Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор ситуации, методов и задач математической обработки геодезических построений 8
1.1 Обзор ситуации 8
1.2 Методы математической обработки геодезических измерений... 12
1.3 Способ условий с дополнительными неизвестными 15
1.4 Рекуррентное уравнивание 19
1.5 Метод сопряжённых градиентов 22
1.6 Выводы 25
2 Алгоритм уравнивания и объединения геодезических построений 26
2.1 Структура алгоритма и ввод информации 26
2.2 Объединение геодезических построений 28
2.2.1 Уравнивание наземных геодезических сетей и спутниковых построений 28
2.2.2 Уравнивание плановых построений 37
2.2.3 Уравнивание высотных сетей с разными системами высот .. 43
2.3 Выводы 57
3 Программная реализация алгоритма и его анализ 59
Заключение 66
Список литературы 68
Приложения
- Способ условий с дополнительными неизвестными
- Метод сопряжённых градиентов
- Уравнивание наземных геодезических сетей и спутниковых построений
- Уравнивание высотных сетей с разными системами высот
Введение к работе
Актуальность темы. Построение геодезических сетей основано на линейных, угловых и спутниковых измерениях, но чаще всего на их комплексном использовании, когда традиционные геодезические методы сочетаются с новейшими спутниковыми технологиями. Кроме того, в прикладной геодезии очень часто геодезические сети строятся как самостоятельные, а координаты их пунктов определяются в местной системе координат. Особенно актуально это для больших и быстро развивающихся городов, когда требуется координаты всех имеющихся на обширной территории пунктов привести как можно более в короткие сроки к единой системе координат. При этом часто возникает необходимость объединения геодезических сетей, построенных в разных системах координат, что, в свою очередь, требует развития и совершенствования методов математической обработки геодезических сетей, построенных в разных системах координат.
Цель диссертации — разработка алгоритма математической обработки геодезических сетей, построенных в разных системах координат, на основе современных компьютерных технологий.
Задачи исследования:
Обзор ситуации и анализ существующих подходов к математической обработке геодезических сетей, методов и задач уравнительных вычислений;
Разработка алгоритма уравнивания и объединения геодезических сетей, построенных в разных системах координат;
Моделирование геодезических сетей, построенных в разных системах координат, и исследование на их основе данного алгоритма.
Научная новизна работы заключается в следующем:
Разработан алгоритм совместного уравнивания геодезических сетей на основе модифицированного способа условий с дополнительными неизвестными, метода сопряжённых градиентов с применением формул рекуррентного уравнивания;
Выполнено исследование по использованию исходной и линеаризованной формулы перехода из одной системы координат в другую. Исследование показало, что линеаризация не оказывает существенного влияния на точность определения координат.
Практическая ценность работы состоит в том, что разработанный алгоритм позволяет выполнять объединение геодезических сетей, построенных в разных системах координат, с контролем грубых ошибок измерений и оценкой точности параметров преобразования.
Апробация работы. Основные выводы и положения диссертационной работы докладывались автором в 2008-2010 г.г. на:
63-ей научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных МИИГАиК (2-3 апреля 2008 года);
64-ой юбилейной научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных МИИГАиК, посвященной 230-ой годовщине со дня его основания (7-8 апреля 2009 года);
65-ой научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных МИИГАиК, посвященной 65-летию победы в Великой Отечественной войне (6-7 апреля 2010 года).
Публикации. Содержание и результаты диссертационной работы освещены в 3 статьях, из них 2 — в издании, рекомендованном ВАК по специальности диссертации.
Объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и приложений. Общий объём работы составляет 90 страниц машинописного текста, включая 17 таблиц, 6 рисунков и 4 приложения. Список использованных источников включает в себя 75 наименований.
Способ условий с дополнительными неизвестными
Всё это вполне согласуется с точкой зрения, освещенной в [65], согласно которой «всякое технологическое новшество со временем порождает два пика интереса, вызванных изначально появлением максимума новых решений технических аппаратных проблем и новых технологий (первый) и расширением области их применений (второй)». Первый пик, бесспорно, давно уже завершён. Однако период прохождения второго далеко ещё не закончен.
