Содержание к диссертации
Введение
1. Концепции трехмерного моделирования 10
1.1. Основные задачи и принципы трехмерного моделирования объектов местности 10
1.2. Стратегии и проблемы 3D - моделирования местности 13
1.3. Математическая основа 3D - моделирования 21
1 Пространственные преобразования 24
2 Трехмерное масштабирование 25
3 Трехмерные сдвиги 26
4 Трехмерное вращение 26
5 Трехмерное отражение 27
6 Пространственный перенос 28
7 Поворот вокруг произвольной оси в пространстве 29
1.4. Программные средства для 3D-моделирования местности 32
1.5. Методы обработки трехмерных данных с электронных тахеометров 37
1.6. Применение геоинформационных систем для 3D - анализа и визуализации цифровых топографических моделей 42
1.7. Разработка трехмерной сцены застроенной территории на основе ГИС технологий 44
2. Исследование точности геопространственных данных 49
2.1. Критерии оценки точности геопространственных данных 49
2.2. Ковариационная матрица 51
2.3. Эллипсоид погрешностей 55
2.4. Определение параметров эллипсоида погрешностей 56
2.5. Оценка точности геопространственных данных 60
2.6. Оценка точности длин пространственных линий 65
2.7. Оценка взаимного положения пространственных пунктов 68
2.8 Определение ошибок пространственного положения пунктов тахеометрического хода 71
2.9 Точность определения объемов земляных масс 75
3 Моделирование рельефа местности 78
3.1 Некоторые аспекты трехмерного моделировании рельефа местности 78
3.2 Принципы аппроксимации поверхностей 80
3.3 Моделирование на основе интерполяционного полинома 84
3.4 Аппроксимация на основе среднего квадратического приближения функций 88
3.5 Интерполяционные сплайны для 3D моделирования 94
3.5.1 Натуральные сплайны в многомерном пространстве 96
3.5.2 Другие виды сплайн аппроксимации 99
4 Решение инженерных задач на основе ЦМР 101
4.1 Геопространственный анализ 101
4.2 Построение горизонталей 106
4.3 Построение профилей линий местности 107
Заключение 112
Приложение 1 Список программ для 3D проектирования и моделирования 117
Приложение 2 Трехмерные модели зданий СГГА 126
Приложение 3 Фрагменты трехмерной карты г. Новосибирска. 128
Приложение 4 Вычисление объемов земляных работ и их оценок 129
Приложение 5 Координаты (абсциссы) вершин сетки тестовой модели 130
Приложение 6 Исходный текст программы для моделирования сплайнами 133
Приложение 7 Фрагмент программы «Профиль местности» 136
Источники 137
- Стратегии и проблемы 3D - моделирования местности
- Принципы аппроксимации поверхностей
- Натуральные сплайны в многомерном пространстве
- Геопространственный анализ
Введение к работе
Актуальность. Возможно, самым значительным достижением последнего времени в геодезии и ряде смежных отраслей науки и производства стало активное внедрение современных измерительных систем и программно-технических комплексов
Как известно, современные технологии позволяют более эффективно решать задачи по созданию информационной основы для устойчивого развития территорий Вместе с тем, применение инновационных технологий связано с решением целого ряда проблем информационного и топографо-геодезического обеспечения проектных и строительных работ
При проектировании (планировании) и изыскании нового строительства, реконструкции и реставрации существующих объектов становится целесообразным использование цифровых трехмерных моделей местности Особое значение трехмерные модели приобретают при проектировании и строительстве уникальных инженерных сооружений
В последнее время трехмерные цифровые модели местности (ЦММ) находят применение при создании и развитии генеральных планов городов и поселков Это связано с тем, что такие модели являются более реалистичным информационным обеспечением для принятия правильного решения застройки территории
Применение цифровых моделей позволяет упростить процессы планирования, контроля и принятия решений, что особенно важно в городских районах с плотной застройкой Уже сейчас одно из условий безошибочного строительства здания базируется на построении его трехмерной модели Вероятно, в ближайшей перспективе без трехмерной модели не будет обходиться ни один строительный проект
Трехмерная модель несет более полную информацию об объектах и рельефе местности и позволяет выполнять пространственные измерения, определять геометрические параметры объектов, вычислять объемы земляных работ и т д
Однако создание и использование трехмерных моделей затрудняется за счет большого объема данных Появляются некоторые вопросы при обработке трехмерных данных и создании векторной трехмерной модели, приемлемой для дальнейшего использования.
