Содержание к диссертации
Введение
РОЗДІЛ 1. Інтерпретація геопотенціальних полів: короткий літературний огляд 9
1.1. Основні етапи розвитку теорії та практики інтерпретації потенціальних полів 9
1.2. Загальна постановка прямої та оберненої задачі 14
1.3. Некоректність обернених задач гравіметрії 17
РОЗДІЛ 2. Побудова інтерпретаційної моделі . 24
2.1. Параметризація моделей блочно-побудованого геологічного середовища 24
2.1.1. Клас криволінійних уступів 25
2.1.2. Клас двовимірних контактних поверхонь 29
2.1.3. Клас тривимірних контактних поверхонь 33
2.2. Місце апріорної інформації при формуванні фізико-математичної моделі 35
2.3. Теоретичне дослідження еквівалентності розв’язків оберненої задачі гравіметрії в класі контактних поверхонь 39
2.4. Модельовані компоненти полів 45
2.5 Пряма задача для вибраних модельних класів 46
2.5.1 Пряма задача в класі криволінійних уступів 47
2.5.2 Пряма задача в класі контактних поверхонь 48
2.6 Визначення похідних гравітаційного потенціалу за функцією заданою таблично 51
РОЗДІЛ 3. Програмно-алгоритмічні особливості розв’язання обернених задач 56
3.1 Метод підбору при розв’язанні оберненої задачі 56
3.1.1. Способи співставлення спостережених та теоретичних даних 57
3.1.2. Мінімізації яружних багатопараметричних функціоналів 59
3.1.3. Єдиність розв’язування оберненої задачі методом підбору 63
3.2. Методи прямого пошуку в оптимізаційних задачах 65
3.3. Пошук розв’язку оберненої задачі у параметричному просторі за допомогою алгоритму околів 70
3.3.1. Діаграми Вороного 70
3.3.2. Алгоритм околів при апроксимації параметричного простору 72
3.3.3. Генерування комірок Вороного в багатопараметричному просторі 74
3.4. Рекомендована методологічна послідовність при розв’язанні обернених задач гравіметрії з використанням алгоритму околів 79
РОЗДІЛ 4. Результати опробування методів на модельних задачах 81
4.1. Результати підбору модельних аномалій в класі криволінійних уступів 81
4.2. Модельні задачі в класі двовимірних контактних поверхонь 85
4.3. Підбір модельних аномалій в класі тривимірних контактних поверхонь 95
4.4. Знаходження розв’язків оберненої задачі гравіметрії за допомогою
алгоритму околів 102
РОЗДІЛ 5. Практичне застосування розробленого програмного забезпечення при розв’язанні інтерпретаційних задач 107
5.1. Інтерпретація матеріалів гравітаційних спостережень в районі Актюбінська 108
5.2. Результати гравіметричного моделювання при дослідженні глибинної будови Карпатського регіону 112
Висновки 118
Список використаних джерел 120
Додатки 133
- Загальна постановка прямої та оберненої задачі
- Місце апріорної інформації при формуванні фізико-математичної моделі
- Методи прямого пошуку в оптимізаційних задачах
- Модельні задачі в класі двовимірних контактних поверхонь
Введение к работе
Актуальність теми. Проблема розвитку ефективних методів пошуку та розвідки покладів корисних копалин завжди була актуальною для України, і особливої негайності набула зараз як один із шляхів забезпечення країни власним паливно-енергетичним ресурсом.
Гравірозвідка займає важливе місце в системі геофізичних методів, що застосовуються при вивченні будови земної кори та верхньої мантії, а також при пошуках та розвідці покладів корисних копалин.
Зростаючі темпи удосконалення обчислювальної техніки дозволяють ставити та розв’язувати інтерпретаційні задачі значно вищого рівня складності, ніж раніше. Тому розробка економічних, геологічно ефективних та зручних у користуванні комп’ютерних систем інтерпретації гравіметричних даних для складно побудованих моделей середовища, формування нових підходів та принципів розв’язування конкретних геологічних задач вивчення глибинної будови земної кори за допомогою математичного моделювання є важливими та актуальними.
