Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Методы моделирования электромагнитных полей в гетерогенных средах и эффективные характеристики многокомпонентых сред 13
1.1. Гетерогенные среды естественного и искусственного происхождения. Эффективные характеристики гетерогенных сред 13
1.2. Численные методы решения прямой задачи моделирования электромагнитного поля 18
1.3 Метод конечных разностей 19
1.4 Метод конечных элементов 21
1.5 Метод моментов и его модификации 24
1.6 Неконформные и неполиномиальные модификации метода конечных элементов 26
1.7 Разрывный метод Галеркина 27
1.7.1 Разрывный метод Галеркина в сочетании с Nitsche методом 28
1.7.2 Trefftz-DG метод 29
1.7.3 Разрывный метод Галеркина в постановках IP и Brezzi 30
1.8 Многомасштабные методы 32
Выводы по главе 35
ГЛАВА 2. Конформный векторный метод конечных элементов 36
2.1. Математическая модель 36
2.1.1. Система уравнений Максвелла 36
2.1.2. Уравнение Гельмгольца 38
2.2. Функциональные пространства. Комплекс де Рама 38
2.3. Вариационная постановка 40
2.4. Дискретная вариационная постановка конформного ВМКЭ 41
2.5. Дискретизация расчетной области
2.5.1. Конечные элементы и базисные функции 42
2.5.2. Базис Вебба 1- 3 порядков 46
2.5.3. Базис на основе полиномов Лежандра 46
2.5.4. Интерполяционный базис 47
2.5.5. Соленоидальный базис 48
2.6. Спектральные характеристики 48
2.7. Верификация метода на тестовой задаче с известным аналитическим решением 53
2.8. Точность вычисления «скачка» нормальной компоненты 59
2.9.Выбор решателя в зависимости от базиса и диапазона частот 62
Выводы по главе 68
ГЛАВА 3. Неконформные методы на базе векторного метода конечных элементов 69
3.1. Разрывный метод Галеркина. Дискретная вариационная постановка разрывного метода Галеркина 69
3.1.1. Верификация вычислительной схемы разрывного метода Галеркина на тестовой задаче с известным аналитическим решением 76
3.1.2. Влияние стабилизирующего коэффициента 78
3.1.3. Исследование на задаче с контрастными включениями в широком диапазоне частот 80
Выводы по разрывному методу Галеркина 87
3.2. Вычислительная схема на базе модифицированного многомасштабного разрывного метода Галеркина 88
3.2.1. Постановка задачи на макроуровне 89
3.2.2. Постановка задачи на микроуровне 91
3.2.3. Вычисление элементов локальных матриц на макроуровне 93
3.2.4. Вычисление «скачков» 94
3.2.5. Вывод решения 94
3.3. Численные эксперименты 95
3.3.1. Численное исследование сходимости метода 95
3.3.2. Сравнение с ВМКЭ и разрывным методом Галеркина 97
3.3.3. Численный эксперимент в области с микровключениями 98
Выводы по главе 101
ГЛАВА 4. Алгоритм нахождения тензорной эффективной электрической характеристики гетерогенной среды 103
4.1. Этапы нахождения эффективной характеристики среды 103
4.1.1. Решение прямой задачи 104
4.1.2. Определение эффективной характеристики среды
4.2. Решение задачи в анизотропной среде 105
4.3. Верификация алгоритма 106
4.4. Численный эксперимент
4.4.1. Исследование в средах с включениями 108
4.4.2. Область допустимых значений 111
4.4.3. Влияние формы и расположения включений внутри образца на эффективную характеристику среды 112
4.4.4. Эффективные электрические характеристики образцов флюидонасыщенных пористых и трещиноватых сред 118
Выводы по главе 123
ГЛАВА 5. Описание программных комплексов 124
5.1. Программный комплекс VFEMmultybasis 125
5.2. Программный комплекс NCVFEM 127
Выводы по главе 129
Заключение 130
Список литературы 132
- Численные методы решения прямой задачи моделирования электромагнитного поля
- Функциональные пространства. Комплекс де Рама
- Верификация вычислительной схемы разрывного метода Галеркина на тестовой задаче с известным аналитическим решением
- Решение задачи в анизотропной среде
Введение к работе
Актуальность темы исследования. В геофизических приложениях возникает необходимость определять эффективные электрические характеристики гетерогенных сред, описывающие многокомпонентные среды как макроскопически однородные. В частности, электрические и электромагнитные методы геофизических исследований скважин, такие как индукционный и диэлектрический каротаж, высокочастотный индукционный каротаж изопараметрических зондирований (ВИКИЗ) требуют знания эффективных электрофизических характеристик буровых растворов и горных пород. Ряд биологических приложений и разработка новых композитных материалов также требуют знания эффективных характеристик гетерогенных сред, так как макросвойства сред со сложной внутренней структурой могут значительно отличаться от свойств материалов, их образующих.
