Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные проявления солнечной активности и теоретические модели активных солнечных образований
1.1. Солнечные пятна и магнитный цикл 12
1.2. Вспышечная активность и структура солнечной короны, основные подходы к моделированию вспышек 21
1.3. Протуберанцы, их основные магнитостатические модели 28
Глава 2. Уравнения магнитной гидродинамики и общие свойства бессиловых магнитных полей
2.1. Система уравнений магнитной гидродинамики 31
2.2. Уравнения стационарной МГД 34
2.2.1. Стационарные течения плазмы в аксиальносимметричных магнитных конфигурациях 35
2.3. Магнитогидростатика .' 36
2.3.1. Уравнение Грэда-Шафранова. 36
2.4. Бессиловое магнитное поле 37
2.5. Исследование симметрийных
свойств бессиловых магнитных полей 39
Глава 3. Моделирование предвспышечных магнитных конфигураций
3.1. Бессиловая модель сигмоидальной магнитной аркады: структура и энергетика 43
3.1.1. Геометрия магнитной аркады и бессиловое решение 44
3.1.2. Магнитная аркада I типа 46
3.1.3. Магнитная аркада II типа, зависимость свободной магнитной энергии от бессилового параметра а. 47
3.1.4. Спиральность магнитного поля и диссипация энергии 54
3.2. Нелинейные модели магнитных жгутов переменного сечения. 56
3.2.1. Основное уравнение задачи 58
3.2.2. Метод решения 59
3.2.3. Полное решение задачи и его свойства 61
3.2.4. Геометрия магнитных поверхностей 67
3.2.5. Приложение полученного решения к солнечным пятнам 71
3.3. Магнитостатическое решение для кольцевого магнитного волокна 73
Глава 4. Колебания корональних магнитных петель и проблема их радиационного затухания
4.1. Постановка проблемы 81
4.2. Расчет периода свободных колебаний петли и оценка энергии возмущения 84
4.3. Внешнее волновое решение , 87
4.4. Оценка добротности колебаний 90
4.5. Сила реакции излучения. Затухающие колебания магнитной петли 92
4.6. Внутренняя структура корональной петли, модель двойной магнитной трубки 93
4.6Л. Моды колебаний в трубке с оболочкой 99
4,6.2. Затухание колебаний в модели двойной трубки 103
4.7. Обсуждение результатов 104
Глава 5. Элементы диффузионной теории солнечного магнитного цикла
5.1. Основные положения диффузионной теории солнечного цикла 106
5.2. Общее решение диффузионной задачи 109
5.3. Новое решение уравнения ди ффузи и, его основные свойства 115
5.3 .1. Волновой диффузионный пакет, уравнение Шредингера и солитоны огибающей 123
5.4. Активные долготы на Солнце
5.4.1. Решение неосесимметричной задачи 127
5.4.2. Граничные условия 130
5.4.3. Интерпретация явления активных долгот 132
Заключение 134
Список литературы
- Вспышечная активность и структура солнечной короны, основные подходы к моделированию вспышек
- Стационарные течения плазмы в аксиальносимметричных магнитных конфигурациях
- Геометрия магнитной аркады и бессиловое решение
- Сила реакции излучения. Затухающие колебания магнитной петли
Введение к работе
Актуальность проблемы и направление исследований. Магнитные поля в космической плазме играют чрезвычайно важную роль. Они формируют разнообразные магнитоплазменные структуры, подверженные различного рода неустой чивостям, нестационарным и циклическим изменениям, взрывам, выбросам вещества, значительному нагреву или охлаждению плазмы, ускорению заряженных частиц и т. п.
На Солнце все проявления его активности: солнечные пятна, факелы, флоккулы, вспышки, протуберанцы-волокна, корональные петли и выбросы, корональные дыры и др. - имеют, несомненно, магнитную основу. Магнитное поле определяет как морфологическое строение этих образований, так и их энергетические и динамические свойства, темпы и направления эволюции, особенности теплопереноса и излучения в плазме и, соответственно, переменность большинства наблюдаемых параметров.
Таким образом, правильное понимание физической природы явлений солнечной активности невозможно без выяснения их магнитной структуры, обеспечивающей формирование, развитие и распад этих образований.
Подавляющее большинство процессов, характеризующих солнечную активность, развиваются относительно медленно, так что для их теоретического описания и моделирования с успехом может быть применено магнито-гидродинамическое приближение [1, 2, 20, 36, 37, 48, 49], в основе которого лежат следующие основные предположения: 1. плазма рассматривается как сплошная среда, в состоянии локального термодинамического равновесия; 2. среда считается изотропной, т.е. газовое давление и характеристики материальных свойств среды (проводимость, вязкость и др.) описываются не тензорами, а скалярными функциями; 3. токи смещения пренебрежимо малы по сравнению с токами проводимости; 4. скорости всех макроскопических течений считаются малыми по сравнению со скоростью света в вакууме.
