Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Поиск аномалий на временных рядах с использованием нечеткой математики (одномерный вариант) 9
1.1. Алгоритм DRAS 10
1.1.1. Локальный уровень. Выпрямляющие функционалы 11
1.1.2. Глобальный уровень. Выделение потенциально-аномальных участков записи . 13
1.1.3. Глобальный уровень. Выделение аномальных участков 16
1.1.4. Замечания 19
1.2. Автоматизация выбора параметров алгоритма DRAS 19
1.2.1 Нечеткие сравнения действительных чисел 19
1.2.2. Нечеткое сравнение числовой совокупности с числом 23
1.2.3. Нечеткая экстремальность 23
1.2.4 Выбор вертикального уровня аномальности в алгоритме DRAS 25
1.3. Алгоритм FLARS 26
1.3.1. Глобальный уровень. Выделение аномальных участков 27
1.3.2. Глобальный уровень. Построение нечеткого ореола аномальных участков записи 29
1.3.4. Замечания 30
1.4. Алгоритм "модифицированный" DRAS (DRASm) и FLARS (FLARSm) 32
1.4.1. Вертикальное деление 33
1.4.2. Горизонтальное деление 33
1.4.3. Границы сигнала 35
1.5. Односторонние DRASr и FLARSr 36
1.5.1. Односторонние выпрямляющие функционалы 36
1.5.2. Односторонний DRAS (DRASr) 37
1.5.3. Односторонний FLARS (FLARSr) 38
1.6. Выпрямления 2-ого уровня 38
1.7. Выделение высокочастотных аномалий на геоэлектрических и гравитационных временных рядах 41
1.7.1. Анализ записей аномалий естественного потенциала на вулкане Ла Фурнез (о. Реюньон, Франция) 41
1.7.2. Предварительная обработка записей сверхпроводящих гравиметров 54
1.8. Выводы 63
Глава 2. Алгоритмы нечеткой логики при интерпретации физических полей (многомерный случай) 65
2.1. Кластеризация в метрических пространствах 65
2.1.1. Меры близости в конечных метрических пространствах 66
2.1.2. Математический кластер 71
2.2. Семейство алгоритмов "Роден" 81
2.2.1 Глобальный "Роден" 81
2.2.2. Локальный "Роден" 87
2.2.3. Обобщенный "Роден" 93
2.3. Алгоритм "Монолит" 98
2.4. Сравнение разработанных алгоритмов с альтернативными методами кластеризацииЮІ
2.5. Применение методов кластеризации для разбраковки решений, получаемых методом локальной линейной псевдоинверсии ("Эйлеровой деконволюции") 103
2.5.1. Постановка задачи. Метод деконволюции Эйлера 103
2.5.2. Исследование на модельных аномальных полях, создаваемых совокупностями призм 108
2.5.3. Интерпретация магнитных аномалий залива Сан-Мало 113
2.6. Применение алгоритма "Монолит" для анализа геолого-геофизических данных „118
2.6.1. Анализ интерферограмм 118
2.6.2. Анализ изрезанности рельефа в районе Нижнеканского массива 125
2.7. Выводы 128
Заключение 130
Список литературы
- Глобальный уровень. Выделение потенциально-аномальных участков записи
- Выбор вертикального уровня аномальности в алгоритме DRAS
- Меры близости в конечных метрических пространствах
- Применение методов кластеризации для разбраковки решений, получаемых методом локальной линейной псевдоинверсии ("Эйлеровой деконволюции")
Введение к работе
Обоснование постановки задачи.
Создание новых методов накопления и анализа геофизических данных, наряду с новыми методами их интерпретации, является важным направлением в современной геофизике и геоинформатике. Начиная с 60-х годов 20-ого столетия, геологи и геофизики стали переходить от графического к цифровому представлению данньк наблюдений и результатов интерпретации. В аппаратурном отношении это соответствовало переходу от аналогового представления результатов к цифровому. Использование цифрового представления допускает автоматическую обработку. Существенной рост эффективности оперирования с исходными данными привел к бурному развитию методов распознавания образов, экспертных систем, сравнительных математических методов и распределенных баз данных.
В настоящее время в геофизике все шире используются методы искусственного интеллекта, основанные на нечеткой математике и логике "нечетких множеств", позволяющие автоматизировать экспертную обработку информации и разрабатывать новые методы интерпретации геолого-геофизических данных [1, 120, 85, 49, 48]. Объясняется это, по крайней мере, двумя причинами.