В аналитических методах (модель Drude, модель Lorentz, модель Cole-Cole и т.д.) эффективная электрическая характеристика рассматривается как скалярная функция частоты, что не позволяет учесть возможной анизотропии, возникающей в гетерогенной среде в результате взаимодействия включений. Гетерогенные среды обладают большим многообразием (по происхождению среды, по количеству компонент, по форме включений, по расположению включений внутри образца), в то время как большинство аналитических методов нахождения эффективных характеристик ориентированы на конкретный тип геометрии неоднородностей и регулярное/периодическое расположение внутри вмещающей среды, что накладывает ограничения на их применение для сред с произвольной внутренней структурой. При исследовании сред естественного происхождения (например, кернов горных пород), отличающихся как геометрической, так и электрофизической многомасштабностью, такие ограничения существенны и могут приводить к нефизичным оценкам. Численное опре-
деление тензорных эффективных характеристик таких сред является актуальной проблемой вычислительной математики.
Определение эффективной характеристики среды в работе выполняется на основе решения прямой задачи электромагнетизма в среде с включениями. Задача моделирования трехмерных гармонических электромагнитных полей возникает во многих современных прикладных областях (геофизика, материаловедение, оптотехника и т.д.). Большинство методов геоэлектрики требуют в том или ином виде знаний о распределении электромагнитного поля в пространстве. Вычислительные схемы на базе конформного векторного метода конечных элементов (ВМКЭ) достаточно эффективны, однако, имеют ряд ограничений при моделировании волновых процессов в областях с разномасштабными микровключениями. Известно, что для получения численного решения с адекватной точностью ВМКЭ на длину волны должно приходиться минимум девять тетраэдров (P. Monk). На высоких частотах, когда размеры расчетной области сопоставимы с длиной волны, происходит резкое увеличение конечноэлемент-ной сетки и, следовательно, размерности системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Наблюдается ухудшение спектральных характеристик СЛАУ. Возможности распараллеливания классического ВМКЭ ограничены.
Наличие в гетерогенных средах большого количества внутренних границ снижает эффективность конформных методов и требует применения вычислительных схем на базе неконформных методов.
При разработке вычислительных смех на базе неконформных методов важным является оптимальный выбор векторных базисных функций, от которых зависит точность получаемого решения и устойчивая работа метода в широком диапазоне частот. Также важен способ связи отдельных подобластей.
Цель работы: вычисление эффективных характеристик гетерогенных сред на основе результатов моделирования трехмерного электромагнитного поля в средах с контрастными микровключениями.
Задачи исследования:
-
Разработать численную схему гомогенизации электрических свойств гетерогенных сред;
-
Разработать вычислительные схемы на базе неконформного (разрывного) метода Галеркина и конформного ВМКЭ для моделирования трехмерных электромагнитных полей в гармоническом режиме в расчетных областях со сложной внутренней структурой.
В соответствие с поставленной целью можно выделить следующие этапы исследования:
-
Исследовать иерархические, интерполяционные, соленоидальные векторные базисные функции 1-3 порядков при моделировании трехмерных электромагнитных полей конформным ВМКЭ, разрывным методом Галеркина, модифицированным многомасштабным разрывным методом Галеркина.
-
Исследовать IP постановки разрывного метода Галеркина в широком диапазоне частот и выбрать оптимальную из них.
-
Разработать вычислительную схему на базе ВМКЭ, разрывного метода Галеркина и многомасштабного метода для моделирования трехмерного гармонического электромагнитного поля в широком диапазоне частот в среде со сложной внутренней структурой.
-
Разработать алгоритм вычисления эффективной электрофизической характеристики гетерогенной среды с микровключениями.