Указанные приближения выполняются с большим запасом в таких процессах солнечной активности как колебания корональных петель (с периодами от долей секунды и выше), образование и распад солнечных пятен, протуберанцев-волокон и комплексов активности в целом, а также развитие солнечного цикла на временах в десятки и сотни лет [49]. Динамика вспы-шечных волокон и корональных выбросов также хорошо описывается теоретическими МГД-моделями вплоть до развития взрывной фазы солнечной вспышки, когда в действие вступают плазменные кинетические неустойчивости, обуславливающие быстрый прогрев вспышечной области, появление аномально высокого сопротивления плазмы, ускорение частиц и пр. [1, 7, 48,49, 80, 82]. Эти процессы быстрого энерговыделения в данной работе затрагиваются лишь поверхностно, на качественном уровне, в связи с обсуждением сценария солнечной вспышки.
В диссертации представлены три направления МГД-моделирования активных солнечных образований: 1. магнитогидродинамические модели (статических и стационарных) магнитных структур: изогнутая (сигмоидальная) бессиловая магнитная аркада, осесимметричные магнитные жгуты переменного сечения, кольцевое магнитное волокно; 2. исследование колебательных и волновых свойств корональных магнитных петель с учетом неоднородности петли по сечению; 3. моделирование явлений глобальной солнечной цикличности на основе диффузионной теории солнечного цикла: свойства нового диффузионного решения, модель активных долгот.
Подчеркнем, что, говоря здесь о моделировании, мы имеем в виду теоретические МГД-модели солнечных образований, основанные на точных аналитических решениях. Такой подход широко распространен в солнечной физике [32-34, 55-58, 64, 101, 108, 109, 148, 149, 169, 172, 174, 186, 204, 205, 208, 212, 213, 216 и др.]. Численные расчеты используются в данной работе лишь для конкретизации и графической визуализации полученных аналитических результатов. Численное моделирование в полном смысле этого слова, т.е., как процедура численного решения исходных дифференциальных уравнений в частных производных при заданных граничных и начальных условиях, в данной работе не применяется.
В диссертационной работе изложены результаты исследований, проводившихся автором в 1992-2004 годах в Калмыцком государственном университете в составе группы астрофизиков на кафедре теоретической физики по кафедральной теме «Теоретические исследования явлений солнечной актив-ности».Эти работы поддерживались грантами РФФИ и Министерства образования РФ.
Целью настоящего исследования явилось получение ряда новых точных (аналитических) решений уравнений магнитной гидродинамики, а также выявление свойств известных ранее решений и построение на этой основе новых теоретических моделей, достаточно адекватных природе наблюдаемых активных солнечных образований, таких как предвспышечные магнитоплаз-менные конфигурации, пятна, волокна и корональные петли, а также структуры, описывающие магнитное поле Солнца в целом.
Объект данного исследования - явления солнечной активности; предмет исследования — совокупность физических свойств активных солнечных образований, описание которых возможно в рамках МГД- приближения.
Общая методика исследования состоит в: анализе уравнений и постановке задач магнитной гидродинамики применительно к активным солнечным образованиям; учете специфических особенностей и граничных условий, характерных для солнечных магнитных структур; получении новых точных решений уравнений МГД, пригодных для описания солнечных объектов; сопоставлении полученных результатов с данными других авторов и современными наблюдательными данными путем доведения теоретических моделей до стадии численного расчета распределений физических параметров системы.
Научная новизна результатов диссертации, состоит в следующем:
1. Исследованы общие свойства бессиловых магнитных полей. На основе группового симметрийного анализа дифференциальных уравнений впервые показано, что для системы уравнений, описывающей бессило вое магнитное поле, существенные дифференциальные операторы симметрии 1-го порядка являются исключительно лиевскими операто рами симметрии, которые определяют семипараметрическую группу подобий в евклидовом пространстве: группу произвольных сдвигов, группу вращений и группу всесторонних сжатий.
Никаких иных дифференциальных операторов симметрии 1-го порядка бессиловое магнитное поле не допускает.
Найдено новое бессиловое решение для сигмоидальной магнитной структуры как основы вспышечной магнитоплазменной конфигурации с широм магнитных силовых линий и большим запасом свободной магнитной энергии. Показано, что при непрерывном изменении параметров система переходит от закрытой конфигурации магнитных силовых линий к открытой, что и может служить непосредственной причиной солнечной вспышки.
Получены новые нелинейные решения уравнений стационарной магнитной гидродинамики, позволяющие аналитически описывать такие мало исследованные магнитоплазменные конфигурации, как. магнитные жгуты переменного сечения со стационарными течениями плазмы.
Показано, что вертикальная термодинамическая структура полутени солнечного пятна, несмотря на наличие в ней квазигоризонтальных эвершедовых течений, с хорошей точностью описывается гидростатическим распределением.
На основе новой модели корональной петли как двойной магнитной трубки показана эффективность механизма радиационного затухания для объяснения обнаруженного при помощи УФ телескопа на космическом аппарате TRACE эффекта быстрого уменьшения амплитуды поперечных колебаний горячих корональных петель.