На сегодняшний день свои алгоритмы совместной обработки геодезических построений есть во многих программных продуктах ("CREDO_DAT", "Pinacle", "STARNET", "МГСети" и другие).
Но хотя к совместной обработке геодезических сетей как в литературе, так и на практике существует несколько научно обоснованных подходов [7, 8, 18, 32, 41, 43, 50, 56 и др.], используемые в большинстве программ способы объединения геодезических сетей основываются на вычислении параметров преобразования приближённым способом и предусматривают раздельную обработку измерений (к примеру, полученные из уравнивания спутниковых построений координаты затем используются при уравнивании наземной сети как безошибочные) [41, 50].
Трансформирование же координат пунктов спутниковых и наземных сетей с использованием опубликованных на текущий момент параметров преобразования [59] не удовлетворяет практическим требованиям, так как требует знания точных координат пунктов в системе спутниковых построений (WGS-84 или ПЗ-90). Кроме того, точность опубликованных параметров преобразования недостаточно высока [26]. Формулу преобразования координат из одной системы в другую можно представить в виде исходной системы связи для идентичного пункта / согласно [4] как T,=ai + (l+m)nSb (1.1) в которой для каждой точки / векторы Т, и S, равны (1.2) но относятся к системам координат наземных геодезических сетей и спутниковых построений соответственно. Вектор Л\ постоянен для всех точек и составлен из трёх параметров сдвига аі = КІ (1.3) представляющих собой, по сути, координаты начала системы координат, в которой выполнены наземные геодезические построения, в системе координат, в которую были переведены координаты пунктов спутниковых построений; т— разница в линейных масштабах систем координат; матрица П содержит в себе малые углы вращения и переводит координаты спутниковых построений в систему координат наземной геодезической сети
Стоит отметить, что для систем координат геодезических сетей, построенных с применением спутниковых технологий, характерно, что их оси не совсем параллельны осям геоцентрической системы координат, что связано с грубым определением для начальной точки сети геоцентрических координат [26].
Линейные масштабы наземных и спутниковых сетей, как правило, отличаются незначительно. Однако взаимные сдвиги систем координат могут быть достаточно существенными, прежде всего, из-за выбора центра рсференц-эллипсоида, а также локальных деформаций, присущих наземным сетям [26, 70].
Всё это приводит к тому, что вычисления, выполненные согласно формуле (1.1), требуют уточнения.
Кроме того, как утверждается в [62], в настоящее время всё ещё нет общепринятого алгоритма совместного уравнивания геодезических построений, и при написании программ всякий раз выбираются кажущиеся наиболее подходящими алгоритмы, в которые вносятся определённые коррекции. К примеру, вместо традиционных способов уравнивания может быть использован метод наименьших модулей, менее чувствительный к грубым ошибкам наблюдений, но в котором возникают определённые сложности с оценкой точности [62, 70, 73]. Хотя уже в [2] говорится, что по причине того, что координаты, по которым определяются параметры преобразования из одной системы координат в другую, содержат в себе ошибки измерений, наиболее приемлемым решением в такой ситуации является использование метода наименьших квадратов. 1.2 Методы математической обработки геодезических измерений
Широкое применение метода наименьших квадратов (особенно в теории математической- обработки геодезических измерений) связано, прежде всего, с тем, что ошибки измерений, как правило, подчиняются нормальному закону распределения [62].
Начиная примерно с 40-х годов XX века, с развитием новых технических средств и наблюдательных методик, появляются многочисленные модификации этого метода, основанные на довольно сложных алгоритмах обработки информации (например, фильтр Калмана-Бьюси и его модификации [15, 62, 74]).
Однако в теории математической обработки геодезических измерений, равно как и в геодезической практике, изначально наибольшее распространение получили и широко использовались, главным образом, два способа, основанные на методе наименьших квадратов: коррелатный способ, или способ условных измерений, и параметрический способ, или способ посредственных измерений. При первом из них поправки отыскивают непосредственно к измеренным величинам, при втором — к их функциям (как правило, координатам). Основные положения теории уравнивания этими двумя способами весьма полно и достаточно подробно освещены в [10-12, 14,30, 37 и др.].
