Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор методов спектрометрического ядерного каротажа скважин 18
1.1 Исторический обзор спектрометрических методов ядерного каротажа... 18
1.2 Аппаратура спектрометрического каротажа 21
1.3 Метрологическое обеспечение спектрометрических методов каротажа .. 25
1.3.1 Метрологическое обеспечение количественных измерений методом СГК 26
1.3.2 Метрологическое обеспечение спектрометрического ИНГК 29
1.4 Программно-методическое обеспечение спектрометрических методов каротажа 32
1.4.1 Основные факторы, влияющие на точность обработки спектрометрических методов гамма-каротажа 33
1.4.2 Способы разложения измеренного спектра 34
1.4.3 Согласование энергетических писал и энергетическая калибровка спектрометра при измерении в эталонах и в скважине 36
1.4.4 Согласование энергетических разрешений гамма-спектров 39
2 Методика разложения многоканальных гамма-спектров на элементарные методом квадратичного программирования с ограничениями .42
2.1 Метод обработки СГК с использованием стандартных спектров 45
2.2 Метод обработки СГК с использованием элементарных спектров 48
3 Методика энергетической калибровки и согласования шкал многоканальных гамма-спектров ядерного каротажа 52
3.1 Влияние несогласованности энергетических шкал измеренных и базовых спектров на результат разложения 53
3.2 Аппроксимация заданного спектра квадратичным сплайном 55
3.3 Деформация дискретного спектра 64
3.4 Численные эксперименты для оценки качества аппроксимации энергетического спектра квадратичным сплайном 67
3.5 Согласование энергетических шкал многоканальных спектров, полученных в процессе спектрометрического гамма-каротажа 70
3.6 Оценка точности предложенной методики согласования энергетических шкал и энергетической калибровки гамма-спектров 73
4 Согласование энергетического разрешения гамма-спектров 79
4.1 Зависимость энергетического разрешения сцинтилляционного детектора от энергии 80
4.2 Алгоритм преобразования линейчатых гамма-спектров к аппаратному виду 84
4.3 Влияние энергетического разрешения на результат разложения спектров 87
4.4 Алгоритм согласования энергетического разрешения спектров основанный на решении прямой задачи 96
5 Общая схема обработки спектрометрических данных каротажа 101
5.1 Влияние энергетического разрешения на калибровку спектров 101
5.2 Общая схема обработки спектрометрических данных каротажа 105
5.3 Опробование разработанных алгоритмов на данных геофизических исследований скважин 108
Заключение 113
Список литературы 114
- Метрологическое обеспечение спектрометрических методов каротажа
- Метод обработки СГК с использованием элементарных спектров
- Численные эксперименты для оценки качества аппроксимации энергетического спектра квадратичным сплайном
- Алгоритм согласования энергетического разрешения спектров основанный на решении прямой задачи
Введение к работе
Актуальность исследования. В настоящее время при геофизических исследованиях скважин широко применяются многоканальные спектрометрические ядерные методы каротажа. Наибольшее распространение получили такие спектрометрические методы, как спектрометрический гамма-каротаж (СГК) и спектрометрический импульсный нейтронный гамма-каротаж (ИНГК-С). Увеличение вычислительных мощностей ЭВМ позволяет применять для обработки исходных данных спектрометрических методов каротажа всё более сложные алгоритмы. Также сегодня можно уверенно говорить об адекватных как по точности, так и по времени модельных расчетах прямой задачи ядерной геофизики, невозможных еще несколько лет назад.
Главным требованием к обработке и интерпретации данных спектрометрических методов каротажа является точность определения концентраций элементов породы, устойчивость алгоритмов и отсутствие систематических погрешностей. Основные трудности современных методов обработки спектрометрических данных, получаемых в скважине, заключаются в специфике каротажных измерений: малое время регистрации спектров в течение кванта записи каротажа, и как, следствие, невозможность увеличения статистики измерений; изменения температуры в широких пределах и намагниченность колонны, вызывающие изменения параметров шкалы и характеристик энергетического разрешения спектрометра; отличие условий измерений в скважине от условий измерений на эталонных моделях.
Кроме того, к процессу обработки спектрометрических данных предъявляются требования автоматизации и оперативности, что немаловажно для промышленного использования.
