Введение к работе
Актуальность темы
Современные модели динамики атмосферы и изменчивости климата «дставляют собой системы нелинейных уравнений в частных производных дротермодинамики о соответствующими краевыми и начальными условия-:. Эти модели принято называть моделями первого уровня? Фазовое про-ранство моделей первого уровня бесконечномерно. Анализ этих моделей ляется чрезвычайно сложной математической задачей, начиная с проб-мы их глобальной разрешимости.
Многие модели первого уровня относятся к классу нелинейных дис-пативных систем, т.е. нелинейных динамических систем, обладающих глощаицим множеством. Наличие поглощению го множества часто позволя-доказать существовглие аттрактора данной динамической системы.Его ак правило, конечная) хаусдорфопа размерность является показателем го, насколько конечномерна финальная (т.е. при t - +«>) динамика йодной бесконечномерной системы.
Чтобы дать прогноз изменений климата или предсказать погоду на ительный срок (месяц, сезон и т.д.), мы вынуждены заменять модели рвого уровня на их конечномерные аппроксимации, используя либо га-ркинские приближения, либо различного вида конечно-разностные ап-оксимации (модели второго уровня). Если для аппроксимации использу-ся галеркинскив приближения (спектральные модели), то возникает во-ос, сколько необходимо взять обыкновенных дифференциальных уравне-й (т.е. каково должно быть число N гвлеркинских приближений), чтобы чественное поведение решений моделей первого и второго уровней было хоже (в некотором смысле), когда временной отрезок 0 < t < Т, на тором рассматриваются решения, достаточно велик, а классические те-емы о сходимости галеркинских приближений теряют силу при Т - і».
В связи со сказанным важное значат^ приобретает введенное в по-еднев время понятие инерциального многообразия нелинейной диссипа-вной системы? Инерциальным многообразием называется конечномерное
Лыжников В.П., Филатов Л.Н, Введение в математическую теорию имата. - м.: ИВМ РАН, І993.
zFolaa С, Cell G.R., Теїкт R. Inertlal Manifolds for Hon-linear olutlonary Equatlons//J. of Diff. Eq., 1988, v.T3, p.309-353.
- г -
липшицево многообразие, которое притягивает все решения дассипативн системы по экспоненте и является положительно инвариантным. Если си тема обладает инерциальным многообразием, то оно содержит глобальн аттрактор системы. Исходную систему можно спроектировать на инерци льное многообразие и таким образом получить конечную систему обыкн венных дифференциальных уравнений (они называются инерциальными ура нениями), которая будет обладать всеми основными свойствами исхода бесконечномерной модели. Инерциальные уравнения представляют соб адекватную конечномерную аппроксимацию исходной модели. Заметим, ч аттрактор в общем случае не является многообразием, и поэтому подо' ная аппроксимация (проекция) на аттракторе затруднительна.
В связи с вышеизложенным задача качественного исследования да: простых геофизических моделей (включающая изучение их глобальной ра: решимости, устойчивости стационарных решений, существования и оцен размерности аттракторов и инері шальных многообразий как исходных си том, так и их галеркинских приближений) представляется весьма акту льной.
Цель н задачи исследования
Цель диссертационной работы состоит в том, чтобы провести качеі твенное исследование двух геофизических моделей - модели баротрогак атмосферы и двуслойной модели бароклинной атмосферы, которые хоть являются сравнительно простыми, но в то же время обладают многго важными свойствами полной модели (системы уравнений гидротермодиннмі ки атмосферы), такими, как бесконечноморность и нелинейность. П] этом были поставлены следующие задачи:
-
Доказать, что изучение устойчивости стационарных решений m линейной баротропной модели может быть проведено с помощью анвли: спектра линеаризованного оператора.
-
Доказать, что бвротропная модель обладает инерциальным мног образием, и оценить его размерность.
-
Исследовать влияние на размерность аттрактора баротропной м-дели орографии и трения о подстилающую попирхность, а также, при и пользовании галеркинских приближений, номера усечения.
-
Оценить размерность аттрактора двуслойной бароклинной модел
Научная новизна
В работе получены следующие результати.
Доказано, что известные теоремы Ляпунова об устойчивости стацио-шого решения нелинейных систем по спектру линеаризованного оперя-)а для конечномерного случая обобщаются на модель баротропной агмо->ры на сфере S, рассматриваемую как в пространствах Соболева ftp(S), і 0, так и в пространствах Гельдера С e(S), 0 < а < 1.
Доказано, что при всех значениях а > 1 (а - параметр в степени іратора, моделирующего вязкость) бзротропная модель обладает инер->льным многообразием. Получены явные оцонки размерности инерциаль-"о многообразия и времени притяжения к нему траекторий системы, вы-юнные через параметры модели и кенстанта в теоремах вложения іолева на сфере, часть из которых вычислена.
Получена оценка размерности аттрактора как исходной барогрогптой *ели с учетом влияния орографии и трения о подстилающую поверх-!ть, так и ее галеркинскях приближений в пространствах сферических
Получена оценка размерности аттрактора бароклинной модели, выражая через параметры модели.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались на семинарах и шом совете Института вычислительной математики РАН и на семинарах пзометцентра России.
Публикации
Основные результата диссертации изложены в семи печатных работах.
Объем и структура работы
Диссертация состоит из введения, двух частей (первая из четырех ів, вторая из двух), приложения, заключения и списка литературы, зсертация изложена на 65 стрвницах. Список литературы содержит ИЗ именования.