Установлена глубокая аналогия между солитонными решениями нелинейного уравнения Шредингера и новым колебательным решением уравнения диффузии магнитного поля в сферическом слое. Типично «солитонная» зависимость между шириной и высотой диффузионного импульса позволяет понять природу характерной особенности солнечного цикла: чем больше высота цикла, тем меньше его длительность (правило Вальдмайера).
Получено новое точное решение уравнений неосесимметричной диффузионной задачи, позволяющее понять происхождение активных долгот на Солнце
Научная и практическая значимость полученных результатов состоит, во-первых, в том, что они вносят существенный вклад в арсенал точных аналитических решений нелинейных решений уравнений магнитной гидродинамики, что уже само по себе представляет значительный интерес и ценность, поскольку точные решения служат основой численного моделирования магнитогидродинамических процессов, которое в последние годы становится основным средством теоретического исследования сложных нелинейных процессов в космической плазме.
Во-вторых, полученные решения позволяют предложить новые, достаточно простые и наглядные механизмы таких проявлений солнечной активности как вспышечные аркады и волокна, корональные петли, активные долготы, солнечный магнитный цикл в целом.
Полученные результаты могут быть использованы при теоретической интерпретации широкого класса явлений солнечной, а также звездной активности и, следовательно, представляют интерес не только для физики Солнца, но и для астрофизики в целом.
На защиту выносятся следующие результаты:
Доказательство того, что система дифференциальных уравнений, описывающих бессиловое магнитное поле, имеет только л невские дифференциальные операторы симметрии 1-го порядка: операторы параллельного сдвига, поворота и однородного сжатия (растяжения).
Новое решение для бессиловой магнитной аркады с широм магнитного поля и запасом свободной магнитной энергии, достаточной для обеспечения крупной солнечной вспышки.
Новые решения для стационарных осесимметричных магнитоплазмен-ных конфигураций, описывающие магнитные жгуты переменного сечения с произвольно распределенными в них стационарными течениями плазмы.
На основе полученных решений предложены модели двух основных предвспышечных конфигураций: сигмоидальная магнитная аркада с током и магнитный жгут переменного сечения.
Механизм радиационного затухания поперечных колебаний резко неоднородных ио сечению корональных магнитных петель.
Модель явления активных долгот на Солнце.
Апробации работы. Материалы диссертации докладывались на ежегодных международных студенческих научных конференциях «Физика Космоса» в г. Екатеринбурге в 1994-98 гг.; на 3-ей Всероссийской научной конференции студентов-физиков в 1995 году (г. Екатеринбург); на Европейской астрономической конференции «Joint European and National Astronomical Meeting» - JENAM-2000 в г. Москве; на Первой Всероссийской Астрономической Конференции (BAK-200I) в г. Санкт-Петербурге; на Пулковских международных конференциях в 1997 и 2000 гг.; на астрофизическом семинаре «Физика Солнца и звезд» 2003 года в г. Элисте, а также на Симпозиуме Международного Астрономического Союза IAU № 223 (Санкт-Петербург, Пулково, 14-19 июня 2004).
По теме диссертации опубликовано 14 научных статей и сообщений [26-28, 66-72, 79, 159, 160, 195], 1 монографическое издание [73] , и 14 тезисов докладов [74-78 и др.], всего - 29 работ.
Личный вклад и участие автора. Часть работ, опубликованных по теме диссертации, выполнена в соавторстве с теми или иными членами коллектива астрофизиков, работающего на кафедре теоретической физики Калмыцкого ГУ. В совместных работах вклад автора диссертации состоит в: 1. активном участии в обсуждении постановки задачи, в анализе и физической интерпретации полученных результатов; 2. независимом от других соавторов проведении аналитических выкладок и численных расчетов.
В монографии «Диффузионная теория солнечного магнитного цикла» автору диссертации принадлежат Глава 5, а также участие в написании 1 и 2 Глав и раздела 4.2.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из Введения, пяти глав, Заключения, списка литературы и Приложения. Диссертация содержит 156 страниц машинописного текста, 2 таблицы и 40 рисунков. Библиографический список содержит 221 наименование.
Основное содержание работы
Во Введении обоснована актуальность поставленной темы, указана цель работы, отмечены новизна и научно-практическая ценность полученных результатов, дана краткая характеристика содержания работы, сформулированы основные положения, выносимые автором на защиту.
В первой Главе, носящей реферативный характер, сжато излагаются основные сведения о наиболее важных проявлениях солнечной активности: описываются солнечные пятна и солнечный магнитный цикл, а также вспы-шечная активность Солнца, структура протуберанцев-вол окон и солнечной короны в целом. В этой же Главе очень кратко рассмотрены основные МГД-модели активных солнечных образований (пятен, вспышек, протуберанцев) и солнечного цикла в целом.
