Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Общие свойства фрактальных множеств, фрактальный анализ геофизических рядов данных 23
1.1 Фрактальная размерность 23
1.2 Спектральный метод оценки фрактальной размерности 26
1.3 Мультифрактальный спектр 30
1.4 Последовательность показателей массы x(q) 39
1.5 Вейвлет-анализ 42
1.6 Сравнение эффективности методов оценки фрактальной размерности на основе модельного ряда 47
Глава 2. Примеры использования фрактальных методов для анализа реально наблюденных рядов геофизических данных 54
Глава 3. Фрактальный скейлинг 71
3.1 Теория перколяции 71
3.2 Фрактальный скейлинг электрических свойств 76
3.3 Транспортные свойства перколяционных систем 81
3.4 Исследование фрактального скейлинга кажущегося сопротивления на образце железистых кварцитов 86
Глава 4. Исследование фрактального скейлинга кажущегося сопротивления на примере Мончегорского рудного района 97
Заключение 118
Список литературы
- Спектральный метод оценки фрактальной размерности
- Последовательность показателей массы x(q)
- Фрактальный скейлинг электрических свойств
- Исследование фрактального скейлинга кажущегося сопротивления на образце железистых кварцитов
Введение к работе
Общая характеристика работы.
Актуальность темы диссертации.
В последние десятилетия широкое распространение в различных областях естествог знания получили идеи нелинейной динамики, исключением не стала и геология. G современных позиций земная кора в целом и отдельные ее элементы, рассматриваются как открытые дисеипативные динамические системы. Вследствие этого образование различных геологических структур, будь то рудные поля или текстурные особенности распределения льдистости в мерзлых породах, рассматривается не как результат последовательных линейных воздействий различной природы, а как следствие сложного кооперативного взаимодействия многих факторов. Отличительной особенностью таких систем является иерархическая структура их организации, или другими словами фрактальность. Однако, большинство фрактальных геологических систем недоступны непосредственному наблюдению, для изучения их свойств приходится использовать геофизические, данные. Вследствие этого очень актуальным является решение вопроса, насколько адекватную информацию о фрактальных свойствах исследуемых геологических систем можно получить, анализируя фрактальные характеристики пространственных рядов геофизических данных, полученных при профилировании над такими системами.
Существует и другой аспект проблемы исследования фрактальных структур. Одним из основных свойств фрактальных систем является их крайняя неоднородность, причем в силу свойства самоподобия неоднородности присутствуют в широком диапазоне масштабов. В том случае, если характерный линейный размер геофизической установки, к примеру, разнос или длина волны, сравним с линейными размерами фрактальной области, то такая среда будет являться макронеоднородной. В силу этого мы не имеем права вводить удельные (плотностные) характеристики среды, такие как, плотность или электропроводность, так как их значения на конкретных реализациях случайно неоднородной; среды являются плохо определяемыми параметрами, и должны работать с усредненными по большому количеству реализаций величинами. В данной ситуации, меняя характерный размер установки можно наблюдать такое физическое явление, как фрактальный скейлинг, или степенная зависимость усредненных геофизических характеристик среды от разноса установки. Изучение новых физических явлений, возникающих при измерениях на макронеоднородной среде, в том числе и их экспериментальное подтверждение, также является весьма актуальной задачей.
Цель исследованиям основные задачи.
Цель, работы: во-первых, изучение фрактальной структуры пространственных рядов геофизических данных и ее связи с фрактальными характеристиками геологической среды. Во-вторых, исследование и экспериментальное подтверждение явления скейлинга электрических свойств, в частности, кажущегося сопротивления, фрактальных макроне-однородных сред.
В ходе осуществления поставленной цели решены следующие задачи:
Проанализированы различные методы оценки фрактальной размерности пространственных рядов данных, а именно,, спектральный метод, мультифрактальный анализ и вейвт лет-анализ, на основе модельных канторовских рядов различной длины. Было установлено, что наилучшие результаты по восстановлению фрактальной размерности геологической среды, к тому же по достаточно небольшим пространственным рядам данных, достигаются при использовании вейвлет-анализа.
Рассмотрены примеры фрактального анализа реальных рядов геофизических данных, полученных в результате микропрофилирования над фрактальными геологическими средами.
Изучено явление фрактального скейлинга кажущегося сопротивления, экспериментально подтвержденное при измерениях различными электроразведочными установками (трех- и четырехэлектродная установки Веннера, потенциальная двухэлектродная установка) на образце железистого кварцита, рассматривавшегося как модель фрактальной макронеоднородной среды.
На примере Мончегорского рудного; района показана возможность проявления фрактального скейлинга кажущегося сопротивления в реальных геологических средах, таких как, например, Печенгско-Варзугская рифтогенная структура.