Несмотря на широкую распространенность нейтронных
спектрометрических методов, не говоря уж о спектрометрическом гамма-каротаже, существует ряд вопросов и нерешенных проблем, связанных именно с первичной обработкой спектрометрических данных.
В работах ряда авторов (Пегоев А.Н. , Кадисов Е.М., Калмыков Г.А. и д.р.) был обоснован подход к обработке данных спектрометрических методов каротажа, основанный на разложении измеренных гамма-спектров по базе элементарных спектров, т.е. набору спектров отдельных элементов.
Метрологическое обеспечение СГК разработано достаточно давно, хотя, необходимо отметить, что ввиду особенностей создания метрологических моделей для метода СГК, в основу этого обеспечения было положено понятие стандартного спектра, отличающегося от элементарного, наличием излучения всех остальных элементов. Для импульсных спектрометрических нейтронных гамма-методов система метрологии находится в состоянии развития. Получение необходимого набора базовых спектров на моделях практически
невозможно, что, в свою очередь, привело к задаче получения элементарных спектров базы расчетным путем методами математического моделирования. Расчеты элементарных спектров для различных геолого-технических условий методами математического моделирования стали доступными для использования в геофизике лишь недавно (Кадисов Е.М., Лухминский Б.Е., Поляченко А.Л., Тепляков А.В. и др.).
Развитие вычислительной техники также позволило использовать для решения задач обработки спектрометрических данных гамма-каротажа более ресурсоемкие алгоритмы, обладающие рядом дополнительных преимуществ, в первую очередь, возможность поиска решения с ограничениями.
В результате, в условиях современного развития ядерных методов каротажа, стали актуальными задачи разработки новых методик и алгоритмов обработки гамма-спектров.
Цель работы. Создание методики обработки многоканальных гамма-спектров, измеренных в процессе ядерного каротажа, для расчета концентраций элементов с минимально возможными систематическими ошибками.
Для достижения поставленной выше цели необходимо решить следующие задачи:
Исследовать влияние выбора базовых гамма-спектров на результаты разложения с ограничениями измеренных спектров.
Разработать алгоритм разложения с ограничениями измеренных многоканальных гамма-спектров по элементарным спектрам, полученным при обработке измерений на метрологических моделях или в результате имитационного моделирования.
Исследовать влияние расхождения энергетических шкал и энергетического разрешения измеренных и базовых спектров на результаты разложения.
Разработать методику аппроксимации многоканальных энергетических гамма-спектров.
Разработать алгоритм автоматической энергетической калибровки многоканальных гамма-спектров.
Разработать алгоритм изменения разрешения многоканальных гамма-спектров как измеренных в скважине, так и полученных на моделях, для наилучшего взаимного согласования.
Научная новизна:
На количественном уровне исследовано влияние энергетического разрешения, согласования энергетических шкал, неэлементарности базовых спектров на результаты разложения измеренных гамма-спектров.
Обосновано применение разложения измеренных энергетических спектров на элементарные методом квадратичного программирования с учетом ограничений.
Обоснована методика аппроксимации многоканальных гамма-спектров квадратичным сплайном для их трансформации.
Разработан метод автоматического согласования шкал и энергетической калибровки измеренных спектров с использованием базы спектров и поиском минимума невязки методом Хука-Дживса.
Разработан алгоритм согласования разрешения энергетических спектров и поиска минимума невязки модифицированным методом «золотого сечения».
Защищаются следующие научные положения и результаты:
Предложенный алгоритм разложения измеренного энергетического гамма-спектра на элементарные спектры методом квадратичного программирования с ограничениями реализует несмещенность оценки концентраций элементов.
Алгоритм автоматического согласования шкал энергетических гамма спектров, измеренных сцинтилляционным детектором, основанный на использовании базы элементарных спектров и минимизации квадрата невязки методом Хука-Дживса, реализует несмещенность оценки концентраций элементов.
Алгоритм согласования энергетического разрешения гамма-спектров и соответствующая методика, основанные на решении прямой инструментальной задачи модифицированным методом «золотого сечения» поиска минимума квадрата невязки, позволяет повысить качество обработки и интерпретации данных ядерного каротажа.