Важными на сегодня представляются также вопросы "улучшения качества алгоритмов моделирования рельефа, определения объемов земляных работ, построения разрезов и профилей местности, а также оценки точности геопространственных данных.
Цель диссертационной работы: исследование и разработка методов комплексной обработки и оценки геопространственных данных для создания цифровых моделей местности (ЦММ) и использования их в инженерной практике
Задачи исследования Для достижения цели диссертационной работы поставлены следующие основные задачи
исследовать современные технологии и стратегии ірехмерного моделирования и выявить их особенности практического использования в России и за рубежом
определить требования к созданию и точности трехмерных объектов местности и установить критерии оценки точности для пространственно связанных (зависимых) данных,
сделать обзор программно-технических комплексов для сбора и первичной обработки геопространственных данных, а также выполнить анализ и выбор программных продуктов для пространственного анализа и трехмерного моделирования
обьединить безотражательный способ съемки с производительными методами обработки трехмерных данных и применить геоинформационные системы и технологии для создания и визуализации трехмерных сцен застроенных территорий,
провести анализ и разработку алгоритмов для получения цифровых моделей рельефа (ЦМР) местности,
уточнить возможности и методы решения инженерных задач на основе ЦММ.
Объект и предмет исследования. Объектом исследования в работе являются цифровые пространственные модели местности (ЦПММ) Предметом исследования являются методы создания и использования трехмерных видеосцен застроенных территорий
Информационная и методологическая база исследований. В основу исследования положены современные информационные и геоинформационные системы и технологии, математический аппарат линейной алгебры, теории матриц, метода наименьших квадратов и теории сплайновых приближений При этом использовались современная электронно - вычислительная, микропроцессорная и измерительная техника, а также прикладное и специальное программное обеспечение
Кроме того, исследования базировались на существующем опыте и анализе работ российских и зарубежных ученых в области машинной графики Аммерал Л., Виноградов А Д , Гринь А Н , Иванов С В , Иванников В П., Кулагин В П , Роджерс Д , Хрущ Р М , в облас-
ти геодезии и картографии Гребенников А И, Жалковский Е А., Жданов Н Д , Иванов А В , Комиссаров Д.В , Лисицкий Д В , Халугин Е И , в сфере геоинформационных систем и технологий Бугаевский Л М , Громов Г Р Кошкарев А В , Тикунов В С Цветков В Я , в сфере математического анализа Бахвалов Н С , Башков Е А , Вовк И. Г , Вентцель Е С , Гирлин С К , Гуляев Ю П , Гребенников А И , Пауков Д П , в области исследования и проектирования геопространственных данных, Карпик А П , Коробков С А , Журкин И. Г , в теории и практики сплайновых приближений, Василенко В А Гончаров В Л , Игнатов М И , Ильин В П , Макаров В Л , Мирный В В , Несмеянов В Ю , Певный А Б., Харунжий А. А , Хлобыстов В В , в области вычислительной математики Бахвалов Н С, Ефимов Н В Кузнецов Ю. И и др
Научная новизна диссертационной работы. Научная новизна работы заключается в том что
а) разработаны методы создания трехмерных цифровых моделей
местности и трехмерных видеосцен на основе интеграции информа
ционных и геоинформационных систем и технологий и современных
программно-технических комплексов,
б) предложены методы математической и графической обработ
ки, анализа и оценки точности геопространственных данных для пе
редачи в ГИС и создания трехмерных цифровых карт и планов
в) получена новая цифровая модель рельефа в виде гладкой (не
прерывной) поверхности на основе функций приближения
Теоретическая значимость работы. С теоретической точки зрения следует отметить
принципы и стратегии создания ЦММ для решения инженерных задач и пространственного анализа в среде ГИС,
алгоритмы оценки точности геопространственных данных на основе ковариационных матриц и среднего квадратического эллипсоида погрешностей,
основные аспекты трехмерного моделирования рельефа местности и принципы создания поверхностей на основе сплайн аппроксимации, а также среднего квадратического приближения функций и интерполяционного полинома
Практическая значимость работы. Результаты исследования, полученные в данной работе, могут быть использованы в геодезии и геологии, в инженерно-геодезической и маркшейдерской практике, в топографических и картографических работах, а также в процессе
-
Съемочных работ (наземной сьемки местной и, съемки фасадов зданий, памяіников и уникальных объектов местности),
-
Создания ірехмерньїх цифровых топографических моделей местности и сложных инженерных сооружений (формирования цифровых моделей ситуации и рельефа, построения 3D-сцены),
-
Решения инженерных задач и пространственного анализа (определения обьемов земляных масс, построения разрезов и профилей и оценки точности геопрострапешенных данных)
Полученные результаты позволят расширить методы создания ЦММ и достичь экономического эффекта от внедрения данных методов в топографо-геодезическое и картографическое производство На защиту выносится следующие положения:
а) методика обработки геопространственных данных для созда
ния трехмерных ЦММ на основе наземных съемок и современных
программно-технических комплексов;
б) методы математической обработки и оценки точности трех
мерных данных, как информационной основы для ГИС - анализа и
создания пространственных видеосцен,
в) методы моделирования рельефа местности на основе алго
ритмов приближения для получения оптимальных (сглаженных) по
верхностей и решения инженерных задач на основе ЦМР.
