Методы и алгоритмы фильтрации на основе аппроксимационных моделей для наблюдений геомагнитного поля Сидоров Роман Викторович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Задачи фильтрации наблюдений геомагнитного поля (ГМП) на основе аппроксимационных моделей 14

1.1. Описание функций векторов напряжённостей ГМП и наблюдений ГМП 14

1.1.1. Оси земной системы координат и компоненты вектора напряжённости ГМП 14

1.1.2. Варианты наблюдений ГМП; модели наблюдений ГМП 15

1.2. Методы цифровой фильтрации наблюдений ГМП 23

1.3. Обзор публикаций по методам и алгоритмам цифровой фильтрации наблюдений ГМП 28

1.4. Постановки задач фильтрации наблюдений ГМП на основе аппроксимационных моделей 32

Выводы к главе 1 35

Глава 2. Методы фильтрации наблюдений ГМП на основе аппроксимационых моделей 37

2.1. Метод фильтрации наблюдений ГМП на основе скользящих аппроксимационных моделей 37

2.2. Метод нелинейной фильтрации 1-секундных наблюдений ГМП от системы векторного и скалярного магнитометров на основе локальных аппроксимационных кусочно-постоянных моделей 43

2.3. Метод нелинейной фильтрация 1-минутных наблюдений ГМП от системы векторного и скалярного магнитометров на основе локальных аппроксимационных кусочно-линейных моделей 47

2.4. Метод фильтрации наблюдений ГМП на основе аппроксимационных сплайновых моделей 51

Выводы к главе 2 56

Глава 3. Алгоритмы аппроксимационной фильтрации наблюдений ГМП 58

3.1. Структура программного комплекса FLTAPR алгоритмов фильтрации наблюдений ГМП на основе аппроксимационных моделей 58

3.2. Алгоритм скользящей фильтрации наблюдений ГМП (FL SLAM) 59

3.3. Алгоритм нелинейной фильтрации 1-секундных наблюдений ГМП от векторного и скалярного магнитометров на основе локальных аппроксимационных кусочно постоянных моделей (FL VSMC) 63

3.4. Алгоритм нелинейной фильтрация 1-минутных наблюдений ГМП от векторного и скалярного магнитометров на основе локальных аппроксимационных кусочно-линейных моделей (FL VSML) 69

3.5. Алгоритм фильтрации наблюдений ГМП на основе аппроксимационных сплайновых моделей (FL SPLU) 72

Выводы к главе 3 76

Глава 4. Исследование аппроксимационной фильтрации наблюдений ГМП 77

4.1. Исследование фильтрации наблюдений ГМП на основе скользящих локальных аппроксимационных кусочно-линейных моделей и взвешенного усреднения 77

4.1.1. Результаты фильтрации наблюдений ГМП на основе скользящих локальных аппроксимационных кусочно-линейных моделей и взвешенного усреднения 77

4.1.2. Оценивание погрешностей скользящей фильтрации на основе статистического моделирования 79

4.1.3. Фильтрация наблюдений Рс3-пульсаций ГМП на основе скользящих локальных аппроксимационных кусочно-линейных моделей 84

4.1.4. Фильтрация техногенных помех наблюдений ГМП на основе скользящих локальных аппроксимационных кусочно-линейных моделей 87

4.2. Экспериментальное исследование нелинейной фильтрации для 1-секундных наблюдений ГМП от системы векторного и скалярного магнитометров на основе локальных аппроксимационных кусочно-постоянных моделей 88

4.3. Экспериментальное исследование нелинейной фильтрации для 1-минутных наблюдений ГМП от системы векторного и скалярного магнитометров на основе локальных аппроксимационных кусочно-линейных моделей 96

4.4. Исследование аппроксимационной сплайновой фильтрации наблюдений ГМП 101

4.4.1. Результаты аппроксимационной сплайновой фильтрации наблюдений ГМП 101

4.4.2. Применение аппроксимационной сплайновой фильтрации для вычисления базовой линии в задаче устранения систематических погрешностей в наблюдениях векторных магнитометров 107

4.4.3. Фильтрация наблюдений ГМП с неравномерной дискретизацией с использованием аппроксимационных сплайнов 110

4.4.4. Фильтрация наблюдений ГМП с джерками на основе обобщённых аппроксимационных сплайнов 112 Выводы к главе 4 114

Заключение 117

Список литературы 1

• Обзор публикаций по методам и алгоритмам цифровой фильтрации наблюдений ГМП
• Метод нелинейной фильтрация 1-минутных наблюдений ГМП от системы векторного и скалярного магнитометров на основе локальных аппроксимационных кусочно-линейных моделей
• Алгоритм нелинейной фильтрации 1-секундных наблюдений ГМП от векторного и скалярного магнитометров на основе локальных аппроксимационных кусочно постоянных моделей (FL VSMC)
• Оценивание погрешностей скользящей фильтрации на основе статистического моделирования

Введение к работе

1. Актуальность темы диссертации определяется возрастающими требования
ми к качеству данных и расширением спектра решаемых задач цифровой обработки
наблюдений геомагнитного поля (ГМП).