Основные защищаемые положения.
1. Результаты моделирования фрактальных пространственных рядов данных позволили исследовать эффективность различных методов оценки,фрактальной размерности и показать, что при ограниченной длине ряда лучшие результаты по восстановлению фрактальной размерности геологической среды достигаются при использовании вейвлет-анализа.
2. Ряды геофизических данных, полученные в результате профилирования над фрактальными геологическими средами, обладают фрактальными характеристиками и несут информацию о фрактальных свойствах исследуемых геологических систем.
3. При.измерениях на:макронеоднородной среде, то есть в случаях, когда характерный линейный, размер геофизических установок сравним или меньше размеров фракталь ной области, наблюдается явление фрактального скейлинга, или степенная зависимость усредненных геофизических характеристик среды от характерного размера установки. Фрактальный скейлинг кажущегося сопротивления экспериментально подтвержден при; лабораторных измерениях разными электроразведочными; установками на; образце железистого кварцита, обладающего фрактальной структурой.
4. Скейлинг кажущегося сопротивления может проявляться и в более крупных фрактальных геологических системах, таких как, например, рифтогенная структура Мончегорского рудного района, характеризующаяся широким распространением тектонических нарушений различного масштаба и направления, в том числе и контролирующих размещение рудоносных массивов. В этом случае явление скейлинга кажущегося сопротивления наблюдается в диапазоне масштабов от первых сотен метров до километров.
Научная нов изна.
1. Впервые на основе ряда, полученного по результатам физического моделирования, проведен сравнительный анализ различных методов оценки фрактальной размерности пространственных рядов данных, а именно, спектрального метода, мультифрактально-го анализа, вейвлет-анализа.
2. Впервые экспериментально исследовано явление скейлинга кажущегося сопротивления в диапазоне масштабов от 1 до 10 см при измерениях на образце железистого кварцита, обладающего фрактальной структурой.
3- Впервые показана возможность проявления фрактального скейлинга электрических свойств в реальных геологических системах.на примере рифтогенной структуры Мончегорского рудного района.
Методы исследований и фактический материал.
Для анализа фрактальных характеристик пространственных рядов.данных использовались спектральный метод, мультифрактальный: формализм и вейвлет-анализ. Данными методами анализировались пространственные ряды данных, полученные в результате специальных работ по индуктивному микропрофилированию, проводившихся сотрудниками лаборатории геоэлектрики кафедры физики Земли СПбГУ в 1994-96 гг. на территории Бованенковского газоконденсатного месторождения на полуострове Ямал, где исследовались фрактальные свойства распределения льдистости в мерзлых породах, и в 1999 т. на территории Иечегубского железорудного месторождения на Кольском полуострове, где изучалась- фрактальная структура распределения тел железистых кварцитов.
Явление скейлинга. электрических свойств фрактальных случайно неоднородных систем рассматривалось в рамках теории перколяции, основные моменты которой приведены, подробном обзоре Бунда и Хавлина [24]. Экспериментальный материал, продемон стрировавший явление скейлинга кажущегося сопротивления, был? также получен при участии автора на кафедре физики Земли ЄП6ГУ в результате серии измерений с различными электроразведочными установками (трех- и четырехэлектродная установки Венне-тра, потенциальная двухэлектродная установка) на образце железистого кварцита, обладающего фрактальной структурой. Образец железистого кварцита был взят сотрудниками Геологического института КНЦ; РАН на одном из обнажений Печегубского месторождения и передан кафедре физики Земли СПбГУ для исследования электрических свойств фрактальных структур.
Исследование фрактальных свойств Печенгско-Варзугской рифтогенной структуры и выявление возможности скейлинга кажущегося сопротивления в столь крупных геологических системах проводилось на основе материалов, полученных ОАО «Центрально-Кольская экспедиция» при проведении поисковых геологоразведочных работ, а также региональных геофизических исследований методом мелкомасштабного заряда (ММЗ) в Мончегорском рудном районе. Результаты проведенных работ представлены в отчетах [40,41,42].
Практическая ценность работы.
Как уже отмечалось выше, в последние годы все большее распространение в геологии находят идеи нелинейной геодинамики, все большее количество геологических систем, их генезис и структура рассматриваются с этих новых позиций [4]. Вследствие недоступности большинства этих геологических систем непосредственному наблюдению исследование их фрактальных свойств производится с помощью геофизических методов. Естественно, что выяснение вопроса, насколько адекватную информацию о свойствах геологических систем можно получить при исследовании фрактальных характеристик пространственных рядов геофизических данных, представляет большой практический интерес.