Основные результаты исследования. В качестве основных результатов диссертационной работы следует отметить методы обработки и математического моделирования геопространственных данных в целях создания ЦПММ и моделей объектов застроенных территорий. Они заключаются в интеграции соответствующего программно-технического комплекса на основе CAD и ГИС технологий При этом
исследованы необходимые источники метрических и атрибу
тивных данных и, в том числе, результаты трехмерного лазерного
сканирования и электронной тахеометрии для создания ЦПММ,
определены требования к математической обработке про
странственно зависимых данных при создании съемочного обоснова
ния и установлены наиболее рациональные критерии оценки точно
сти в виде ковариационной матрицы, а также среднего квадратиче-
ского эллипсоида погрешностей
рассмотрена математическая обработка тахеометрического хода с точки зрения совместного определения координат и высот его пунктов и их оценок
получены формулы для оценки точности длин пространственных линий и взаимного положения пунктов в трехмерном пространстве,
получена новая (гладкая) цифровая модель рельефа местности на основе сплайн аппроксимации
Реализация и апробация результатов работы. Для реализации основных положений, приведенных в диссертации, выполнены экспериментальные исследования с применением безотражательных электронных тахеометров и специального программного обеспечения, в том числе RealWoiks Suivey (Mensi, Франция), RapidFoim (INUS Technology, Корея), I-Site Studio (I-SiTE Limited, Австралия), Cyclone (Cyia Technologies, США) и др
Автором составлены компьютерные программы на алгоритмических языках Pascal («Профиль местности»), Марі («Сплайн-апроксииаг/ия») для выполнения практических расчетов на ЭВМ и .подтверждения выводов и заключений, приведенных в работе
Результаты исследования, полученные в диссертационной работе, внедрены в учебный процесс СГГА, а также использованы при построении ЦММ и трехмерных видеосцен для территории г Новосибирска и цифровых моделей объектов (зданий) СГГА
Основные теоретические и практические результаты были доложены и обсуждались на следующих конференциях Международный научный конгресс ГЕО-Сибирь - Новосибирск 2006, Между народный научный конгресс ГЕО-Сибирь - Новосибирск 2007
Полученные автором результаты могут быть использованы в качестве дополнительного источника знаний для информационного обеспечения проектно-изыскательских, архитектурно-планировочных и инженерно-геодезических работ, выполняемых как в РФ, так и в Сирии
Публикации. Результаты исследований и основные положения диссертации изложены в 5 работах
Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографии (102 наименования) Общий объем работы составляет 145 страниц, 22 рисунка, 3 таблицы и 7 приложений
Стратегии и проблемы 3D - моделирования местности
Вопросам 3D - моделирования местности посвящен целый ряд публикаций в России и за рубежом [75,78-80, 83,84] и др.
Известно, что модель может быть определена как описание реального мира. Можно выделить концептуальную модель, графическую, физическую, математическую модели и др. Цифровая трехмерная модель местности является одним из фундаментальных компонентов трехмерного пространства. Такая модель может быть построена:
полуавтоматическим моделированием объектов на основе цифрового изображения местности;
автоматическим построением объектов на основе двумерных данных (методом «выдавливания»);
трехмерным конструированием в объектном пространстве.