В цій роботі представлені результати дослідження апроксимаційних можливостей деяких модельних класів, що описують складні геологічні середовища, а також алгоритми, розроблені з метою підвищення інтерпретаційної ефективності обернених задач. В ході виконання роботи знайшли також вирішення або уточнення такі фундаментальні питання як мінімізація багатопараметричних функціоналів, пошук множини еквівалентних розв’язків, формування моделі початкового наближення.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. В дисертаційній роботі викладені результати досліджень автора у відділі математичної геофізики Інституту геофізики ім. С.І. Субботіна Національної академії наук України. Дослідження проводилися в рамках наукової теми: МГ1 «Розвиток та узагальнення математичних методів обробки та інтерпретації геофізичних полів» (№ 1.5.2.54, 2001-2005, № державної реєстрації 0101V000667).
Мета і завдання дослідження. Метою роботи є розробка теорії та методичного, алгоритмічного і програмного забезпечення розв’язування прямих та обернених задач гравіметрії в класі блочно побудованих геологічних моделей, які можуть бути представлені сукупністю криволінійних уступів або контактних поверхонь, відпрацювання методики використання програмного комплексу для практичного моделювання густинних джерел за полем сили тяжіння та виміряними його компонентами. Для досягнення цієї мети були поставлені завдання:
1. Побудувати апроксимуючі конструкції для моделювання розрізів та об’ємів досліджуваного середовища, які забезпечують детальність опису геологічних об’єктів з одного боку, та простоту і малопараметричність задачі з іншого.
2. Теоретично обґрунтувати побудову моделей початкового наближення на основі методів прямого пошуку.
3. Розробити процедуру побудови моделей початкового наближення в умовах зростаючої складності й багатоваріантності геологічних моделей.
4. Розробити ефективне алгоритмічне та програмне забезпечення для розв’язання обернених задач гравіметрії, що забезпечує такі можливості: а) знаходити геометричну форму моделі збурюючих об’єктів (нелінійна постановка оберненої задачі); б) виконувати моделювання, використовуючи як методи автоматизованого підбору, так і методи прямого пошуку; в) розв’язувати рудні та структурні задачі у профільному та площинному варіантах.
5. Виконати ряд досліджень методом обчислювального експерименту на моделях джерел рудного та структурного типу з метою формування об’єктивних висновків щодо особливостей розв’язуваних задач, збіжності ітераційних процесів в оптимізаційних процедурах, точності отриманих розв’язків, можливих меж практичної еквівалентності, ефективності використання трансформованих компонент полів для кожного типу збурюючих об’єктів.
6. Здійснити апробацію окремих елементів програмного забезпечення на практичних задачах.
Об’єкт дослідження – моделювання аномальних гравітуючих об’єктів.
Предмет дослідження – побудова апроксимаційних конструкцій геологічного середовища.
Методи дослідження. На основі методу математичного моделювання побудовано інтерпретаційну модель, насамперед такі її елементи, як будова досліджуваного природного середовища, структура аномальних полів та апріорні обмеження. Створену інтерпретаційну модель досліджено за допомогою методу обчислювального експерименту, зокрема проаналізовано апроксимаційні можливості запропонованих конструкцій. При розв’язанні оберненої задачі гравіметрії використано оптимізаційні методи та методи прямого пошуку.
Наукова новизна одержаних результатів. У роботі підтримується і практично втілюється теза академіка РАН Страхова В.М. про необхідність застосування аналітичних апроксимацій при інтерпретації потенціальних полів. В руслі цієї тези отримано наступні нові результати:
- запропоновані нові апроксимаційні підходи в класі криволінійних уступів та контактних поверхонь дозволяють моделювати складні геологічні середовища структурного, рудного та змішаного типів при збереженні детальності апроксимації та мінімальній кількості параметрів;
- вперше теоретично обґрунтовано апроксимацію параметричного простору за допомогою діаграм Вороного при побудові моделей початкового наближення в обернених задачах гравіметрії;
- вперше запропоновано метод околів для пошуку множини еквівалентних моделей на основі дослідження параметричного простору, і, як результат, усунуто проблему безпосередньої залежності кінцевого розв’язку ряду обернених задач гравіметрії від моделі початкового наближення в рамках методу підбору;
- підвищено ефективність розв’язування оберненої структурної задачі за рахунок введення спеціально побудованої трансформанти спостереженого поля.
Практичне значення одержаних результатів полягає в їх безпосередній спрямованості на розв’язання ряду практичних задач обробки та інтерпретації гравіметричних даних. Розроблені апроксимаційні конструкції значно розширюють можливості моделювання геологічних об’єктів складної конфігурації, а також гравітуючих джерел рудного, структурного та змішаного типів. Застосування запропонованих підходів дозволяє підвищити ефективність результатів інтерпретаційних задач за рахунок надійного вибору моделей початкового наближення, максимального використання апріорної та іншої змістовної інформації.