Во-первых, работа с большими объемами геофизических данных, в частности, их интерпретация и совместный анализ, с одной стороны требуют высокой квалификации специалиста. С другой стороны это оказывается часто практически нереализуемо ввиду огромных объемов данных, подлежащих обработке. Работа на уровне хорошего эксперта редко может быть сведена к некоторому аналитическому процессу, поддающемуся формальному описанию на языке обычной математики. Тем не менее, эта деятельность поддается алгоритмизации. Так возникает необходимость создания алгоритмов, ориентированных на моделирование деятельности специалиста-эксперта в той или иной области (сейсмологии, гравиметрии, магнитометрии и т.д.).
Нечеткая математика и нечеткая логика обладают достаточными возможностями для моделирования человеческих представления и рассуждений, позволяя дать строгое математическое описание в действительности расплывчатых экспертных суждений и преодолеть, таким образом, семантический барьер между человеком, суждения и оценки которого, как правило, приближенные, качественные и нечеткие, и компьютером, способным выполнять только четкие инструкции.
Во-вторых, нечеткая математика является формальным аппаратом, способным наиболее адекватно учесть не только мнения экспертов, но и нечеткость данных.
Действительно, в геологии и геофизике мы почти всегда имеем дело с приближенными величинами. Последнее обстоятельство свидетельствует о естественности нечеткого подхода к геофизике, поскольку информации в ней изначально присущ расплывчатый и неполнозаданный характер.
Цель работы.
Целью данной работы является:
создание принципиально новых алгоритмов, базирующихся на нечеткой логике и нечеткой математике, для анализа многомерных стационарных и одномерных динамических массивов геофизических данных;
программная реализация этих алгоритмов, демонстрация их эффективности на синтетических и реальных данных;
выделение источников аномалий потенциальных полей в Нижнеканском массиве и в заливе Сен-Мало;
автоматизированное выделение аномалий на геоэлектрических временных рядах и снимках радарной интерферометрии для мониторинга активности вулканов Ла Фурнез (о. Реюньон) и Этна (о. Сицилия).
Постановка задач.
Цель работы определила постановку следующих конкретных задач:
разработка основанных на нечеткой математике алгоритмов поиска сигналов (DRAS, DRASm, DRASr, FLARS, FLARSm, FLARSr) в одномерных рядах данных;
применение разработанных алгоритмов к реальным данным (обработка данных электротеллурического мониторинга вулкана Ла Фурнез и мировой сети сверхпроводящих гравиметров GGP Network);
разработка алгоритмов выделения плотных областей (семейство "Роден", "Монолит") в многомерных массивах геофизических данных;
исследование эффективности разработанных алгоритмов на синтетических примерах;
применение разработанных алгоритмов при интерпретации магнитных данных для залива Сен-Мало и Нижнеканского массива;
применение алгоритма "Монолит" при обработке интерферограмм с вулкана Этна.
применение алгоритма "Монолит" для изучения рельефа в районе Нижнеканского массива.
Основные результаты, выносимые на защиту:
На основе нечеткой логики созданы и программно реализованы две серии алгоритмов (DRAS и FLARS) для изучения одномерных динамических геофизических массивов (временных рядов);
В рамках нечеткой математики разработаны и программно реализованы семейство алгоритмов под общим названием "Роден" и алгоритм "Монолит" для выделения плотных областей в многомерных стационарных геофизических массивах;
Создан принципиально новый алгоритм интерпретации космических снимков Земли "Монолит", позволяющий выделять кластеры на основе анализа временного ряда снимков радарной интерферометрии;
Эффективность и перспективность предложенных методов и алгоритмов продемонстрирована на примере выделения источников реальных аномалий потенциальных полей (Сен-Мало, Нижнеканский массив) и выделения аномалий на геоэлектрических (вулкан Ла Фурнез) и на гравитационных (сеть сверхпроводящих гравиметров) временных рядах. Алгоритм "Монолит" успешно применен к анализу активности вулкана Этна.
Личный вклад автора.
Большинство работ автора выполнено в авторских коллективах в рамках сотрудничества между ИФЗ РАН и Институтом Физики Земли в Париже и университетом Клермон-Феррана (Франция). Определяющий вклад автора заключается в разработке конкретных алгоритмов, их реализации в виде пакетов программ, их обосновании и апробировании на теоретическом и реальном материале.
Научная новизна
Известные алгоритмы выделения аномалий на временных рядах, как правило, базируются на статистическом и частотно-временном анализах [31,17,29]. В то же время разработанные в диссертации алгоритмы DRAS и FLARS представляют собой вариант моделирования процедуры поиска специалистом аномалий на записи методами нечеткой математики. Трактовка аномальности является свободным параметром этих алгоритмов: DRAS и FLARS способны работать с очень широким пониманием аномальности на временных рядах. В частности, они могут моделировать практически любое экспертное мнение по этому вопросу.
