Содержание к диссертации
Введение
Глава I. История проблем скмяризации уравнений максвелла и разделения переменных в задачах электродинамики 12
1. Полная и частичная скаляризация уравнений Максвелла 12
2. Применение полей электрического и магнитного типов для скаляризации уравнений Максвелла 16
3. Скаляризация уравнений Максвелла для постоянного поля 25
4. Метод разделения переменных в задачах электродинамики 27
Глава 2. Скаляризация уравнений максвелла в неоднородных средах 33
5. Условия существования полей электрического и магнитного типов общего вида в неоднородных средах 33
6. Калибровки потенциалов. Скалярные уравнения электромагнитного поля для полей электрического и магнитного типов общего вида 39
7. Разделение электромагнитного поля на поля электрического и магнитного типов. Полная и частичная скаляризация в трехмерных задачах электродинамики 43
8. Краевые условия и условия сопряжения для независимых полей электрического и магнитного типов общего вида 47
9. Скаляризация уравнений Максвелла в двумерных задачах электродинамики 51
10. Квазистационарные поля электрического и маг нитного типов в непроводящих немагнитных средах 57
11. Об эквивалентности сторонних электрических и магнитных токов. Единственность разделения электромагнитного поля на Е- и Н- поля вне области источников 62
Глава 3. Разделяющие систем координат для скалярных уравнений электромагнитного поля 72
12. Разделение переменных в трехмерных скалярных уравнениях поля 72
13. Разделяющие системы координат для скалярных уравнений Е- и Н- полей общего вида 78
14. Разделение переменных и основные типы немагнитных сред в двумерных скалярных уравнениях поля 86
Глава 4. Аналитические решения задач электроразведки в немагнитных лишенных токов смещения изотропных проводящих средах 95
15. Аналитические решения для Е- и Н- полей общего вида 97
16. Аналитические решения для Н- поля специального вида 107
17. Аналитические решения для Е- поля специального вида 120
18. Неустановившееся поле бесконечно длинного электрического кабеля и магнитного диполя в присутствии проводящих пленок Прайса-Шейнманна ... 131
Заключение 168
Литература 171
- Применение полей электрического и магнитного типов для скаляризации уравнений Максвелла
- Калибровки потенциалов. Скалярные уравнения электромагнитного поля для полей электрического и магнитного типов общего вида
- Разделяющие системы координат для скалярных уравнений Е- и Н- полей общего вида
- Неустановившееся поле бесконечно длинного электрического кабеля и магнитного диполя в присутствии проводящих пленок Прайса-Шейнманна
Введение к работе
Актуальность работы. Совершенствование техники измерений и создание новых методов электроразведки с одной стороны, и расширение и усложнение решаемых электроразведчиками геологических задач - с другой, настоятельно требуют совершенствование теоретической базы электроразведки и, в частности, решения все более сложных прямых и обратных электродинамических задач.
Особое место среди этих задач занимают те из них, которые имеют аналитическое решение и позволяют в наиболее общем виде исследовать зависимость электромагнитного поля от одного или группы параметров. Это помогает выбрать рациональную методику электроразведочных работ и определить основные принципы интерпретации наблюдаемых данных.
Хорошо известно в этом отношении, какую исключительно важную роль в геоэлектрике сыграли фундаментальные модели кусочно-однородных горизонтально-слоистой среды, шара и бесконечного кругового цилиндра. Вместе с тем, применение этих моделей при интерпретации полевых наблюдений в сложно построенной геоэлектрической среде зачастую не дает правильной и полной информации о разрезе.
Поэтому в таких условиях нередко приходится прибегать при интерпретации к выбору более сложных моделей, для которых также может быть найдено аналитическое решение, но которые обеспечивают более близкую аппроксимацию реального геоэлектрического разреза. С другой стороны, такие модели позволяют в достаточно общем виде оценить искажения, вносимые в интерпретацию реальных данных при использовании в качестве ее основы фундаментальных моделей. Следует также отметить роль аналитических решений в области математического моделирования, основанного на примене-
- б -
ний численных методов решения задач. Аналитически решенная электродинамическая задача для достаточно сложно построенной модели может явиться хорошим тестом при отладке программ и выборе численного метода расчета, поскольку для аналитических решений всегда может быть указана точность, с которой проведены расчеты»
Основным методом нахождения строгих аналитических решений является метод разделения переменных. Однако известны лишь отдельные, эвристически найденные электродинамические задачи, решение которых может быть получено этим методом.