Во второй Главе приводится система уравнений МГД, уравнения стационарной МГД и уравнения магнитостатики (уравнение Грэда-Шафранова) для аксиальносимметричных магнитоплазменных конфигураций. Затем обсуждается особый класс магнитных полей - класс бессиловых магнитных конфигураций. Здесь исследуются наиболее общие свойства бессиловых магнитных полей в высокопроводящей плазме на основе симметрийного анализа дифференциальных уравнений. Такая постановка задача связана с тем, что в одной из работ, выполненных по данному направлению [39], для системы уравнений бессилового магнитного поля было найдено несколько новых нелиевских операторов симметрии. Это породило надежду на то, что с помощью этих операторов окажется возможным получить (на основе уже известных бессиловых распределений) ряд качественно новых решений для бессиловых магнитных конфигураций, которые могли бы представить интерес как для солнечной физики, так и для физики лабораторной плазмы.
Проведенное в данной диссертации детальное исследование проблемы показало, однако, что для бессиловых магнитных полей все множество операторов симметрии ограничено только лиевскими операторами.
Найдено семь лиевских дифференциальных (1-го порядка) операторов симметрии бессилового поля, которые определяют однопараметрические группы точечных преобразований координат: группу сдвигов вдоль координатных осей, группу вращений вокруг координатных осей и группу всестороннего сжатия (растяжения).
Показано, что никаких иных дифференциальных операторов симметрии 1-го порядка для бессиловых магнитных полей не существует. Результат, полученный в [39], оказался ошибочным.
В третьей Главе построено новое бессиловое решение, описывающее токовую S-образную (сигмоидальную) магнитную аркаду. Такого рода магнитные структуры с изогнутой нейтральной линией, разделяющей на фотосфере области с противоположными магнитными полярностями, ответственны за развитие в солнечной атмосфере крупных «двухленточных» вспышек [49,86,96-98, 113, 120, 142, 175].
Найденное новое решение может быть использовано для моделирования вспы шечной конфигурации на первоначальной стадии накопления магнитной энергии, поскольку оказалось, что магнитная энергия бессилового поля с отличным от нуля бессиловым параметром а может существенно превышать энергию потенциальной магнитной арки такой же S-образной формы. Показано, что при определенном изменении свободных параметров задачи система переходит от закрытой магнитной конфигурации к открытой.
Релаксация бессиловой магнитной аркады к состояниям с меньшим значением бессилового параметра (в пределе - к потенциальному состоянию) с сохранением магнитного потока системы может рассматриваться как один из вероятных сценариев развития вспышечного процесса.
Второй раздел Главы 3 посвящен изложению магнитогидродинамической теории стационарных и статических конфигураций типа однородно скрученных магнитных жгутов переменного сечения. Класс найденных ранее Соловьевым А. [60, 64] осесимметричных самоподобных решений, обобщен на случай произвольно распределенных по магнитным поверхностям стационарных течений плазмы, а также произведен учет силы тяжести. Показано, что изменение свободных параметров решения приводит к большому разнообразию геометрических профилей исследуемых структур, что представляет широкие возможности для МГД-моделирования таких активных солнечных образований, как солнечные пятна, волокна, корональные вспышечные петли и корональные дыры.
В этой же Главе, в разделе 3.3. проанализированы магнитогидростати-ческие решения, описывающие равновесие кольцевого магнитного волокна, — такие структуры достаточно часто наблюдаются в солнечной атмосфере [35].
В четвертой Главе излагается теория колебаний корональных магнитных петель, которые представляют собою тонкие магнитные трубки с резко неоднородным распределением плазмы по сечению. Особая актуальность этой тематики обусловлена тем, что в последние годы при помощи ультрафиолетового телескопа, установленного на космическом аппарате TRACE (Transition Region and Coronal Explorer), удалось непосредственно наблюдать и в деталях исследовать процесс колебаний горячих плотных петель в солнечной короне [102-106, 164-168, 179, 180]. Эти колебания привлекли большое внимание исследователей к проблеме распространения и поглощения МГД-волн в условиях солнечной короны и, в более широком плане, к проблеме нагрева короны до температуры 1-2 МК [3, 124, 177].
Впервые оказалось возможным не только установить сам факт наличия колебаний, определить период осцилляции и длину колеблющихся тонких, петель, но и установить амплитуду их поперечных смещений, а также измерить декремент затухания, который оказался неожиданно очень большим. Осцилляции петель снижали свою амплитуду в е раз в течение всего двух-четырех периодов колебаний. Этот факт заставил со всей остротой поставить, вопрос о том, каков физический механизм затухания наблюдаемых в солнечной короне осцилляции? Наиболее естественным представляется механизм радиационного затухания колебаний, обусловленный тем, что корональные магнитные петли находятся в окружении внешнего магнитного поля (это требуется по условиям поперечного равновесия), в котором колеблющаяся петля должна возбуждать быстрые магнитозвуковые волны (БМЗВ). Эти волны, распространяясь в поперечном направлении, эффективно уносят и рассеивают во внешней среде энергию колебаний, запасенную системой при первоначальном возмущении (внешнем толчке).
