Введение к работе
Актуальность проблемы. В теории геотермических исследования стационарное уравнение кондуктивной Сили молекулярной) теплопроводности применяют для моделирования температур и тепловых потоков в верхней части земной коры [Тихонов 1937; Любимова 1968; Кутас, Гордиенко 1971; Гордиенко 1975; Кутас 1978; Сальников 1984; Кутас, Цвяшенко, Корчагин 1989] В такой модели задействованы два теплофизических параметра, характеризующие вещественный, состав горных пород - теплогенерация и теплопроводность. Теплопроводность X (сама функция и ее градиент) являются коэффициентами в левой, операторной части уравнения теплопроводности; теплогенерация о, как истокообразная функция сторонних сил, входит в его свободную правую часть. Если теплопроводность постоянна, то неоднородное распределение источников а не создает принципиальных затруднений при решении тепловых задач, поскольку алгоритмически они просто совпадают с известными задачами гравитационного потенциала для массовой плотности Q А [Шванк, Люстих 1947; simmone 1967; Кутас 1978; Сальников 1984]. Напротив, скачкообразное изменение теплопроводности х в моделях кусочно-однородных сред сопровождается разрывом, коэффициентов дифференциального оператора в уравнении теплопроводности. В окрестности таких разрывов не сохраняются дифференциальные соотношения между функциями теплового поля - их заменяют контактные условия сопряжения. Условия теплового сопряжения или граничные условия iv рода - это гауссов интеграл от операторной части уравнения теплопроводности по границам разрыва его коэффициентов, т.е. по границам разнотеплопровод-ного контакта [Гринберг 1950; Дмитриев 1969; Фейнман, тт. 5,7 1977; Ландау, Лифшиц 1986, Светов, Губатенко 1988]. Условия iv рода задают непрерывность температур и конечный скачок нормальной составляющей температурного градиента на сопредельных границах раздела сред.
Разрывный характер изменения теплофизических свойств среды и вытекающая из него необходимость постановки условий сопряжения на границах кусочно - однородных сред - вот сдерживающий фактор применения методов классического анализа. Дело в том, что в эти условия не входят явные значения граничных функций; указана лишь степень гладкости сопрягаемых на границах тепловых полей. Ветви кусочно - гладкого решения тепловой задачи удовлетворяют системе частных уравнений, каждое из которых задано в своем пространственном базисе, но не замкнуто граничными условиями. В результате
утрачивается существенная часть классического формализма решения краевых задач. Как в методе разделения переменных, так и в идеяно близком ему методе интегральных преобразований возникает принципиальный вопрос о "сшивании" частных решений, построенных по различным системам собственных функций задачи Штурма - Лиувилля [Гринберг 1948; Лебедев и др. 1955]. Как правило, интегральные преобразования в конечных Сили в бесконечных) пределах не применяют по тем пространственным переменным, в направлении которых свойства среды меняются скачкообразно [Гринберг, 1950; Снеддон 1955; Трантер 195Б; Уфлянд 1977].
Идеи альтернативной постановки граничных задач сопряжения, с некоторой разницей в их исполнении, выдвигались неоднократно [Гринберг 1950; Дмитриев 1969; Светов, Губатенко 1988]. Разрыв коэффициентов в дифференциальном уравнении не обязательно сводить к граничным условиям; можно, не меняя уравнение, доопределить особенности коэффициентов на границах раздела при помощи разрывных дифференцируемых функций, типа функции Хевисаяда [Ладовский 1988; Ладовский 1990]. В основе такого подхода лежат эвристические построения, заимствованные из теории обобщенных функций. "Если рассматривать уравнение краевой задачи на пространстве обобщенных функций, то в этом случае нет необходимости вводить на каких - либо особых поверхностях специальные граничные условия, достаточно понимать ... дифференциальные операторы в обобщенном смысле" [Светов, Губатенко 1988, стр 21].
Цель настоящей работы состоит в том, чтобы на основе функционального определения разрывного коэффициента теплопроводности, обобщить метод интегральных преобразований на случай скачкообразного изменения свойств среды и построить аналитическое решение двумерных задач теплового сопряжения в системах криволинейных координат, допускающих разделение переменных в уравнении Лапласа.
Основные задачи исследования.
-
Обоснование эвристических предложений, позволяющих применить аппарат теории обобщенных функций для решения уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами.
-
Разработка аналитического алгоритма метода "сквозного счета" для решения контактных задач теплового сопряжения в моделях кусочно - однородных сред, границы которых принадлежат одно-параметрическому семейству плоских кривых.
-
Определение круга прикладных задач, решение которых в на-
иболее общей постановке для "естественной" системы криволинейных координат можно получить в замкнутом аналитическом виде.
4. Подбор фрагментарных моделей, на примере которых отчетливо видны основные тенденции в характере перераспределения теплового поля в геотермическом разрезе кусочно - однородных сред.