Особистий внесок здобувача. Дисертаційна робота виконувалася за науковими темами відділу математичної геофізики під науковим керівництвом член-кореспондента НАН України, доктора фізико-математичних наук, професора Є.Г. Булаха. На етапах проведення теоретичних та практичних досліджень автором роботи повністю виконана методологічна та програмна реалізація розв’язання прямих та обернених задач у вибраних класах [2-5]. Особисто автором побудовані алгоритми та проведені обчислювальні експерименти для оцінки ефективності запропонованих апроксимаційних конструкцій [3-5], запропоновано підхід до розв’язання обернених задач гравіметрії з попереднім аналізом множини еквівалентних моделей на основі алгоритму околів та зроблено висновки про межі застосовності останнього [9, 10]. Всі практичні результати, отримані у роботі та опубліковані в статтях, належать безпосередньо автору.
Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи були представлені на сесіях Міжнародного семінару ім. Д.Г. Успенського в Єкатеринбурзі (Росія, 2002, 2006), Пермі (Росія, 2005), на міжнародній конференції ім. Ю.П. Булашевича в Єкатеринбурзі (Росія, 2005), на науковій конференції в Дніпропетровську (Україна, 2002).
Публікації. За темою дисертації опубліковано 10 робіт: 5 – у наукових журналах, 1 – у збірнику наукових праць, 4 – в тезах міжнародних наукових конференцій.
Загальна постановка прямої та оберненої задачі
Однак оскільки з ясувалася визначаюча роль теорії некоректно поставлених задач, жоден з напрямків при всій їх важливості і корисності не став ведучим. Разом з цим, безсумнівно, що оновлена теорія (а відповідно і практика) інтерпретації потенціальних полів набула принципово нової якості, як за методологічними установками, так і за ступенем математичного опрацювання всіх проблем (і перш за все проблем єдиності та стійкості), за рівнем складності математичних моделей та поля, і за типом обчислювальних алгоритмів.
Протягом 1980-1985 рр. нові конструктивні та аналітичні ідеї з являються все рідше, і на перший план виходить створення комп ютерних технологій розв язування задач, особливо для персональних комп ютерів, а також створення комп ютерних баз даних [95].
На сучасному етапі центральне місце посіли методологічні ідеї. Слід відмітити, що в методології теорії і практики інтерпретації геофізичних даних визначна роль належить академіку РАН В.М. Страхову. Саме він сформулював основні загальнометодологічні принципи процесу інтерпретації, систематизувавши і звівши в єдину схему існуючі факти (методи інтерпретації) [86, 97, 100].
Зрозуміло, що розвиток гравіметрії відбувався по мірі вирішення проблеми розв язання прямих задач. В зв язку з цим необхідно відмітити монографію О.А. Шванка та Є.Н. Люстіха [109], в якій наведені розв язки прямої задачі гравірозвідки для широкого класу моделей. Поява обчислювальної техніки стимулювала розробку ефективних методів розв язання прямих задач гравіметрії, в яких використовувався апроксимаційний підхід [134]. Подальші зусилля були напрямлені на отримання аналітичних виразів елементів поля для різних класів моделей, відмітимо лише роботи [36, 67, 77, 84, 94]. Найкращою апроксимуючою моделлю було визнано многогранник, і виведенню виразів елементів поля для цієї моделі приділялося досить чимало уваги. Страхов В.М. зазначає, що незважаючи на значний прорив в аналітичному плані розв язування прямих задач гравіметрії, програмна реалізація алгоритмів здійснюється не так успішно [100].