Цифровые системы обработки наблюдений ГМП на сегодняшний день производят, в основном, решения стандартных задач первичной и вторичной обработки данных от магнитных обсерваторий. Применяемые в настоящее время методы и алгоритмы, как правило, достаточно эффективно используются для формирования баз данных, полученных от магнитных обсерваторий и спутников. В тоже время, для современных цифровых систем рутинной и научной обработки наблюдений ГМП существенным является расширение множества решаемых задач цифровой обработки геомагнитных данных. Предлагаемая диссертация посвящена такому расширению – разработке методов и алгоритмов для повышения эффективности фильтрации наблюдений ГМП с использованием локальных аппроксимационных моделей.

Диссертационная работа нацелена на решения задач фильтрации зашумленных малоамплитудных пульсаций ГМП, фильтрации техногенных помех, фильтрации систематических погрешностей, совместной обработки наблюдений ГМП от систем магнитометров, создания методов цифровой обработки историко- и археомагнитных данных ГМП. Требования к обеспечению малых погрешностей в наблюдениях ГМП постоянно повышаются. Диссертация вносит вклад в выполнение этих требований.

Методы и алгоритмы, предложенные в диссертационной работе, базируются на использовании компьютерных средств с современными характеристиками; их возможности для наблюдений ГМП могут быть расширены при использовании компьютерных средств следующего поколения.

Перечисленные аргументы позволяют сделать вывод об актуальности темы данной диссертационной работы.

2. Цели и задачи диссертационной работы. Целью данной диссертации явля
ется разработка методов и алгоритмов аппроксимационной фильтрации наблюдений
ГМП. Для достижения указанной цели решаются задачи:

1. Создания методов фильтрации наблюдений ГМП, реализующих аппроксимацию на локальных интервалах, на последовательности локальных интервалов, на последовательности локальных интервалов с учетом взаимосвязи локальных аппрокси-мационных моделей в точках стыковки, с учетом взаимосвязи локальных аппрокси-мационных моделей для многоканальных наблюдений на локальных интервалах.

2. Разработки алгоритмов и программного обеспечения для реализации решения задач фильтрации наблюдений ГМП.

3. Реализации математического и статистического моделирования для оценки погрешностей предложенных алгоритмов аппроксимационной фильтрации.

4. Реализации приложений разработанных методов и алгоритмов к задачам магнитометрии: фильтрации данных с малоамплитудными пульсациями Рс3; фильтрации техногенных помех для наблюдений магнитных обсерваторий; совместной фильтрации наблюдений векторных и скалярных магнитометров; аппроксимационной сплайновой фильтрации данных ГМП магнитных бурь; фильтрации временных рядов среднегодовых значений компонент магнитного поля с пропусками; фильтрации наблюдений в задаче вычисления базовой линии для векторных магнитометров; фильтрации наблюдений ГМП с джерками.

3. Научная новизна. Новыми научными результатами в работе являются:

5. Постановка и система методов решения задач цифровой фильтрации наблюдений ГМП; их новизна определяется использованием предложенного математического аппарата локальных аппроксимационных моделей;

6. Метод фильтрации наблюдений ГМП на основе скользящих аппроксимаци-онных кусочно-линейных моделей со взвешенным усреднением;

7. Метод нелинейной совместной фильтрации на основе локальных аппрокси-мационных кусочно-постоянных и кусочно-линейных моделей для наблюдений ГМП от векторного и скалярного магнитометров;

8. Метод аппроксимационной сплайновой фильтрации наблюдений ГМП с магнитными бурями;

9. Метод аппроксимационной сплайновой фильтрации для вычисления базовой линии в задаче устранения систематических погрешностей в наблюдениях ГМП

от векторных магнитометров;

6) Метод фильтрации наблюдений ГМП с джерками на основе предложенных обобщенных аппроксимационных сплайнов.

4. Практическая значимость результатов диссертации. Разработанные методы и алгоритмы позволяют улучшить качество магнитных данных, зарегистрированных на обсерваториях перед их поступлением в рутинную или научную (специализированную) обработку. Это особенно важно для обсерваторий, функционирующих в условиях шумов. Практическая значимость подтверждена:

10. существенной универсальностью разработанных методов и алгоритмов и возможностью их использования в других предметных областях геофизики, а также экспериментальной физики и механики;

11. применением разработанных методов и алгоритмов для фильтрации зашум-ленных наблюдений геомагнитных пульсаций с малыми амплитудами и техногенных помех в наблюдениях ГМП, совместной фильтрации наблюдений от векторных и скалярных магнитометров, задачи сплайновой фильтрации данных магнитных бурь, фильтрации рядов среднегодовых значений ГМП с пропусками, фильтрации в задаче вычисления базовой линии для векторных магнитометров, задач фильтрации наблюдений ГМП с джерками;