Практическую ценность имеют и результаты исследования электрических свойств макронеоднородных систем. Современная геофизика все чаще выходит за рамки традиционной горизонтально-слоистой однородной модели среды. Поэтому при проведении геофизических работ на геологических разрезах, обладающих фрактальными свойствами, необходимо учитывать возможность таких явлений, как фрактальный скейлинг, или степенная зависимость усредненных геофизических характеристик среды от характерного размера установки.
Личный вклад автора.
В процессе выполнения работы автор:
Разработал программы расчета спектров сингулярности f(a) для исследования муль-тифрактальных характеристикраспределения льдистости в мерзлыхпородах.
Провел сравнительный анализ спектрального метода, мультифрактального анализа и вейвлет-анализа на основе модельных, канторовских рядов различной длины установил, что наиболее достоверные результаты по восстановлению фрактальной размерности геологической среды, к тому же по достаточно небольшим пространственным рядам данных,, достигаются при использовании вейвлет-анализа.
В; составе, группы сотрудников лаборатории геоэлектрики кафедры физики Земли принимал участие в работах по индуктивному микропрофилированию на территориях Бо-ваненковского газоконденсатного месторождения на полуострове Ямал и Печегубского железорудного месторождения на Кольском полуострове. Исследовал фрактальные характеристики полученных таким образом пространственных рядов геофизических данных.
Провел серию измерений с потенциальной двухэлектродной установкой на образце, железистого кварцита, обладающего фрактальной структурой, и экспериментально подтвердил явление скейлинга кажущегося сопротивления.
Во время работы в ОАО «Центрально-Кольская экспедиция» принимал участие в проведении полевых работ методом мелкомасштабного заряда (ММЗ) в Мончегорском рудном районе. Провел фрактальный анализ рядов магнитной съемки по опорным бурог вым профилям, пересчитал значения градиентов электрического потенциала AU/I в величины кажущегося сопротивления рк и выявил возможность проявления фрактального скейлинга кажущегося сопротивления для рифтогенной структуры Мончегорского рудного района.
Апробация.
Результаты исследований, представленные в работе, докладывались на.
международной конференции «Неклассическая; геоэлектрика», Саратов Россия, 28 августа- 1 сентября 1995 г.;
международной конференции «Электромагнитные исследования с контролируемыми источниками», Санкт-Петербург, Россия, 1996 г.;
годичном собрании Совета шх криологии Земли РАН, Пущино, 1996 г.;.
всероссийской научно-практической; конференции молодых ученых и специалистов «Геофизика-97», Санкт-Петербург, Россия, 3-6 июня 1997 г.;
IV конференции по геологической синергетике, Апатиты, Россия, 16-20 июня 1998г.;
международной конференции молодых ученых и специалистов «Реофизика-99», Санкт-Петербург, Россия, 9-12 ноября 1999 г.;
международной конференции «Проблемы геокосмоса», Санкт-Петербург., Россия май 2000т.;
международной конференции «Неклассическая геофизика»,. Саратов, Россия, 28 августа•— 1 сентября 2000 г.;
16 Workshop on electromagnetic induction, College of Santa Fe, Santa Fe, New Mexico, USA, June 16-22, 2002;
30-й сессии международного семинара им. Д.Р. Успенского, Москва, Россия, 2003 г.
Публикации.
Общее число публикаций по теме диссертации - 17, в их числе три статьи в научных периодических изданиях, две статьи в сборниках научных конференций, глава в научной монографии Горяинова П.М., Иванюка Т.Ю. «Самоорганизация минеральных систем. Си-нергетические принципы геологических исследований», одиннадцать, тезисов научных конференций.
Структура и объем.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 124 страницы машинописного текста, включая 50 рисунков.
Теоретические основы методов фрактального анализа и примеры практического приложения теории фракталов в различных областях естественных наук изложены в трудах Федера [17], Туркотта [38], Мандельброта [34, 35], Фальконера [29] и др. Исследованиям иерархической организации строения земной коры и фрактальных свойств различных геологических систем посвящены работы М.А. Садовского и В.Ф. Писаренко -[5]і Бака [21], П.МГ Горяинова и Г.Ю. Иванюка [4]. Влияние фрактальной структуры гетерогенных сред на распространение электромагнитных полей рассмотрено в работе В.В. Филатова [18] и др. Множество работ как отечественных, так и зарубежных авторов посвящено изучению фрактальных свойств пространственных и временных рядов данных, в частности, это работы А.В. Дещеревского [6], СС. Крылова и других авторов [14], Хигачи [32, 33], Мауса и Димри [36], Пилкингтона и других авторов [37]. Одним; из приложений теории фракталов в задачах геофизики является изучение физических свойств макронеодно-родныхсред в рамках теориишерколяции. Результаты исследований зарубежных ученых в этой области подробно изложены в обзоре Бунда и Хавлина [24]. Изучению электрических свойств перколяционных систем посвящены также работы Б.И. Шкловского и А.Л: Эфроса [20 27], А.Е. Морозовского и С.С. Снарского [16] и других авторов.