Суть коррелатного способа состоит в отыскивании поправок к измеренным величинам через вспомогательные неопределённые множители, так называемые коррелаты. При этом задача нахождения минимума функции уравнения решается согласно способу Лагранжа, по результатам чего получают векторы поправок, преобразовывая которые, приходят к нормальным уравнениям коррелат, через которые и находят значения поправок.
Коррелатный способ позволяет производить уравнивание с контролем грубых ошибок измерений. Кроме того, при коррелатпом способе возможно производить уравнивание с учётом дополнительных неизвестных. И на протяжении долгого времени этот способ являлся основным мри уравнивании геодезических построений. Однако на сегодняшний день из-за сложности составления условных уравнений данный способ практически нигде уже не применяется [3, 58].
При параметрическом способе вычисление поправок производится не к измеренным величинам, а к параметрам, в качестве которых в геодезических сетях, чаще всего, выступают координаты и высоты пунктов. Также параметрический способ подразумевает непосредственное получение значений параметров.
Параметрический способ проще формализуется. Кроме того, он позволяет выполнять сплошную оценку точности всех имеющихся измерений. Позволяет уравнивать геодезические сети с учётом ошибок исходных данных. И хотя для реализации этого способа необходимо знать приближённые координаты пунктов сети их вычисление выполняется гораздо проще, чем составление условных уравнений при коррелатном способе [49, 50]. Современными задачами уравнительных вычислений являются: обеспечение устойчивости вычислительного процесса даже в том случае, когда система нормальных уравнений является сингулярной, или вырожденной, особенно в случаях ограниченного числа пунктов (например, при совместном уравнивании наземных геодезических сетей и спутниковых построений, когда вместе с вычислением поправок в приближённо известные величины необходимо определять ещё и параметры преобразования); и ряд других, не менее важных задач.
Очевидно, что ни параметрическим, ни коррелатным способом в полном объёме эти задачи решить весьма проблематично. Использование же любых других методов, отличных от метода наименьших квадратов, приведёт к тому, что любые полученные при обработке оценки будет сложно интерпретировать в смысле общепринятых статистических терминов (математическое ожидание, дисперсия, средняя квадратическая ошибка и т.д.) [62].
Метод сопряжённых градиентов
1. Совместное уравнивание геодезических сетей, построенных в разных системах координат, с определением параметров преобразования является весьма актуальной задачей уравнительных вычислений.
2. Анализ литературных источников [6-9, 12, 19, 25, 41, 43, 56, 69 и др.] показал, что вопросы совместного уравнивания геодезических сетей изучены и разработаны достаточно хороню, хотя имеются определённые сложности при оценке точности уравненных координат пунктов, а также параметров преобразования.
3. Изложенные в разделах 1.3 и 1.4 методы уравнивания позволяют решать современные задачи уравнительных вычислений. Способ условий с дополнительными неизвестными можно взять за основу алгоритма совместного уравнивания геодезических сетей, построенных в разных системах координат, если в качестве дополнительных неизвестных будут выступать параметры преобразования из одной системы координат в другую. А применение формул рекуррентного уравнивания позволит производить контроль грубых ошибок измерений и исходных данных.
4. Рассмотренный в разделе 1.5 метод сопряжённых градиентов предоставляет дополнительные возможности при уравнивании геодезических построений. При его применении можно уточнять координаты пунктов сетей и приближённые значения параметров преобразования на стадии вычислений. 2 Алгоритм уравнивания и объединения геодезических построений
В определённой мере любой алгоритм зависит как от содержания, так и от структуры исходной информации.