12. полученными свидетельствами гос. регистрации программ FL_SLAM, FL_VSMC, FL_VSML и FL_SPLU на ЭВМ, выданными Роспатентом;

4) использованием разработанных методов и алгоритмов фильтрации больших
объемов наблюдений ГМП для оценивания их шумовых характеристик. Алгоритм
FL_SLAM был применен для наблюдений магнитных обсерваторий Ланьчжоу (Ки
тай) и Пху Туэй (Вьетнам) за 10–15.12.2012 с 1-секундной дискретизацией и наблю
дений обсерватории Колледж (Аляска, США) за 15–22.10.2014 с 1-минутной дискре
тизацией общим объемом 1Гб. Алгоритм FL_SPLU был применен на наблюдениях с
1-минутной дискретизацией обсерваторий Аддис-Абеба (Эфиопия), Апиа (Западное
Самоа), Абиско (Швеция) за период 06–12.03.2014 общим объемом 200Мб. Результа
ты были использованы в ФЦП-проекте №14.607.21.0058 «Разработка инновационной
технологии и создание экспериментального образца аппаратно-программного ком-
5

плекса для мониторинга экстремальных геомагнитных явлений с использованием наземных и спутниковых данных».

5. Основные научные результаты, выносимые на защиту:

1. Метод решения задач цифровой фильтрации наблюдений ГМП на основе систем локальных аппроксимационных модельных функций;

2. Метод фильтрации наблюдений ГМП на основе скользящих локальных ап-проксимационных моделей со взвешенным усреднением;

3. Метод нелинейной фильтрации на основе локальных аппроксимационных моделей для наблюдений ГМП от системы векторного и скалярного магнитометров;

4. Метод вычисления базовой линии в задаче устранения систематических погрешностей в наблюдениях векторных магнитометров на основе аппроксимационных сплайновых функций;

5. Метод фильтрации наблюдений ГМП с джерками на основе предложенных обобщенных аппроксимационных сплайнов.

6. Методы исследования, примененные в диссертации, включали в себя: методы цифровой обработки сигналов, оптимизации, статистического анализа данных и математического и статистического моделирования. Методологическую базу исследования составили работы отечественных и зарубежных специалистов в области системного анализа и математической геофизики, анализа наблюдений ГМП и анализа экспериментальных данных: Гвишиани А.Д., Кушнира А.Ф., Писаренко В.Ф., Яновского Б.М., Петрова В.Г., Левитина А.Е., Никитина А.А., Пугачева В.С., Левина Б.Р., Катковника В.Я., Крянева А.В., Chulliat A., Korte M., Mandea M., Finn C.А., Worthing-ton E.W., Love J.J. , Hardle W., Himmelblau D.

7. Публикации и апробация работы. Материалы диссертации опубликованы в 17 печатных работах, из них 3 статьи в журналах, включенных ВАК РФ в перечень ведущих рецензируемых научных изданий.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах: Вторая научная конференция «Базы данных, инструменты и информационные основы полярных геофизических исследований» (ПОЛАР 2012), 22–26 мая 2012 г., ИЗМИРАН, г. Троицк; The 33^rd General Assembly of the European Seismo-6

logical Commission (GA ESC 2012), 19–24 August, Moscow-Obninsk, Russia; 23rd CO-DATA International Conference "Open Data and Information for a Changing Planet", 28– 31 October 2012, Taipei, Taiwan; Всероссийская конференция «Глобальная электрическая цепь», Геофизическая обсерватория «Борок» – филиал ИФЗ им. О.Ю. Шмидта РАН, 28.10-01.11.2013; Partnership Conference "Geophysical observatories, multifunctional GIS and data mining,. Kaluga, Russia 30.09 – 03.10.2013; IAGA 12th Scientific Assembly, 08. 26–31.2013, Merida, Yucatan, Mexico; 26-я Генеральная ассамблея Международного союза геодезии и геофизики (IUGG), симпозиум Международной ассоциации геомагнетизма и аэрономии (IAGA). 22.06 – 02.07.2015 г., Прага, Чешская Республика; научный семинар Кафедры прикладной математики НИЯУ МИФИ 14.09.2015; Вторая всероссийская конференция «Глобальная электрическая цепь», Геофизическая обсерватория «Борок» – филиал ИФЗ им. О.Ю. Шмидта РАН, 05– 09.10.2015.

8. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем текста составляет 127 страниц, диссертация содержит 52 рисунка. Список литературы включает 104 источника.

9. Личный вклад автора. Разработка алгоритмов, создание компьютерных программ, расчеты, интерпретация и оценка достоверности результатов выполнены лично автором. Исходные математические постановки и подходы развиты при его непосредственном участии.