Проблема, однако, осложняется тем, что однородная по сечению магнитная силовая трубка, которой обычно моделируется корональная петля, служит эффективным волноводом для БМЗВ, распространяющихся вдоль трубки, но не является излучателем этих мод в поперечном направлении [49, 52, 182-184]. Это заставило исследователей искать другие причины затухания корональных осцилляции, в частности, выдвигалась [164] (и продолжает рассматриваться [105-106]) гипотеза аномально высокой вязкости (газокинетической и магнитной) корональной плазмы.
Подход, развиваемый в диссертации, состоит в том, что в качестве основного механизма рассеяния энергии корональных колебаний рассматриваются именно радиационные потери, но возникающие в системе за счет того, что корональная петля моделируется резко неоднородной по сечению магнитной силовой трубкой. Оказывается, что магнитная трубка, состоящая из плотного и горячего центрального ядра и разреженной коаксиальной оболочки, является (в отличие от петли однородной по сечению) достаточно эффективным излучателем БМЗВ во внешнюю среду. Если плотность газа в оболочке петли меньше корональной, то условие излучения БМЗВ в корону выполняется, и механизм радиационного затухания действует.
К сожалению, строгая математическая формулировка линеаризированной МГД-задачи на исследование условий распространения малых колебаний изначально предполагает, что дисс и пати вные явления описываются в ней как малые эффекты второго порядка малости {1т со « Re со). Поэтому получить в рамках традиционно сформулированной линейной задачи столь сильное затухание, какое отмечено в наблюдениях, в принципе невозможно из-за ограниченности математической постановки самой задачи. (В разделах 4.2.-4.5. мы на основе качественной оценки запаса энергии первоначального толчка нашли для добротности колебаний Q = 8.76, Однако в разделе 4.6. при строгом решении линейной задачи мы получили уже Q ~ 40, что в несколько раз выше наблюдаемых значений и той величины, что была найдена ранее).
В пятой Главе приводятся некоторые результаты исследований по теории солнечного магнитного цикла. Это, во-первых, обсуждение свойств нового решения скалярного уравнения диффузии магнитного поля в сферической геометрии [73]. Здесь показан необычный для решений линейного уравнения солитоноподобныЙ характер диффузионных волновых пакетов, описываемых данным решением, обсуждается применение этих решений для моделирования солнечного цикла, в частности, - для объяснения правила Вальд-мейера [210] (чем короче цикл, тем больше его высота).
Во-вторых, в данной Главе излагается новая теоретическая модель активных долгот на Солнце. Найдено точное аналитическое решение для полой дал ьного магнитного поля, вращающегося с той же частотой, что и глубокие слои Солнца. Такое поле вместе с полоидальным полем магнитного цикла может оказывать модулирующее воздействие на всплывающие трубки тороидального магнитного поля и тем самым создавать известный эффект активных долгот [9, 10, 42, .111], т.е. обеспечивать появление таких долготных интервалов, на которых всплытие тороидальных полей облегчено по сравнению с другими интервалами.
В Заключении формулируются основные результаты работы и обсуждаются перспективы дальнейших исследований в данном направлении.
Приложение к диссертации носит чисто математический характер и содержит основные сведения из симметрийного анализа дифференциальных уравнений, необходимые для понимания результатов второй Главы.
Вспышечная активность и структура солнечной короны, основные подходы к моделированию вспышек
Общепринятой теории солнечных вспышек на сегодня не существует, но в ряде направлений многолетние усилия теоретиков обеспечили значительный прогресс в понимании вспышечных процессов на Солнце. Это, прежде всего, касается физики тонких токовых слоев, в которых и происходят пересоединения магнитных силовых линий [2, 7, 11, 14, 36, 37]. В России эти исследования связаны, в первую очередь, с именем СИ. Сыроватского (см., например, [82]) и его научной школой [80, 196]. Долгое время процесс магнитного пересоединения изучался в двумерном приближении, и казалось, что его основные особенности достаточно хорошо исследованы. Однако, по мере того, как рост компьютерных возможностей позволил перейти к рассмотрению более реалистичной трехмерной картины пересоединений [11, 19 и др.], стало ясно, что двумерное описание было слишком упрощенным и приблизительным. Динамика пересоединяющегося магнитного поля в конкретных ситуациях, более или менее адекватных реальным условиям на Солнце, оказывается весьма сложной, и пока мы далеки от полного понимания всей совокупности связанных с нею проблем [197, 202].
