L3 и имеют вид: ж1д10 (к 1), ж1д0 (/і 3, к 1).
Следовательно, размерность алгебры Ли L3 инфинитезимальных аффинных преобразований пространства (TMn, V(0)) равна п2 — Зп + 2.
Учитывая, что пространство L есть прямая сумма подпространств L, L1, L2, L3, то максимальная размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований исследуемого пространства (TMn, V ) равна 4п2 — 9п + 14. Тем самым доказана
Теорема 2.4.2. Максимальная размерность алгебры Ли L инфинитезимальных аффинных преобразований касательного расслоения ТМ со связностью полного лифта V() над непроективно-евклидовым пространством Cхоутена-Стройка первого типа равна точно 4п2 — 9п + 14(п 2), где п - размерность базы М.
Оценка размерностей алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространства (ГМ, V ) c непроективно-евклидовой базой Схоутена-Стройка второго типа
В этой части работы будем изучать алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространств (ГМ, V ) над многообразием М, снабженным непроективно-евклидовой связностью Схоутена-Стройка второго типа.
Выберем в области U, содержащей точку р, многообразия М векторные поля Yi,Y2,...,Yn, образующие в каждой точке линейно-независимую систему и удовлетворяющие условию: [l lj] =0 (і ф j). Тогда существуют координатные функции у1,у2, ...}уп в U такие, что Y = щі, причем уг(р) = 0 [4]. Ковекторные поля и1 на U будут удовлетворять соотношениям и условия примут вид dyi(R(dj,dk)dj) = 0 для всех попарно различных индексов i, j, к. Отсюда Щ-к = 0 для любых попарно различных ij, к. Так как существует подвижной голономный репер (XhX2,...,Xn) на U c соответствующим корепером (в1, в2, ...,0та), то в области U, содержащей точку р Є U, многообразия М найдется система координатных функций (ж1, ж2, ...,хп) такая, что Хг = , 9г = dx, причем и условия (2.4.2) представятся в виде для некоторых гі,г2,гз,г4, попарно различных между собой. Отсюда Щ\чч ф О (гі,г2,гз,г4 попарно различны). Можно считать, что ц = 1,г2 = 2,г3 = 3,г4 = 4.
И.П. Егоровым доказано [12], что размерность алгебры Ли д(М) инфини-тезимальных аффинных преобразований непроективно-евклидова пространства (М, V) Схоутена-Стройка второго типа точно равна п2 - Зп + 8. Поэтому, dimLQ + dimL1 2п2 - 6п + 16.
Для оценки размерности подалгебры L2 рассмотрим пространство решений уравнения VG = 0, где G Є 3}(М), равносильного системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка d3G\ - GlvY\3 + Gpkrpj = О, Условия интегрируемости G R!-l — G%mBJji = 0 можно записать так: K(Xji\t)Gh=0, где по определению Рассмотрим матрицу D системы K( k]l\f)G = О, составленную из коэффициентов при неизвестных G\, G%, G l Gl Gz2, G l G%Gl G\, G\, G\, G$, G62(i 1, к 4) в уравнениях J \ I 1 234 / l s34 s24 s32 232 224 332 1 1 1 (j 1, s 4). 343 443 424 243 432 324 Учитывая условия, которым удовлетворяют составляющие тензорного поля кривизны R, будем иметь:
Размерности алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований с несимметрическим тензорным полем Риччи
Описанные два условия, накладываемые на тензорное поле кривизны R связности V, характеризуют все непроективно-евклидовы аффинные связности. Поэтому, максимальная размерность алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований в ТМ со связностью V(0) будет равна max{Ari2 - 9п + 14, 4п2 - 13п + 22) = 4п2 - 9п + 14. Действительно, (4п2 - 9п + 14) - (4п2 - 13п + 22) = 4(п - 2) 0 при п 2. Рассмотрим теперь класс проективно-евклидовых линейных связностей V на М при условии п 2.
Если тензорное поле Риччи связности V является симметрическим, то максимальная размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований и максимальная размерность группы аффинных преобразований касательного расслоения ТМ со связностью полного лифта V равна 2п2 + 1(п 2) (Теорема 3.1.3).
Если тензорное поле Риччи не является симметрическим, то оно имеет ненулевые симметрическую и антисимметрическую части. Тогда возможны два случая: 1. rangRic+ = l,rangRic = 2 и существуют векторные поля X, У, заданные в некоторой окрестности U точки р Є М, составляющие линейно-независимую систему, причем [X,Y] = 0, такие, что Ric+(X,X) ф 0, Дгс"(Х,У) ф 0; 2. rangRic+ = l,rangRic = 2 и для любых векторных полей X, У выполняется следующее условие: если Ric+(X,X) ф 0, то Ric (X,Y) = 0.
В первом случае максимальная размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований, а также максимальная размерность группы аффинных преобразований равна точно 2n2 - 2n + 3(n 2). Во втором случае размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований и максимальная размерность группы аффинных преобразований не превышает 2n2 - 4n + 7(n 2). Поскольку (2n2 -2n+3)-(2n2 -4n+7) = 2n-4 0 при n 2, то 2n2 -2n+3 2n2-4n+7. Сравнивая максимальные размерности алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований в (TM,(0)) с симметрическим тензорным полем Риччи и с несимметрическим тензорным полем Риччи, получаем, что (2n2 + 1) - (2n2 - 2n + 3) = 2n - 2 0, так как n 2. Поэтому, максимальная размерность алгебр Ли инфинитезималь-ных аффинных преобразований в TM со связностью (0) над проективно-евклид-вой базой будет равна max(2n2 + 1,2n2 - 2n + 3) = 2n2 + 1.
Теперь сравним максимальные размерности алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований касательных расслоений TM со связностью полного лифта (0) для случаев, когда связность не является проективно-евклидовой и расслоений TM со связностями полного лифта над проективно-евклидовой базой (M,): (4n2 - 9n + 14) - (2n2 + 1) = 2n2 - 9n + 13 = 2(n - 3)2 + 3n - 5 0 при n 2. Таким образом, при n 2 имеет место неравенство 4n2 - 9n + 14 2n2 + 1. На основании полученных результатов мы можем сформулировать следующую теорему. Теорема 3.4.1. Максимальная размерность алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований в касательных расслоениях TM со связностью полного лифта (0) с ненулевым тензорным полем кривизны равна точно 4n2 - 9n + 106 (n 2). Так как размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований равна размерности группы Ли преобразований многообразия [28], то имеет место
Теорема 3.4.2. Максимальная размерность групп аффинных преобразований в касательных расслоениях TM со связностью полного лифта (0) связности с ненулевым тензорным полем кривизны равна точно 4n2 - 9n + 14(n 2).
Далее будем исследовать лакуны в распределении групп аффинных преобразований пространств (TM,(0)).
Рассмотрим пространства (TM,(0)) с проективно-евклидовой линейной связностью на M при условии n 2. Поскольку максимальная размерность групп аффинных преобразований касательных расслоений TM со связностью полного лифта (0) над проективно-евклидовой базой равна 2n2 + 1, то, учитывая лакуну (n2 - n - 1,n2 - 1) в распределении максимальных размерностей групп аффинных преобразований пространства M c проективно-евклидовой ненулевой связностью на M [14], мы приходим к следующей теореме.