Обзор публикаций по методам и алгоритмам цифровой фильтрации наблюдений ГМП

Варианты наблюдений ГМП; модели наблюдений ГМП. Наиболее распространёнными в научной практике являются наблюдения характеристик ГМП [2] с минутной и секундной дискретизацией, которые производятся в магнитных обсерваториях. Наблюдения с минутной дискретизацией в стандарте INTERMAGNET могут быть доступны на сайте [74]; наблюдения с секундной дискретизацией - на сайте [62]. Бывают дискретизации по годам для среднегодовых значений компонент, для средних за 25 лет, средних за 100 лет и т.д., возможны неравномерные дискретизации.

Наблюдения компонент нх(П), ну(П), н2{П) обычно производятся векторными магнитометрами, наблюдения модуля нМ(П) производятся с помощью скалярных магнитометров, т - интервал дискретизации. Большая часть обсерваторий системы INTERMAGNET, производящих наблюдения ГМП с минутной дискретизацией (Т = 60 c), оснащены векторными индукционными магнитометрами VM300 и скалярными протонными магнитометрами SM900R -продукция фирмы GEOMAG (Франция). Обсерватории, производящие наблюдения ГМП с секундной дискретизацией (Т = 1 c) большей частью оснащаются векторными магнитометрами VM391 и скалярными магнитометрами GEOMETRICS G856 [101, 102].

Рассмотрим примеры наблюдений ГМП, для которых будут реализовываться предлагаемые в работе методы и алгоритмы фильтрации.

На рис. 1.1.2 представлены наблюдения компоненты я(г)ГМП c минутной дискретизацией, полученные от магнитной обсерватории API (Апиа, Зап. Самоа) [74], по оси ординат отложено время п в сутках. Начало и конец наблюдений t0 =0ч.,0мин .03.11.2004 , /= 23ч.,59мин.13.11.2004 (всего 20260 точек). Наблюдения для временных интервалов t01 = 0ч.,0мин .03.11.2004 , tf1 и 12ч., 0мин .07 .11.2004 и /02 « 0ч.,0мин .10 .11 .2004 , tf2 = 23 ч.,59 мин .13 .11 .2004 соответствуют т.н. спокойным геомагнитным наблюдениям, которые характеризуются небольшим среднесуточным размахом колебаний ГМП 600 нТл. Временной интервал (tf1,t02) соответствует наблюдениям ГМП, возмущенным магнитной бурей, которые, в данном случае, характеризуются увеличенным среднесуточным размахом колебаний ГМП 1400 нТл и очевидным изменением спектра для сигнала ГМП - появлением высокочастотных составляющих для ГМП. Рис. 1.1.2. Наблюдения H x (Ti ) с 1-минутной дискретизацией, обсерватория API

На рис. 1.1.3 представлены наблюдения компоненты H z (Ti ) ГМП c секундной дискретизацией, полученные от магнитной обсерватории LZH (Ланьчжоу, Китай) [62]. Рис. 1.1.3. Наблюдения H z (Ti ) с 1-секундной дискретизацией, обсерватория LZH По оси ординат отложено время в в секундах. Время наблюдения - 09.09.2011 (86400 точек); начало наблюдений t0 = 00:00 (начало наблюдения соответствовало нулю времени по Гринвичу) 09.09.2011, конец - tf= 23:59, 09.09.2011. Можно выделить наблюдения, соответствующие спокойному ГМП - интервал времени с 1 по 40000 секунду. Интервал времени с 40001 по 86400 секунду соответствует наблюдениям возмущённого ГМП в виде магнитной бури, характеризующийся увеличенным среднесуточным размахом и появлением высокочастотных составляющих.

На рис. 1.1.4 представлены отфильтрованные наблюдения Рс3-пульсаций ГМП [90], полученные от магнитной обсерватории PHU (Пху Туэй, Вьетнам) [62]. Время наблюдения 05.04.2010 г. от 00:00:00 до 23:59:59, начало наблюдения соответствовало нулю времени по Гринвичу; шаг дискретизации Т = 1 с. РС3-пульсации ГМП в наблюдениях имели среднюю частоту /0 « 5 10 3 Гц (априорные сведения); выбирался полосовой фильтр Баттерворта порядка NB = 6 , полоса пропускания определялась заданными частотами среза fc1 =110 3 Гц, fc2 = 9 10 3 Гц. На рис. 1.1.5 представлены те же наблюдения пульсаций, но с увеличением -для точек 35000 / 50000 . Отчётливо виден квазигармонический характер Рс3-пульсаций ГМП. Рис. 1.1.5. Рс3-пульсации H x (Ti) ГМП, обсерватория LZH, увеличенный масштаб 4. На рис. 1.1.6 представлена последовательность усреднённых на интервале 1 год (годовой дискретизации) наблюдений компоненты H y (Ti ) ГМП, полученные от обсерватории ABК (Абиско, Швеция) за период с 1921 г. по 2011 г. [100]. По оси ординат отложено время Ti в годах. В представленных данных имеют место случайные погрешности и пропуски данных.