Практическая ценность
На базе разработанных алгоритмов создан программно-методический комплекс (ПМК) «NewWork», позволяющий проводить обработку первичных данных спектрометрических методов каротажа, таких как СГК, ИНГК-С.
Результаты работы использованы при создании программно-методического комплекса «NewWork» (Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2009611480).
Результаты исследования докладывались на:
Научно-практической конференции «Ядерная геофизика 2002», г. Тверь,
2002 г.,
Межотраслевой научно-технической конференции «Портативные генераторы нейтронов и технологии на их основе», г. Москва, 26-30 мая 2003 г.,
Международной конференции «Новые идеи в науках о земле», г. Москва,
2003 г.,
Научно-практической конференции «Ядерная геофизика 2004», всероссийского научно-практического семинара «Состояние петрофизического обеспечения ядерно-геофизических, акустических и других методов ГИС», г. Санкт-Петербург, 2004 г.,
Третьей научно-практической конференции «Математическое моделирование и компьютерные технологии в разработке месторождений», г. Уфа, 13-15 апреля 2010 г., также регулярно на научно-технических советах ТНГФ, ННГФ.
Внедрение результатов исследования:
ПМК «NewWork» передано для использования в следующие
организации: ОАО «Нижневартовскнефтегеофизика», ОАО
«Сургутнефтегеофизика», ООО «Деко-Геофизика» для обработки спектрометрических методов каротажа. Применение «NewWork» на данных предприятиях позволило повысить качество обработки и интерпретации данных ГИС, что подтверждено сравнительными испытаниями.
Фактический материал
В работе использовались материалы каротажа СГК, спектрометрического ИНГК (ОАО «Нижневартовскнефтегеофизика»), метрологические измерения на натурных моделях, спектры рассчитанные методом Монте-Карло (ООО НГТК «КЕРН»).
Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 20 научных работ, в том числе 6 статей в реферируемых журналах.
Структура и объем диссертации
Метрологическое обеспечение спектрометрических методов каротажа
Дискретный энергетический гамма-спектр D, принято рассматривать как последовательность значений интеграла в пределах 1-ого энергетического диапазона (е/5е/+1) от непрерывной функции распределения энергии f(e) гамма-кванта, регистрируемого спектрометром: где і - номер энергетического канала, п - общее количество каналов спектрометра.
Обработка энергетических гамма-спектров базируется на решении уравнения спектрометрии [38, 48, 70, 74, 89, 100, 107, 108], основанного на принципе суперпозиции, т.е. представлении гамма-излучения, регистрируемого в процессе измерений, в виде суперпозиции гамма-излучений от отдельных элементов: где sj - дискретные элементарные спектры j-oro элемента, т.е. спектры, полученные в результате излучения гамма-квантов одним элементом, к -количество излучающих элементов. Вклад каждого элементарного спектра в общий спектр Q, пропорционален q}- количественной характеристике источника излучения. Набор спектров sj традиционно называется [38, 74] базой спектров.
Для метрологического обеспечения количественных измерений методом СГК используются искусственно изготовленные модели калия, тория и урана, содержащие известные концентрации ЕРЭ. Модели могут быть различного уровня, например, Государственные Стандартные Образцы Естественных Радиоактивных Элементов (ГСО ЕРЭ) или полевые калибровочные устройства (ПКУ).
ГСО имеют Государственный сертификат содержания искомых элементов, что уменьшает величины возможных систематических ошибок. Эти образцы имеют достаточно большие размеры, поэтому в них соотношение между нерассеянным и рассеянным излучением такое же, как и в пласте достаточно большой мощности. На Рис. 1.5 показан общий вид конструкции ГСО ЕРЭ, находящихся в Метрологическом центре «Газпромгеофизика» в г. Раменское Московской области, построенные специально для метрологического обеспечения СГК.
Рис. 1.5 Общий вид конструкции ГСО ЕРЭ, г. Раменское Геометрия измерений максимально приближена к геометрии скважинных измерений. Наличие зумпфа и крана позволяют производить метрологию аппаратуры практически любой длины и имитировать различные типы заполняющей скважину жидкости. Диаметр моделей близок к типичному для глубоких бурящихся скважин (216 мм).