Структуру практически любого программного алгоритма уравнивания геодезических Структурная схема программного алгоритма уравнивания геодезических сетей
Исходными данными, включаемыми в совместную обработку, будут являться, с одной стороны, геоцентрические координаты, полученные в результате постобработки спутниковых измерений и их точностные характеристики, с другой стороны — плановые координаты х,-, уі наземных геодезических построений, этих же пунктов со своими точностными характеристиками, переведённые в прямоугольную пространственную геоцентрическую систему координат по известным формулам перехода [44, 45, 52] (для чего можно воспользоваться программой "TERSPACE", разработанной проф. Ю.И. Маркузе), а также нормальные высоты Ht , для перехода от которых к высотам геодезическим можно воспользоваться каргами аномалий высот є, используя соотношение [29, 54]
Исходным элементарным блоком данных, таким образом, здесь будут выступать координаты пунктов, поэтому при упрощённой формальной грамматике в соответствии с нотацией Бэкуса-Наура [49,50] структуру данных любой сети для нашего случая можно упрощённо описать следующей грамматикой: 1) проект ::= имя сети { пункт )і; 2) пункт ::=[ координата Х ][ координата У ][ координата Z ]. Элементы, которые заключены в квадратные скобки, в определённых случаях могут отсутствовать.
Такого подхода и такой совокупности данных вполне достаточно, чтобы программно определить топологию сети, её вид, а также схему вычислений. 2.2 Объединение геодезических построений
Уравнивание наземных геодезических сетей и спутниковых построений Условные уравнения связи, приведённые к линейному виду, с дополнительными неизвестными для каждого идентичного пункта і будут иметь вид во многом аналогично тем, что приведены в [39], только с матрицей составленной из координат, которые относятся к спутниковым построениям. Векторы поправок VT и Vs здесь равны VT = (sy) MVS = (O ]
Контролем при нахождении обратной весовой матрицы уравненных величин будет соблюдение равенства
Действительно, учитывая (2.26), аналогично матрице (2.19) можно составить такую магрицу Qs, для которой матрица перехода от а к S будет равна G.
Учитывая диагональные элементы матрицы весов уравненных величин, находятся средние квадратические ошибки отметок каждого пункта, а также средние квадратические ошибки параметров преобразования согласно известной формуле
Квадратичная форма будет вычисляться по формуле рекуррентного уравнивания для /-ой группы измерений [40]:
Вполне очевидно, что в качестве величины Ф -і следует рассматривать квадратичную форму, которая была получена при предварительном уравнивании спутниковых построений.
В случае необходимости полученные результаты можно перевести в систему плановых координат, используя формулы Боуринга [52], при помощи программы "SPACBTER", разработанной проф. Ю.И. Маркузе.
Экспериментально данный алгоритм был реализован в программной среде "MathCAD". Для иллюстрации его работы была взята сеть, схема которой представлена в приложении 1. Исходные данные для совместного уравнивания приведены в таблице 1 и таблице 2.
Уравнивание наземных геодезических сетей и спутниковых построений
Однако из всех элементов этой матрицы нас больше всего интересует нижний правый блок окончательного результата, представляющий собой обратную весовую матрицу уравненного вектора дополнительных неизвестных Qa. Тогда для параметра преобразования средняя квадратическая ошибка составит тпа=24.3 мм. (2.77) Аналогичным образом, учитывая диагональные элементы обратной весовой матрицы уравненного вектора измерений, можно найти средние квадратические ошибки отметок каждого пункта. Уже рассчитанные, эти ошибки представлены в таблице 12 и таблице 13.
Как видно, для общих пунктов значения средних квадратических ошибок совпадают, что следует из равенства (2.76) и свидетельствует о правильности решения. Таблица 12 — Результат преобразования отметок пунктов сети I
1. Рассмотренная в разделе 2.1 структура алгоритма совместного уравнивания геодезических сетей позволяет программно определить топологию сети и её вид, а также схему вычислений.
2. Рассмотренный в разделе 2.2 алгоритм на основе модифицированного способа условий с дополнительными неизвестными и рекуррентного уравнивания позволяет объединять и уравнивать различные геодезические построения, а также определять параметры преобразования, производя оценку их точности.