Среднегодовые наблюдения H y (Ti ) ГМП, обсерватория ABК 5. На рис. 1.1.7 представлены наблюдения ГМП, усреднённые на 25-летних интервалах. Данные взяты из [61] и представляют собой наблюдения углов склонения D (ti ) в обсерватории г. Лондона в период 1540-1940 годы; имеют место пропуски наблюдений и случайные погрешности. Для наблюдений имеет место неравномерная дискретизация с временными моментами ti . Указанные данные относятся к т.н. историкомагнитным наблюдениям. Рис. 1.1.7. Последовательность наблюдений углов склонения D (ti ) для г. Лондон

На рис. 1.1.8 представлена последовательность наблюдений ГМП, усреднённых на временных интервалах размером в 25 лет. Данные археомагнитные наблюдения взяты из [65] и представляют собой оценки углов склонения D (ti ) для г. Киев (Украина) в период 0-1800 годы н.э. Для указанных данных имеют место пропуски в наблюдениях, случайные погрешности и т.н. джерки - скачки первых производных в наблюдениях. Исходя из рис. 1.1.8, джерки имеют место на временных отметках 50 г. н.э., 690г. н.э., 1250 г. н.э.

Последовательность наблюдений углов склонения D (ti ) для г.Киев 7. Будем полагать, что зависимости от времени для компонент вектора напряжённости H x0 (t) , H y0 (t) , H z0 (t) представляются низкочастотными функциями; будем считать, что магнитные возмущения в виде магнитных бурь незначительно расширяют спектр исходных зависимостей. Данное утверждение подтверждается проведённым спектральным анализом наблюдений ГМП на основе дискретного преобразования Фурье (ДПФ).

Метод нелинейной фильтрация 1-минутных наблюдений ГМП от системы векторного и скалярного магнитометров на основе локальных аппроксимационных кусочно-линейных моделей

В научно-технической практике широко применяются низкочастотные цифровые фильтры (НЦФ) для устранения шумов во временных рядах наблюдений. Известно, что погрешности НЦФ зависят от частотных свойств исходных данных. Так, для низкочастотных исходных данных НЦФ вполне успешно устраняют шумы, реализуя при этом малые погрешности. Для высокочастотных данных устранение шумов может оказаться незначительным или в отфильтрованных наблюдениях могут быть большие погрешности из-за возникающих амплитудно-фазовых искажений. Погрешности от НЦФ, в частности, могут возникать из-за неточностей в назначении частоты среза, обусловленных возможным отсутствием необходимых априорных сведений.

Устранение шумов в наблюдениях настоящее время реализуется, в основном, традиционными НЦФ, НЦФ на основе АРСС-моделей и на основе регрессионных моделей. Перечисленные фильтры являются близкими по значениям погрешностей, при условии равенства (приближённого равенства) их инерционных характеристик. НЦФ с вейвлет-функциями используемыми для рассматриваемой задачи в ряде случаев недостаточно хорошо работают из-за несовпадения видов материнских вейвлетов и функциональных свойств фильтруемых данных.

Цифровая фильтрация наблюдений компонент вектора напряжённости ГМП, с целью устранения в них шумов, является актуальной научно-технической задачей. Для её решения применяются традиционные НЦФ, фильтры на основе АРСС-моделей, регрессионных моделейи, с вейвлет-функциями. Общеизвестно, что в наблюдениях ГМП имеют место, как низкочастотные составляющие, соответствующие спокойным состояниям ГМП, так и высокочастотные составляющие, возникновение которых связано с возмущениями от магнитных бурь. Это обстоятельство при использовании перечисленных НЦФ для наблюдений ГМП приводит, иногда, к значительным погрешностям фильтрации из-за амплитуднофазовых искажений и неточностей задания частоты среза.

В настоящем параграфе предлагается метод фильтрации для задачи устранения шумов в наблюдениях сигналов, который усовершенствует подход, описанный в [41, 47, 6]. Реализация метода связана с построением скользящих локальных аппроксимационных моделей (СЛАМ) и последующим сглаживанием результатов аппроксимации с помощью функций взвешенного усреднения (ФВУ) [20]. Предлагаемый метод фильтрации характеризуется малым уровнем амплитуднофазовых искажений.