Розвиток методів розв язування обернених задач відбувався в умовах появи та удосконалення обчислювальної техніки і вершиною цього етапу стала ідея створення автоматизованих систем обробки та інтерпретації гравіметричних даних [5, 78], яка потім трансформувалася в ідею створення систем інтерактивної машинної графіки, тобто, систем, в яких можливе представлення великих об ємів інформації в графічній формі і на її основі – здійснення діалогової взаємодії людини та комп ютера [68]. На ранньому етапі розвитку гравіметрії, коли цілі, що ставилися перед нею, зводилися до виявлення геологічних об єктів, які відрізняються за густиною від сусідніх, якісному описовому аналізу підлягала сама попередньо виділена аномалія. Побудова густинної моделі, тобто, розв язок оберненої задачі по гравіметричних даних, не здійснювалася [52]. Такий підхід хоча в дещо поновленому вигляді, спостерігається і зараз: здійснюється аналіз не самої аномалії, а деяких її трансформант. Такий, наприклад, метод повного нормованого градієнта [9]. По мірі ускладнення геологічних задач, цілі, поставлені перед гравіметричним методом еволюціонували від виявлення об єктів і їх просторової локалізації до детального опису складних геологічних структур. Це в свою чергу приводить до необхідності введення широких багатопараметричних апроксимацій, що дозволяють з заданою точністю описати досліджувану область. Часто при розв язанні значної кількості задач реальне геологічне середовище замінюється набором елементарних тіл правильної геометричної форми, параметри яких підбираються за результатами співставлення спостереженої та розрахованої аномалій. Проте, незважаючи на привабливість такого підходу завдяки простоті обчислень, не завжди можна вдаватися до подібної апроксимації середовища. Наприклад, при розв язуванні оберненої задачі методом підбору на перший погляд може здатися доцільною апроксимаційна конструкція призматичного типу. Однак, як показали дослідження таких задач для випадку складно побудованих середовищ [52], навіть при апріорному формуванні апроксимаційна конструкція може виявитися геологічно беззмістовною, що пояснюється проявом властивості гармонічності в отримуваному розв язку.
Таким чином, некоректність подібних задач стимулювала як розвиток стійких методів їх розв язання, так і пошук нових апроксимацій модельних класів, які б враховували специфіку будови геологічних об єктів, а також забезпечували детальність опису середовища при мінімальній кількості параметрів. На теперішній момент існує чимало різних класів моделей, які в тій чи іншій мірі відповідають потребам гравіметричних задач. Огляд апроксимаційних конструкцій та їх параметризацій можна знайти в роботах [26, 84].
Значного розвитку набула проблема інтерпретації полів для складно побудованих середовищ при розв язанні оберненої задачі гравіметрії в класі контактних поверхонь. Клас контактних поверхонь має достатньо широке застосування при розробці математичної теорії розв язування обернених задач структурної геології та об ємного картування глибинних горизонтів. Постановка задач у цьому класі виходить ще від Б.В. Нумерова, О.О. Заморєва, І.М Рапопорта та В.К. Іванова, у працях яких розглядалася контактна задача для однієї границі. Далі значного розвитку контактна задача набула завдяки роботам О.К. Маловичко, В.М. Страхова, В.І Старостенко, Є.Г. Булаха, А.В. Чорного, М.О. Алексідзе та інших дослідників [1, 24,60, 81, 83, 89]. Вагомі результати отримані у роботах М.Г. Сербуленко та Ю.В. Антонова [3, 76], присвячених визначенню контактних границь для однорідних шарів, та дослідженнях О.І. Кобрунова і Р.П. Денисюка [38, 49], в яких розв язувалася задача структурної гравіметрії для випадку змінної густини шарів, як у горизонтальному, так і у вертикальному напрямках. В 1978 р. в книзі [79] були опубліковані двовимірні постановки лінійної та нелінійної обернених задач гравіметрії для декількох контактів, а також алгоритми для їх розв язання з урахуванням типової некоректності цих задач. Пізніше у роботі [80] було узагальнено цей досвід, розширено набір регуляризуючих способів, особлива увага приділялася нелінійній задачі.
Таким чином, багато питань теорії та методики розв язування контактної задачі гравіметрії отримали вичерпне пояснення для двовимірного випадку. Результати вивчення тривимірної контактної задачі свідчать про необхідність максимального залучення додаткової кількісної чи якісної інформації про шукані поверхні. Розроблені алгоритми для розв язання таких задач передбачають попереднє формування так званого пробного розв язку або моделі початкового наближення з подальшою мінімізацією функціонала на множині допустимих розв язків [51, 53, 72]. При цьому формулюється деякий критерій оптимальності, який містить всі апріорні відомості і відображає властивість близькості до пробного розв язку. Такий підхід значно зменшує час обчислень на ЕОМ за рахунок лінійності функціоналу, однак отриманий розв язок нелінійної оберненої задачі завжди є наближеним.
Крім того, питання побудови пробного розв язку не отримало систематизованого дослідження і вирішується по мірі необхідності в умовах конкретної задачі [28, 29], зокрема пропонуються метод послідовного ускладнення моделі, метод реперних точок та алгоритм на основі аналізу цільової функції вздовж заданого напряму.