В связи с этим приобретает актуальность разработка методики получения аналитических решений электродинамических задач, которая при некоторых ограничениях на свойства среды, носящих необходимый и достаточный характер, позволяет скаляризовать исходную векторную задачу, провести разделение переменных в полученных скалярных уравнениях и выписать общий вид аналитических решений для целого класса моделей.
Цель настоящей работы состоит в определении класса моделей неоднородных сред, для которых могут быть получены аналитические решения электродинамических задач методом разделения переменных.
Основные задачи исследования:
Изучение проблемы скаляризации уравнений Максвелла на основе разделения электромагнитного поля на поля электрического и магнитного типов.
Определение разделяющих систем координат для скалярных уравнений поля.
Систематизация электродинамических задач, для которых в семействе вырожденных форм общей эллипсоидальной системы координат, а также в тороидальной, бисферической и бицилиндрической сие-
темах координат применим стандартный метод разделения
переменных. Методы исследований,применявшиеся для решения перечисленных задач, основаны на методах математической физики. При изучении скаляризации уравнений Максвелла использовалось представление электромагнитного поля в виде суммы полей электрического и магнитного типов, а вопрос о разделении переменных в скалярных уравнениях поля решался с помощью определителей Штеккеля.
Основные научные положения, защищаемые в данной работе сводятся к следующему:
При выполнении сформулированных в диссертации необходимых и достаточных условий скаляризации уравнений Максвелла электромагнитное поле в произвольной неоднородной линейной среде с комплексными и диагональными в общей ортогональной криволинейной системе координат тензорами проводимости и магнитной проницаемости и при произвольных возбудителях представляется в виде суперпозиции полей электрического и магнитного типов общего вида, определенных через две скалярных функции, каждая из которых удовлетворяет отдельному скалярному уравнению в частных производных второго порядка.
В скалярных уравнениях для полей электрического и магнитного типов разделяются переменные тогда и только тогда, когда выполняются сформулированные в диссертации условия разделимости.
Для полей электрического и магнитного типов в семействе вырожденных форм общей эллипсоидальной системы координат, а также в тороидальной, бисферической и бицилиндрической системах координат для линейной немагнитной изотропной среды можно выписать все аналитические решения, которые могут быть получены стандартным методом разделения переменных, включающие в себя задачи, решения которых неизвестны по литературным данным. Эти за-
дачи расширяют возможности интерпретации электроразведочных данных в сложно построенных геоэлектрических средах и могут служить тестами для задач численного моделирования. Сводка этих задач приведена в тексте диссертации.
Научная новизна перечисленных положений состоит в следующем:
сформулированы необходимые и достаточные условия существования полей электрического и магнитного типов общего вида в линейной среде с диагональными в общей ортогональной криволинейной системе координат тензорами проводимости и магнитной проницаемости;
показано, что существование полей электрического и магнитного типов общего вида зависит от свойств среды, а не от метрики ортогональной криволинейной системы координат, как это считалось до сих пор;
изучена проблема скаляризации уравнений Максвелла, основанная на представлении поля в виде суперпозиции полей электрического и магнитного типов;
доказана единственность разделения электромагнитного поля на поля электрического и магнитного типов вне источников поля;
- определены разделяющие системы координат для скалярных уравнений поля;
перечислены модели неоднородных сред в семействе вырожденных форм общей эллипсоидальной системы координат и в тороидальной, бисферической, бицилиндрической системах координат, для которых могут быть получены аналитические решения методом разделения переменных;
дано применение неоднородного диска для оценки влияния горизонтальных неоднородностей разреза, в методе становления поля
в ближней зоне (ЗСБ).
Практическая ценность работы состоит в расширении возможностей аналитического исследования и интерпретации электромагнитных полей в сложно построенных средах, создании базы для тестирования сложных моделей при проведении численных расчетов на ЭВМ и получении прямой экономии материальных средств от использования аналитических решений прямых задач геоэлектрики на этапе интерпретации полевых результатов.