Общая постановка задачи фильтрации наблюдений с использованием локальных аппроксимационных моделей приведена в п. 1.4. Там были определены наблюдения ГМП н(П) для исходной зависимости #0(Г/), локальная аппроксимационная модель нМ(с,п) и функционал S(с,H). Результат фильтрации наблюдений н (л ) находился с помощью решения задачи минимизации. Очевидно, значения оценки н(Тг), г = 0,1,..., N -1, должны быть близки к наблюдениям н (п). Будем считать, что исходная зависимость я 0 (п) и оценка нМ(с,т), также будут близкими. Согласование вида модельной функции нМ(с,п)с функциональными особенностями исходного сигнала я 0 (г/) позволит значительно снизить погрешности аппроксимации.

Среднеквадратичное значение (с.к.з.) погрешности фильтрации а оценим с использованием следующего соотношения , JV —1 Формула (2.1.1) служит основой вычисления оценок погрешностей фильтрации с помощью статистического моделирования.

Запишем необходимые соотношения для задачи построения линейных локальных аппроксимационных моделей [15]

Фильтрация с использованием скользящих локальных аппроксимационных моделей и функций усреднения. Рассмотрим вычисление последовательностей СЛАМ общего вида. Предположим, что наблюдения НІТІ) заданы на большом временном интервале с г: = од,..., Nf - і, на котором образуем последовательность локальных интервалов по N точек, N1J,N2J - граничные точки локального интервала, j - номер локального интервала, у = 1,2,..., m , т -число локальных интервалов.

Алгоритм нелинейной фильтрации 1-секундных наблюдений ГМП от векторного и скалярного магнитометров на основе локальных аппроксимационных кусочно постоянных моделей (FL VSMC)

В данном параграфе приводятся необходимые сведения, касающиеся алгоритма аппроксимационной сплайновой фильтрации наблюдений ГМП в части его программной реализации программного модуля FL_SPLU. Рассматривается описание назначения программы, блок-схемы алгоритма, краткое описание особенностей применения программы и тестовый пример работы программы.

Программа FL_SPLU предназначена для решения задач устранения высокочастотных шумов в наблюдениях сигналов ГМП в общем случае с неравномерной дискретизацией с помощью реализации алгоритма фильтрации, который основан на построении аппроксимационных сплайновых функций с использованием полиномов второго порядка на заданной системе сплайновых узлов.

Программа работает с ASCII-файлами данных обсерваторских магнитных наблюдений с неравномерной дискретизацией. Тип ЭВМ – ПК; язык – система инженерных и научных расчетов MATLAB. ОС - Windows XP/7/8. Объем программы 5 Кб.

Блок-схема алгоритма программы FL_SPLU представлена на рис. 3.5.1. Серым цом выделены блоки с техническими составляющими алгоритма, белым цветом выделены блоки с вычислительными составляющими алгоритма.

Блок-схема алгоритма программы FL_SPLU аппроксимационной сплайновой фильтрации для наблюдений ГМП 3. Описание применения программы. Ввод и вывод информации алгоритма фильтрации реализуется с помощью оконных интерфейсов. Формировалась исходная последовательность наблюдений ГМП в виде модели H0(Ti) = c1 +с2Ті +с3(Г/)2, / = 0,1,...,Nf -1 , Т = 1мин , Nf = 200 , с1 =14400 ,с2 = -3.0,с3 = -0.2, модельная последовательность наблюдений представлялась в виде суммы н(П) = H0(Ti) + w(i), где (/)- случайные нормальные числа с нулевым математическим ожиданием и заданным с.к.з sgm = 750 . В тестовом примере задавались: равномерная дискретизация модельных наблюдений с т = 1 Х(І) = ТІ,І = 1,...,Nf, для модельного интервала граничные точки N10 = 1,N20 = 75, и равномерное расположение сплайновых узлов с шагом сКщ = (х(N20) - х(N 10)) / п , число сплайновых интервалов принималось равным п = 8 . Вычислялись коо рдинаты узлов Xsp (к) = X(N10) + dXsp -к к = 1,..., п - 1 .

На рис. 3.5.4. представлены результаты работы программы алгоритма аппроксимационной сплайновой фильтрации. Пунктирная линия с индексом 1 -исходный сигнал н0(П) в виде параболической функции времени, линия с индексом 2 соответствует модельному зашумлённому наблюдаемому сигналу н(П), линия с точками с индексом 3 - отфильтрованному сигналу я (П). Выводы к главе 3 1. Алгоритмы и программный комплекс аппроксимационной фильтрации, реализованные в виде Matlab-продукта FLTAPR, могут успешно применяться в решениях многих вариантов задач цифровой обработки наблюдений ГМП. 2. Алгоритм и программный модуль скользящей фильтрации наблюдений ГМП позволяют осуществлять устранение шумов, являются в значительной степени универсальными и достаточной степени работоспособными. 3. Алгоритм программный модуль нелинейной фильтрации на основе локальных аппроксимационных кусочно-постоянных моделей для 1- секундных наблюдений ГМП от системы векторного и скалярного магнитометров оказался эффективным и ориентированным на конкретное практическое применение. 4. Алгоритм и программный модуль нелинейной фильтрация на основе локальных аппроксимационных кусочно -линейных моделей для 1-минутных наблюдений ГМП от системы векторного и скалярного магнитометров оказался эффективным и ориентированным на конкретное практическое применение. 5. Алгоритм и программный модуль аппроксимационной сплайновой фильтрации наблюдений ГМП является в значительной степени универсальными и может оказаться альтернативным традиционным алгоритмам и программным модулям, применяемым для фильтрации наблюдений ГМП. Глава 4. Исследование аппроксимационной фильтрации наблюдений ГМП