Классический кластерный анализ направлен на поиск подмножеств в многомерных массивах одновременно сочетающих в себе повышенную плотность и
отделимость. В то же время в геофизических массивах данных часто значительно большее значение имеют сгущения (области только повышенной плотности). Алгоритмы "Роден" и "Монолит" нацелены именно на поиск таких областей, значительно расширяя тем самым рамки классического кластерного анализа.
Практическая ценность работы
В настоящее время алгоритм DRAS, используется в реальной системе электротеллурического мониторинга вулкана Ла Фурнез (о. Реюньон, Франция), развернутого лабораторией университета Клермон-Ферран под руководством Жака Злотники. Алгоритм выполняет следующие функции: распознавание на записи собственного электрического потенциала активных участков, определение начала и конца каждого активного участка по каждому из каналов записи (границ зон активности), выработку для каждой станции нечеткой меры активности и ранжирование станций и каналов согласно этой мере активности.
Алгоритм FLARS применялся при обработке записей остаточных вариаций поля силы тяжести в рамках мировой сети сверхпроводящих гравиметров GGP Network с целью поиска на них скачков, приводящих к смещению уровня и искажению длиннопериодных компонент этих записей. Алгоритм "Роден", применяемый совместно с методом деконволюции Эйлера, явился основой программного комплекса EURO, с помощью которого была проведена интерпретация потенциальных полей в районе Сен-Мало, Молуккском море (Индонезия), Каннском массиве.
Алгоритм "Монолит" также применялся при выборе решений, полученных методом Эйлера при интерпретации магнитных аномалий для района Нижнеканского массива.
Апробация работы
Результаты работы были представлены на международных и российских научных конференциях и совещаниях, в том числе на 28-ой, 30-ой, 33-ей и 34-ой сессиях Международного семинара им. Д.Г. Успенского «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» (Киев -2001, Москва - 2003, Екатеринбург - 2006, Москва - 2007), на 17-ой и 18-ой международных конференциях CODATA (Baveno, Italy - 2000, Montreal, Canada -2002), AROPA Workshop. "Institute d'Europe (Luxembourg - 2001), III International Workshop on Magnetic, Electric and Electromagnetic Methods in Seismology and Volcanology (Москва -2002), на Втором Международном симпозиуме «Геодинамика и геоэкологические
проблемы высокогорных регионов» (Бишкек - 2002), на шестом семинаре научно-технического центра "Science and Computing" (Москва - 2003).
Основные результаты исследований по теме диссертационной работе изложены в 12 публикациях, в том числе в 10 статьях в реферируемых международных и российских журналах ("Earth and Planetary Science Letters ", "Geophysics", " Физика Земли ", "Кибернетика и системный анализ" и др.).
Выполнение работы
Работа выполнялась автором в лаборатории искусственного интеллекта Института физики Земли им. О.Ю. Шмидта Российской академии наук, а затем в лаборатории геоинформатики Геофизического центра Российской академии наук под руководством чл.-корр. РАН, проф., д.ф.-м.н. А.Д. Гвишиани и д.ф.-м.н. В.О. Михайлова, которым автор выражает свою признательность за постоянное внимание к проводившимся исследованиям. Автор выражает искреннюю благодарность сотрудникам ИФЗ РАН и ГЦ РАН, которые оказывали поддержку в проведении исследований: С.М.Агаяну, С.А.Тихоцкому, М.В.Родкину, Д.Ю.Шур, Е.М.Граевой, М.Д.Коваленко, Ю.С.Тюпкину, В.Н.Морозову, В.Н.Татаринову, Э.О.Кедрову, Соловьеву А.А., а также А.В.Леденеву, С.М.Лебедеву. Существенная часть результатов диссертации была получена автором в рамках совместных проектов ИФЗ РАН и ГЦ РАН с Парижским и Страсбургским институтами физики Земли и университетом Клермон-Феррана. Автор признателен своим французским коллегам Ж.Злотники, Ж.Бонину, Ж. Индереру, А. Гальдеано.
Глобальный уровень. Выделение потенциально-аномальных участков записи
Таким образом, ЬаФу(к) (КаФу(к)) можно рассматривать как функции принадлежности к нечеткому множеству ог-спокойных слева (справа) точек кеТ для данной записи "/ .