Реализация результатов исследований. Результаты расчетов задач о становлении поля магнитного диполя в присутствии проводящих пленок Прайса-Шейнманна внедрены Саратовской геофизической экспедицией. Экономический эффект от внедрения составляет 2,1 тыс. руб. в год. Сводка аналитических решений электродинамических задач в неоднородных средах передана в Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн АН СССР для применения в качестве тестов при численных расчетах на ЭВМ.
Апробация работы. Полученные выводы и основные результаты доложены на Всесоюзном семинаре по методу становления электромагнитного поля в г.Новосибирске (1977 г.), рассмотрены на заседании Секции теоретической геофизики Научного совета по разведочной геофизике АН СССР в г.Москве (I960 г.) и доложены на УІ Всесоюзной школе-семинаре по электромагнитным зондированиям в г.Баку (1981 г.).
Публикации. Основные защищаемые в работе положения опубликованы в 7 статьях и монографии.
Объем и структура. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 177 страниц текста, 21 рисунок, 4 таблицы и список литературы из 65 наименований.
Обзор современного состояния проблемы скаляризации уравнений
Максвелла и разделения переменных изложен в главе I. Отмечены основные пробелы при изучении этих вопросов в предшествующих работах и указаны пути для дальнейшего обобщения известных результатов.
На основе представления поля в виде суперпозиции полей электрического и магнитного типов для произвольной линейной неоднородной (градиентной) с комплексными и диагональными в общей ортогональной криволинейной системе координат тензорами проводимости и магнитной проницаемости среды в главе 2 сформулированы необходимые и достаточные условия полной и частичной скаляризации уравнений Максвелла. При выполнении этих условий записаны скалярные уравнения поля и граничные условия для потенциальных функций. Построена цепочка эквивалентных сторонних токов и доказана единственность разделения электромагнитного поля на поля электрического и магнитного типов вне области возбудителей.
В главе 3 с помощью определителей Штеккеля изучен вопрос о разделяющих системах координат в скалярных уравнениях поля. Для неоднородной изотропной среды показано, в каких случаях разделяющие системы координат принадлежат вырожденным формам общей эллипсоидальной системы координат. Построены таблицы зависимости параметров среды от криволинейных координат, при которой существуют поля электрического и магнитного типов и разделяются переменные в вырожденных формах общей эллипсоидальной системы координат и в других, наиболее распространенных системах ортогональных координат.
Для немагнитной изотропной среды в главе 4 перечислены модели неоднородных сред, для которых могут быть получены аналитические решения методом разделения переменных. Для каждой электродинамической задачи даны общие выражения для компонент поля и
- II -
указано ее возможное применение в электроразведке. Некоторые результаты этой главы иллюстрируются на примерах становления поля электрического кабеля и кругового электрического тока (магнитного диполя) в присутствии проводящих пленок Прайса-Шейнманна. Показано использование неоднородной сплющенной сфероидальной пленки и неоднородного диска для решения структурно-картировочных задач в методе ЗСБ.
Б заключении работы сделаны обобщающие выводы и намечены пути дальнейших исследований в расширении класса задач, допускающих аналитические решения.
Основные результаты диссертационной работы получены во время обучения в заочной аспирантуре на кафедре электро- магнито- и гравиразведки Московского ордена Трудового Красного Знамени геологоразведочного института имени С.Орджоникидзе.
Автор выражает благодарность своим научным руководителям доктору технических наук Б.С.Светову, доктору технических наук, профессору Ю.В.Якубовскому за внимание и помощь, которые они оказывали на всех этапах работы, сотрудникам кафедры электро-магнито- и гравиразведки МГРИ, а также доктору геолого-минералогических наук Б.А.Сидорову, А.С.Цветкову и кандидату технических наук Б.А.Глечикову, совместно с которыми начиналась работа по теме.