Исследование фильтрации наблюдений ГМП на основе cкользящих локальных аппроксимационных кусочно-линейных моделей и взвешенного усреднения

В данном параграфе помещены материалы исследования предложенного алгоритма скользящей фильтрации наблюдений ГМП с использованием кусочно-линейных моделей и взвешенного усреднения. Проводился анализ результатов фильтрации реальных обсерваторских наблюдений и реализовывалось статистическое моделирование для оценивания погрешностей фильтрации.

Результаты фильтрации наблюдений ГМП на основе скользящих локальных аппроксимационных кусочно-линейных моделей и взвешенного усреднения

На рис. 4.1.1 представлен график 1-секундных наблюдений компоненты Н2 = Н2(ТІ) (в нТл) вектора напряжённости ГМП, \=0,1…Jsfr\, полученных от магнитной обсерватории LZH (Китай) [62]. Начало наблюдений - 0 ч. 0 мин. 0с.,09.09.2011, конец - 23ч. 59 мин. 59 с.,09.09.2011,. Nf = 86400. Для рис. 4.1.1 можно выделить интервал с точками 0 / « 40000 , соответствующий «спокойным» наблюдениям ГМП, характеризующийся наличием низкочастотных составляющих. Интервал « 40001 г 86399 , соответствует возмущённым магнитной бурей наблюдениям ГМП и характеризуется наличием высокочастотных составляющих.

Исследование скользящей фильтрации производилось на основе разработанного программного MATLAB-модуля FLSLAM. Рассматривались наблюдения компоненты и г (п), І = 0,1,...,Nf -1 с использованием FLSLAM. На рис. 4.1.2. представлен результат фильтрации для интервала с номерами граничных точек N1 i 7V2, N1 = 9700 , N2 = 9890 . Для FLSLAM назначались параметры - число точек на локальном интервале N = 8, шаг скольжения N = 1.

Оценивание погрешностей скользящей фильтрации на основе статистического моделирования

Были произведены вычисления приближённых оценок с.к.з. погрешностей -разностей отфильтрованной и исходной зависимостей. В данном случае с.к.з. погрешностей, соответствующих «спокойному» участку, оказалось равным приблизительно 6 нТл, что свидетельствует о том, что инструментальные шумы оказались почти удалёнными в результате применения предложенной аппроксимационной сплайновой фильтрации. Значение с.к.з. погрешностей для участка с магнитной бурей оказалось, примерно, на один порядок больше, чем для «спокойного» участка. Вероятно, в этом случае к высокочастотным инструментальным шумам добавились некоторые дополнительные высокочастотные составляющие. Рис. 4.4.4. Функция разности наблюдений компоненты Н x(Ti) и оценки Нх(Ті) вектора напряжённости ГМП Последнее утверждение следует из рассмотрения результатов фильтрации, представленных на рис. 4.4.4, на котором изображён график функции разности ШХ(ТІ) = НХ(ТІ)-НХ(ТІ), i = 0,1.,,,Nf-1,Nf=1440. Аппроксимационная сплайновая фильтрация была осуществлена для п = 400 . Рассматривалось сравнение погрешностей фильтрации при использовании НЦФ Баттерворта и погрешностей фильтрации на основе FLSPLU. Вычисление значений оценок погрешностей производилось на основе статистического моделирования.

Исходная модельная функция, имитировавшая компоненту вектора напряжённости ГМП, обозначалась, как н0(Тг). Её построение осуществлялось посредством сплайновой аппроксимации наблюдений н х(П) из данного подпараграфа с использованием программного модуля FLSPLU. Модели наблюдений для статистического моделирования представлялись в виде я (ТІ) = Н0(ТІ) + М (ТІ) , где w (ТІ ) - случайные некоррелированные нормальные случайные числа с нулевым математическим ожиданием и с.к.з. о- имитировали входные шумы.