Місце апріорної інформації при формуванні фізико-математичної моделі
В процесі інтерпретації геопотенціальних полів завжди виконується формування моделей досліджуваного середовища, зокрема, фізико-математичної. Під фізико-математичною моделлю розуміють систему абстрактних збурюючих тіл та обумовлених ними аномальних об єктів, які апроксимують геологічний об єкт і з потрібною для моделювання детальністю узагальнено відображають його структуру, розміри, форму і т.д. у повністю формалізованому вигляді. При цьому присутні також кількісні критерії якості виконаної інтерпретації та кількісні описи складових спостереженого геофізичного поля. При інтерпретації даних в умовах блочно побудованих геологічних середовищ, для апроксимації яких необхідно залучати комплекс однорідних чи різнорідних елементів (навіть з відомими густинними параметрами всередині них), особливо гостро постає проблема еквівалентності – об єктивне обмеження можливостей гравіметричного методу. Важливим кроком до подолання (або послаблення) явища еквівалентності розв язків оберненої задачі є наявність апріорної інформації про геологічне середовище.
Протягом усього періоду розвитку інтерпретаційного забезпечення геофізичних методів паралельно розвивалися два підходи до отримання інформації з геофізичних даних, які умовно можна розділити на геофізичну інтроскопію та геофізичну інтрометрію.
Поняття геофізичної інтрометрії об єднує методи перетворення геофізичних даних, що дозволяють визначити чисельні значення змістовних фізичних параметрів, які характеризують геологічний розріз. Як правило, здійснюється дискретизація області аномальних мас і оцінюється фізичний параметр всередині кожної елементарної комірки [131]. Сюди відносяться звичні методи розв язування обернених задач. Однак їх ефективність обмежена необхідністю знання потрібної змістовної параметризації, що забезпечує єдиність відновлення значень параметрів. В рамках геофізичної інтроскопії (або геометричного способу оцінки інтерпретаційної моделі, слідуючи [131]) реалізуються методи перетворення геофізичних полів, направлені на побудову зображень збурюючих джерел, тобто, здійснюється спроба “побачити” об єкт, навіть якщо параметри, в яких реалізується це бачення, є незмістовними і допускають сваволю у тлумаченні.
Основні обмеження, які використовуються в обох підходах можна поділити на п ять типів: обмеження оцінок нижньої та верхньої межі значень параметрів; вимога абсолютного наближення значень параметрів до наперед заданих; вимога відносного наближення між оцінками значень двох параметрів; вимога мінімуму моменту інерції аномального джерела; вимога компактності (відображає властивість суцільності аномального джерела). В сучасних умовах інтерпретації геофізичних полів, що характеризуються вивченням складно побудованих середовищ, введення ефективних параметризацій для побудови зображень збурюючих об єктів з метою подальшого уточнення геологічних гіпотез та формування змістовних моделей стало настійною необхідністю. Побудовані відносно ефективних параметрів зображення можуть становити як самостійний інтерес в схемах геологічної інформації, так і слугувати вихідною інформацією для конструювання наступної сходинки автоматизованих засобів геологічного тлумачення геофізичних даних [96]. Для структурно-рудної задачі, яка є найбільш загальним випадком задачі для блочно побудованих середовищ, апріорні обмеження можна розділити на дві групи (за Балком) [6]: 1) обмеження, що відносяться до однієї з часткових моделей – рудної або структурної; 2) сумісні обмеження, при розгляді яких необхідно враховувати цілісність структурно-рудної моделі. „Рудні” обмеження поділяють на чотири типи. Тип перший – обмеження на просторове розташування тіл. Під ними розуміють дані буріння, інформацію про максимальні глибини занурення нижніх кромок окремих тіл і т.п. Тип другий – геометричні обмеження. Маються на увазі інтервали можливих значень потужності кожного з тіл – як по вертикалі, так і по латералі; гранично допустима надлишкова маса окремих тіл та ін. Тип третій – обмеження на взаємне розташування тіл. Сюди входять: умови попарного контактування окремих тіл, інформація про їх віддаленість одне від іншого, а також апріорні уявлення про ієрархічне упорядкування тіл по горизонтах їх залягання. Тип четвертий – обмеження на форму тіл. Як правило, вони мають характер гіпотетичних припущень, які приймаються інтерпретатором виходячи з його досвіду та інтуїції. Важливим при формуванні таких припущень є те, щоб уявлення інтерпретатора про „геологічно правдоподібну будову середовища” можна було трансформувати в образ деякого „гладкого” носія надлишкових мас. „Структурні” обмеження вкладаються в наступну класифікацію. Тип перший – строгі геометричні обмеження, що передбачають фіксацію окремих точок – або навіть частин – шуканих границь розділу за даними буріння, сейсморозвідки або іншої апріорної інформації. Тип другий – обмеження на діапазон зміни геометричних параметрів окремих структур. До них відносяться гранично можливі глибини залягання границь розділу, мінімально та максимально припустима потужність структур та ін. Тип третій – обмеження на диференціальні властивості границь розділу. В їх число входять апріорні припущення про кількість екстремумів та ступінь гладкості функцій, що описують реальні границі. Тип четвертий – умови попарної кореляції окремих границь розділу. Такі обмеження вносять суттєвий вклад в підвищення стійкості розв язку оберненої задачі для шаруватих середовищ.