Основные результаты и научная новизна работы.
-
Предложен нетрадиционный способ постановки и аналитического решения задач линейного сопряжения стационарных тепловых полей в кусочно - однородных средах. Применение обобщенных функций позволяет переформулировать условия теплового сопряжения на границах контакта разнотеплопроводных сред и построить конструктивную схему аналитического алгоритма по принципу "сквозного счета".
-
При помощи комбинации ступенчатых функций Хевисайда выписана явная зависимость кусочно - однородного распределения теплопроводности от координат и определено прямое значение разрывного коэффициента теплопроводности на границах раздела. По обобщенным производным этого коэффициента построено граничное распределение источников эквивалентного простого слоя так, что условия сопряжения тепловых полей (равенство температур и нормальных составляющих плотности теплового потока ) выполняются тождественно.
-
Развит общий подход к постановке и решению граничных задач с условиями і, и и iv рода. Однородные граничные задачи Дирихле или Неймана внутри замкнутой Сили полуоткрытой) области можно рассматривать, как частные случаи постановки задач теплового сопряжения в расширенном пространстве изменения переменных при бесконечно - большой или нулевой величине коэффициента теплопроводности внешних сопредельных областей.
-
Дано обобщение и расширена область применения интегральных преобразований в конечных пределах на случай скачкообразного изменения свойств среды в направлении той координаты, по которой производится преобразование.
-
Получено явное аналитическое выражение для функции Грина в слоистой среде, границы которой принадлежат однопараметрическо-му семейству изокоординатных поверхностей ортогональных криволинейных координат. В задаче для погруженного цилиндра предложен нетрадиционный способ интерпретации решения по методу "зеркальных изображений". Построена схема размещения фиктивных особенностей поля при отражении источника от плоских кривых семейства коничес-
ких сечений.
-
На основе понятий обобщенных функций формализовано определение объемной плотности тепловых источников, отвечающее тому или иному типу их распределения. Приведено ассимптотическое выражение для объемной плотности "источников внешнего однородного поля". Построены интегральные свертки функции Грина и плотности распределения тепловых источников для тех моделей, которые встречаются в геотермических приложениях.
-
Дано решение термической задачи для горизонтального кругового цилиндра, расположенного под плоскостью разнотеплопровод-ного контакта. Проанализировано влияние границы раздела на аномальное поле температур и тепловых потоков в окрестности изолированных тел. По схеме метода изображений построен ряд последовательных приближений решения задачи для погруженного эллиптического цилиндра. Предложен физический критерий оценки точности полученных решений.
-
Промоделировано распределение тепловых полей в слоистой среде, границы которой в вертикальном сечении принадлежат семейству конфокальных полуэллипсов. Показана роль структурно - морфо- . логического фактора блочного строения разреза и его проявление в региональных аномалиях глубинной и эндогенной составляющих теплового потока.
Практическая значимость результатов выполненной работы.
Усовершенствована и доведена до практической реализации методика решения краевых задач линейного сопряжения для кусочно -однородных сред. Это расширяет возможность и унифицирует способы получения явных аналитических решений классических задач математической физики с граничными условиями I, ни iv рода.
Разработана конструктивная схема численной реализации некоторых фрагментарных понятий теории обобщенных функций. Алгоритмы использованы в пакетах прикладных программ для совместной интерпретации гравимагнитных и тепловых аномалий однотипной источнико-вой природы Смассовой плотности, намагниченности и теплогенера-ции). Программы внедрены для производства изыскательских работ в НПО "Рудгеофизика".
Дппробация работы. По теме диссертации лично и в соавторстве опубликовано 15 работ. Основные результаты работы докладывались на следующих совещаниях и конференциях: Всесоюзном геотермическом совещании " Применение геотермии в региональных и поисково - раз-
ведочных исследованиях" Свердловск 1979; Республиканской научно -технической конференции молодых геофизиков, Ленинакан, 1980; vn научно - технической конференция нолодых геофизиков, Киев, 1982; региональной конференция "Геотермия и ее применение в региональных и поисково - разведочных исследованиях" Свердловск 1989; vi Уральской научно - практической конференции "Применение математических методов и ЭВМ при обработке информации на геологоразведочных работах", Челябинск, 1989; информационном совещании "Достижения науки - производству", Свердловск, 1989; 18 сессии Всесоюзного семинара им. Д.Г. Успенского "Вопросы геологической интерпретации гравитационных и магнитных аномалий", Киев, 1989; Всесоюзном семинаре им. Д.Г. Успенского "Теория и практика интерпретации гравитационных и магнитных аномалий", Днепропетровск, 1991; межреспубликанском совещании "Геотермия сейсмичных и асейсмичных зон", республика Кыргыстан, 1991; международном семинаре "Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей", Москва,1993.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения; содержит 305 страниц машинописного текста, включая 30 рисунков, 1 таблицу и список литературы из 186 наименований.