Имеется несколько стратегий 3D моделирования. Наибольшее распространение получили такие стратегии как:
моделирование на основе двумерных данных и высот точек местности;
моделирование с учетом перехода от 2D в 2,5D (где используется высота объектов);
автоматическое и полуавтоматическое моделирование по цифровым материалам на основе стереоизображений;
3D моделирование с помощью CAD - систем;
математическое 3D моделирование на основе специальных пакетов прикладных программ и т. д.
Наиболее перспективным методом 3D моделирования является топологическое проектирование объектов с учетом взаимосвязей между вершинами, ребрами, поверхностями, а также телами и полостями таких объектов [83]. В этом случае принимаются во внимание следующие топологические отношения:
взаимосвязи точек, принадлежащих одной поверхности;
взаимосвязи точек, лежащих на одной линии;
взаимосвязи ребер данной поверхности;
затенение элементов какой - либо поверхностью.
Потребность в реалистичном отображении окружающего мира увеличивает значимость трехмерного проектирования и моделирования. 3D модели облегчают планирование, контроль и принятие решений во многих отраслях производства. Трехмерная фотореалистичная визуализация территорий методами компьютерной графики и создание муниципальных трехмерных ГИС способны изменить технологию и практику управления городом, городского планирования окружающей среды, разработки и ведения проектов. Современные графические станции в состоянии обрабатывать и визуализировать огромные объемы данных, необходимые для создания фотореалистичных трехмерных моделей городских ландшафтов.
Все объекты при построении реалистичной виртуальной сцены требуют проработки как минимум двух компонент: геометрической формы объекта, с одной стороны, и текстуры объекта - с другой.
В современных программных продуктах для эффективной визуализации городских территорий обычно применяется несколько уровней геометрической сложности объектов местности, а именно:
1. Точки;
2. Блочные модели с одноцветной заливкой;
3. Основные конструкции с упрощенными текстурами;
4. Детализированные модели с применением детальных текстур. При этом имеется несколько уровней абстрагирования при трехмерном моделировании:
символьный уровень - объекты отображаются символами и заранее оговоренными условными знаками;
типовой уровень - виртуальные объекты имеют форму, принципиально схожую с формой реальных объектов;
реалистичный уровень - при таком типе построения сцены отображается как реальная форма объекта, так и его текстура.
К текстурам объектов для обеспечения наглядности трехмерных видеосцен предъявляются особые требования, так как от их реалистичности зависит визуальное восприятие цифровых городских ландшафтов.
При построении трехмерных сцен как правило используют вид сверху или изометрический вид, хотя для реалистичной визуализации требуются виды с различных точек пространства. Например, для оценки района застройки можно использовать вид с высоты птичьего полета, а для просмотра фасадов зданий и окружающего ландшафта - с небольшой высоты.
Все вышеуказанные способы просмотра виртуального пространства выдвигают различные требования к использованию текстур. Например, для построения сцены, имитирующей вид с большой высоты, достаточно использовать текстуру подстилающей поверхности - аэрофотоснимок или космический снимок высокого разрешения, а для более наглядного отображения зданий векторные данные в виде обычных примитивов объектов.
В то же время, для просмотра архитектурных особенностей зданий требуется вид с высоты 3-5 метров над поверхностью земли. При этом требования к качеству прорисовки текстур и геометрическим формам объектов возрастают в несколько раз, из-за чего время создания такой модели значительно увеличивается.
Фотореалистичная визуализация городской территории требует больших усилий по сбору исходной информации, геометрическому моделированию отдельных объектов и созданию итоговой модели (сцены). Трехмерная сцена, состоит из модели местности (земной поверхности) и моделей наземных объектов. Поэтому при создании трехмерной сцены необходимо раздельно формировать модели поверхности городской территории и трехмерных объектов.
В процессе создания моделей решают две задачи: конструирование геометрии и текстурирование модели. Информация о геометрических параметрах объектов может быть получена с топографических карт и планов, аэрофотоснимков, а также путем прямых измерений на местности и т. д. При этом возможно применение топологии, что позволяет в дальнейшем использовать общую метрическую информацию для соседних объектов при помощи подробного описания пространственных взаимосвязей.
Метрику объектов видеосцены определяет система координат, в которой создана ЦММ. Выбор местной прямоугольной системы координат позволяет упростить совмещение моделей местности и городских объектов, которые также создаются в прямоугольной системе координат.