Положения, выносимые на защиту:
-
Алгоритм моделирования трехмерного электромагнитного поля в гармоническом режиме в гетерогенной среде на основе конформного ВМКЭ, разрывного метода Галеркина и многомасштабной идеологии с обоснованным выбором векторных базисных функций и оптимальной схемы разрывного метода Галеркина.
-
Алгоритм нахождения эффективной тензорной электрической характеристики гетерогенной среды.
Научная новизна.
-
Для рассмотренного класса задач электромагнетизма выполнен обоснованный выбор вычислительной схемы разрывного метода Галерки-на и векторных базисных функций в зависимости от диапазона частот и контрастности электрофизических характеристик.
-
Разработана вычислительная схема на базе ВМКЭ, разрывного метода Галеркина и многомасштабного метода для моделирования электромагнитного поля в широком диапазоне частот в гетерогенных средах на неструктурированных симплициальных сетках.
-
Разработан алгоритм вычисления эффективной электрофизической характеристики среды в виде тензора второго ранга.
Личный вклад соискателя заключается в разработке и программной реализации вычислительных схем на основе ВМКЭ и разрывного метода Галеркина для моделирования трехмерных электромагнитных полей в гетерогенных средах с контрастными электрофизическими характеристиками включений и матрицы (вмещающей среды) в широком диапазоне частот. Соискателем выполнен анализ иерархических, интерполяционных и соленоидальных векторных базисных функций 1-3 порядка, а также существующих вариационных постановок разрывного метода Галеркина в
пространстве H(rot, ) для уравнения Гельмгольца. На основе выполненных исследований предложена модификация IP постановки разрывного метода Галеркина. Разработана вычислительная схема на базе модифицированного многомасштабного разрывного метода Галеркина. Соискатель принимал активное участие в построении и верификации алгоритма вычисления эффективных электрических характеристик среды. Все результаты численного моделирования в средах с включениями и в однородных изотропных средах, приведенные в диссертации, получены соискателем лично.
Степень достоверности. Достоверность результатов подтверждена
стандартными для численных методов процедурами верификации, срав
нением с опубликованными результатами и с результатами, полученными
с применением программного комплекса EFMAC 2.0, разработанного
научным сотрудником ИНГГ СО РАН кандидатом физико-
математических наук Н.В. Штабель. Для верификации неконформных методов применяется классический ВМКЭ.
Методология и методы исследования. Математической моделью, описывающей поведение трехмерного электромагнитного поля в гармоническом режиме, является уравнение Гельмгольца с магнитными и электрическими краевыми условиями на границах расчетной области. Метод исследования – математическое моделирование конформным ВМКЭ и неконформными модификациями ВМКЭ в функциональном пространстве H(rot, ). Построение адаптивного симплициального сеточного разбиения выполняется внешним генератором сеток с открытым кодом Gmsh.
Значимость работы. Разработанные программные комплексы VFEMmultybasis и NCVFEM применимы для решения задач электромагнетизма в широком диапазоне частот (от кГц до ГГц). VFEMmultybasis и NCVFEM эффективны при моделировании электромагнитных полей как при преобладании токов проводимости, так и при преобладании токов смещения, а также когда они сопоставимы. Разработанный алгоритм нахождения эффективной электрической характеристики позволяет определять ее в виде тензора второго ранга для среды с микровключениями произвольной формы и расположения внутри образца.
Апробация результатов. Основные положения диссертации докладывались и были одобрены на следующих конференциях: Международная конференция «Разностные схемы и их приложения», посвященной 90-летию профессора В.С. Рябенького. (Москва, 2013 г.); Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева «Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений» (Новосибирск, 2013 г.); Международная молодежная
научная школа-конференция «Теория и численные методы решения об
ратных и некорректных задач», посвященная 85-летию со дня рождения
академика А.С. Алексеева (Новосибирск, 2013 г.); Всероссийская научная
конференция молодых ученых и студентов, посвященная 80-летию акаде
мика А.Э. Конторовича (Новосибирск, 2014 г.); Международная конфе
ренция Забабахинские научные чтения (Снежинск, 2014 г.); International
conference Advanced Mathematics, Computations and applications
(Novosibirsk, 2014 г.); XX Всероссийская конференция, посвящ. памяти К.И. Бабенко «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики» (Абрау-Дюрсо, Новороссийск, 2014 г.); XII международная конференция актуальные проблемы электронного приборостроения АПЭП-2014 (Новосибирск, 2014 г.), Международная конференция «Computational and Informational Technologies in Science, Engineering and Education» (Алматы, Казахстан, 2015 г.); и семинарах: семинар кафедры Вычислительных технологий Новосибирского государственного технического университета (Новосибирск, 2012 и 2014 гг.), объединенный семинар Института вычислительной математики и математической геофизики и кафедры вычислительной математики НГУ (Новосибирск, 2014 г.), семинар «Геометрия, топология и их приложения» Институт математики им. С.Л. Соболева (Новосибирск, 2015 г.), семинар по геоэлектрике ИНГГ СО РАН (Новосибирск, 2015 г.).