Що стосується сумісних „структурно-рудних” обмежень, то вони відповідають за взаємне розташування рудних тіл та структур і в плані їх практичної реалізації мало відрізняються від геометричних обмежень, що виникають при розв язуванні оберненої задачі в рамках парціальних моделей густинного середовища. Додаються лише обчислення, пов язані з внесенням локальних поправок в геометрію одного з парціальних носіїв у той його фрагмент, який в результаті виконання „структурного” (або „рудного”) кроку ітераційного алгоритму увійшов підобластю в чергове наближення до рудного (або структурного) носія.
Зрозуміло, що одним із критеріїв ефективності того чи іншого методу розв язання оберненої задачі є можливість залучення у повній мірі всього комплексу апріорної інформації з метою отримання адекватної моделі. У довіднику геофізика [37] адекватною називають модель, в якій забезпечується апроксимація розподілу густини в досліджуваному об ємі геологічного середовища з високою точністю. Така модель забезпечує необхідну міру близькості спостереженого і модельного полів та розв язок цільової задачі інтерпретації.
Методи прямого пошуку в оптимізаційних задачах
Відомо [69, 73], що градієнтні методи оптимізації володіють слабкою збіжністю в околах мінімуму і особливо при „яружному” рельєфі цільової функції. Внаслідок неоднозначності, слабкої єдиності та широких меж практичної еквівалентності суттєвий інтерес має проблема отримання множини точок простору параметрів в околі мінімуму, що задовольняють прийнятим критеріям наближення. Для розв язання цієї проблеми вже тривалий час широко використовуються методи прямого пошуку.
До теперішнього дня в геофізиці зберігся досвід лінеаризації обернених задач. Зрозуміло, що для багатьох задач лінеаризована апроксимація була незручною чи просто неможливою. Лінеаризація передбачає обчислення частинних похідних поля за параметрами моделі (або функціоналів), а для деяких нелінійних задач така процедура може бути занадто складною або мати обмежений інтервал застосовності. Методи прямого пошуку без обчислення похідних стали привабливою альтернативою.
Важливо відмітити, що для застосування цих методів не потрібно не лише диференційованості цільової функції, але навіть аналітичного її задання. Потрібно лише мати можливість обчислювати або вимірювати значення функції в довільних точках. Суть всіх методів прямого пошуку полягає в знаходженні моделі параметричного простору шляхом того чи іншого перебору параметрів, якій відповідає найменше значення цільової функції. Спосіб зміни параметрів визначається конкретним методом. Досить відомими є метод циклічного по координатного спуску, метод Хука і Дживса, метод Розенброка, метод мінімізації по правильному симплексу, метод мінімізації по деформованому симплексу [123]. Однак вказані методи не змогли стати достатньою алгоритмічною базою для вирішення оптимізаційних задач через суттєві недоліки, зокрема неспроможність ефективно використовувати апріорну інформацію, а також малу розмірність параметричного простору (збільшення кількості параметрів у задачі призводить до невиправданих затрат машинної пам яті і часу).
Значно ефективнішими при розв язанні нелінійних оптимізаційних задач виявилися так звані методи Монте Карло (Monte Carlo, далі МС), які набули популярності впродовж останніх десятиліть. Історія методів МС довга, вперше їх застосували до вирішення наукових задач Нейман, Фермі та інші при вивченні ядерних реакцій. Детальний огляд історії розвитку методів МС та їх місця до задач геофізики можна знайти у роботі [121]. В геофізиці методи МС також набули популярності, зокрема в застосуванні до обернених задач. Добре відомими були роботи Keilis-Borok V.I. та Яновської Т.Б. [119], Press [124], однак тільки з розвитком обчислювальних можливостей в науці інтерес до методів МС став значно зростати (приблизно на початку 80-х років) [128].