На Рис. 1.6 показаны спектры, измеренные в ГСО ЕРЭ аппаратурой МАРКА-ГС (ТИЗм=1800 с). В Таблица 1.4 представлены содержания К, Th, U в каждой модели ГСО ЕРЭ. Как видно из представленных данных, измеренные на моделях ГСО ЕРЭ спектры содержат излучение всех радиоактивных элементов, т.е. не являются элементарными. Изначально обработка спектрометрического гамма-каротажа была основана на так называемой «малоканальной» схеме [85-88]. В первую очередь это было обусловлено техническими трудностями, связанными с созданием аппаратуры способной регистрировать полный спектр, т.е. спектр с дискретизацией описывающий пик полного поглощения не менее 10-ю каналами спектрометра, что соответствует не менее 128 канальной аппаратуре [70].
Несмотря на использование парка моделей ЕРЭ максимально приближенных к геолого-техническим условиям (ГТУ) измерения в скважине, диапазон изменения ГТУ встречающийся в реальных измерениях не может быть полностью промоделирован на натурных моделях. Однако рядом авторов разработан и обоснован подход учета скважинных условий, основанный на внесение поправок в уже рассчитанные концентрации ЕРЭ на базе знания отличий условий измерения в скважине и на моделях [41, 47, 48, 50, 113]. момент существует принципиально два подхода к обработке спектрометрического импульсного нейтронного гамма-каротажа. Первый, наиболее распространенный и изученный, основан на построении функционала от скоростей счета импульсов в так называемых «оконах», т.е. интегральных характеристик, получаемых из спектров ГИНР и ГИРЗ путем интегрирования в энергетических диапазонах, «окнах», соответствующих основным пикам полного рассеяния таких элементов как углерод и кислород (спектр ГИНР), кальций и кремний (спектр ГИРЗ) [121, 130]. Данный метод получил название «оконная» обработка ИНГК-С. Для обработки и интерпретации в «оконном» режиме необходимо построить зависимости отношения счетов в «окне углерода» к «окну кислорода» - С/О (откуда и пошло название метода), и в «окне кремния» к «окну кальция» - Si/Ca, от пористости. Данные зависимости получают либо с использованием модельных измерений, либо с помощью математического моделирования. Полученные таким образом палетки используют при дальнейшей интерпретации метода. Существуют различные модификации данного подхода, хотя принципиально технология обработки и интерпретации не меняется [92, 97, 115, 121, 130].
Второй подход к обработке и интерпретации данных спектрометрического ИНГК основан на разложении измеренных спектров ГИНР и ГИРЗ на спектры отдельных элементов [34, 39, 70, 71, 92].
В частности, измеренные спектры ГИНР или ГИРЗ Q могут быть представлены в виде суммы соответствующих элементарных спектров, тогда в матричном виде уравнение (1.2) запишется следующим образом: где S — матрица, составленная из спектров отдельных элементов, q-матрица-столбец условных концентраций. Решая это уравнение, можно получить условные концентрации элементов. Необходимо отметить, что данный подход хоть и обладает значительно большей информативностью по отношению к «оконной» системе, но имеет ряд важных факторов, влияющих на точность и несмещенность оценки концентраций [92].
Спектры, составляющие матрицу S, получают либо на специальных моделях, что в нашей стране не практикуется ввиду отсутствия соответствующего модельного парка, или получают методами математического моделирования [71, 72, 76, 81, 82].
Необходимо отметить, что данный метод на сегодняшний момент находится в стадии разработки и апробации, и можно с уверенностью сказать, что в виду его большей информативности, он рано или поздно станет «стандартным» методом обработки спектрометрического ИНГК. Подобный подход уже используется в зарубежных программных продуктах обработки и интерпретации ИНГК-С, например, компанией Schlumberger [97, 109].
Метод обработки СГК с использованием элементарных спектров
Спектр, непосредственно зарегистрированный аппаратурой, представляет собой дискретное распределение интенсивности гамма-излучения по каналам анализатора (см. (1.1)). Вся дальнейшая обработка спектров связана со знанием распределения энергетического, то есть распределения интенсивностей гамма-излучения по энергетическим диапазонам. Для "оконной" обработки необходимо выделять энергетические интервалы, заданные в энергетических единицах (кэВ или МэВ), для метода элементарных или стандартных спектров необходимо осуществлять подгонку базовых и измеренных спектров с целью разложения, то есть согласовывать энергетические шкалы.