Научные исследования выполнены при поддержке ОФИ-М (грант 13-05-12031) и интеграционного проекта СО РАН №98.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 23 работы, из них 2 в ведущих научных журналах из списка ВАК (Вестник НГУ. Математика, механика, информатика; Вычислительные технологии), 2 в рецензируемых изданиях (Сборник научных трудов НГТУ, Труды XII международной конференции актуальные проблемы электронного приборостроения АПЭП-2014), 1 в рецензируемом англоязычном издании (Scientific Research: Engineering), 18 в сборниках тезисов, трудах и материалах российских и международных конференций. Разработанная для ЭВМ программа VFEMmultybasis прошла процедуру государственной регистрации (№2015614077).
Структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы (208 источников) и 3 приложений. Основные результаты работы обобщены в заключении диссертации. Работа изложена на 164 страницах, включая 63 рисунка и 28 таблиц.
Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю д.т.н., профессору Э.П. Шуриной и д.т.н, академику РАН, профессору М.И. Эпову за помощь и поддержку при подготовке диссертации. Автор
искренне признателен к.т.н. Н.Б. Иткиной и к.ф.-м.н. Н.В. Штабель за ценные советы и участие.
Численные методы решения прямой задачи моделирования электромагнитного поля
Гетерогенной средой обычно называют совокупность некоторых однородных фаз, образующих участки, каждый из которых является достаточно большим, чтобы рассматриваться как сплошной (гомогенный) [108]. К гетерогенным можно отнести широкий круг сред, материалов, смесей как естественного, так и искусственного происхождения.
Необходимость моделирования электромагнитных полей в естественных гетерогенных средах возникает в науках о земле, биологии и медицине. К таким средам относят горные породы и керны [156], в медицине – кости скелета, биологические ткани [48], имеющие пористую структуру. В науках о земле вводятся также понятия трещиноватых, пористых и трещиновато-пористых сред [198].
К искусственным в первую очередь относят композитные материалы и мета-материалы [4, 26] – материалы, имеющие сложную геометрическую структуру и разрывные электрофизические свойства. Физические характеристики таких материалов могут отличаться от характеристик материалов, из которых они изготовлены. Также к искусственным гетерогенным средам относятся анизотропные кристаллы, представляющие собой систему чередующихся слоев материалов с контрастными электрофизическими коэффициентами [29], оптоволоконные устройства [109] и волноводы сложной геометрии и внутренней структуры [76].
Рассматриваемые среды классифицируются по числу фаз или компонент. Они делятся на двухкомпонентные или двухфазные [3], состоящие из матрицы и включений, причем все включения имеют одинаковые физические свойства, и на более сложные многокомпонентные или многофазные [6], состоящие из матрицы и включений нескольких типов, различающихся между собой по своих физическим характеристикам.
По форме включений большим разнообразием обладают и искусственные материалы, и естественные образцы. Включения в искусственных средах обладают большим разнообразием формы: сферические, цилиндрические, кубические, пластинки-резонаторы, разомкнутые кольца [3, 6, 178, 207] и т.д. Однако зачастую образцы искусственного происхождения имеют одинаковый габаритный размер включений и содержат включения какой-либо одной из форм.
Для сред естественного происхождения характерно наличие разномасштабных включений, расположенных хаотично. Причем разброс размеров включений значителен и может составлять несколько порядков. Для трещиноватых и трещиновато-пористых сред отмечается значительная разномасштабность продольных и поперечных размеров неоднородностей. В таких средах могут содержаться включения различной сложной формы.
По размеру включений гетерогенные среды можно разделить на макрокомпозиты (размер включения 100 нм) и нанокомпозиты (от 1 до 100 нм).