Практически, ни одна из теоретических моделей вспышек не обходится без привлечения механизма плазменной турбулентности [2, 25, 86, 140], «включающейся» на взрывной фазе вспышки и обеспечивающей появление в области магнитного пересоединения аномального электрического сопротивления. Это сопротивление связано с развитием различных токовых неустой-чивостей и возникает оно тогда, когда плотность электрического тока в плазме превышает некоторую критическую величину. Аномальное сопротивление плазмы по своей величине существенно (на 4-6 порядков!) превышает обычное классическое сопротивление, возникающее за счет парных электрон-ионных столкновений. Критическая плотность тока у, при которой возникает аномальное сопротивление, обычно выражают через пороговое значение дрейфовой скорости электронов Vj = j/ne (є - заряд электрона, п -плотность электронов). Наличие дрейфовой (токовой) скорости электронов означает, что электронное распределение по скоростям сдвинуто на величину \\, относительно ионного. Этот сдвиг и приводит к неустойчивости, при которой электроны, кроме потери импульса при парных столкновениях, теряют его и при излучении ими колебаний и волн. Эти колебания поглощаются ионами и передают им свой импульс. Таким образом, как и при парных столкновениях, происходит передача импульса от электронов к ионам, однако в данном случае важно, что она имеет коллективную природу, т.е. осуществляется посредством возбуждаемых при неустойчивости колебаний и волн (плазменной турбулентности). Значение дрейфовой скорости, при которой происходит возбуждение неустойчивости и появляется аномальное сопротивление, может быть довольно малым. Так, в плазме без магнитного поля минимальное значение v , при котором возникает ионно-звуковая неустойчивость, существенно меньше тепловой скорости электронов и фактически совпадает со скоростью ионного звука в плазме: v, = J «А,, где Те - температура электронов, М- масса ионов. Ионно-звуковая неустойчивость представляет собой раскачку продольных электростатических колебаний в плазме с «горячими» электронами и «холодными» ионами (Те »Т,). В плазме, помещенной в магнитное поле, возможны токовые неустойчивости и с порогом v,,, заметно меньшим тепловой скорости ионов, но эти неустойчивости (электростатические моды (см., например, [2], стр. 273, 274)) возникают, когда электрический ток течет поперек магнитного поля.
В моделях солнечных вспышек только при введении аномального сопротивления плазмы удается удовлетворительно согласовать временные и энергетические параметры теоретически представляемого процесса с наблюдаемыми в солнечной атмосфере явлениями (см., например, обзор проблемы аномального сопротивления в солнечной плазме в [197]).
Правда, существует один подход к объяснению природы солнечной вспышки, при котором введение плазменной турбулентности для обеспечения аномально высокого сопротивления во вспышечном волокне не требуется. Речь идет о модели Зайцева-Степанова [21, 217, 218], восходящей к феноменологической модели Аль вена-Карл квиста [91, 114], рассматривавшей солнечную вспышку, как следствие резкого прерывания мощного токового контура в атмосфере Солнца. В модели Зайцева-Степанова в качестве причины, вызывающей резкое возрастание электрического сопротивления цепи, рассматривается вторжение в токовый канал вспышечного волокна холодного вещества находящегося рядом протуберанца. Появление в горячей плазме токового канала большого количества нейтралов приводит к тому, что проводимость ее будет определяться не формулой Спитцера { т Тп) для полностью ионизованной плазмы, а более сложной формулой Каулинга (см., например, [14, 48, 175]), основанной на обобщенном законе Ома. В этом случае проводимость плазмы может оказаться на несколько порядков ниже.
Эта интересная модель вспышки встречается, однако, с двумя трудностями: 1. для ее реализации требуется непосредственный контакт горячего вспышечного волокна с холодным волокном протуберанца, т.е. морфология вспышки должна быть жестко определенной; 2. для быстрого физического перемешивания холодного вещества протуберанца с горячей плазмой вспышечной петли необходим процесс быстрого пересоединения магнитных силовых линий двух конфигураций; протуберанца и вспышечной петли. Одной идеальной МГД-неустойчивости, приводящей к контакту магнитных поверхностей, для этого недостаточно: если холодное и горячее вещество останутся каждое на «своих» магнитных силовых линиях, то и проводимость горячего вещества вспышки, как бы не изменялась (при желобковой, вещества вспышки, как бы не изменялась (при желобковой, например, неустойчивости) геометрическая форма занятого им объема, останется неизменной, и ток в электрическом контуре не претерпит существенных изменений.
Если же допустить возможность быстрого пересоединения магнитных силовых линий в области контакта горячей вспышечной петли и холодного протуберанца, то этот процесс, будучи в высокой степени «экзотермическим», приведет к быстрому прогреву вторгающегося в токовый канал холодного вещества, и весь эффект возрастания электрического сопротивления контура, связанный с появлением нейтралов, исчезнет.
Не вдаваясь далее в анализ огромной литературы, посвященной проблеме солнечных вспышек, отметим, что в соответствии с указанным разделением вспышек на два основных класса при их моделировании в качестве исходных магнитных конфигураций рассматривают, главным образом, две основных магнитных структуры: магнитную аркаду [19, 40, 48, 86, 98, 101, 113, 120, 127, 142, 150, 175, 199, 213] и скрученную магнитную трубку (магнитный жгут) [47,49,59, 62-64, 86, 109-110, 140, 170, 171, 175, 188-192,216]..
Впрочем, сразу следует отметить, что между этими двумя магнитными конфигурациями нет резкой границы: горизонтально расположенный магнитный жгут, частично погруженный в фотосферу (когда его осевая линия находится на фотосфере или несколько выше-ниже), образует типичную магнитную аркаду.