Применение полей электрического и магнитного типов для скаляризации уравнений Максвелла
Функции # и V описывают соответственно электромагнитное поле электрического и магнитного типов, определенных по отноше-нию к координате ft \ В случае поля электрического типа отсутствует компонента напряженности магнитного поля в направлении координатных линий ( Н{ =0), но Et Ф 0 . Для поля магнитного типа: Н.ФО , Е. = 0 . Следовательно, электромагнитное поле в данном случае представляется в виде суперпозиции полей электрического и магнитного типов. Заметим здесь, что название поле электрического (магнитного) типа идентично названию Е- поле (Н- поле), Е- мода (Н- мода), Е- волна (Н- волна), ТМ- волна (ТЕ- волна), поперечно-магнитное (поперечно-электрическое) поле. В 5 мы доопределим понятие полей электрического и магнитного типов в области источников.
Условия (I.II) выполняются, например, в сферической системе координат, для которой связь \2\ потенциалов Бромвича U и г? с потенциалами Дебая U и If , удовлетворяющими в сферической системе координат уравнению Гельмгольца.
А.Зоммерфельд впервые [3J указал на связь потенциалов Дебая с радиальными векторами Герца электрического и магнитного типов при определенной калибровке потенциалов. Систематическое изучение вопроса скаляризации уравнений Максвелла, основанной на представлении электромагнитного поля в виде суперпозиции полей электрического и магнитного типов, проведено для однородных изотропных сред Г.В.Кисунько.[4] . Для этих сред он доказал необходимость соотношений (I.II) для существования поперечно-электрических и поперечно-магнитных полей в криволинейных координатах и выразил однокомпонентные векторы Герца магнитного и электрического типов, описывающих эти поля, через потенциалы Бромвича (для трехмерного электромагнитного поля) и Абрагама (в двумерном случае). Условия (I.II) дают, таким образом, для однородных изотропных сред все ортогональные криволинейные системы координат, для которых могут существовать поля электрического и магнитного типов и скаляризуются уравнения Максвелла с помощью соответствующих компонент векторов Герца.
Дальнейшее изучение геометрических свойств ортогональных криволинейных систем координат, для которых могут существовать Е- и Н- поля, проведено в заметке М.Л.Левина [5J . Б ней показано, что координатные поверхности л -ooivbt в соотношениях (I.II) являются концентрическими сферами или параллельными плоскостями.
Если линейная изотропная среда разбита на конечное число областей с кусочно-постоянными свойствами, то при выполнении условий (I.II) в данной координатной системе электромагнитное поле в каждой из областей можно записать в виде суммы полей электрического и магнитного типов. Б общем случае эти поля зависят друг от друга в граничных условиях или условиях сопряжения. Это означает, что электромагнитное поле не всегда можно разделить на независимые поля электрического и магнитного типов. С математической точки зрения это свойство проявляется в том, что зачастую не удается удовлетворить раздельным граничным условиям для поля электрического (магнитного) типа, не привлекая к рассмотрению поле магнитного (электрического) типа. В этом случае возможна только частичная скаляризация уравнений Максвелла - обе Функции, через которые выражается электромагнитное поле, хотя и удовлетворяют отдельным скалярным уравнениям второго порядка, но "переплетаются" в граничных условиях и поэтому задачу о нахождении поля нельзя разбить на две независимые скалярные задачи. Исследование независимости Е- и Н- полей для сред с цилиндрическими и сферическими поверхностями раздела дано в работах \_6-д\ . Как правило, это изучение основано на анализе совместности граничных условий, записанных отдельно для полей электрического и магнитного типов для каждого частного случая. Разумеется, такой подход не может дать исчерпывающего ответа на вопрос о полной скаляризации. Для решения этой задачи необходимо рассмотрение градиентных сред, поскольку все многообразие сред с кусочно-постоянными свойствами, в которых могут независимо существовать Е-и Н- поля, можно построить как предел неоднородности соответствующих градиентных сред, допускающих скаляризацию по методу Бромвича.
Изучение скаляризации уравнений Максвелла в градиентных средах позволяет расширить класс задач, для которых могут быть получены решения. Разделение электромагнитного поля на поля электрического и магнитного типов в градиентных средах помимо скаляризации, как упрощающего фактора при решении электродинамических задач, имеет самостоятельный интерес. Так, Б.С.Светов [ 9J на примере изотропных сред с кусочно-постоянными свойствами показал, что эти поля несут различную информацию о геоэлектрическом строении Земли, что может быть использовано при интерпретации полевых материалов и оценке возможностей того или иного электроразведочного метода при геофизических исследованиях.