Обобщая лемму, естественно предполагать, что чем больше значение функций ЬаФу(к) и І?ДФД), тем спокойнее (т.е. а-спокойнее, соответственно слева и справа) наша исходная запись "/ в точке "&". Напротив, чем меньше значение функций принадлежности, тем "аномальнее" (т.е. «-аномальнее) оказывается исходная запись в данной точке. Т.о. функции принадлежности ЬаФу и ЯаФу вводят отношение порядка на множестве точек кеТ. Их нечеткую конъюнкцию тіп Ф / Ф ) можно считать мерой спокойствия точки к.
DRAS предусматривает возможность гибкого отношения к выходам выпрямления Фу(к) за уровень "о" при глобальном Л-обзоре в точке "&" (т.е. к «-неспокойствию в "А"). Иными словами при правильной "подстройке" алгоритма он обращает внимание только на достаточно массивные по времени такие выходы за уровень "«" и пропускает незначительные. Эта "подстройка" достигается с помощью свободного параметра /?є(0,1] иусловий ЬаФу{к) р, ЯаФу{к) р.
Параметр "/Г естественно назвать горизонтальным уровнем фона, поскольку массивность аномалии по времени есть ее горизонтальная протяженность. Чем меньше "/Г, тем большая часть записи относится к фону и тем грубее распознавание аномалий с помощью DRAS. Самая внимательная версия DRAS получается при р = \. Она не пропустит ни одного выхода рельефа Ф , за уровень "а". Другими словами, в этом случае фон В состоит в точности из ar-спокойных слева и справа точек.
Именно с ними и работает DRAS на втором этапе глобального уровня. Выделение областей заведомой аномальности в Рп происходит на основе анализа разности ОаФу(к) = ЬаФу(к)-ЯаФу(к). (1.7)
Этим и объясняется название алгоритма "Difference Recognition Algorithm for Signals", (DRAS). Оператор DaOy определяется формулой (1.7) на P и полагается равным нулю на В. Начала аномалий лежат в положительных максимумах DaOy, поскольку именно в них разница между спокойствием записи слева и ее неспокойствием справа выражена в наибольшей степени. По той же причине концы аномалий лежат в отрицательных минимумах DaO.
Во многих случаях обычная линейная мера превосходства одного числа над другим в виде их разности оказывается слишком грубой и целесообразно использование ее "нормировки". Кроме того, нормированное представление сравнения двух чисел дает возможность сопрягать его при помощи операция нечеткой логики с другими такими сравнениями.
Определение 1.6. Нечеткое сравнение n{a,b) на действительных числах а и Ъ измеряет в знакопеременной шкале отрезка [-1,1] степень превосходства "Ь " над "а": n(a,b) = mQs(a b)e[-l,l]. (1.8) С формальной точки зрения роль нечеткого сравнения может играть любая функция /(а,Ь),/:Ш -»[-1,1], возрастающая по Ъ и убывающая по о с дополнительными граничными условиями Vo lim/(a,6) = ±l Vb Y\m/(a,b) = +\ Va/{a,a) = 0. b- ± o a- ±o
Работа с записями в алгоритмах, описанных в диссертации, ведется через их выпрямления, поэтому достаточно использовать нечеткие сравнения, определенные только на положительных числах. Широкое применение нашло семейство базовых сравнений пу(а,Ь), v 0, а также их вариации специального вида n/ll(a,b). On/K-Oi /U iiiK І. . Ііили a J) (- л . in І.для к Рис. 5. График функции (с (г) при у = 0,3 Такая вариация корректна: nuJa,b)=ii/Jnv(u,b) ) = nv( i,b). При у 0 получается усиление nv, при у 0 - наоборот, его ослабление. В дальнейшем иод сравнением п(а,Ь) понимается какое-либо и (а,Ь). Ясно, что зависимость (y,v)- nye по у эта возрастающая, поскольку возрастающей является зависимость x- v (опред.1.7). Оказывается зависимость v - пуе тоже возрастающая. Это следует из приводинного ниже утверждения Утверждение 1.8. При 0 ft Я для любых а, і є К справедливо неравенство (\а\ \b\ f (\а\-ЦЬ\ )У . Доказательство. Функция рЛ(а,Ь) = \\а\ +\b\ I , Я 0 однородна на плоскости Ш2(а,Ь), а потому полностью определяется своим единичным шаром
После операции выпрямления (локальный уровень) распознавание аномалий алгоритмом FLARS сводится к поиску возвышенностей на соответствующем [-рафике. В тоже время рис.16 и 1в показывают, что рельеф выпрямления может быть достаточно сложен и анализа одного вертикального уровня кривой ФД) оказывается, вообще говоря, не достаточно для определения искомых возвышенностей (рис. ] б, 1 в). Аномалии могут не обладать постоянной высокой интенсивностью. Часто они неоднородны -
Выбор вертикального уровня аномальности в алгоритме DRAS
Дополнение hA@hP к горизонтальному фону hB есть дизъюнктное объединение нефоновых отрезков. Алгоритмы DRASm и FLARSm имеют дело только с теми из них, которые имеют с НА непустое пересечение. Именно такие отрезки рассматривались, поскольку точки из ИА считаются сигнальными. Но сигнал надо найти весь, для чего необходимо определить его границы.