Спектральный метод оценки фрактальной размерности
В большинстве случаев мы имеем дело не с локализованными в пространстве объектами, а с измеряемыми характеристиками геофизических полей. Распределение геофизических характеристик в пространстве может обладать фрактальными свойствами, но это распределение носит не самоподобный, а самоаффинный характер. Преобразование подобия на плоскости переводит точку с координатами (х, у) в точку с координатами (гх, гу). Аффинным преобразованием называется такое, которое переводит точку с координатами (х, у) в новую точку с координатами (rix, ггу). Множество статистически самоподобно, если оно получено преобразованием подобия и дальнейшим объединением N непересекающихся множеств, имеющих такие же статистические свойства, что и целое. Аналогично можно определить статистически самоаффинное множество. То есть самоаффинность подразумевает разные коэффициенты подобия по разным осям, что обычно имеет место, когда по разным координатам отложены разные величины. f sft) t - рис. 2 Зависимость смещения s(t) броуновской частицы от времени. Как показано в книге Туркотта [38], в качестве модели самоаффинной фрактальной кривой можно использовать случайные блуждания или; броуновский шум. Пусть блуждающая частица делает в единицу времени произвольно единичный шаг по одному из двух взаимно перпендикулярных направлений.. Построим зависимость ее смещения от времени t (рис. 2) и попробуем оценить размерность полученной кривой Как известно, для простого броуновского шума, то есть случайных блужданий без помех, среднеквадра 27 тичное отклонение частицы пропорционально времени блуждания. Тогда стандартное отклонение за период Т пропорционально корню из периода: S(T)= (Х2(Т)) Т1/2 (1.4)
В общем случае, для фрактального броуновского шума или, другими словами, для случайных блужданий частицы на фрактальном множестве: S(T) TH (1.5) где Н называется показателем Херста. Так как движение частицы по фрактальному множеству сильно замедляется вследствие его крайней неоднородности на всех пространственных масштабах, то показатель Херста для фрактального броуновского шума Н 1/2. Свяжем между собой фрактальную размерность кривой df с показателем Херста Н. Разобьем период Т на п кусков: S(T/n)/S(T) = (T/n)H /ТН = l/nH (1 6) lnS(T/n) -Hln(n)
Рассмотрим теперь клеточную размерность. Покроем график нашей функции клетками шириной aAt и высотой аАх, тогда число клеток, пересекаемых кривой, будет определяться выражением: N(a,At,Ax) a df (1.7) Однако эта величина зависит от выбора величин Ах и At. Масштаб изменения кривой по вертикали зависит от величины дискретизации временной (горизонтальной) оси. Учитывая соотношение (1.5), можем написать: S(At)/S(aAt) = (At/aAt)H = l/aH S(aAt) = aHS(At) То есть в пределах каждого отрезка aAt функция меняется по порядку величины на ан S(At). Чтобы покрыть такой размах функции по вертикали, необходимо ан S(At) / аАх рядов клеток высотою аАх. На всю кривую уйдет N клеток: N(a, At, Ах) = (aHS(At) I аДх)(Т I aAt) a11-2 = a df (1.9) Таким образом, мы получили соотношение между показателем Херста Н и фрактальной размерностью кривой: df=2-H (1.10)
В случае простого броуновского шума показатель EN0,5, соответственно фрактальная размерность кривой будет df = 1,5. В геофизике часто в качестве самоаффинных кривых рассматриваются пространственные или временные ряды геофизических данных, например, ряд данных, полученный в результате профилирования, - кривая профилирования. В этом случае по одной оси откладывается расстояние, по другой измеряемая величина геофизического поля. Фрактальному анализу рядов данных посвящено множество работ. Так, в частности, в работах Мауса и Димри [36], Пилкингтона и др. [37] исследовались ряды данных магнитной и гравитационной съемок, на основе которых изучались фрактальные свойства пространственных распределений таких геофизических параметров, как плотность и магнитная восприимчивость, в работах Крылова и др. [2, 14], Эверетта и Вейса [28] рассматривались ряды данных электромагнитного профилирования и исследовались фрактальные характеристики распределений приповерхностных геоэлектрических неоднородностей, в работах Деще-ревского [6] и Хигачи [32, 33] на основе модельных рядов данных анализировались особенности различных методов оценки фрактальной размерности.