3. Применение в алгоритме метода сопряжённых градиентов позволяет уточнить приближённые значения параметров преобразования и уточнять координаты пунктов сетей на стадии вычислений. Применение в данной разработке формул рекуррентного уравнивания делает рассмотренный алгоритм удобным при проектировании геодезических сетей, так как позволяет легко включать и исключать измерения из уже уравненных сетей.
4. Рассмотренный алгоритм позволяет проводить контроль грубых ошибок измерений по невязкам условных уравнений, как в случае с коррелатным уравниванием, но, в данном случае, его существенно проще программировать, а, следовательно, намного легче внедрить в производство.
5. Применение в данной разработке формул рекуррентного уравнивания делает рассмотренный: алгоритм удобным при проектировании геодезических сетей, так как позволяет легко включать и исключать измерения из уже уравненных сетей.
6. Помимо всего прочего, применение в данной работе формул рекуррентного уравнивания оправдано также тем, что позволяет обходиться без повторного уравнивания с целью получения координат и отметок пунктов в единой системе координат и высот. То есть, в данном случае, рассматриваемая разработка позволяет избежать лишних технико-экономических затрат и экономит время и деньги за счёт исключения лишних организационных и производственных мероприятий.
7. Анализ результатов уравнивания геодезических сетей для приведённых выше примеров будет дан в следующем разделе. 3 Программная реализация алгоритма и его анализ
Рассмотренный в предыдущей главе алгоритм был реализован как программный модуль "CGM" (от англ. "conjugate gradient method" — метод сопряжённых градиентов), написанный лично автором на языке C++, для комплекса программ "MODGPS" по уравниванию плановых, высотных и спутниковых сетей. Текст программы представлен в приложении 4.
Для геодезических сетей, представленных на рис. 2.2-2.6, а также в приложении 1, было произведено сравнение уравненных результатов, полученных в программе "CGM" и в программах, разработанных проф. Маркузе Ю.И., по уравниванию нивелирных ("COMBINE 1") и плановых ("C0MBTNE5") сетей и объединению наземных и спутниковых сетей ("GPS-3D"), алгоритмы которых основаны на способе условий с дополнительными неизвестными, но в которых не используется метод сопряжённых градиентов.
Как видно из таблиц 14-16, результаты уравнивания в каждом случае практически совпадают.
Расхождения в результатах могут быть следствием ошибок округления, плохой обусловленности и нелинейности задачи относительно вектора а. Кроме того, как отмечено в [41], значения координат, определяемые по формулам (2.30) и (2.31), могут отличаться друг от друга. По этой причине было проведено исследование расхождений между значениями координатами пунктов, вычисленными по формулам (2.30) и (2.31). Таблица14— Сравнение результатов уравнивания, полученных в программах "CGM" и "GPS-3D"
Следовательно, можно полагать, что результаты, получаемые по формулам (2.30) и (2.31) совпадают, а использование исходной и линеаризованной формулы перехода из одной системы координат в другую приводит к совпадающим результатам и не оказывает существенного влияния на точность определения координат пунктов.
Также для объединения наземных и спутниковых геодезических сетей на примере сети, представленной в приложении 1, было произведено сравнение результатов уравнивания в пространстве (без учёта координаты Z) и на плоскости (аналогично уравниванию плановых сетей), данные по которому приведены в таблице 17.
Максимальное расхождение в полученных координатах составило 0.002 м (для Л") и 0.001 м (для Y), что для большинства случаев оказывается несущественным.
Кроме того, уравнивание на плоскости имеет некоторого рода преимущество над уравниванием в пространстве, так как нет необходимости в преобразовании в пространственную систему координат, а также отпадает надобность в знании геодезических высот и значений аномалий высот.
Таким образом, когда не требуется знать высоты пунктов, с точки зрения экономии процессорного времени компьютера и сокращения расчётов при объединении наземных и спутниковых геодезических сетей целесообразно отдавать предпочтение уравниванию на плоскости.
Уравнивание высотных сетей с разными системами высот
Таким образом, для большинства случаев эти расхождения не только не превышают средних квадратических ошибок определения координат пунктов, но и оказываются существенно меньше ошибок округления.