Материалы матрицы и включений для гетерогенных сред обладают большой контрастностью электрофизических характеристик, что осложняет процедуру моделирования электромагнитного поля в этих объектах.
Взаимодействие между включениями, высокая контрастность физических характеристик подобластей, широкий диапазон частот, на которых выполняются исследования, сложная геометрия и наличие внутренних границ приводят к тому, что наведенные электромагнитные поля в гетерогенных средах обладают сложной конфигурацией, и каждая из решаемых в таких средах задач требует индивидуального подхода.
Для гетерогенных сред зачастую требуется знание эффективных свойств образца. Возникает вопрос, может ли многокомпонентная среда рассматриваться как макроскопически однородная, электрофизические свойства которой описываются некоторым эффективным параметром. Проблеме определения эффективных характеристик посвящен широкий круг исследований. Для описания сред сложной конфигурации в частотном режиме наиболее широко известными и часто применяемыми на практике являются модели Drude, Lorentz, Debye и Cole-Cole [52, 187]. Диэлектрическая и магнитная проницаемости в этих моделях являются функциями частоты є(со) и ().
Модели Drude и Lorentz обычно применяются на высоких частотах. Моделью Lorentz описывают поведение метаматериалов и композитов на частотах, близких к резонансной частоте. Модель Drude используется для описания поведения металлов на оптических частотах, однако также может применяться для нахождения эффективных характеристик метаматериалов. В ряде случаев возможно использование смешанной модели, в которой вычисляется по модели Drude, а по модели Lorentz. На низких частотах модель Lorentz дает некорректные результаты.
Функциональные пространства. Комплекс де Рама
В некоторых случаях имеет смысл использовать редуцированный базис, не содержащий градиентных функций. Такой базис не гарантирует корректного «скачка» нормальной компоненты, но может применяться для определенного диапазона частот и для сред, состоящих из диэлектрических материалов. Базисы, состоящие только из соленоидальных функций, достаточно точно описывают физический процесс, однако не обеспечивают достаточной гладкости решения и могут давать нефизичные осцилляции.
Соленоидальный базис получается из иерархических базисов Вебба (либо из базиса на основе полиномов Лежандра) путем исключения всех градиентных функций.
При выборе базисных функций следует учитывать многие факторы. Одним из них являются спектральные характеристики локальных матриц и глобальных матриц СЛАУ. В этом разделе рассматриваются числа обусловленности локальных матриц B (2.44). Спектральные характеристики матриц G (2.43) не рассматриваются, так как эти матрицы являются вырожденными.
Существуют различные подходы к вычислению числа обусловленности [10]. Отличия заключаются в способе нахождения матричных норм. В работе обусловленность матриц определяется как отношение модуля максимального собственного числа матрицы к модулю минимального отличного от нуля собственного числа [19] A max
Следует отметить, что «форма» конечного элемента значительно влияет на спектральные характеристики локальных матриц. Введем следующие понятия: эталонный конечный элемент, деформированный конечный элемент и сеточный конечный элемент.
Эталонный конечный элемент: тетраэдр КЭ = {х є R3;x,y,z 0;х + у + z і} (Рисунок 2.3.а). Деформированный конечный элемент - тетраэдр, «растянутый» вдоль одной из координатных осей в раз (Рисунок 2.3.б), - коэффициент растяжения/сжатия. Сеточный конечный элемент (Рисунок 2.3.в): КС - произвольный невырожденный тетраэдр, у которого длины ребер отличны от длин ребер эталонного тетраэдра [19]. где iЭ - длина / ребра эталонного КЭ, iС - длина / ребра сеточного КЭ. а) б) в)
Тетраэдральные конечные элементы: a) эталонный конечный элемент; б) деформированный конечный элемент; в) сеточный конечный элемент
Спектральные характеристики локальных матриц массы B в зависимости от коэффициента растяжения (рассматривается только растяжение ребра эталонного КЭ вдоль оси Oz) приведены в таблице 2.2 (KС1 и KС2 – сеточные элементы). Нумерация базисов введена в соответствие с таблицей 2.1. KС1 задается вершинами {(0,863; 0,262; 0,642), (0,842; 0,320; 0,856), (0,926; 0,258; 0,704), (0,829; 0,201; 0,867)} и имеет объем V1=3,066E-004, KС2 задается вершинами {(0,250; 0,375;
Число обусловленности локальной матрицы массы для иерархических базисов Вебба 1-3 порядков в логарифмической шкале
Из результатов, приведенных в таблице 2.2 и на рисунке 2.4 следует, что с увеличением порядка базиса наблюдается резкий рост чисел обусловленности.