Строго говоря, исследуемые кривые не являются фракталами, однако формально введенные характеристики их изменчивости (изломанности), такие как фрактальная размерность df, могут быть очень полезными для геолого-геофизического анализа и представлять качественную информацию об изучаемых геологических объектах. Исследуя статистические свойства геофизических кривых, можно делать определенные выводы о геометрических особенностях распределения неоднородностей в пространстве.
Последовательность показателей массы x(q)
Хорошие результаты в исследовании иерархической структуры наблюденных рядов данных показывает вейвлет-анализ. Одно из преимуществ вейвлет-анализа состоит в том, что представление этих результатов является визуально наглядным. Теория вейвлет-анализа подробно рассмотрена в книге Чуй [19] и в статье Астафьевой [1].
В вейвлет-анализе получили свое развитие идеи, заложенные в Фурье-анализе. Напомним некоторые понятия из Фурье-анализа, которые понадобятся в дальнейшем. Пусть L2(0,2TI;) - пространство функций f(t), определенных на интервале (0,2л:) и обладающих конечной нормой
Jf(t)2dt oo,te(0,27t) (1.58) Функция f(t) может быть периодически расширена и определена на всей вещественной оси R(-cc,+cc) так, что f(t)=f(t-2u), teR. Поэтому L2(0,27t) часто называют пространством 27Г-периодических квадратично интегрируемых функций, областью определения данных функций является единичная окружность р , множество точек которой t + 2тгк, к є Z эквивалентно по модулю 2п. Вследствие чего базисом пространства L (0,2л:) являются гармонические функции wn(t)=exp(int), п=...,-1,0,1,... Другими словами, любая функция f(t) из Ь2(0,2л) может быть представлена в виде ряда Фурье: +00 f(t) = cnexp(int) (1.59) — ОО где коэффициенты Фурье сп определяются формулой 2л. сп=(2л)_1 jf(t)exp(-int)dt (1.60) При этом гармонические функции wn(t) составляют ортонормированный базис пространства L2(0,2TC), то есть скалярное произведение wn,wm = 5nm, где 8nm- символ Кро-некера. Другая особенность разложения в ряд Фурье состоит в том, что ортонормированный базис {wn} порождается -растяжением единственной функции w(t)=exp(it)=cos t + isint. Подводя итог, можно сказать, что каждая 27ї-периодическая квадратично интегрируемая функция порождается «суперпозицией» целочисленных растяжений базисной функции w(t) = exp(it)[19].
Рассмотрим теперь пространство L2(R) функций f(t), определенных на всей действительной оси и обладающих конечной нормой (энергией): Ef.= J f(t)Zdt oo (1.61) —00
Есть существенное различие между функциональными пространствами L2(0,2TI) и L2(R), так вследствие конечности нормы локальное среднее значение функции из L2(R) должно стремиться к нулю на ±ос. Поэтому гармонические функции wn(t) не могут составлять базис такого пространства. Базис функционального пространства L2(R) молено построить с помощью различных функций T(t), общее наименование которых «вейвлет» (дословно «маленькая волна»). Но эти функции должны обязательно удовлетворять двум условиям, во-первых, быстро убывать при t— +ос, и чем быстрее, тем лучше для практических целей. Во-вторых, среднее значение функции по всей оси должно равняться нулю. +00 T(t)dt = 0 (1.62) —00
Часто в качестве вейвлетов для конструирования вещественного базиса пространства используют производные функции Гаусса: m(t) = (-i)m_1a?1exp(/ ) m(k) = m(ik)mexp(-k /) где т(к) - Фурье-образ функции \/m(t). На рис. 9 показаны вейвлеты и соответствующие им спектры Фурье для т=1 и т=2. Из-за формы первый из них \j/i(t)= exp(2/2) обычно называют WAVE-вейвлетом, а второй \/2(t)=(l2)exp(2/2) - МНАТ-вейвлетом или "Сомбреро". ,2 (1.63) m М рис. 9 Примеры вейвлетов и соответствующие им спектры Фурье: (а) WAVE-вейвлет, (Ь) МНАТ-вейвлет.