Преобразование аэро - или космических снимков в местную систему координат осуществляется, как известно, посредством ортотрансформирования с использованием электронных или растровых изображений карт и планов, представленных в заданной системе координат.
При этом могут быть использованы также результаты измерений, выполненных с помощью GPS и электронных тахеометров.
Чтобы увеличить качество текстуры земной поверхности для улучшения визуализации требуется дополнительная обработка изображения, цифровая фильтрация и ретуширование отдельных областей.
Важной составляющей фотореалистичной модели застроенной территории являются 3D модели объектов: зданий, сооружений, растительности и т. д. В общем случае, для показа зданий могут быть использованы цифровые снимки, которые необходимы для рендеринга и текстурирования моделей.
Использование фотореалистичных текстур является важным моментом при создании 3D - моделей для городских территорий. Так как фотореалистичное текстурирование, примененное к 3D моделям, дает наиболее близкое к действительности отображение окружающего мира.
Принципы аппроксимации поверхностей
В современных технологиях существует потребность в преобразовании информации, выраженной в графической и неграфической форме, для автоматизации ее обработки на ЭВМ. Так в геодезии и топографии, в ряде случаев, приходится аппроксимировать физическую поверхность для отображения ее на картах или планах.
Под аппроксимацией понимают замену одних объектов другими, более простыми, но близкими к исходным или природным. В частности, поверхности всех Платоновых тел аппроксимируют поверхностью сферы, но наиболее полно это делает поверхность икосаэдра, состоящая из 20 равносторонних треугольников. Замена кривой поверхности такой многогранной, у которой гранями являются треугольники, как известно, называется триангуляцией. Возможности достижения этой цели определяются особенностями структуры аппроксимируемой поверхности. Всякая кривая поверхность имеет свой многогранный прототип, является как бы пределом, к которому стремится вписанная в нее или описанная вокруг нее многогранная поверхность при условии бесконечного увеличения ее граней. Замена естественной топографической поверхности более простой геометрической может быть выполнена путем построения какой - либо математической модели (полиномиальной, сплайновой, в виде рядов и т.д.).
Под математической моделью понимается некоторый закон, который определенному набору координат и отметок на местности ставит в соответствие адекватную поверхность. Естественно потребовать, чтобы эта поверхность была как можно ближе к истинной поверхности рельефа - это и есть условие аппроксимации. Современный математический аппарат позволяет использовать довольно мощные алгоритмы обработки данных и построения подобных моделей. Однако не всегда их усложнение приводит к улучшению аппроксимации. Остановимся на одной из простейших математических моделей и исследуем её на предмет практического использования.
Наиболее простым приближением поверхности можно считать кусочно-плоскостное. В этом случае вся местность разбивается на треугольные грани (полигоны), в вершинах которых находятся известные отметки. При этом полигоны не должны содержать известные отметки на своих границах и во внутренних частях. Иными словами, нужно построить триангуляцию по точкам с известными координатами и отметками. Для этой цели наиболее подходящим алгоритмом является триангуляция Делоне, методика которой подробно изложена в соответствующей литературе, например, [64, 70].
После построения треугольных полигонов внутри каждого из них проводится плоскость, проходящая через заданные вершины. Несложно показать, что такая плоскость определяется единственным образом по координатам и отметкам вершин полигона (при выполнении естественного условия, что эти вершины не лежат на одной прямой). В итоге получается кусочно-плоскостная (многогранная) поверхность, которая является первым и наиболее простым приближением.
Однако, несмотря на идейную и вычислительную простоту данного метода, он становится неприемлемым, когда геодезическая съемка на местности произведена разреженно и взятых отметок недостаточно для детального знания строения рельефа. В этом случае наблюдается грубая линейная интерполяция высот между отметками, а горизонтали, построенные на основе этого метода, будут иметь вид ломаных линий.