С другой стороны, когда замкнутая магнитная аркада переходит частично в открытую конфигурацию, то на ее вершине формируется волокно, в форме магнитного жгута-плазмоида [86, 96-98, 127, 213], который в результате пересоединений приобретает определенную «самостоятельность», его динамика начинает определяться, главным образом, балансом давлений и натяжений искривленных силовых линий внутри самого жгута, характерная жгутовая структура магнитного поля начинает играть доминирующую роль, и это приводит к быстрому выбросу плазмы и раскручиванию магнитного поля, т.е. - к образованию СМЕ (coronal mass ejection).
Основные проблемы, которые решаются в МГД-моделях солнечных вспышек, - это проблема накопления свободной (связанной с электрическими токами) магнитной энергии на пред вспышечной стадии и проблема установления причины, приводящей к смене режима — т.е. переходу от медленной предвспышечной стадии к стадии быстрого энерговыделения.
Стационарные течения плазмы в аксиальносимметричных магнитных конфигурациях
Следующее упрощение, которое можно ввести в систему уравнений магнитогидростатики, состоит в том, что в физике лабораторной плазмы и в астрофизике достаточно часто встречаются такие ситуации, когда сильные и заведомо непотенциальные магнитные поля существуют равновесно (или квазирав но весно) в разреженной плазме с малым значением газового давления (так называемый плазменный параметр, определяемый отношением газо вого давления к магнитному, очень мал: Обращаясь в этом слу в чае к уравнению равновесия (28), мы видим, что магнитная сила должна быть близка к нулю, при том, что rotB . Это означает, что в такой системе электрические токи текут вдоль магнитных силовых линий, и потому магнитная сила оказывается исчезающе малой. Такие магнитные поля называются бессиловыми. Они представляют большой интерес как для физики лабораторной, так и космической плазмы в качестве токонесущих конфигураций плазмы и магнитного поля, способных концентрировать в себе значительный запас свободной магнитной энергии [I, 7, 14, 37, 48, 49, 60-65, 170, 175]. Уравнение равновесия такого магнитного поля имеет вид:
Здесь а(г)- псевдоскалярная функция координат. Из уравнений (38) вытекает очевидное следствие: означающее, что а(г) сохраняет свое значение вдоль магнитной силовой линии. В том случае, когда а(г) = const, бессиловое магнитное поле называется линейным, в противном случае имеется в виду бессиловое поле более общего вида (хотя уравнения (38) линейны относительно поля В, бессиловое поле с произвольной зависимостью а(г) иногда называют нелинейным полем).
Бессиловые магнитные поля широко исследовались, начиная еще с 50-х годов прошлого века [115, 151, 152, 214, 215]. Они обладают целым рядом очень интересных свойств. Так, можно показать, что в замкнутой магнитной системе при идеальной проводимости линейное бессиловое поле представляет собой состояние с минимальной энергией [48, 65, 214,215].
Одно из замечательных свойств бессилового магнитного поля состоит в том, что оно не может существовать во всем пространстве, если на бесконечности его модуль убывает не медленнее, чем г"1 2 (теорема ви риала [36, 37, 89]. Это означает, что при рассмотрении реальных магнитных конфигураций, в которых поле достаточно быстро убывает на бесконечности, область бессилового магнитного поля обязательно должна быть ограничена некоторыми «стенками», т.е. такими поверхностями, на которых магнитные напряжения не обращаются в нуль, а имеющееся бессиловое решение «сшивается» с некоторым «силовым» решением.
Согласно теореме вириала, мы фактически всегда должны рассматривать «силовые» в целом магнитные структуры, но зачастую с бессиловой внутренней «начинкой». Граничный слой, в котором происходит переход от бессилового магнитного распределения к силовому, как правило, оказывается довольно тонким. Типичный пример — солнечное пятно. Эта структура явно силовая, поскольку само образование пятна и его потемнение обусловлено воздействием магнитного поля на плазму, на конвективный теплоперенос, но в то же время распределение магнитного поля над солнечным пятном и внутри магнитной силовой трубки пятна очень близко к бессиловому [56, 60]. Переходный, граничный слой, отделяющий силовую трубку пятна от окружающей ее более горячей фотосферы очень тонок - всего около 100 км.
Существует ряд решений уравнений (38) (поля с плоскими интегральными поверхностями [41], некоторые аксиальносимметричные конфигурации [151, 152]), для которых указанная теорема не имеет места, поскольку в них поле не исчезает на бесконечности, и, соответственно, интеграл, определяющий полную магнитную энергию системы, расходится. Однако, это вовсе не означает, что решения такого типа нельзя применять для описания магнитных полей в ограниченной области пространства. Важно только помнить, что указанная расходимость носит чисто геометрический характер и обусловлена лишь высокой степенью идеализации реальной структуры поля. Так, имея дело с. цилиндрически симметричным распределением, следует учитывать, что вследствие соленоидального характера магнитного поля (di\B = 0), мы, фактически, должны иметь в виду замкнутую (скажем, тороидальную) конфигурацию магнитного поля. Однако, если радиус кривизны тора Л достаточно велик по сравнению с радиусом его поперечного сечения (/?» а, см. Рис. 15), то мы с высокой степенью точности можем использовать цилиндрические распределения поля.