Как и в случае гармонических функций wn(t), базис пространства L (R) можно построить на основе единственного вейвлета (t). Для того чтобы покрыть всю действительную ось с помощью хорошо локализованной, то есть быстро стремящейся к нулю, функции, необходимо ввести систему сдвигов вдоль оси (t-k). Введем также аналог синусоидальной частоты - масштабный множитель п, пусть для простоты эти параметры будут целыми, тогда с помощью дискретных масштабных преобразований (nt) и преобразований сдвига можно описать все частоты и покрыть всю действительную ось, имея единственный базисный вейвлет (t). Если вейвлет Т(і)є L2(R) имеет единичную норму +00 ИоНтч ))172=( (t)T (t)dt)1/2 =i, (1.64) то все вейвлеты семейства {\/nk} вида VI/nk(t) = n1/2 (nt-k) (1.65) будут также нормированы на единицу, в чем нетрудно убедиться, подставив выражение (1.65) в формулу для нормы и сделав замену /= nt-k. Вейвлет Чфе. L2(R) называется ортогональным, если определенное формулой (1.65) семейство {\/пк} представляет собой ор-тонормированный базис функционального пространства L2(R), то есть ynk,M/jm = 5nj5km-Тогда любая функция f(t)eL2(R) может быть представлена в виде ряда +Q0 f(t)= Zcnk nk(t) (1-66) n,k=—оо 45: В: общем случае непрерывных масштабных преобразований и переносов вейвлета (1;) с произвольными значениями масштабного коэффициента а и параметра сдвига b:. аьШ = аГ1/2 ( -) a,beR (1.67) а можно записать интегральное вейвлет-преобразование: +СО , +00 Wf(a,b) = ar1/2 Гт(1) (—)dfe= f(t)l(t)dt (1.68) j a J — CO —00 Проводя дальнейшую аналогию с анализом Фурье, коэффициенты cnk разложения (1.66) функции f в ряд по вейвлетам можно определить через интегральное вейвлет-преобразование: Cnk=Wf(-,- (1.69) п п
Таким образом, вейвлет-преобразование одномерного сигнала представляет собой его разложение по базису солитоноподобных функций (вейвлетов) и обеспечивает своеобразную двумерную развертку исследуемого сигнала в физическом (координата) и частотном пространствах, при этом частота, обратно пропорциональная масштабному множителю; а, и координата рассматриваются как независимые переменные. Как отмечала в своей обзорной статье Н.М. Астафьева [1], вейвлет-анализ пространственных и временных рядов данных обладает неоспоримыми преимуществами по сравнению с традиционным спектральным анализом, основанном на преобразовании Фурье исследуемого сигнала.
Во-первых, вейвлет-преобразование обеспечивает хорошую частотно-временную; локализацию информации об особенностях сигнала. Дело в том, что базисные функции вейвлет-преобразования локализованы не только во временном пространстве, но и в частотном, как видно из рис. 9. При фиксированном значении параметра; сдвига b мы: получаем частотную развертку сигнала в окрестности данной точки. Если задан масштабный параметр а, то задана некоторая частота озо/а, вокруг которой локализован;фурье-образ растянутого вейвлета. Так как свертка функций во временном пространстве (1.68) эквивалентна их перемножению в частотном, то из спектра анализируемого сигнала вырезается область частот, близких к о/а, и мы. получаем информацию о временной эволюции изучаемой функции на данных частотах. Кроме того, вейвлет-преобразование автоматически обладает подвижным частотно-временным окном.
Фрактальный скейлинг электрических свойств
Рассмотрим теперь более подробно явление фрактального скейлинга или масштабной зависимости электрических свойств случайно неоднородных сред в рамках теории перколяции. Фрактальный скейлинг электрических свойств перколяционных систем подробно рассмотрен в работах Бунда и Хавлина [24], Морозовского и Снарского [16] и других. Как уже говорилось в предыдущем параграфе, переход «проводник -изолятор» можно рассматривать как критическое явление - геометрический фазовый переход. Анализ эмпирических данных и результатов численных экспериментов показывает, что физические характеристики системы зависят от близости концентрации проводящей фазы к критической по степенному закону, в том числе и эффективная электропроводность перколя-ционной системы суЭфф (р-рс)ц при р рс, где р, - критический индекс, по величине больший 1. Эффективная электропроводность стэфф зависит от топологии и плотности возникшего бесконечного проводящего кластера..
Плотность фрактального кластера определяется отношением числа узлов, принадлежащих кластеру, к общему количеству узлов M(L)/N(L) и пропорциональна L f_ ,где L -линейный размер системы, a d -топологическая размерность среды. Поскольку фрактальная размерность в данном случае меньше топологической, доля проводящих областей уменьшается, а доля непроводящих растет при увеличении линейного размера, при этом эффективная электропроводность системы уменьшается. Когда размеры перколяционной системы L сравнимы с корреляционной длиной t,. вблизи порога протекания, то можно выразить переменную т = р - рс через значение L = at,, а 1 из формулы (3.2) и подставить ее.в формулу (3.4) для критического поведения аЭфф вблизи порога протекания, в результате получим степенную зависимость эффективной электропроводности от линейного размера перколяционной системы о-эфф. Е-Р , (3.10) где Д - новый критический индекс, связанный-с индексами, определенными в выражениях (3.2) и (3.4), простым соотношением Д = д. / v. Полное сопротивление перколяционной системы, то есть сопротивление, измеренное между гранями решетки, также зависит от ее размера по степенному закону. Так в общем случае d-мерной решетки (3.11) Г CJES bdsrl: где q = 11 + 2-d (3.12)
Такая зависимость электрических характеристик от масштаба Ь и называется скей-лингом, а критические индексы pi, С, - скейлинговыми показателями. В англоязычной литературе обычно используется термин "finite-size scaling", поэтому в некоторых русскоязычных публикациях можно встретить термин "конечномерный скейлинг".