Растяжение/сжатие конечного элемента, т.е. его отклонение от эталонного, значительно влияет на обусловленность матриц B. Для сеточных элементов в ряде случаев число обусловленность в 2-4 раза больше, чем для эталонного тетраэдра. Среди базисов высокого порядка (3 порядка) наименьшем числом обусловленности
обладает интерполяционный базис, наибольшее число обусловленности - у базиса Вебба полного третьего порядка. Аналогичный анализ выполнен для базиса 2 порядка в [103], полученные в работе результаты хорошо согласуются с приведенными в [103].
(2.49)
На число обусловленности глобальной матрицы СЛАУ значительное влияние оказывает не только значение чисел обусловленности локальных матрицы, но и качество сетки, электрофизические характеристики подобластей, соотношение количества тетраэдров в подобластях с различными физическими свойствами. Рассмотрим обусловленность глобальной матрицы (2.42) для расчетной области , состоящей из 2 подобластей. Расчетная область имеет вид (Рисунок 2.5): «„« ,= [0..0,05; 0..0,08; 0..0,05], Ошс/=[0,005..0,045; 0,005..0,075; 0,015..0,035].
Рассматриваются диэлектрические среды c = 0, 2=-ю2є. Частота /= 100 МГц. Количество тетраэдров во включении составляет примерно 55 % от общего числа тетраэдров в сетке. Числа обусловленности найдены для глобальных матриц, полученных на конечноэлементной дискретизации на сетке, содержащей 475 конечных элементов. Размерности глобальных матриц для различных базисов приведены в таблице 2.3.
Исследовалось влияние качества конечноэлементной сетки и контрастности материалов на значение числа обусловленности глобальной матрицы СЛАУ. Вычисления выполнялись для модельных задач (Таблица 2.4): 1) Однородная среда (medla = mci = 0). 2) Среда с контрастным включением: incl media, mcl = Юо, media = o 3) Среда с контрастным включением: іпсі media, incl = O, media = Юо. 4) «Плохая сетка». Вычисления выполнялись в однородной среде (ІПСІ = media = o), но на сетке, 25% элементов которой «растянуты» либо «сжаты», то есть значительно отличаются от эталонного тетраэдрального конечного элемента.
Верификация вычислительной схемы разрывного метода Галеркина на тестовой задаче с известным аналитическим решением
Полученная в результате аппроксимации решаемой задачи разрывным методом Галеркина матрица СЛАУ является несимметричной и в качестве метода решения выбирается итерационный метод BiCGstab с диагональным масштабированием. Выход из итерационного процесса осуществляется по невязке г = 10 6. Рассматривалась сетка, включающая 8 080 конечных тетраэдральных элементов. Размер СЛАУ N = 96 960.
На рисунках 3.4.а-г приведены точное решение A и найденное численно решение U. Компоненты Ах и Uх выведены по линии у = 0,489; z = 0,489, Є[0, 1]. Количество точек вывода равно 100.
Можно сделать вывод, что наиболее близкое к точному решение получено в IIP постановке. В остальных постановках наблюдаются осцилляции решения, однако, и в остальных постановках численные решения достаточно близки к точному решению Ax.
Стабилизирующий коэффициент оказывает значительное влияние на скорость сходимости итерационного решателя и на точность численного решения. В таблице 3.1 приведено количество итераций BiCGstab и точность полученного решения в зависимости от выбора для IIP постановки. Коэффициент варьировался от 10 до 500. Точность решения оценивалась следующим образом:
Приведенные в таблице 3.1 результаты позволяют сделать вывод, что с ростом а значительно возрастает количество итераций, необходимых BiCGstab для достижения значения невязки \\г 11 = 10"6. Однако значительно возрастает и точность полученного решения. При = 10 и = 25 полученное решение является слишком грубым. При =500 решение наиболее точное, однако требуется более 5000 итераций. Оптимальные результаты по точности и количеству итераций были получены при = 100. В таблице 3.2 сравниваются различные модификации IP постановки для фиксированных значений стабилизирующего коэффициента = 100 и = 200. IIP, SIP, NIP и редуцированная IP постановка сравниваются по скорости решения СЛАУ и точности полученного решения. Таблица 3.2 – Исследование влияния стабилизирующего коэффициента на ско рость сходимости итерационного метода и точность полученного решения
Приведенные в таблице 3.2 результаты демонстрируют преимущества IIP постановки перед остальными модификациями IP формулировки разрывного метода Галеркина по.