Теоретичне підґрунтя методів МС з явилося приблизно сто років назад, коли було встановлено, що інтеграл виду де і є функціями такими, що функція інтегрована у просторі , і є невід ємною та інтегрованою функцією, що задовольняє умові , може бути оцінений чисельно шляхом утворення випадкових величин змінної , використовуючи в якості функції розподілу імовірності [117]. Тоді апроксимація інтегралу запишеться у вигляді суми: .
Практичне використання цього методу сьогодні стало реальним завдяки можливості його реалізації на високошвидкісних обчислювальних машинах. Методи МС по суті є чисельними процесами, що генерують псевдо-випадкові числа рівномірно розподілені в інтервалі . Як тільки величину згенеровано, вона може бути трансформованою у псевдо-випадкову величину з будь-яким заданим одновимірним розподілом імовірності , використовуючи прості правила.
Для одновимірних задач метод МС неефективний, однак якщо належить багатомірному простору, використання цього методу стає доцільним. Всі інші чисельні методи, що використовують точок в М-вимірному просторі для апроксимації рівняння (3.8) мають абсолютну похибку, що спадає не швидше ніж , тоді як абсолютна похибка методу МС спадає як , тобто не залежить від розмірності простору [112].
Використання методів МС при розв язанні оптимізаційних задач на перших порах передбачало імовірнісний (байєсівський) характер пошуку. Однак для обернених задач геофізики більш прийнятним виявився небайєсівський підхід методів МС. Досить популярними з цієї групи методів є: метод рівномірного пошуку [119, 124]; алгоритм модельного гартування [126]; генетичні алгоритми [127, 133].
Обернена задача в небайєсівській постановці полягає в знаходженні множини розв язків, теоретичні поля яких відрізняються від спостереженого поля менше ніж на фіксоване додатне число. Хоча „серцевиною” кожного з алгоритмів МС є здійснення випадкових кроків у модельному просторі, в небайєсівській постановці оберненої задачі випадкові кроки формуються без визначення апостеріорі функції розподілу імовірностей [124]. Процес пошуку за допомогою алгоритму МС можна розділити на два етапи: – формування моделей та порівняння спостережених і теоретичних даних (власне пошук); – етап оцінювання. В більшості випадків етап пошуку є адаптивним, тобто, при знаходженні параметрів нових моделей враховуються значення параметрів попередніх моделей. Мета етапу оцінювання – здобути інформацію про розв язок задачі на основі повного ансамблю моделей параметричного простору. Для утворення нових моделей на першому етапі розроблено ряд алгоритмів, зокрема алгоритм Метрополіса [114] та алгоритм Гіббса [115], в основі яких лежать марковські процеси. Це означає, що здійснення випадкового кроку з точки в точку d-вимірного параметричного простору не залежить від пройденого шляху на попередніх кроках.
В обох алгоритмах на кожній ітерації параметри початкової моделі змінюються випадковим чином вздовж однієї з параметричних осей, так що після завершення однієї ітерації всі параметри моделі набувають приросту. При чому в алгоритмі Метрополіса модель приймається для подальшої оцінки за умови, якщо функція-індикатор дорівнює одиниці. Функція визначається наступним чином: де – значення функції нев язки, що враховує відхилення спостережених даних від даних обчислених для моделі m, s – задане додатне число. Якщо остання умова не виконується, то процес повертається до вихідної точки і шукається приріст для параметра вздовж наступної осі. Таким чином, під час здійснення однієї ітерації пряма задача розв язується d разів, але внаслідок процедури прийому-відкидання не всі компоненти нової моделі виявляються зміненими. По закінченні циклу ітерацій отримується модель, яка не залежить від початкової моделі. На відміну від алгоритму Метрополіса в алгоритмі Гіббса до розгляду приймаються всі утворювані моделі, тобто на кожній ітерації змінюються всі параметри біжучої моделі.
Модельні задачі в класі двовимірних контактних поверхонь
Таким чином, алгоритм околів може бути самостійним методом пошуку розв язку нелінійної задачі в умовах простих геологічних структур. Для складних середовищ запропонований алгоритм може використовуватися в якості допоміжного методу побудови інтерпретаційної моделі.
Реалізація всіх побудованих алгоритмів, які використовувалися в розглянутих задачах, здійснювалася на мові програмування Pascal 7.0. Всі обчислення проводилися з числами, заданими з підвищеною точністю (10 байт). Окремі розрахунки виконувалися в системі комп ютерної математики Mathematica 5. У цьому розділі на модельних прикладах продемонстровано особливості апроксимаційних конструкцій в класі криволінійних уступів та контактних поверхонь при розв язанні нелінійної оберненої задачі гравіметрії.
