Методы робастного оценивания в сейсморазведке Денисов, Михаил Сергеевич

Введение к работе

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ В последние годы значительно повысился интерес к устойчивым обастным) методам обработки сигналов. Известны попытки их яшенения для решения таких задач, как обнаружение и оценивание іраметров сигналов в системах связи, радио- и гидролокации, при опознавании образов, обработке речи и изображений. Несмотря на ирокзга спектр геофизических задач, решение которых требует шменения робастных процедур, эти методы рассматриваются в ^разительно малом количестве работ.

Главной причиной интенсивного развития устойчивых алгоритмов зработки сигналов явилась ненадежность классических процедур типа етода. наименьших квадратов (МНК) при отклонении реального іспределения случайных величия, входящих в геофизическую модель, от іуссовского.

В то же время, _ хорошо известно, что, например, последовательности оэффициентов отражения сейсмических границ (импульсные ейсмограшш), также как и сами сейсмические записи, могут быть цекватно описаны лишь при помощи негауссовского случайного роцесса. Поэтому, если решается задача оценивания функции втокорреляции (АКФ) сейсмической записи (ФВК записей), то можно ыть уверенным, что классическая "сверточная" оценка, соответствующая ШК, не является вполне приемлемой.

Несколько иная ситуация складывается при решении задачи ІЄКОНВОЛЮЦШ1. Классический алгоритм подбора фильтра ошибки гредсказаяяя соответствует эффективной оценке амплитудного спектра «йсмического сигнала в случае гауссовости импульсной сейсмограммы, /чет же негауссовости (робастные алгоритмы) приводит не только к 'лучшению оценки амплитудного спектра, но и к возможности юсстановления фазы сигнала. Новый подход к решению задачи обратной ршгьтрации получил название робастная деконволюция. В рамках гобастной деконволгоции вводится понятие двусторонней геторегрессионной модели (ДАР) сейсмической трассы, которая ідекватна сверточной модели даже в случае немишшалыю-фазовости тапульса. Задача обратной фильтрации рассмотрена как в статистической

(сейсмическая трасса - негауссовский случайный процесс), так и в детерминистической (сейсмическая трасса - неслучайная функция) постановках, и оба ее решения приводят к одному и тому же алгоритму. Это является одним из наиболее существенных преимуществ метода, так как вопрос о правомерности статистического подхода к задаче обратной фильтрации, увы, пока остается открытым. Например, стандартная предсказывающая деконволюция использует описание сейсмической записи в виде авторегрессионного случайного процесса с ограниченным числом параметров. А кто проводил статистическую проверку адекватности такой модели? Понятно, что если бы такие тесты и были сделаны, то результаты озадачили бы многих геофизиков, к сожалению, не задумывающихся над этой проблемой. Дело в том, что, например, после полосовой фильтрации, обязательно входящей в .стандартный граф обработки, сигнал становится даусторонне инфинитным и имеет ограниченную полосу частот. Разумеется, ни о каком адекватном описании при помощи модели авторегрессии не может идти и речи. Приходится признать, что многие из нас не всегда следуют народной мудрости "семь раз отмерь, один раз отрежь", когда дело касается применения моделей, полученных в теории случайных процессов, для анализа результатов наблюдений.

В диссертациоішой работе предложен новый метод деконволюция, способный решать проблему построения обратного фильтра в случае неминимально-фазовости импульса. Одним из наиболее важных его преимуществ перед другими алгоритмами является слабая чувствительность к виду реализации фрагмента сейсмической записи, выбранного в качестве окна для настройки фильтра. Это является следствием того, что задача обратной фильтрации была рассмотрена в предположении о наличии лишь финитного фрагмента трассы. В то же время, стандартные статистические методы деконволюции способны определить оператор обратного фильтра лишь по известным статистическим характеристикам случайных процессов, входящих в модель (например АКФ трассы). На практике эти характеристики не известны, и приходится ограничиваться их выборочными оценками. Так как эти оценки могут сходиться к искомым величинам лишь при неограниченном увеличении объема выборки, то определяющую роль

чинает играть специфика реализации исследуемого фрагмента трассы. ;есь может оказаться полезным использование нетрадиционных оценок, итьшающих априорную информацию об анализируемом материале и, педствие этого, имеющих меньшую дисперсию (такие оценки едложены в главе 2 диссертации). Однако и при помощи этого приема возможно обойти ге недостатки, которые изначально заложены в атлетических, алгоритмах (при попытке их применения к выборкам из ашгзацнй случайных процессов).

ИС: а- мннимально-фазешый импульс, б- сянхегдегеекая трасса. Стрелками означены два окна 1-1 и 2-2 талрейки фильтра. Напротив окон изображены зультагы свертки исходного импульса с фильтрами, полученными в этих окнах стройки, в- метод предсказывающей деконволюции (обратный фильтр зависит от на іистройки, сильная чувствительность к виду реатоэдии), г- метод робасшой конволюции (в обоих окнах получен идеальный обратный фильтр).