Формировался двумерный массив реализаций зашумлённых модельных наблюденийя(ст,г/) = я0(Т/) + (Т/), і = 0,1.,,,Nf -1, s- номер реализации, s = 1,...,м0, м0 -число реализаций. Для НЦФ Баттерворта вычисление оптимальной частоты среза с учётом заданных N1 ,N2, 0 N1 N2 N/-1, реализовывалось аналогично методу, предложенному в п.п.4.1. С целью нахождения погрешности фильтрации от НЦФ ит (а) на вход НЦФ подавались наблюдения я,( т,:п), на выходе формировались HBTs(a,Ti). Вычисления авт (а) производились по формуле типа (4.1.2) , 0 N1 N2 Nf - 1

Аналогичным образом вычислялась погрешность a (r) от аппроксимационной сплайновой фильтрации. Для её нахождения на вход алгоритма FL SPLU подавались наблюдения я (а,п), на выходе формировались

Эффективность работы НЦФ Баттерворта зависит от соотношения двух факторов: выбранной частоты среза и первой производной исходных функций наблюдений. Уменьшение частоты среза для НЦФ позволяет устранить высокочастотные шумы в наблюдениях, однако, при этом начинают увеличиваться динамические погрешности фильтрации, пропорциональные величинам указанных первых производных. Увеличение частоты среза снижает динамические погрешности, при этом НЦФ начинает пропускать высокочастотные шумы. При выбранной оптимальной частоте среза, доставляющей минимум суммарной динамической и флуктуационной погрешностям, можно оценить потенциальную точность НЦФ. В свою очередь, погрешности аппроксимационной сплайновой фильтрации слабо зависят от величин первых производных исходных наблюдений.

Для рассмотрения зависимости погрешностей фильтрации от величин первых производных функций наблюдений участок N1 І N2 подразделялся на подучастки N1j і N2j ,j = 1,..., т , N1. = N1 + AN (j - 1) , JV 2. = N 1 + AN - 1 ; на указанных подучастках вычислялись средние значения производных н0J . Для этих же подучастков находились с.к.з. погрешностей аВТ (сг,# ) ,сг (сг,Я ).

Оценки погрешностей фильтрации на основе НЦФ Баттерворта и аппроксимационных сплайновых функций Расчёты производились при следующих значениях параметров: N1 = 400 , N2 = 900 AN = 50 , m = 10 . Для построения исходной модельной функции наблюдений Я0(7Ї) и реализации аппроксимационной сплайновой фильтрации программный модуль FLSPLU работал при п = 100 . Для модельных шумов принималось значение о- =1.5 нТл. На рис. 4.4.5 представлены результаты статистического моделирования - оценки погрешностей фильтрации на основе 107 НЦФ Баттерворта авт. = авт( 7,н0.) - кривая с индексом 1 и аппроксимационного сплайнового фильтра а . = а (а,н0.) - кривая с индексом 2 в зависимости от оценок средних значений производной я 0.. Можно сделать основной вывод - величины погрешностей аппроксимационной сплайновой фильтрации примерно на 70-80% меньше погрешностей от фильтрации с помощью НЦФ. Устранение высокочастотных шумов для наблюдений ГМП целесообразно осуществлять с помощью аппроксимационной сплайновой фильтрации.

Применение аппроксимационной сплайновой фильтрации для вычисления базовой линии в задаче устранения систематических погрешностей в наблюдениях векторных магнитометров

Рассматривалось применение предложенной аппроксимационной сплайновой фильтрации в задаче устранения систематических погрешностей в наблюдениях векторных магнитометров.

Как правило, в качестве базовой линии принимается некоторая функция, которая приближённо описывает неизвестную функцию систематической погрешности в магнитометре. Полагалось, что значения оценок функции систематической погрешности н к определены, по ряду технических причин, для моментов времени tk - с шагом дискретности порядка 0.5-1.5 недели на основном временном интервале, который составил величину примерно 10-15 недель. Ставится задача по дискретным значениям оценок базисной линии н к для соответствующих моментов времени tk, к = 1,...,ks вычислить оценку функции базисной линии на основном временном интервале. Сформулированная задача может интерпретироваться как интерполяционная или интерполяционно-аппроксимационная. В [88] для решения данной задачи предложено воспользоваться алгоритмом построения интерполяционных сплайнов из [91, 58]. Практическая реализация алгоритма решения произведена на основе Matlab-программного модуля csaps [95] - вариант №1. Сплайновая интерполяция для варианта №1 осуществлена на основе кубических полиномов. В настоящем подпараграфе для решения той же задачи применена разработанная аппроксимационная сплайновая фильтрация -вариант №2; реализовано сравнение эффективности двух вариантов решений.

Сравнение эффективности вариантов решений осуществлено на основе статистического моделирования. Для этой цели задавалась математическая модель базовой линии - функции систематической погрешности одной из наблюдаемой компонент для векторного магнитометра в виде линейной функции времени нSM (с,ТІ) = с1М + с2Мп , / = од,..., Nf - і, где Т -время в минутах, с1М - начальное смещение в нТл, с2М- скорость изменения систематической погрешности, измеряемое в смещении в нТл за время Ns0 = 1440 минут (за сутки). Принимались значения с1М = о.інТл,с2 = о.5/лг,0нТл/мин.