Необходимо разделить два понятия: «энергетическая калибровка» и «согласование энергетических шкал». Под энергетической калибровкой понимают - построение зависимости между энергией зарегистрированного гамма-кванта и номером канала спектрометра, в котором он был зарегистрирован. Процесс согласования энергетических шкал состоит в трансформации спектров, таким образом, чтобы гамма-кванты с одинаковой энергией оказались в одинаковых каналах спектрометра. Эти два понятия тесно связаны, а именно, исходя из параметров энергетической калибровки спектров, проводится согласования энергетических шкал.
В аппаратуре гамма-спектрометрии применяются принципиально два различных подхода к согласованию энергетических шкал измеряемых спектров.
Для лабораторных гамма-установок, энергетическая шкала которых достаточно стабильна при измерении образца, т.к. существует возможность проводить измерения при стабильных внешних условиях, обычно используется метод энергетической калибровки, основанный на использовании реперного гамма-источника [4, 115]. Реперный источник с известной энергией излучения, используется для получения цены канала в энергетических единицах. В качестве примера, можно привести аппаратурно-методическое обеспечение «Прогресс» (ЗАО «Амплитуда») [4].
Однако применение реперного источника в для стабилизации шкалы имеет ряд недостатков [31, 41]: 1.Излучение реперного источника является фоновым при расчете концентраций ЕРЭ; 2.Дополнительная загрузка увеличивает мертвое время спектрометрического тракта и усложняет его учет; 3.Инертность системы стабилизации неконтролируемо ухудшает энергетическое разрешение системы.» и т.п.
Необходимо отметить, что в современной скважинной аппаратуре реперные источники не получили применения.
Принципиальный подход к энергетической калибровке спектрометра, основан на использовании особенностей регистрируемого спектра. Наиболее распространенным методом является метод, базирующийся на определение в спектре пиков с известной энергией, и построении некоторой функции, интерполирующей или аппроксимирующей зависимость «номер канала-энергия». Данный подход требует ручного определения положения максимума пика и его идентификации, что может быть сильно осложнено низкой статистикой спектра и сложным составом регистрируемого излучения. На ручной калибровке основано большинство программных продуктов обработки спектров [80, 85]. Необходимо отметить, что процесс калибровки может быть автоматизирован в рамках вышеупомянутого подхода. Обычно, для этого используются специальные алгоритмы, позволяющие выделять максимумы на энергетических гамма-спектрах и идентифицировать их. Подобные подходы получили распространение в лабораторных спектрометрах, т.к. в лабораторных исследованиях гамма-спектры измеряются с высокой статистикой и шкала достаточно стабильна. [4] Применяются два основных типа калибровки: ручная (по двум и более известным пикам) и автоматическая (с использованием калиброванной базы стандартных спектров).
В случае калибровки по двум или нескольким пикам необходимо определить ярко выраженные пики с известными энергиями. По ним строится калибровочное уравнение линейного вида:
Е = гД+у,(1.4)где Е - энергия, I - номер канала, и- параметр сжатия-растяжения, v-параметр сдвига ноля шкалы.
Калибровка с использованием пиков недостаточно точна. Основной трудностью при ручной калибровке является процесс выделения пика, т.е. определение положения максимума, и его идентификация. Вполне вероятна ошибка оператора, как при выделении пика, так и определение его энергии, что особенно актуально для сложных спектров с плохо разрешенными пиками и спектрах с плохой статистикой. Дополнительные трудности при идентификации пиков привносит конечное разрешение спектрометра - при сложении пики различных элементов, расстояние между которыми на энергетической шкале меньше полуширины пиков, сливаются в один пик с положением, определяемым амплитудами и положением исходным пиков. Дополнительно процесс калибровки осложняется тем, что энергия пика задается дискретно, то есть с точностью до канала.
Суть автоматической калибровки заключается в следующем. Поскольку имеется откалиброванная база элементарных спектров, то возможно параметры и, v в калибровочном уравнении подбирать автоматически с использованием метода наименьших квадратов (МНК), что дает более точный результат. Автоматическая калибровка позволяет калибровать спектры более точно.