Для этого нам понадобится приведенное ниже утверждение, согласно которому в сигнальном отрезке обязательно найдутся точки аномальные в вертикальном и горизонтальном смысле одновременно.
Утверждение 1.20. Пусть [н,к]єhAhPA и [н,к]пИАФ0,тогда [Н,К]Г\УАПЇІАФ0. Доказательство. Пусть к е[н,к]пИА и k і vA. Если к горизонтально аномальна слева, то обязательно на отрезке [и,к ] найдутся вертикально аномальные точки, поскольку в противном случае горизонтально аномальными слева были бы все точки левее к до точки н-1 включительно, что будет противоречить ее горизонтальной фоновости. Если к" - ближайшая из вертикально аномальных на [н,к ] к к ,то (l-La )(k") (\-La )(к ) и потому к" одновременно горизонтально и вертикально аномальная: к" е [н,к]п vA. Рассуждения справа аналогичны. Доказательство закончено.
Поэтому, горизонтально потенциально-аномальный фрагмент имеет следующую структуру {нР,нА,кАкр). Часть фрагмента нРА,нА возможно потенциально аномальной из-за инерции справа аномального фрагмента. На исследуемом участке есть два типа точек с вертикальной точки зрения: фоновые - juv(k) 0 и нефоновые juv(k) 0. Интересны точки из этого участка, в которых слева вертикальный фон, а справа - вертикальный не фон. Разобьем исследуемый участок на два подмножества: заменить C = ike[HPA,HA]:juv(k) 0\ и D = \kе[нр,нА]:juv(k) 0}. Введем две функции: мера того, что точка к правее множества С: п{С,к) и мера того, что точка к левее множества D: n{k,D). Нечеткая конъюнкция min(n(C,k),n(k,D)) есть мера того, что точка к правее множества С и левее множества D. Тогда искомая точка начала сигнала кн определяется, как (рис.ІЗв)
Мониторинг вулкана Фурнез (высота 2640 м), расположенного в юго-восточной части острова Реюньон в Индийском океане, был начат в 1981 г. (рис. 17) [114]. Непрерывные магнитные измерения начались в 1986 г. [84], электрические - в 1994 г. [101]. Полученная база данных содержит уникальные по продолжительности ряды наблюдений, включая активный период 1981-1992 гг. (более 25 извержений), спокойный период 1992-1996 гг. (в ноябре 1996 года произошло одно небольшое извержение) и последующий период возобновления активности (с 1997 года), включающий наиболее продолжительное извержение, длившееся с марта по сентябрь 1998 г. Излияния потоков лавы при извержениях происходят в основном вдоль ранее образованных разломов, в частности, вдоль зоны главной трещины (ЗГТ) [112], которая имеет форму подковы и пересекает весь конус вулкана (рис. 17).
Населенные районы удалены по меньшей мере на 20 км от вершины вулкана Фурнез. Поэтому в области расположения сети электротеллурических датчиков уровень антропогенного воздействия достаточно мал. Небольшой размер зоны мониторинга (примерно 6x6 км вокруг вулкана, по сравнению с сотнями километров вдоль активных разломов при мониторинге сейсмоопасных зон) позволил создать весьма плотную систему регистрации.
Аномалии собственного электротеллурического потенциала (SP-аномалии) в связи с изучением вулканической активности рассматривались в [96, 70, 82, 106, 122, 90]. Возникновение SP-аномалий принято интерпретировать в рамках фильтрационной модели [91]. Согласно этой модели локальный электротеллурический потенциал изменяется, когда несущие электрические заряды жидкости, протекают сквозь пористую среду. Поток подземных вод можно представить как сумму гравитационно-фильтрационного потока атмосферных вод и конвективного потока, порождаемого вулканическими источниками тепла [91]. Отсюда следует, что изменения электротеллурических напряжений могут вызываться как атмосферными явлениями (например, обильными осадками), так и вулканическими процессами.