В действительности, для определения скейлинговых показателей следует использовать усредненные характеристики физических величин по большому числу измерений вследствие макронеоднородности среды на этих масштабах. Тоесть, к примеру, для трехмерной среды, "вырежем" N кубиков с размером ребра Li, измерим сопротивление между гранями для каждого кубика, рассчитаем удельные электропроводности и усредним результаты. Повторим операцию с другим размером Ьг и так далее. Если построить теперь в двойном логарифмическом масштабе зависимость средней электропроводности от L, мы получим в пределе N-» со , прямую линию, имеющую тангенс угла наклона //. Для пер коляционных систем вблизи порога протекания /и « 2.2 в случае трехмерной среды и /л « 0.97 в случае двумерной.
Значения скейлинговых показателей, полученные в результате численных. экспериментов и приведенные в обзоре [24], сведены в таблицу 3.2.
Таким образом, можно сделать вывод, что для перколяционных систем вблизи порога протекания, чьи размеры сравнимы или меньше корреляционной длины ,, появляется степенная зависимость электрических свойств от размеров системы L, называемая конечномерным скейлингом.
В случае геофизических измерений в качестве размера системы L можно рассматривать характерный размер нашей измерительной установки, например, разнос при измерениях методами постоянного тока, расстояние между источником и приемником в сейс 78 моакустических методах, длину волны при частотных зондированиях. При измерениях, проводимых с помощью электроразведочных установок, мы получаем не аэфф, а кажущееся сопротивление рк, которое в общем случае зависит от методики измерений. Поэтому для изучения скейлинга необходимо выбрать конкретный вид установки и однозначно установить характерный размер L. Таким характерным размером обладают предельные трех- или четырехэлектродные установки: (L=AO»MN), установка Веннера (L=AM=AdN=NB), а также двухэлектродная установка (L=AM) с электродами В и N, отнесенными на бесконечность. Скейлинг кажущегося сопротивления подробно рассмотрен в статье С.С. Крылова и В.А. Любчича [13].
Для примера рассмотрим установку Веннера, для которой кажущееся сопротивление вычисляется по формуле: Рк=к (3.13) где AU -разность потенциалов на электродах MN, I - ток в линии АВ, к=2тт;Ь - геометрический коэффициент установки. Если электрод В отнесен на "бесконечность", установка становится трехточечной и коэффициент к удваивается. Рассмотрим, прежде всего, однородную среду с электропроводностью о\ В общем случае, зависимость кажущегося сопротивления рк от характерного размера системы L определяется выражением: pk = kR a_1L3_d (3.14) где d - топологическая размерность среды. Если среда фрактальна, то cr L- . Подставляя это выражение в (3.14), получаем: Plc-I 3- (3.15)
Так как на размерах L при разных положениях измерительной установки будут получаться существенно различные значения кажущегося сопротивления, то необходимо рассматривать не конкретное значение р , а среднее значение рк по большому числу измерений. Поэтому формулу (3.15) следует переписать следующим образом: (Рк ЬРк (ЗЛ6) где скобки ( ) обозначают среднее, а ]1к- новый индекс: pk=-p.+ 3-d. (3.17) Покажем справедливость формулы (3.17) для установки Веннера на примере простых регулярных фракталов.
Возьмем кривую Коха - самый популярный пример фрактала (рис. 29). Пусть кривая сделана из проводящей проволоки и имеет и поколений. Исследуем, прежде всего, скей линг полного сопротивления R(L). Под L в данном случае будем понимать длину отрезка, соединяющего концы кривой. Сопротивление, куска кривой; соответствующего отрезку L/3 будет, очевидно, в 4 раза меньше - R(L)/R(E/3) = 4. Полагая R L , получаем І-г /ІЬ/З) =4 и находим д =Ш4/1пЗ. Индекс /й получаем из формулы (3.12), учитывая, что в случае кривой Коха топологическая размерность равна d =1:
Исследование фрактального скейлинга кажущегося сопротивления на образце железистых кварцитов
Выше уже обсуждалась фрактальность железорудных комплексов Оленегорского рудного района, на. Кольском., полуострове. Подробно фрактальные свойства железистых кварцитов были описаны в работах П.М.Горяинова, Г.КЭ.Иванюка и др. [4, 7, 9]. На основе геометрических измерений, выполненных на обнажениях и образцах, этими авторами были изучены.самоподобные структуры микроскладчатости и полосчатости и получены оценки фрактальной размерности данных структур. Проведенные исследования показали, что, по крайней мере, в диапазоне масштабов от единиц миллиметров до десятков сантиметров фрактальные модели хорошо описывают распределение кварца и магнетита в этих породах. Фрактальные свойства, по всей видимости, сохраняются и на больших масштабах, однако имеющийся статистический материал, ограничен и не позволяет получать в данном случае достаточно состоятельные оценки, но позволяет говорить о «фрактальных мотивах» в организации ансамблей. Таким образом, железистые кварциты будем рассматривать как природную модель фрактала и использовать для экспериментального изучения скейлинга электрических свойств фрактальных сред.