Необходимо отметить, что даже для «оконной» методики обработки данных спектрометрического ИНГК, крайне актуальным остается проблема энергетической калибровки измеренных спектров, т.к. значения границ энергетических «окон» жестко фиксируются при метрологических исследованиях, и получение значений в «окнах» связанно с определением в измеренных в скважинных условиях спектрах положения границ «окон». Тем самым для обработки данных необходимо производить калибровку спектров.
Численные эксперименты для оценки качества аппроксимации энергетического спектра квадратичным сплайном
В настоящий момент в ядерной геофизике для построения спектрометрической аппаратуры в основном используются сцинтилляционные детекторы на неорганических кристаллах. К наиболее распространенным неорганическим сцинтилляторам можно отнести йодид натрия (Nal), йодид цезия (Csl), германат висмута (Bi4Ge30i2), силикат гадолиния (Gd2Si05). Чувствительный объем сцинтиллятора представляет собой люминесцентный материал, в котором под воздействием гамма-квантаов возникают вспышки видимого света, регистрируемые фотоэлектронным умножителем (ФЭУ) [33, 45, 77]. Важной характеристикой сцинтилляционных детекторов является энергетическое разрешение.
Энергетическое разрешение детектора - это мера его способности различать (разрешать) два пика, которые близки друг к другу по энергии [91].
Для описания энергетического разрешения введем понятие функции отклика детектирующего устройства на моноэнергетический импульс излучения.[110]. На Рис. 4.2 представлены функции отклика детекторов с «хорошим» и «плохим» разрешением моноэнергетического одиночного импульса. разрешением Ширина функции отклика детектора характеризует способность детектора более детально регистрировать энергетические распределение гамма-квантов. Несмотря на различие разрешающей способности обоих детекторов, общее количество импульсов одинаково, и площадь под функцией отклика сохраняется независимо от разрешения. Хотя оба распределения симметричны относительно Ео, их ширина различна. В идеальном детекторе функция отклика переходит в дельта-функцию [110].
Полная ширина на полувысоте - ГТЇІЇПВ - (Л /,) определяется как ширина распределения, измеренная на высоте, соответствующей половине максимального значения распределения. Подразумевается, что, если пик находится на некоторой подложке или фоне, то для определения AEh необходимо принять дополнительные меры по удалению вкладов этих факторов из сигнала [32]. Энергетическое разрешение детектора TJ определяется как [110]:
«Высокое разрешение не только облегчает индивидуальное определение близко лежащих пиков, но также снижает неопределенность вычитания комптоновского континуума, поскольку оно занимает меньшую часть спектра в области пика. Чем сложнее спектр гамма-излучения, тем желательнее иметь наилучшее из возможных энергетическое разрешение.» [110].
Разрешение детектора складывается из различных эффектов: статистических флуктуации заряда, электронного шума, вариаций функции отклика детектора в различных областях рабочего объема, изменения параметров детектора в процессе измерения. Для сцинтилляционных детекторов, флуктуации в ФЭУ также могут вносить ощутимый вклад в величину разрешения. Также в некоторых сцинтилляторах отношение между поглощенной энергий гамма-частиц и энергией вспышек света может в значительной степени влиять на разрешение при измерениях. Для большинства приложений гамма-спектрометрии, первый из перечисленных источников изменения разрешения обычно является самым важным. Необходимо отметить важность светосбора от кристалла для детекторов большого объема. Изменение параметров в процессе измерения, в основном, связано с электроникой и может привести к серьезному ухудшению разрешения, при значительных изменениях загрузки или температуры.
Статистические флуктуации заряда, в каком-то смысле самая важная причина ухудшения разрешения, поскольку принципиально неустранима. Это статистические шумы самого детектирующего тела (кристалл сцинтиллятора), обусловленные тем, что заряд, возникший в кристалле при поглощении гамма-кванта, представляет собой дискретное число носителей заряда. Влияние на разрешение статистических флуктуации будет особенно значимо в момент, когда наблюдается наименьшее количество частиц, а именно в момент конверсии электронов на фотокатоде ФЭУ [ПО]. Оценить дисперсию количества возникающих при регистрации одного гамма-кванта зарядов, можно, исходя из предположения об их пуассоновском характере распределения, т.е. при возникновении N зарядов, стандартное отклонение будет определяться как корень из N.