С помощью SP-съемки в теле вулкана Фурнез была обнаружена мощная гидротермальная система, характеристики которой меняются как под воздействием погодных и сезонных факторов, так и в связи с вулканической активностью [112, 82, 90]. Электрокинетические явления особенно значительны, при существенных изменениях объема грунтовых вод, а также при изменениях гидротермальной системы, происходящих при возникновении новых источников тепла или изменениях локального поля напряжений [90].
Данные электротеллурического мониторинга интерпретируются в комплексе с данными по сейсмическому режиму и динамике деформаций. В периоды спокойствия вулкана сейсмичность здесь достаточно слаба. В период подготовки извержения возникают землетрясения, обычно сначала на глубине нескольких километров, вблизи или ниже уровня моря, затем очаги землетрясений постепенно мигрируют вверх и достигают поверхности земли за несколько дней или часов до извержения [94]. В течение нескольких недель перед извержением может наблюдаться небольшое деформирование поверхности вулкана, как на северной, так и на южной стороне кальдеры, даже если извержение происходит потом только на одной из них. Когда магма достигает поверхности земли, амплитуда деформаций может быстро возрасти [93].
Пять автономных электрических станций сети электротеллурического мониторинга вулкана Фурнез записывают разность напряжений между неполяризованными электродами, заглубленными на несколько десятков сантиметров [73]. Каждая станция подключена к двум горизонтальным электрическим линиям, одна из которых (NS) имеет направление настолько близкое к магнитному меридиану, насколько это позволял рельеф местности, а другая (EW) - ориентацию восток-запад. Расстояние между электродами составляет от 50 до 300 м, также в зависимости от характера рельефа. Частота проведения измерений - 20 секунд, что соответствует 16x10 значений за год. При создании сети наблюдений особое внимание было уделено обеспечению низкого удельного сопротивления между землей и электродами и снижению ежедневных тепловых дрейфов [90].
Меры близости в конечных метрических пространствах
Говоря о классификации совокупности объектов, обычно предполагается, что каждый из них задан точкой в метрическом пространстве. При этом, естественным считается, что метрическая близость двух или нескольких точек в этом пространстве означает близость «физических» состояний соответствующих объектов, их однородность. Тогда проблема классификации состоит в разбиении анализируемой совокупности точек-наблюдений на сравнительно небольшое число (заранее известное или нет) классов таким образом, чтобы объекты, принадлежащие одному классу, находились бы на сравнительно небольших расстояниях друг от друга.
Полученные в результате этого разбиения классы часто называют кластерами (таксонами, образами), а методы их нахождения соответственно кластер-анализом, численной таксономией, распознаванием образов с самообучением (= классификацией без учителя, автоматической классификацией). Cluster (англ.) - гроздь, пучок, скопление, группа элементов, характеризуемых каким-либо общим свойством. Тахоп (англ.) -систематизированная группа любой категории (термин биологического происхождения). Название «кластер-анализ» для совокупности методов решения задач такого типа было впервые введено, по-видимому, Трайоном в 1939 г. [119].
Итак, кластерный анализ является «набором» различных алгоритмов «распределения объектов по кластерам». Методы кластерного анализа используются в большинстве случаев, когда отсутствуют какие-либо априорные гипотезы относительно классов, и исследования объектов находятся на их описательной стадии. В общем, всякий раз, когда необходимо классифицировать «горы» информации к пригодным для дальнейшей обработке группам, кластерный анализ оказывается весьма полезным и эффективным, поскольку определяет на этой предварительной стадии «наиболее возможное значимое решение» в виде естественного расслоения исходных наблюдений на четко выраженные кластеры, сгустки, лежащие друг от друга на некотором расстоянии, но не разбивающиеся на столь же удаленные части. В зависимости от целей исследования, полученное расслоение может быть достаточным само по себе, или, в свою очередь, послужить базой обучения для дальнейшей классификации объектов, но уже на основе алгоритмов распознавания с учителем [119,41,44,69,36,26,34, 39,51,45,97,11, 8,23].
Кластеризация является универсальным методом анализа данных и потому находит успешное применение в самых разнообразных областях: медицине, психиатрии, астрономии, археологии, маркетинге, экологии, лингвистике.