Следовательно, можно полагать, что результаты, получаемые по формулам (2.30) и (2.31) совпадают, а использование исходной и линеаризованной формулы перехода из одной системы координат в другую приводит к совпадающим результатам и не оказывает существенного влияния на точность определения координат пунктов.
Также для объединения наземных и спутниковых геодезических сетей на примере сети, представленной в приложении 1, было произведено сравнение результатов уравнивания в пространстве (без учёта координаты Z) и на плоскости (аналогично уравниванию плановых сетей), данные по которому приведены в таблице 17.
Максимальное расхождение в полученных координатах составило 0.002 м (для Л") и 0.001 м (для Y), что для большинства случаев оказывается несущественным.
Кроме того, уравнивание на плоскости имеет некоторого рода преимущество над уравниванием в пространстве, так как нет необходимости в преобразовании в пространственную систему координат, а также отпадает надобность в знании геодезических высот и значений аномалий высот.
Таким образом, когда не требуется знать высоты пунктов, с точки зрения экономии процессорного времени компьютера и сокращения расчётов при объединении наземных и спутниковых геодезических сетей целесообразно отдавать предпочтение уравниванию на плоскости.
1. Разработанная компьютерная программа "CGM" позволяет реализовывать рассмотренный в разделе 2.2 алгоритм математической обработки геодезических сетей, построенных в разных системах координат.
2. Для приведённых в разделе 2.2 примеров геодезических сетей, построенных в разных системах координат, уравнивание по рассмотренному в предыдущем разделе алгоритму и алгоритмам, основанным на другой методике, не использующей метод сопряжённых градиентов, приводит к практически совпадающим результатам, что свидетельствует о строгости уравнивания и правильности выбранного подхода.
3. Исследование по использованию исходной и линеаризованной формулы перехода из одной системы координат в другую показало, что линеаризация не оказывает существенного влияния на точность определения координат пунктов при математической обработке геодезических сетей, построенных в разных системах координат.
4. Также установлено, что уравнивание в пространстве и на плоскости при математической обработке наземных и спутниковых геодезических сетей, построенных в разных системах координат, приводит к практически совпадающим результатам. Заключение
Основные результаты теоретических и экспериментальных исследований, выполненных в диссертационной работе, заключаются в следующем:
1. Предложена структура алгоритма совместной математической обработки геодезических сетей, построенных в разных системах координат, ход вычислений в которой может определяться автоматически, исходя из имеющихся данных.
2. Разработан алгоритм совместного уравнивания геодезических сетей, построенных в разных системах координат, на основе модифицированного способа условий с дополнительными неизвестными с применением формул рекуррентного уравнивания и метода сопряжённых градиентов, позволяющий выполнять контроль грубых ошибок и уточнять приближённые значения параметров преобразования и координаты общих пунктов сетей на стадии вычислений. Проведённые исследования показали эффективность использования данного алгоритма.
3. Показано, что использование исходной и линеаризованной формулы перехода из одной системы координат в другую приводит к совпадающим результатам и не оказывает существенного влияния на точность определения координат пунктов.
4. Показано, что в случае, когда нет необходимости знать высоты пунктов, при объединении наземных и спутниковых геодезических сетей целесообразно выполнять уравнивание на плоскости.
Теоретические положения диссертации использовались в учебном процессе на кафедре геодезии и в учебно-вычислительном центре геодезического факультета МИИГАиК.
В дальнейшем решения, предлагаемые в данной работе, могут быть использованы при разработке универсального программного продукта по математической обработке геодезических сетей, построенных в разных системах координат, наилучшим образом соответствующего современным требованиям, предъявляемым к уравнительным вычислениям, который бы позволял совместно уравнивать и объединять различные геодезические построения без необходимости предварительного уравнивания отдельно каждой из сетей.
Подобные разработки должны найти достойное применение в наиболее перспективных средствах выполнения геодезических измерений многоцелевого назначения, которыми в грядущем будущем предсказуемо должны стать портативные приборы, совмещающие в себе спутниковый приёмник, электронный тахеометр, микропроцессор и блок хранения информации.