Следует отметить, что разрывный метод Галеркина чувствителен к введению физических коэффициентов (k2 количеству итераций и по точности полученного решения. Редуци рованная IP постановка показывает сопоставимые с IIP результаты по количеству итераций, однако несколько проигрывает по точности. NIP и SIP модификации дают значительно более грубое решение за большее число итераций 1), о чем часто забывают, выполняя исследования только на аналитических задачах. В следующем разделе рассматривается решение уравнения Гельмгольца в широком диапазоне частот, в расчетной области с контрастными включениями. 3.1.3. Исследование на задаче с контрастными включениями в широком диапазоне частот Рассмотрим расчетную область с 4 сферическими включениями (Рисунок 3.5). Габаритные размеры расчетной области = [0,07м 0,07м 0,07м].
Расчеты выполняются на достаточно грубой сетке (2 076 тетраэдров). Размерность СЛАУ для IP постановок разрывного метода Галеркина N = 24 912. За «точное» решение принимается решение, полученное ВМКЭ на мелкой сетке (171 873 тетраэдра в сетке, N = 412 334). Решение выводится по линии у = 0,035; z = 0,02; Є[0, 0,07], проходящей через центры включений.
Целью данного исследования было определить диапазон частот, для которых применим рассмотренный метод и его модификации. Рассматривались три частоты: /= 100 кГц. Габаритные размеры расчетной области значительно меньше длины волны во включениях и в матрице, волновой процесс не формируется. /= 50 МГц. Габаритные размеры расчетной области меньше длины волны в матрице и включениях, волновой процесс не формируется. /= 1 ГГц. Длина волны сопоставима с размерами расчетной области, начало формирования волнового процесса.
На рисунке 3.6 показана действительная компонента Ez (частота 100 кГц). Приведены результаты для разрывного метода Галеркина в IIP постановке, NIP постановке и редуцированной IP постановке, а также «точное» решение. Для разрывного метода Галеркина указывается значение стабилизирующего коэффициента а.
Разрывный метод Галеркина в IIP постановке и в редуцированной постановке дают близкие результаты. Данные методы сглаживают второе включение, но позволяют достаточно точно идентифицировать наличие первого включения. Разрывный метод Галеркина в NIP постановке также позволяет отследить первое включе ние, но решение оказывается значительно «смещено» по отношению к «точному». SIP модификация IP постановки дает нефизичное решение, которое на несколько порядков превышает «точное» решение. Однако в SIP и NIP постановках введение стабилизационного коэффициента позволяет уточнить решение и уменьшить получаемую погрешность (Таблица 3.4). Для NIP постановки оптимальным является коэффициент = 250. Введение данного коэффициента позволяет получить решение практически с той же точностью, что в IIP постановке. Для SIP постановки необходимо вводить значительно больший стабилизирующий коэффициент, однако, даже постановка со стабилизацией дает грубое по сравнению с остальными методами решение.
На рисунке 3.8 выведена действительная компонента Ez для частоты 50 МГц. Габаритные размеры расчетной области в данном случае также меньше длины волны во включениях и в матрице. Волновой процесс на данной частоте не формируется. Однако, на частоте 100 кГц доминировала матрица жесткости, на данной частоте наблюдается доминирование матрицы массы, ее элементы превосходят элементы матрицы жесткости на 3 порядка.
На рисунке 3.8 выведены действительные компоненты Ez на частоте 50 МГц, полученные разрывным методом Галеркина в редуцированной IP постановке без осреднений при = 100, в NIP и IIP постановках с = 500, в SIP постановке с = 1500.
Решение задачи в анизотропной среде
Выполнен анализ предлагаемых в литературе модификаций разрывного метода Галеркина и редуцированной IP постановки в широком диапазоне частот от 100 кГц до 1 ГГц для задачи с контрастными электрофизическими характеристиками матрицы и включений. Выбрана оптимальная из рассмотренных постановок. Под оптимальной понимается постановка, дающая корректные результаты для низких и высоких частот.