В наиболее общем виде к настоящему времени вопрос скаляризации рассмотрен А.Мохееном [iOJ . Для произвольной линейной неоднородной непроводящей анизотропной среды с диагональными у тензорами диэлектрической и магнитной проницаемостей в общей ортогональной криволинейной системе координат А.Мохсен выделил три группы условий скаляризации уравнений Максвелла для электромагнитного поля, зависящего от трех координат.
Калибровки потенциалов. Скалярные уравнения электромагнитного поля для полей электрического и магнитного типов общего вида
Основным источником аналитических решений является метод разделения переменных. Однако, как мы показали в гл.2 и 3, применение этого метода ограничено тем, что не всегда удается ска-ляризовать уравнения Максвелла, а когда это становится возможным, то существует довольно узкий класс разделяющих систем координат, в которых разделение переменных в скалярных уравнениях поля может быть проведено только при определенной зависимости параметров среды от координат. Когда же переменные в уравнениях разделяются, то применение метода разделения переменных для нахождения строгого аналитического решения зачастую становится невозможным из-за математических трудностей в том случае, когда на противоположных сторонах поверхности раздела двух сред тангенциальные компоненты поля разлагаются по различным наборам собственных функций, описывающих изменение поля в тангенциальных к поверхности раздела направлениях. В этом случае говорят, что "не разделяются переменные в граничных условиях". Такая ситуация возникает тогда, когда коэффициенты обыкновенных дифференциальных уравнений, появляющихся после разделения переменных и описывающих пространственное изменение поля в тангенциальных к поверхности раздела направлениях, зависят от волновых чисел среды и, следовательно, задача о нахождении коэффициентов разложения компонент поля по собственным функциям сводится к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений для бесконечного числа неизвестных, если соответствующая задача Штурма-Лиувилля дает дискретный набор собственных значений или к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода, если спектр собственных значений непрерывен. Найти строгое аналитическое решение таких задач методом прямого обращения, методом вычетов или методом Винера-Хопфа возможно в редких случаях 12IJ и коэффициенты разложения определяют численными методами.
Когда тангенциальные компоненты поля на различных сторонах граничной поверхности разлагаются по одному набору полной ортогональной системы собственных функций, то коэффициенты разложения определяются в замкнутом виде из конечной системы линейных алгебраических уравнений с М неизвестными. Порядок М этой системы зависит от количества поверхностей раздела и от взаимосвязи полей электрического и магнитного типов.
Требование ортогональности системы собственных функций не является обязательным для сведения бесконечной системы уравнений к конечной. Для этого достаточно иметь систему независимых соб ственных функций. Однако в этом случае возникают трудности, свя занные с разложением первичного поля по данному базису. Поэтому при рассмотрении аналитических решений для Е- поля специального вида мы зададим в таблице 4 Pif O или про тивном случае оба обыкновенных дифференциальных уравнения, появляющихся после разделения переменных, содержат волновые числа среды и при любом характере изменения функций Р и / краевые задачи для соответствующих обыкновенных дифференциальных уравнений являются несамосопряженннми, что значительно усложняет решение задачи Штурма-Лиувилля и приводит к системам неортогональных функций.
Систематическое изучение аналитических решений для сред с кусочно-постоянными свойствами, а также применение этих решений для анализа особенностей поведения полей электрического и магнитного типов в зависимости от способов возбуждения поля и свойств среды оыло проведено Б.С.Световым _9 J . На основе результатов, полученных нами в гл.2 и 3, перечислим входящие в таблицы 2 и 4 типы немагнитных, изотропных сред (за исключением волноводных и резонаторних областей), для которых в квазистационарном приближении последовательно скаляризуютоя уравнения Максвелла на основе разделения электромагнитного поля на поля электрического и магнитного типов, разделяются переменные в скалярных уравнениях и в граничных условиях и становится возможным нахождение аналитических решений. Для таких электродинамических задач запишем общие решения, некоторые из которых проиллюстрируем для проводящих пленок Прайса-Шейнманна.