Очевидно, что кусочно-плоскостное приближение не может удовлетворять потребностям пространственного анализа, так как дает весьма приближенные результаты и не позволяет получить достаточно гладкую поверхность. Данный пример позволяет заключить, что перед построением той или иной математической модели необходимо изучить и формализовать требования, поставленные перед желаемым результатом. Проведем эту формализацию применительно к нуждам геодезии и топографии. Очевидны следующие требования к аппроксимирующей поверхности:
1. Поверхность проходит через точки с известными отметками, либо находится в достаточно малом удалении от них;
2. В промежутках между точками с известными отметками поверхность расположена по возможности наиболее близко к истинной поверхности рельефа;
3. Аппроксимирующая поверхность является достаточно гладкой, без изломов и разрывов, если только рельеф местности не предполагает обратного;
4. Поверхность задается достаточно простым образом, например, некоторой математической формулой или их совокупностью;
5. С поверхностью достаточно легко и удобно вести работы по визуализации, построению горизонталей, буферных зон и по решению прочих задач анализа в ГИС;
6. Алгоритм построения поверхности по возможности экономичен, прост в обращении и может быть реализован на современных ЭВМ, алгоритм является устойчивым на всевозможных входных данных.
В современной математической теории аппроксимации функций имеется множество различных способов добиться нужного результата. Вопросам аппроксимации функций посвящены работы многих авторов, среди которых являются Макаров В. Л., Хлобыстов В. В., Ильин В. П., Кузнецов Ю. И., Игнатов М. И., Певный А. Б., Гончаров В. Л., Несмеянов В.Ю., Мирный В.В., Василенко В.А. и другие. Интересные результаты по аппроксимации рельефа местности были получены в работе Харунжего А. А.
В число алгоритмов аппроксимации функций, вызывающих особый интерес, входят полиномиальная аппроксимация, приближение на основе статистических предположений, сплайн приближения, аппроксимация последовательными приближениями из функций некоторого класса, приближения построением определенных рядов и другие. Каждый из перечисленных алгоритмов предполагает акцентирование внимания на выполнение того или иного свойства полученной функции, например, принадлежность некоторому пространству, дифференцируемость и другие. Большинство из этих свойств индифферентны нуждам геодезии и топографии, поэтому следует выбрать наиболее экономичные и универсальные методы. В этом несомненным преимуществом пользуется полиномиальная аппроксимация, то есть приближение некоторыми многочленами, которое заключается в следующем.
Ставится задача нахождения полинома от двух переменных, трехмерный график которого удовлетворяет шести выше перечисленным требованиям. Следует отметить, что свойства 3-5 при этом выполнены автоматически. Поскольку многочлен является непрерывной и бесконечно дифференцируемой функцией своих аргументов, то его график является гладким. Для дальнейшей разработки алгоритмов и их изучения необходимо ввести некоторые определения и обозначения. Назовем областью Q некоторый прямоугольник в плоскости (х,у), в котором содержаться все точки с известными отметками. Необходимо отметить, что в данной области Q может быть произведено некоторое преобразование координат (х,у) типа растяжения, сжатия и сдвига. Это сделано для удобства ввода данных и при необходимости всегда может быть выполнено обратное преобразование.
Натуральные сплайны в многомерном пространстве
Рассмотрим аналогичную задачу построения кусочно-полиномиальной интерполирующей функции в двумерном пространстве. Первая проблема состоит в следующем: не ясно каким образом определять двумерные аналоги промежутков - полигоны. Но даже если предположить, что они определены (например, триангуляцией Делоне), возникает вопрос о методе сглаживания полиномов соседних полигонов. Для данной процедуры необходимо приравнять производные многочленов вдоль границы полигонов, а также иметь информацию о производных аппроксимируемой функции в узлах сетки. Последнее требование практически невыполнимо при моделировании поверхностей, поскольку для этого будет необходимо измерить углы наклонов в различных направлениях в окрестности точек, в которых взяты отметки.
По этой причине применение локальных сплайнов для построения трехмерных моделей местности нецелесообразно. Исключение может составить лишь интерполирование с использованием так называемых В -сплайнов. Однако данный математический аппарат является довольно громоздким и его обсуждение выходит за рамки этой работы.
В нашем случае целесообразно получить интерполирующий сплайн как решение некоторой вариационной задачи. Аналог функционала (148) для двумерной функции выглядит следующим образом
Эта функция является двумерным аналогом натурального сплайна (149). Её вывод осознанно опущен, так как он требует ссылок на нетривиальные заключения вариационного исчисления. С кратким вариантом получения формулы (152) можно ознакомиться в [32].