На основе ВМКЭ, разрывного метода Галеркина и многомасштабной идеологии разработана вычислительная схема моделирования трехмерных электромагнитных полей. Данная схема, в отличие от предлагаемых в литературе модификаций разрывного метода Галеркина в пространстве H(rot, ), работает в широком диапазоне частот. В отличие от классического ВМКЭ вычислительная схема модифицированного многомасштабного разрывного метода Галеркина обладает естественным параллелизмом, решения задач на макроэлементах может осуществляться параллельно, что с одной стороны ускоряет процесс моделирования, с другой – позволяет строить более подробные сетки.
Приведены примеры, иллюстрирующие применение схемы для решения задачи в гетерогенных средах с хаотичным расположением включений.
В работе предлагается алгоритм определения эффективной тензорной характеристики среды со сложной внутренней структурой. Данный алгоритм позволяет определять электрические эффективные коэффициенты, включающие в себя информацию одновременно о диэлектрических и проводящих свойствах материалов матрицы и включений. Метод базируется на результатах решения прямой задачи моделирования электромагнитного поля во всей расчётной области. В рассмотренном алгоритме эффективная электрическая характеристика гетерогенной среды вводится как комплекснозначный тензор второго ранга. Предложенный алгоритм в первую очередь ориентирован на глубокий анализ электрофизических свойств кернов горных пород, обладающих неоднородной внутренней структурой и значительной разномасштабностью включений.
Решение прямой задачи (2.18)-(2.20) в гетерогенной среде, содержащей включения, было подробно рассмотрено в предыдущих главах работы. Как результат решения прямой задачи определяем значения в любой точке расчетной области следующих величин:
Второй этап (Рисунок 4.1) заключается непосредственно в вычислении эффективной тензорной характеристики Z гетерогенной среды. Далее рассмотрим вывод Z. Закон Фарадея и закон Максвелла-Ампера в частотной области принимают вид: VxE = -/couH, (4.1) VxH = (zcos + a)E. (4.2) В работе рассматриваются немагнитные среды. Коэффициент кое + а, содержащий информацию о включениях, заменяется эффективным тензором Z. Тогда уравнение второго порядка можно записать в виде:
Для определения компонент тензора Z воспользуемся уравнением (4.2). В тензорном представлении (4.2) можно записать следующим образом VxH = ZE. (4.5) 105 Обратим внимание, что Е и VH являются векторными величинами и напрямую применять операцию расчетной области. В работе в качестве этих точек выбраны барицентры деления для определения компонент Z невозможно, тогда определение элементов тензора Z осуществляется путем решения (п-2) систем вида: здесь (Йх,Йу,Й2) - компоненты вектора VxH в точках xt, xh хк расчетной области; mx my, mz - элементы гп-й строки тензора. Значения компонент полей Е и VxH определяются в п точках тетраэдральных конечных элементов. Перебирая точки xt, xj, Хк и вычисляя элементы Z, получаем множество тензоров {Zq, q=l,..,w-2}. Единственный эффективный коэффициент среды Z находится путем осреднения {Zq, q=l,..,w-2} 4.2. Решение задачи в анизотропной среде
Для анизотропной среды уравнение Гельмгольца (2.28) может быть записано следующим образом [23]: VXLI"1VXE + /COZE = 0 вQ, где Z - найденная эффективная электрическая тензорная характеристика анизотропной среды. Вариационная постановка строится в пространствах (2.21)-(2.22) и имеет вид: найти EeH0(rot,Q) такое, что VveH0(rot,Q) выполняется
Решение поставленной задачи в анизотропной среде осуществлялось программным комплексом EFMAC 2.0, разработанным научным сотрудником институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А.А. Трофимука СО РАН кандидатом физико-математических наук Н. В. Штабель.
В данном разделе выполняется верификация предложенного в работе алгоритма определения эффективных тензорных электрических характеристик среды. Верификация выполняется в однородной изотропной среде без включений. В такой среде точно известен вид тензорного коэффициента Была рассмотрена однородная среда с электропроводностью а = 0,001 См/м и диэлектрической проницаемостью є = 4,50. Расчетная область представляет собой параллелепипед с габаритными размерами 0,015мх0,04мх0,015м. Неоднородные электрические краевые условия заданы на границах расчетной области х = 0, х = 0,015, z = 0. Эффективный тензор Z определялся на частоте 10 кГц