Математическое моделирование генерации магнитного поля в шаре Желиговский, Владислав Александрович

Введение к работе

Актуальность работы. Теория кинематического динамо является фундаментом теории магнитных полей планет и других астрофизических объектов. Однако многие успехи в этой области знаний (в частности, построение примеров быстрого динамо) относятся к случаю, когда поле скорости проводящей жидкости и магнитное поле периодичны в пространстве, и они не могут быть непосредственно использоваїш для гео- и астрофизических приложений. Таким образом, актуально изучение генерации магнитного поля (кинематического динамо) в аксиально-симметричных объемах, и, в частности, в сфере.

Цель работы - исследование задач кинематического динамо в телах аксиально-симметричной формы при наличии диэлектрика вне объема проводящей жидкости. Цель работы определила постановку задач:

1. Численное изучение быстрого кинематического динамо в сфере для течения Бельтрами со стохастическим поведением траекторий.

2. Построение и обоснование асимптотического разложения в задаче о возбуждении магнитного поля течением проводящей жидкости в аксиально-симметричном объеме, имеющим внутренний масштаб вследствие зависимости поля скорости от азимутальной быстрой переменной при наличии а-эффекта.

3. Построение и обоснование асимптотического разложения в задаче о возбуждении магнитного поля течением проводящей жидкости в сфере, имевдим внутренний масштаб вследствие зависимости поля скорости . от трех быстрых переменных, пропорциональных сферическим координатам, при наличии а-эффзкта.

Решение указанных задач потребовало также рассмотреть следующие вспомогательные задачи:

4. Построение шкалы Соболевских пространств функций, удовлетворящих краевым условиям, соответствующим наличию диэлектрика вне объема проводящей жидкости произвольной формы.

5. Аналитическое и численное изучение течений Бельтрами в сфере: инвариантные многообразия, глобальная интегрируемое^, хаос.

6. Разработка методов ускорения сводимости итерационных алгоритмов вычисления собственных векторов с доминирующими собственными значениями для численного решения задач линейной устойчивости.

7. Создание математического обеспечения для расчета магнитных мод с максимальным инкрементом нарастания для произвольного течения Бельтрами в сфліх» с помощью метода Галеркина и разработанных

методов оптимизации сходимости итерационных методов вычисления собственных векторов с доминирувдими собственными значениями. На защиту выносятся:

1. Результаты численного исследования кинематического динамо в сфере для течения Бельтрами с хаотическими свойствами, и методы численного анализа процесса возбуждения мапштного поля произвольным течением Бельтрами в сфере, которым! эти результаты получены,

2. Решение в виде асимптотического разложения задач о генерации магнитного поля в аксиально-симметричном объеме (в сфере) течением проводящей жидкости, имегаим внутренний масштаб, при наличии ' а-эффекта вследствие зависимости поля скорости от азимутальной ' быстрой переменной (соответственно, от трех быстрых переменных, пропорциональных сферическим координатам).

Научная новизна. В настоящей работе впервые

1) Найдены коэффициенты течения Бельтрами в сфере, траектории
которого проявляют в части фазового пространства стохастические
свойства; численно изучено возбуждение магнитного поля таким
течением для магнитных чисел Рейнольдса R -:200, как возможшй

пример быстрого кинематического динамо в сфере.

2. Построена шкала Соболевских пространств функций, удовлетворяющих краевым условиям, соответствующим наличию диэлектрика вне объема проводящей жидкости произвольной формы.

3. Построено и обосновано полное асимптотическое разложение в задаче о генерации магнитного поля в аксиально-симметричном объеме течением проводящей жидкости, имеющим внутренний масштаб, при наличии а-эффекта из-за зависимости поля скорости от азимутальной быстрой переменной и в сфере при зависимости поля скорости от трех быстрых переменных, пропорциональных сферическим координатам.

Практическая значимость работы. Результаты исследований дополняют теории кинематического динамо, служат вкладом в понимание процессов возбуждения магнитного поля при наличии диэлектрика вне осесимметричного объема проводящей жидкости произвольной формы, что наиболее адекватно для гео- и астрофизических приложений.

Положительное решение задачи кинематического динамо для динамически возможного течения Бельтрами в сфере является необходимой предпосылкой и предоставляет начальные данные для численного исследования полной нелинейной нестационарной системы уравнений эволюции данной магнитогидродинамической системы.

Построенная шкала Соболевских пространств функций, удовлетворяющих краевым условиям, соответствующим наличию диэлектрика вне объема произвольной формы, является инструментом аналитического рассмотрения задач кинематического динамо с указанными краевыми условиями методами фугасционалького анализа и теоріш эллиптических (псевдо)дифференцизлькых операторов.

Разработанные методы ускорения сходимости итерационных алгоритмов вычисления собственных векторов с доминирующими собственными значениями универсальны и применимы для численного решения произвольных задач линейной устойчивости.

Созданное математическое обеспечение может бить использовано для расчета доминирующих инкрементов-временного роста и соответствующих магнитных мод - собственных функций оператора магнитной индукции - для произвольных течений Бельтрами в сфере.

Публикации и апробация работы. Основные положения и результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на научных семинарах Отдела вычислительной геофизики Ордена Ленина Института физики Земли им. О.Ю.Шмидта АН СССР, Международного Института теории прогноза землетрясении и математической геофизики АН СССР, Института механики Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова, Обсерватории Лазурного берега (Ницца, Франция), а также на VI Школе-семинаре по нелинейным задачам теории гидродинамической устойчивости (1988), Всесоюзном семинаре по геомагнетизму (Звенигород, апрель 1990 г.), на Советско-французском семинаре по геофизике (Драпшьон, Франция, март 1990 г.). Семинаре по применению параллельных компьютеров для расчетов в астрономии и физике (Оссуа, Франция, март 1991 г.) и на IX Советско-итало-французском симпозиуме по вычислительной математике и ее приложениям (София-Антиполис, Франция, сентябрь 1991).

По теме диссертации опубликовано шесть научных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит и~ введения,' четырех глав, заключения и списка литературы (180 наименований) общим объемом в 171 страницу мзш..лописного текста, включая 16 рисунков и 5 таблиц.

Автор диссертации выражает благодарность академику В.И.Кейлису-Бороку за постояішую поддержку; вед.н.с. Н.М.Вишику (Международный институт теории прогноза землетрясений и математической геофизики; за помощь в постановке задачи и консультации в ходе выполнения

работы; У.Фришу (U.Frlsch, Лаборатория им. Г.Д.Кассини, Обсерватория Лазурного берега, Ницца, Франция) - за приглашение работать в Обсерватории и обсуждение результатов; М.Энону (М.Непоп), А.Пуке (A.Pouquet; Лаборатория им. Г.Д.Кассини, Обсерватория Лазурного берега), Д.Гзллоуэю (D.Galloway, Сиднейский Университет, Австралия) - за обсуждение результатов; Министерству Исследовании и Технологии Франции - за предоставление стипендии для работы во Франции; Лаборатории им. Г.Д.Кассини Обсерватории Лазурного берега - за предоставление возможности использовать для работы современные вычислительные средства и оказанное гостеприимство; коллегам по Международному институту теории прогноза землетрясений и математической геофизики - за внимание к работе и замечания, высказанные при осуждении диссертации.