Как было упомянуто выше, кластерный анализ является частью проблемы распознавания образов, в рамках которой используются алгоритмы с обучением (с учителем) и алгоритмы без обучения (без учителя). К последним и относятся алгоритмы кластерного анализа. Как известно, методы распознавания образов широко используются в геофизике, и данное направление имеет долгую историю. Эти методы применяются при распознавании мест землетрясений. В этой связи нельзя не отметить работы таких ученых, как И.М. Гельфанд, В.И. Кейлис-Борок, Л. Кнопов, А.Д. Гвишиани, В.Г. Кособоков и др.
Меры близости в конечных метрических пространствах
Зная расстояние d(x,y) между точками в КМП (X,d), за исключением тривиального случая d(x,y) = 0, нельзя ответить на вопрос: "В какой степени точка у близка или далека от точки х ". Для этого нужен глобальный взгляд на X, а именно сравнение d{x,y) с остальными расстояниями d(x,y).
В диссертации предложено несколько вариантов ответа на этот вопрос, но везде "близость" у к х реализована как нечеткая мера ( (_у)є[0,1] (или [-1,1]) с нормировкой 5х{х) = \. В общем случае Sx(y) не только убывает с ростом d(x,y), но и зависит от топологического распределения X вокруг х. Пользуясь набором {S (х):уєХ) таких мер, соединим нечеткость и метрику d для построения меры А (х) нечеткой принадлежности х к произвольному подмножеству А с X, неформально выражающей, как и в сингулярном случае, приближение х к А (= влияние (давление) А на х; свет, приходящий от (из) А в х) [6,40].
Обратимся к построению є (х). В точку х приходит свет є (х) = Sy(x) из точки у є А. Точкой х он воспринимается с весом А (д )є[0,1], отражающим структуру А(х) ранжирования А вокруг х. При этом данный вес, называемый косветом, носит как относительный характер, ранжируя точки А вокруг х, так и абсолютный, ранжируя вокруг Л; не только А, но и все X. Мера нечеткой принадлежности еА (х) =е (S,A)A(x) есть интегральная характеристика (например, среднее или нечеткое среднее) R-распределения {(бу(х),Ах(у))\уеА).
Итак, мера нечеткой принадлежности еА (х) точки х к подмножеству А строится на основе пары (свет б, косвет А). Первая компонента S всегда является мерой близости к X и потому носит необходимо глобальный характер. Природа косвета А разнообразна: вообще-то говоря, им может быть любая нечеткая структура на X, определение которой требует либо все X (глобальный характер), либо только А (локальный, относительный характер).
Применение методов кластеризации для разбраковки решений, получаемых методом локальной линейной псевдоинверсии ("Эйлеровой деконволюции")
В настоящей статье (x,y,z) - декартовы координаты, причем ось Oz направлена вертикально вниз, ось Ох - на север. В двумерном случае ось Ох направлена вдоль профиля. Параметр N = -n принято называть структурным индексом. Метод деконволюции позволяет оценить положение и глубину ближайшего или наиболее интенсивного источника аномалий в окрестности скользящего окна. Этот метод был впервые использован в работе [81] для интерпретации аэромагнитных данных, где были получены структурные индексы для точечного полюса и точечного диполя. Томпсон [118, 109] разработал двумерный вариант метода и получил структурные индексы для ряда элементарных тел.
В работе [109] подход Томпсона расширен на трехмерный случай и получены структурные индексы для гравитационной аномалии от уступа малой амплитуды и магнитной аномалии от тонкой дайки и наклонного контакта. В дальнейшем Китинг [95] применил метод Эйлера для нерегулярной 3-мерной сети наблюдений, использовав веса, пропорциональные точности пунктов измерения и расстоянию между пунктами. В статье [124] МДЭ был использован для интерпретации измерений полного тензора градиента гравитационного поля. Последняя статья содержит также исчерпывающую библиографию по теории и применению метода.
МДЭ предоставляет информацию о расположении, форме и глубине залегания аномалеобразующих тел. Метод особенно эффективен для изолированных тел, имеющих вертикальные боковые границы. В этом случае эйлеровы решения кластеризуются около контура тел в горизонтальной плоскости, а также дают некоторые оценки их глубины. В тех случаях, когда аномальное потенциальное поле является суперпозицией эффектов различных источников, МДЭ не всегда дает легко интерпретируемые результаты: эйлеровы решения образуют скорее обширные облака, чем плотные кластеры, что затрудняет идентификацию источников аномалии. Часто результаты деконволюции удается улучшить, отбрасывая "плохие" решения. Для этого предложены различные критерии, использующие сингулярные числа, дисперсию оценок глубины. Могут быть отброшены точки, расположенные слишком близко к поверхности или слишком глубоко [118]. Для изолированных аномалий эти критерии достаточно эффективны. Однако в сложных аномальных полях их эффективность существенно снижается в силу воздействия близких к поверхности источников, соседних аномалеобразующих тел и случайных помех.