В II мы показали, что при выполнении условий (2.10) произвольную систему сторонних токов можно разбить на такие две эквивалентные системы однокомпонентних электрических iJf O ) и магнитных ( i= О ) сторонних токов, что первая система возбуждает поле электрического типа, а вторая - магнитного. Поэтому решение задач для Е- и Н- полей общего вида можно свести к нахождению функций Грина электрического типа С и магнитного -Ц-і , удовлетворяющих уравнениям
Разделяющие системы координат для скалярных уравнений Е- и Н- полей общего вида
Как следует из записанных выражений для функций Грина Qf , ч{ в трех основных типах сред, эти задачи приводят к аналитическим решениям в тех случаях, когда могут быть записаны аналитические решения для функций л и R. через элементарные или известные специальные функции. Набор соответствующих функций L , для которых определяются аналитические решения, нетрудно составить, используя справочные пособия I 53 по обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка.
Горизонтально-слоистая среда является фундаментальной моделью в разведочной геофизике. Функциями , как правило, предполагается для этой среды кусочно-постоянной. Для горизонтально-слоистой среды общие решения можно записать также в круговой, эллиптической и параболической цилиндрических координатах. В том случае, когда поверхность раздела отделяет проводящий слой от изолятора, для решения задачи можно воспользоваться результатами Ю.
Аналитические решения для горизонтально-слоистой среды с кусочно-постоянными свойствами обычно получают с помощью рекуррентных формул для гиперболических функций 43,45J . Достаточно хорошо изучено асимптотическое поведение этих решений для предельных значений параметров, характеризующих свойства среды и источника поля. Известны также многочисленные расчеты электромагнитного поля на дневной поверхности и в среде для частотных зондирований и становления поля.
Заметим, что строгие решения электродинамических задач для горизонтально-слоистой среды могут быть найдены без предварительной скаляризации уравнений Максвелла (например, с помощью векторного и скалярного потенциалов электрического типа). Однако разложение электромагнитного поля на Е- и Н- поля существенно упрощает нахождение решения и делает его физически наглядным.
Сферически-симметричная среда применяется в электроразведке для изучения геоэлектрического строения Земли в целом. Эта модель находит также применение в рудной электроразведке для определения глубины залегания и размеров геологических образований изомерной формы [9,54j . Решение задачи может быть получено также в конической системе координат.
Строгое решение задачи о поле произвольно ориентированного электрического диполя в присутствии градиентной сферы с проводи мостью б Ъ , где f - произвольное действительное число, получено в работе _55j . Известны также многочисленные работы, направленные на изучение аналитических свойств электромагнитного поля, возбуждаемого электрическим и магнитным диполями в присутствии однородного сферического тела. модель неоднородной клинообразной среды аппроксимирует выклинивающиеся слои, проводимость которых убывает при удалении от ребра клина. Практическая значимость этой модели для электроразведки, по-видимому, невелика. Однако для нее можно записать аналитические решения в круговой цилиндрической, сферической, параболической вращения, вытянутого и сплющенного сфероидов системах координат и, таким образом, эта задача может явиться хорошим тестом для численных методов.
Приведенные три модели среды являются единственными, кроме волноводных и резонаторных областей I 50J , в которых могут существовать независимые Е- и Н- поля общего вида для немагнитной изотропной среды и вместе с этим применим стандартный метод разделения переменных. Однако при некоторой зависимости проводимости среды от координат аналитические решения могут быть получены в круговой цилиндрической и сферической системах координат для неоднородной круговой цилиндрической среды и градиентного кругового конуса, что обусловлено специфическими свойствами метрики этих систем координат. Эти две электродинамические задачи, по-видимому исчерпывают случаи, в которых могут быть получены аналитические решения для зависимых (смешанных, гибридных) полей электрического и магнитного типов, общего вида.
Круговая цилиндрическая среда предполагает зависимость проводимости от одной круговой цилиндрической координаты 0 . Таким образом, проводимость среды есть функция f(pj , которая может иметь разрывы на конечном числе поверхностей 0=ft= co/v&t Эта модель среды применяется в задачах индукционного каротажа для учета влияния зоны проникновения фильтрата бурового раствора в пласт коллектор [_56j и в рудной электроразведке для определения направления простирания и глубины залегания вытянутого в некотором направлении рудного тела I 9J .