Для изучения электрических свойств фрактальных пород сотрудники Геологического института КНЦ РАН предоставили образец железистого кварцита размерами приблизительно 0,9 х 0,7 х 0,2 м, который был доставлен в лабораторию геоэлектрики НИИФ ОПбГУ. Образец имел квазиплоскую форму, одна из его поверхностей была выровнена, и на ней были проведены измерения электрических свойств с помощью различных электроразведочных установок, что позволило выявить скейлинг кажущегося удельного сопротивления и получить статистически состоятельные оценки степенного показателя /1к [13]. Кроме того, с помощью сканера было получено изображение структуры, которое использовалось для оценки фрактальной размерности клеточным методом: и теоретического расчета эффективной электропроводности методом случайных блужданий [12].
Образец железистого кварцита был отколот отмассивного рудного тела на Печегуб-ском месторождении. На рис. 31 приведена фотография данного образца. Для измерений использовалась одна из его поверхностей, которая была выровнена и отшлифована: Поверхность ориентирована приблизительно перпендикулярно по отношению к кварцевым прослоям, имеющим различную мощность и микроскладчатость. В работе [9] фрактальная структура кварцита описывалась двумя моделями - для чередования; прослоев использовалась модель типа канторовского множества, а для микроскладчатости - модель типа
Фотография исследуемого образца железистых кварцитов. кривойКоха. Размерности определялись отдельно для каждой модели., общая размерность получалась сложением и равнялась для плоской поверхности 1.83.
Для измерений кажущегося сопротивления; на образце использовалась трехэлек-тродная и четырехэлектродная установки Веннера. Схема трехэлектродной установки изображена на рис. 32. Дляпитания использовался высоковольтный источник, подключенный к электроду А через сопротивление 30 МОм и работавший как генератор тока. Напряжение на электроде А при хорошем контакте с магнетитом равнялось приблизительно 500 В, а при плохом достигало нескольких киловольт. Сила тока, протекающего через электроды, составляла приблизительно! мкА. Напряжение с электродов Ми N подавалось на цифровой вольтметр через делитель с входным сопротивлением 2 FOM.
Электрод В в трехэлектродной схеме устанавливался на краю образца, на расстоянии примерно 0.7 м от электрода А, который двигался по сетке с шагом 1 см. Перемещение электрода В на расстояния до 10 см не меняло значения AU. При каждом положении электрода А выполнялись измерения на 11 разносах во взаимно-перпендикулярных направлениях. Схема размещения электродов приведена на рис. 33. Максимальный разнос L равнялся 5 см, минимальный — 1 см. Число "стоянок" электрода А достигало 60, таким образом, на каждый разнос приходилось 120 измерений. Значения ATJ менялись от единиц до сотен вольт, соответственно значения кажущегося сопротивления попадали в диапазон-10 -10 Ом.м. При четырехэлектродной схеме измерения проводились по тем же направлениям и на таких же разносах, как и при трехэлектродной. При этом на каждый разнос приходилось 98 измерений.
Отметим некоторые особенности измерений. Во-первых, при первоначальном включении тока начинался процесс "зарядки" образца, который длился до получаса. Измерения начинались после прекращения этого процесса. При перемещении электродов, также наблюдалось установление напряжения длительностью-, до 30 секунд, при этом показания вольтметра менялись не более чем на 5% и фиксировались после окончания переходных процессов.
Во-вторых, для установки электродов на- поверхности образца размещался винипла-стовый шаблон с отверстиями диаметром 2 мм. Концы электродов представляли собой полусферы, диаметром 1.5 мм, таким образом, при установке электрода в отверстие шаблона допускался определенный произвол. Если один из приемных электродов попадал на край кварцевой жилки, значение AU могло зависеть от его наклона и ориентировки. В такой ситуации выбиралось положение электрода, соответствующее максимуму разности потенциалов. В случае если приемный электрод при любой ориентировке попадал на кварц, значение AU равнялось нулю