Технологія апроксимації аномальних об єктів криволінійними уступами досить проста і водночас дозволяє детально і компактно описати реальне геологічне середовище. Крім того показано, що наявність випадкових похибок у спостережених даних не впливає на результат задачі при мінімізації цільової функції градієнтним методом найшвидшого спуску. На модельному прикладі в класі двовимірних контактних поверхонь показано ефективність використання другої похідної аномалії сили тяжіння. В процесі згладжування поля послаблено вплив випадкових похибок, а лінійну частину фонового впливу було знято в результаті подвійного диференціювання функції вихідного поля. Постійна компонента фонового впливу знімається при інтерпретації не самого поля сили тяжіння, а його трансформанти – варіації поля відносно цього поля у заданій точці. На прикладі складного шаруватого середовища показано, що наявність апріорної інформації хоча б про одну границю забезпечує прийнятний розв язок задачі, зі зростанням кількості апріорних відомостей про середовище розв язок відтворюється як завгодно точно. На прикладі тривимірних контактних поверхонь продемонстровано можливості запропонованих апроксимаційних конструкцій, зокрема при інтерпретації поля сили тяжіння отриманого від сукупності паралелепіпедів. Наближене відновлення ступінчатої розривної функції неперервною диференційованою функцією є задовільним при розв язанні практичних задач.
Таким чином, виконані розрахунки на модельних прикладах показують, що, по-перше, застосування аналітичних апроксимацій є доцільним як для опису складно побудованих середовищ, так і для побудови аналітичної моделі поля. По-друге, вибір моделі початкового наближення залишається визначальним етапом при розв язанні задач методом підбору, тому алгоритм околів може забезпечити один із способів побудови початкової моделі, особливо в умовах недостатньої кількості апріорних відомостей. Крім того, в алгоритмічній реалізації процесу пошуку завжди необхідно враховувати особливості кожного модельного класу.
Побудовані алгоритми забезпечують точність розв язку задовільну для практичних потреб.
Розглянемо кілька прикладів розв язування практичних геологічних задач за допомогою побудованих алгоритмів та запропонованих підходів. Не вдаючись до детального опису процесу підбору, будемо зупинятися лише на деяких важливих, на думку автора, моментах. При формуванні моделі першого наближення в рамках методу підбору спочатку беруться до уваги формальні дані про розв язок на основі аналізу графічного зображення модельованих компонент вздовж досліджуваних профілів (визначається кількість окремих об єктів, що створюють поле) чи на площині (встановлюються можливі межі простягання окремих об єктів), вибору припустимого рівня відліку локальних аномалій (вводиться регіональний фон). На першому етапі моделювання початкові наближення об єктів описуються завжди мінімальною кількістю шуканих параметрів. Надалі в процесі пошуку алгоритмічно передбачено варіювання кількості параметрів в залежності від ефективності підбору, наприклад, таким критерієм може слугувати рівень нев язок між знайденою конфігурацією об єктів та відповідними реперними точками. Однак кількість шуканих параметрів завжди має бути меншою від кількості точок спостереження, це співвідношення також контролюється алгоритмічно.
Слід відмітити, що в практичних ситуаціях рідко зустрічаються випадки, коли можна обмежитися одним якимось алгоритмом чи одноразовим його застосуванням. У всіх задачах мінімізація цільової функції здійснювалася за допомогою оптимізаційної процедури, побудованої на базі градієнтного методу найшвидшого спуску з нормуючими множниками. У всіх районах розвитку соляно купольної тектоніки гравірозвідка є ведучим методом як при визначенні границь цих районів, так і при пошуках куполів, оскільки аномалії над ними мають досить характерний вид, і геологічна природа аномалій не викликає сумнівів. Однією з характерних задач є визначення положення соляних куполів та їх потужності.
За гравіметричним даними в районі Актюбінська, спираючись на дані сейсморозвідки, а також використовуючи надійні відомості про густину порід, необхідно побудувати таку модель розташування покладів, щоб її гравітаційний ефект відповідав спостереженому полю.
Пошук моделі будемо здійснювати методом підбору, на кожному кроці якого розв язується обернена нелінійна задача гравіметрії. Регіональний фон апроксимується лінійною функцією і шукається в процесі підбору.