Метод деконволюции Эйлера (МДЭ) позволяет получать оценки геометрических параметров элементарных аномалеобразующих тел, используя значения аномальных потенциальных полей (гравитационного и магнитного) и их горизонтальных и вертикальных производных (измеренных или вычисленных). Разговор здесь идет лишь о магнитном поле, однако аналогичные результаты имеют место и для поля силы тяжести. МДЭ применим к аномалиям, удовлетворяющим уравнению (2.42), т.е. являющимся однородными функциями степени п. Можно показать, что уравнению (2.42) удовлетворяют магнитные или гравитационные аномалии от тел, положение которых в пространстве определяется единственной точкой (x0,yQ,z0) для трехмерного случая или (jr0,z0) для двумерного случая. Такими телами являются точечный полюс или точечный диполь, а также линия полюсов или диполей. Отдельные элементарные тела удовлетворяют уравнению Эйлера при особых условиях : дайка (вертикальная или наклонная), если ее толщина существенно меньше ее глубины; конечный уступ, если его размер меньше глубины его верхней кромки и т.д. Для всех этих тел уравнение Эйлера (2.42) может быть представлено в виде (x-x0) + (y-y0) + (z-zQ) = N(A-f(x,y,z)), (2.43) где (x0,y0,z0) - координаты точки, характеризующей положение элементарного источника (эйлерово решение); (x,y,z) - координаты точки, в которой заданы значения потенциального поля и его производных (последние могут быть измерены или вычислены); N - так называемый структурный индекс, который определяется формой тела (N = -n); А - постоянная, которую требуется определить. Структурные индексы для ряда элементарных тел перечислены в работах [118,109].
Следует отметить, что константа А в уравнении (2.43) отражает не только постоянный фон в измеренном поле. Согласно [109], аномалия модуля вектора напряженности магнитного поля для наклонного контакта удовлетворяет уравнению яг яг {x-xQ)-— + {z-zQ)—= А. Таким образом, константа должна фигурировать в уравнении дх ді (2.43) даже для изолированных магнитных аномалий с нулевым фоном. Деконволюция Эйлера заключается в определении четырех неизвестных параметров (x0,y0,z0) и А в скользящем "окне", содержащем более четырех точек, путем решения системы линейных уравнений. Система состоит из уравнений (2.43), выписанных для каждой точки (x,y,z) окна.
Структурный индекс должен быть определен a priori с помощью дополнительной информации о форме аномалеобразующих тел. Можно также провести вычисления с различными индексами, выбирая решения, оптимально согласующиеся с геологическими, сейсмическими и скважинными данными, либо выбирая решения, которые более плотно кластеризуются около возможных контуров аномалеобразующих тел.
Даже на теоретических примерах, рассчитанных для изолированных элементарных тел при точном задании аномального поля и его производных, не все эйлеровы решения кластеризуются по контуру аномалеобразующего тела в плоскости хОу. Поэтому методика МДЭ включает использование различных критериев отбора решений. Поскольку глубина z0 обычно имеет наименьшее сингулярное значение (и, следовательно, наибольшую дисперсию), отбор решений обычно ведется по этому параметру. Решение может быть отброшено, если оценка глубины данной эйлеровой точки имеет низкую "толерантность", определяемую как y -au TOL [118], если дисперсия оценки глубины данной точки превышает заданное значение ттах, если точка имеет нереально большую глубину z zmm и т.д. Наши вычисления показали, что важной характеристикой является также расстояние от эйлерова решения до центра окна (в зависимости от структуры аномального поля и от размера окна, это отношение колеблется от 2 до 10).
Строго говоря, трехмерная деконволюция непригодна для двумерных тел, (поскольку определитель системы (2.43) оказывается равным нулю). Тем не менее, этот метод дает хорошие результаты для сильно вытянутых тел. Были проведены теоретические расчеты для параллельных даек, ширина которых более чем в 25 раз меньше их длины. Для случая, когда размер окна был меньше ширины даек, эйлеровы решения хорошо кластеризовались вдоль их боковых граней. При увеличении размера окна решения смещались к средней линии каждой дайки. Этот теоретический пример имитировал геологическое строение района залива Сен-Мало, о котором пойдет речь далее. Так же, как и в заливе Сен-Мало, разница между направлением простирания даек и склонением вектора магнитного поля составляла 5 градусов.