И в результате, распределения значений функции отклика детектора будет подчиняться закону Гаусса, т.к. функции отклика формируется большим числом единичных актов регистрации. Функция отклика для случая моноэнергетического единичного пика будет записана следующим образом
Алгоритм согласования энергетического разрешения спектров основанный на решении прямой задачи
Как было показано в предыдущей главе, для согласования энергетических разрешений спектров нет необходимости применять сложные методы решения обратной задачи восстановления энергетического разрешения. Рассмотрим согласование энергетического разрешения спектров путем увеличения разрешения базовых элементарных спектров с заведомо лучшим разрешением относительно спектров измеренных.
В качестве главного критерия согласованности разрешений спектров предлагается использовать критерий минимума невязки: где Qf -спектр с разрешением, определяемым параметрами (а,Р), sJ элементарный у-ый спектры базы, р( — весовые множители, q - j-ая концентрация полученная при разложении спектра, п- количество каналов в спектрах, к- количество спектров в базе.
Для выбора схемы поиска параметров аир, минимизирующих (4.12), обратимся к зависимостям невязки от разрешения, полученным в главе 4.3. Как видно из приведенных зависимостей (см. Рис. 4.8, Рис. 4.10) они характеризуются единственным минимумом в данном диапазоне, в связи с чем для поиска минимума (4.12) предлагается использовать модифицированный метод золотого сечения .
Рассмотрим метод поиска экстремума действительной функции, в одномерном случае он определяется следующим способом [28, 40, 65]:
Пусть задана функция Для того, чтобы найти определённое значение этой функции на заданном отрезке, отвечающее критерию минимума, рассматриваемый отрезок делится в пропорции золотого сечения в обоих направлениях, то есть выбираются две точки /?, и рг такие, что: где ф — пропорция золотого сечения. Таким образом:
То есть точка Д делит отрезок [/7,,,,,,,/] в отношении золотого сечения. Аналогично р2 делит отрезок [PvPmax] в той же пропорции. Это свойство и используется для построения итеративного процесса.
На первой итерации заданный отрезок делится двумя симметричными относительно его центра точками, и рассчитываются значения в этих точках. После чего тот из концов отрезка, к которому среди двух вновь поставленных точек ближе оказалась та, значение в которой максимально (для случая поиска минимума), отбрасывают. На следующей итерации в силу показанного выше свойства золотого сечения уже надо искать всего одну новую точку. Процедура продолжается до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность.
Для применения данного метода к двумерной задачи поиска минимума невязки R(a,P) с учетом конкретного вида зависимости невязки от параметров а и (3 (4.12) необходимо построить последовательность расстановки узловых точек.
На первом шаге задаются начальные границы отрезка amia,amax , Ртіа,Ртах и точность Eps, рассчитывают начальные точки деления по координатам а (см. Рис. 4.16, построенный на основании Рис. 4.8): и при выбранных значениях ах,а2 , методом золотого сечения для функции одно переменной, определяются оптимальные значения параметров /?„,/?„, и целевых функций при фиксированном а : где п, т- номер итерации при поиске минимума.
Шаг третий, если w = l, то а = ах = а2,/3 = Д,и завершение работы, в противном случае — возврат к шагу 2.
В качестве примера можно привести результат работы алгоритма на спектрах радиационного захвата измеренных на моделях (см. Рис. 4.17). На представленном рисунке изображены измеренный спектр радиационного захвата, измеренный на модели пласта (черный), восстановленный спектр, полученный в при разложении измеренного по линейчатым спектрам базы (синий), восстановленный спектр, полученный при разложении по спектрам базы после проведения процедуры согласования энергетических шкал (красный).
Данные метод имеет преимущества перед более быстрыми (например, наискорейшего спуска), так как функция невязки имеет явно выраженный овражный вид (см. Рис. 4.18) [40]. На первый взгляд, в предложенном методе наблюдается избыточность шагов, приходится при фиксированном а проводить полный цикл поиска минимума по /?, но в действительности такая избыточность обеспечивает большую универсальность метода, т.к. заранее неизвестно, какой формы и направленности «овраг» будет характеризовать функцию невязки. Подобный подход позволяет повысить надежность метода и ценой увеличения объема вычислений целевой функции (невязки) избежать обособленный процедуры поиска начального приближения, а кроме того, упростить реализацию алгоритма.