Натуральный сплайн (152) определяется сеткой узлов (x f , набором коэффициентов сі. и неизвестным полиномом О0(х). Последний, в свою очередь, определяется своими коэффициентами ак при мономах x yj. Пусть количество мономов в многочлене степени г-равно т, тогда для определения сплайн - функции необходимо найти N+m неизвестных d, и ак.
Таким образом, получаем следующий алгоритм построения двумерного интерполяционного сплайна:
1. Вводим сетку узлов XX,X2,...XN, значения аппроксимируемой функции в них fi,f2,...fN, а так же число г - показатель гладкости сплайна.
2. Строим матрицу неизвестных
3. Формируем столбец неизвестных и столбец свободных членов
4. Решаем полученную систему линейных уравнений: Ma = f. (160)
5. Используя найденные коэффициенты, составляем искомую сплайн-функцию по формуле (152).
Необходимо сделать замечание о выборе значения показателя г. Его минимально возможное значение равно двум. При таком его выборе в результате получается один раз дифференцируемая функция. Это значит, что полученная поверхность визуально будет гладкой, без изломов. При увеличении показателя г функция может быть продифференцирована большее количество раз. Однако подобные её свойства нужны в несколько других сферах, для нужд геодезии и топографии достаточно просто гладкой поверхности. Следовательно, увеличивать показатель г не имеет особого смысла.
Геопространственный анализ
Целый ряд задач, поставленных в ГИС, могут быть решены на основе дискретной информации о поверхности рельефа, то есть информации об отметках определенных точек местности. Зачастую этой информации недостаточно для решения той или иной задачи. Тогда приходится прибегать к приближенному вычислению дополнительных отметок. Разумеется, это приводит к некоторой потери точности результата.
Непрерывная модель (гладкая поверхность), в отличии от дискретной, позволяет избежать округлений и, без выполнения тех или иных операций с нею, даёт практически точные результаты. Несмотря на то, что непрерывная модель также несет в себе некоторые погрешности (полностью не совпадает с истинной поверхностью рельефа), при решении многих задач пространственного анализа повторной потери точности не происходит. Данное заключение основано на том, что любые операции по выяснению геометрического строения гладкой поверхности - а именно в этом состоят многие задачи пространственного анализа, могут быть выполнены с любой, наперед заданной, точностью.
Для выполнения экспериментальных исследований и проверки работы алгоритмов, предложенных в третьей главе, используем цифровую модель рельефа, приведенную на рисунке 16, как исходную (тестовую) модель поверхности.
Данная модель создана на основе алгоритма Делоне по технологии Credo. С помощью программного продукта Credo mix определена регулярная сетка (сетка квадратов) с шагом 10 на 10 метров и общим размером приблизительно 30000 м (периметром 600 метров). Координаты и отметки вершин этой сетки, взятые из тестовой ЦМР в количестве 266 точек, приведены в приложении 5. Вообще говоря, для моделирования могут быть взяты координаты и отметки любых точек, не совпадающих с узлами сетки.
Отметки, взятые из тестовой модели поверхности, находятся в пределах от 181.180 до 187.425 м. Необходимо отметить, что координаты вершин сетки даны в системе проекта и изменяются по оси абсцисс от 2893.649 и до 3098.817 м, а в ординатах от 7065.810 до 7264.975 м.
Кроме того, тестовая модель рельефа, построенная в ArcScene, приведена на рисунке 18.
Таким образом, объектом исследования в данном случае является цифровая модель рельефа, построенная на основе триангуляции Делоне, с целью получения адекватной модели на основе интерполяционного полинома.
Для моделирования тестовой поверхности используем алгоритм, приведенный в разделе 3.5.1 (Натуральные сплайны в многомерном пространстве). В приложении 6 показана реализация вышеизложенного алгоритма на основе программного продукта Maple. Результат его работы при г = 2 можно увидеть на рисунке 19. Как видно, сплайн-интерполяция даёт качественный результат, а поверхность является гладкой и в точности проходит через узловые точки с заданными отметками.
Визуализация рельефа с помощью горизонталей для вновь полученной модели показана на рисунке 20. Изолинии, построенные по новой поверхности, сформированной на (рис. 19), повторяют изолинии тестовой модели рельефа, представленной на рисунке 16.
Сравнительный анализ показывает, что имеется практическая возможность для создания новой модели в виде гладкой (непрерывной) поверхности на основе сплайн интерполяции.