Рассмотрим, например, фрагмент сейсмической трассы, полученный результате свертки минимально-фазового сигнала с функцией отклика кугы (являющейся реализацией белого шума). Пусть аддитивные помехи сугствуют. Как кажется на первый взгляд, метод предсказывающей

деконволюции (статистический алгоритм) может легко справиться с зтоі простой задачей. Однако это не так. В результате значительны погрешностей оценивания АКФ трассы по небольшим фрагмента! полученные обратные фильтры будут сильно зависеть от специфиы реализации данных фрагментов. Эту ситуацию иллюстрирует рисунок.

При помощи нового алгоритма эта задача может быть решена. Н; каждом из фрагментов получено точное значение идеального обратной фильтра к сигналу. Специфика реализации не оказывает влияния а результат оценивания обратного фильтра.

Предложенный метод является пршщипиально новым и, з; исключением работ, критический обзор которых дан в третьей глав< диссертации, не исследованным ни в общетехнических приложения! (таких как, например, теория идентификации систем), ни в сейсмическоі деконволюции. Поэтому можно надеяться, что область его применение будет значительно шире, чем решение чисто геофизических задач.

есть

где п- объем выборки следует, что классическая оценка л (9) оценка МО СВ по МНК:

я^(Є) = argmin-m)².

В негауссовском

т *=1 Следовательно, она эффективна для гауссовской СВ. случае целесообразно применить робаспшн алгоритм

tf^e)=argmin2>W0-«),

т t=\ где F(-y четная функция, вид которой определяется из априорной информации. Эффект, получаемый в результате применения нового метода демонстрируется на последовательностях коэффициентов отражения сейсмических границ и на синтетических сейсмических трассах.

РИСЛ Импульсная сейсмограмма, изображенная на рис.1, была смоделирована как белый негауссовский шум. Хотя ее АКФ R(x) определялась для малых по сравнению с длиной реализации (2000 ms) значений аргумента (т = 1,...,6СУш), из рис.3 следует, что классическая оценка далека от искомой функции (импульса Кронекера). Робастньш алгоритм дает практически точный результат. Улучшение оценки произошло из-за учета тяжелых хвостов (наличия выбросов) распределения величины r\{t) путем использования функции потерь /"(), имеющей меньшую степень роста для больших значений аргумента по сравнению с квадратичной функцией. Гистограмма (одна из возможных форм представления априорной информации) rj(r) для 6 = IQttlS изображена на рис.2.

распределение Гаусса

РИС.2

оценки АКФ

классическая робасгаая

*&

ІМ, «—^.

" чу і tms

РИС.3

Не менее важной задачей является определение корреляционных свойств сейсмической записи. Здесь АКФ используется для деконволюции, оценивания поглощения, спектрального анализа и т.д.

коэффициенты отражения

синтетическая трасса

t,ms

t,ms

_-n^

РИСА
Как следует из рис. 4 и рис. 5 новый алгоритм позволяет значительно
снизить так называемый эффект влияния импульсной сейсмогралшы,
выражающийся в смещении оценки АКФ.

оценки АКФ

классическая

робастная теоретическое значение

РИС.5

Однако возможности нового метода оценивания корреляционных функций отнюдь не безграничны. Дело в том, что несмещенность получаемых оценок удалось доказать лишь для величины r\(t), имеющей симметричную плотность распределения. В случае оценивания АКФ последовательности коэффициентов отражения эта величина близка к симметричной для всех значений G, однако в задаче оценивания АКФ сейсмической записи это условие нарушается, а представленные результаты служат еще одной иллюстрацией хорошо известного факта, что часто бывает полезно пренебречь смещением оценки ради снижения ее дисперсии. Б связи с этим представляется логичным проведение дальнейших исследований, связанных с поиском путей улучшения оценок корреляционных функций.

В третьей главе основное внимание уделено двусторонней авторегрессионкой модели (ДАР) сейсмической записи и методу робастной деконволюции.

Одним из фундаментальных результатов, полученных в последние годы геофизиками - теоретиками и обработчиками является вывод, согласно которому перспективы развития методов обратной фильтрации во многом связываются с созданием новых параметрических моделей сейсмических данных и критериев деконволюции. В отличие от АР модели, используемой для предсказывающей деконволюции, ДАР модель способна адекватно описывать сейсмическую трассу в случае смешанно -фазовости сигнала. ДАР может быть легко получена из общепринятой сверточной модели

z{k) = y(k) + n{k)

у(к)= Ъ<т%{к-т), т=-<о

где z(ky трасса, у(к)- ее полезная компонента, п(к)- аддитивный шум, s(k)- сейсмический импульс, ^(fc)- функция отклика среды. Тогда в предположении о существовании обратного смешанно - фазового

двустороннего фильтра [s (-p),.,.,s (g)], 0< p < oo,0 oo такого, что S~ (k)*s(k) - 5(fc), ще 8(fc)- символ Кронскера, получям

г(*) = у(А) + и<*)

у(*)= Dy(*+m)c(-/«)+ 2><*-^m>^c(^m)+$<*)-.

m=l m=l

Здесь использовано обозначение c(m) = — s~ (m) и положено (без

ограничения

общности)

5^_1<0) = 1.