Неустановившееся поле бесконечно длинного электрического кабеля и магнитного диполя в присутствии проводящих пленок Прайса-Шейнманна
Неоднородный слой, погруженный в изолятор или подстилаемый идеальным проводником, представляет важную модель при магнитотел-лурических зондированиях (МТЗ). В случае падения Н- поляризованной плоской волны на слой напряженность магнитного поля на поверхности "земля-воздух" ( 2=0 ) равна удвоенной амплитуде падающей волны (в том случае, когда при і00 неоднородный слой переходит в однородный с отличной от нуля проводимостью). Для пересчета поля, возбуждаемого прямолинейным магнитным током, в поле, создаваемое Н- поляризованной плоской волной, достаточно применить формулы Грина для неоднородных краевых условий и однородных уравнений _23J . Такой прием нахождения поля от плоской волны идентичен применению формулы Грина для однородных краевых условий и неоднородного уравнения для функции Пи , если, на поверхности Z-0 распределить поверхностные магнитные токи с плотностью где п - амплитуда напряженности магнитного в о поля падающей Н- поляризованной плоской волны, которые эквивалентны поверхностным электрическим токам с плотностью =+2 у (%J Аналитические решения задачи о падении Н- поляризованной плоской волны на неоднородный слой с кусочно-постоянной проводимостью получены в работах _32-34J . Очевидно, что количество аналитических решений для этой задачи можно увеличить при подходящем выборе функций f .
Радиально-неоднородный клин в изоляторе или неоднородный клин, ограниченный с одной стороны идеально проводящим клином, также, как задача о неоднородном слое, может найти практическое применение в МТЗ. Однако следует отметить, что при падении Н- поляризованной плоской волны на клин должно выполняться уеловиє: Уо %- $ когда клин погружен в изолятор, и условие - f0+ X » когда клин ограничен с одной стороны идеальным про-водником. В этом случае напряженность магнитного поля на границе про водник-изолятор равна Zn и решение задачи можно получить с помощью вспомогательных эквивалентных поверхностных магнитных токов. Если эти условия не выполняются, то электродинамическая задача теряет физический смысл. Напряженность магнитного поля на границе проводник-изолятор становится равной Н , что соответствует распространению без затухания падающей волны в область геометрической тени. Такая дифракционная картина делает модель среды слишком идеализированной и мало пригодной. Решение задачи о падении Н- поляризованной плоской волны на радиально-неоднород-ный клин, погруженный в изолятор, получено в работе / 35J для частного случая: %-3F и кусочно-постоянной функции 4(р) с одной точкой разрыва (эта модель представляет собой полуцилиндрическое включение в полупространстве). В другом случае, когда радиально-неоднородный клин ограничен с одной стороны идеально проводящим клином, решение задачи найдено помощью интегрального преобразования Конторовича-Лебедева по координате О . Однако, как это следует из нашего рассмотрения, столь жесткие ограничения на параметры среды могут быть сняты и, кроме того, аналитические решения могут быть найдены при других распределениях .
Модель азимутально-неоднородного кругового цилиндрического слоя может послужить хорошим тестом для решения электродинамической задачи о дифракции Н- поляризованной плоской волны на цилиндрическом теле с достаточно сложным распределением проводимости. В этой задаче на поверхности р сс± напряженность магнитного поля равна амплитуде падающей волны и при относительно небольшой (, по сравнению с длиной волны) величине эта задача -имеет физический смысл.
Остальные задачи для Н- поля специального вида могут найти применение в задачах низкочастотного индукционного каротажа. Наибольший интерес представляет задача о поле кругового линейного магнитного тока (вертикального электрического диполя), находящегося на оси внутри погруженного в изолятор или подстилаемого идеальным проводником радиально-неоднородного слоя. Задавая соответствующим образом функцию f(p) , можно с помощью этой модели решать различные геологические задачи: учета влияния зоны проникновения фильтрата бурового раствора в прилегающие к скважине горные породы [_56j $ определение размеров рудного тела, учета влияния скважины на результаты наблюдений и т.д.
Неоднородный вдоль оси круговой цилиндр, радиально-неоднородный конус и неоднородный по меридиану сферический слой в поле соосно расположенного с ним электрического диполя могут, по-видимому, найти ограниченное применение в задачах геоэлектрики, но являются достаточно сложными тестами для численных методов.