Вектор

параметров

с =[с(-р),...,с(^)] подлежит оцениванию. Классическая АР модель соответствует случаю р ~ О (минимально-фазовый сигнал).

Вводится оптимальная настраиваемая модель-интерполятор

Р Я

у(к)= ^у(к + т)с(-т)+ у(к~гп)с(т),

(которая в случае АР модели становится предсказателем) и ошибка интерполяции

_k(c)=yV0-y(k)-

Задача оценивания искомою вектора параметров рассмотрена в двух вариантах:

1) функция отклика среды - произвольная функция (рассматривается
фрагмент сейсмической грассы длиной N отсчетов);

2) функция отклика среды - негауссовский случайный процесс, имеющий
известную с точностью до параметров одномерную плотность
распределения Д(х).

Пожалуй, такая ее постановка способна удовлетворить даже самых

дотошных геофизиков, ведь споры о статистических (можно ли считать

Е,(к) случайным процессом?) и спектральных (имеет ли В^к) равномерный

энергетический (соответственно - амгштудный) спектр?) не утихают и по

сей день. Замечательно, что для нового алгоритма деконволюции эти

вопросы не столь актуальны, как для других методов¹'. Дело в том, что

решение задачи в обеих постановках приводит к одному и тому же

алгоритму (см. блок - схему).

Вариант 1) соответствует детерминистической постановке

1 ^N~P

c^argmin/^) А*)= . - , T,F(e_m(c)\ (1)

где F(-)- функция потерь. Множитель перед суммой не влияет на положение экстремумов функционала и выписан лишь для наглядности. Доказано, что при использовании F(e(-)) = |є(-)| ,0

получены точные значения параметров (с = с) по выборке из N < со отсчетов процесса у(к). Этот факт является новым как в сейсмической деконволюции, так и в теории идентификации вообще. Вариант 2) соответствует статистической постановке

'І Подробное обсуждение вопроса о влиянии "небелости" 2|(к) на работоспособность различных алгоритмов деконволюции дано, например, в работе Е.А. Козлова "Обратная фильтрация при квазішериодігшоспі потока коэффициентов отражения". Прикладная геофизика.- М.: Недра, 1989, -Вып.121.

^^argminy⁵^) J^s(i) = M{F(e(c))}. (2) с Здесь функция потерь, соответствующая наилучшей (имеющей минимально возможную дисперсию, определяемую неравенством Крамера - Рао) оценке, определяется по методу максимального правдоподобия F(x) = — 1пД(х). Можно использовать в качествеft(х) обобщенно -

гауссовское распределение. В этом случае F(s(-)) = (є(-)| Типичные для реальных данных значения v находятся в интервале (0,1]. Итак, функция потерь, полученная из метода максимального правдоподобия, совпадает с функцией потерь, обеспечивающей возможность получения точных оценок параметров ДАР по выборке конечного объема, а значит из (1) и

(2) следует, что J () является состоятельной оценкой J^s(c), т.е.

lim j (с) = J^s{o) и lim с =*". Поэтому в реальной ситуации, когда в
//->оо N—>оо

качестве окна настройки фильтра задано N отсчетов сейсмической

трассы, статистический подход к решению задачи всегда подменяется

детерминистическим. Таким образом, можно утверждать, что решения (1)

и (2) совпадают, а следовательно нет необходимости задаваться вопросом

о статистических и спектральных свойствах функции отклика среды.

Классический алгоритм деконволюции использует квадратичную функцию потерь для идентификации модели предсказателя. В статистике переход от оценивания при помощи квадратичной функции к функциям, имеющим меньшую степень роста для больших значений аргумента, называется робастным (устойчивым) оцениванием. Таким образом, описанный выше подход к решению задачи обратной фильтрации оказался тесно связанным с теорией робастного оценивания. Поэтому новый алгоритм получил название "робастная деконволюция".

Предложенный алгоритм является новым в теории идентификации неминимально - фазовых систем. В отличие от популярных в настоящее время методов, основанных на использовании старших моментов и кумулянт (higher - order statistics), он базируется на анализе как бы их "младших аналогов"- "младших моментов". Действительно, если обычно

оценивание параметров производится путем минимизации дисперсии о (с) процесса ошибок предсказания

с = argmmM{s²(c)} = argmina^(c),

с с

то алгоритм, предложенный в диссертации, решает задачу

с = aig mill M{|e(c)|^v},0 < v < 1. с

При помощи идентификации ДАР модели можно не только производить деконволюцию, но и осуществлять высокоразрешающий спектральный анализ. Вследствие перехода к "младшим моментам" полученные оценки обладают свойством робастности, что выгодно отличает их от стандартных параметрических оценок (метод максимальной энтропии и т.п.), весьма чувствительных к особенностям .у реализации импульсной сейсмограммы. Ниже представлены результаты тестов.

На рис.6 изображены амплитудный спектр модельного сигнала и энергетический спектр аддитивного шума.

На рис. 10 изображен участок временного разреза, полученного в одном из районов Тюменской области. Крупный план этого фрагмента позволяет лучше увидеть изменения в структуре волновой картины, вызванные коррекцией формы сигнала после деконволюцяи.

J L