В исследовании систем дифференциальных уравнений широкое применение находит симметрийный анализ, основанный на теории групп [87]. Этот метод является весьма эффективным средством исследования наиболее общих свойств дифференциальных уравнений. Классические симметрии системы (38) изучались и ранее (см., например, [39]). Вообще, все основные уравнения физики подвергаются такого рода анализу, но работ по бессиловым полям известно очень немного. Так, в [39] было получено для бессилового магнитного поля 11 дифференциальных операторов симметрии 1-го порядка, из которых только 5 были л невскими операторами.
Это обстоятельство породило ряд вопросов. Во-первых, необходимо было выяснить, все ли операторы симметрии бессилового магнитного поля были найдены в работе [39]? Во-вторых, действительно ли система уравнений (38) допускает нели-евские операторы симметрии?
Для поиска ответов на поставленные вопросы нами и было проведено исследование, изложенное в данном разделе. Поскольку характер этого исследования достаточно специфичен, основные математические понятия и определения, используемые в симметрийном анализе дифференциальных уравнений, вынесены нами в Приложение к диссертации.
По определению, оператором симметрии X линейного уравнения называется оператор, переводящий решения этого уравнения в решения этого же уравнения, то есть, если Гф = 0, то и FX(fi) = 0....
Тривиальным оператором симметрии уравнения (42) называют оператор, переводящий в ноль любое решение этого уравнения.
Известно, что, если F- линейный оператор, то достаточно найти только линейные операторы симметрии. Следовательно, поскольку (38) представляет собой систему линейных (относительно В) дифференциальных уравнений, то достаточно найти только линейные дифференциальные операторы симметрии.
Определяющее уравнение для операторов симметрии уравнения (42) имеет вид: FX = YF С43) где Y есть некий вспомогательный линейный оператор, подлежащий определению наряду с X. Систему уравнений (38), или, точнее, систему JivB = 0, 1 (44) flf(r)-B-/v(B = Oj представим в операторном виде FB = 0, где F есть матричный оператор
Символ dk используется для обозначения дифференцирования по соответствующей декартовой координате. Таким образом, F представляет собой матричный оператор порядка 4x3, где F = f+ccE, fy =sysdlt Е- единичная матрица. Число строк матрицы F соответствует числу уравнений системы (44), а число столбцов - числу неизвестных системы (то есть компонент вектора В). Функция а(т) считается произвольно заданной. Здесь и далее в настоящем разделе верхний значок (крышку) мы будем использовать для обозначения матриц порядка 3x3.
Геометрия магнитной аркады и бессиловое решение
При фиксированном значении бессилового параметра а топологическая катастрофа в системе может быть также вызвана, как следует из (83), или уменьшением параметра k (что означает подъем магнитного поля аркады в корону) или относительным увеличением напряженности продольного поля аркады Ь0 по сравнению с поперечным магнитным полем В0, непосредственно формирующим аркадную структуру. Рисунки 9 и 10 наглядно иллюстрируют обе эти возможности, В реальных ситуациях могут одновременно изменяться все три параметра системы:
Поведение формы осевой линии аркады II при росте бессилового параметра а. Принято, как и на Рис 7: А = 0.65; k= 1, но значение бессилового параметра а меняется в более широких пределах. Значение а = 1.169 соответствует знаку равенства в условии (83). При а 1,169, в частности, при а = 1.5 возможна только открытая магнитная конфигурация.
Значение Аг = 0.3 соответствует знаку равенства в условии (83/ При меньших значениях обратной шкалы высот возможна только бессиловая конфигурация с открытыми магнитными силовыми линиями. 25-го
Графическое изображение магнитного поля закрытой аркады вблизи начала координат при следующих значениях параметров: а = 3, k = 0.5, 60 =1, Ва= 20 Неравенство (83) выполнено: Таким образом, важнейшее и необходимое свойство вспышечной магнитной аркады - претерпевать при определенных значениях параметров системы топологическую катастрофу, радикальную перестройку магнитных поверхностей - находит в исследуемом решении (73)-(79) простое и отчетливое выражение.
Обратимся теперь к изучению второго необходимого свойства вспышечной магнитной аркады - к способности запасать свободную магнитную энергию при возрастании бессилового токового параметра а.
Пользуясь полученными выше формулами, рассчитаем полную магнитную энергию аркады и найдем ее зависимость от бессилового параметра а при условии сохране ния магнитного потока аркады
Расчеты проведем для случая \л4ссг + к1 -1, т.е. когда система находится на грани топологической катастрофы. Этот случай наиболее интересен с физической точки зрения и относительно прост в математическом отношении. При расчетах учтено также, что на концах аркады, при у = 0 и у = я поле обращается в нуль. Вычисления дают:
В (87) для краткости записи обозначено s = Vor2 + к2. Зависимость W(a,k) рас-считывалась численно при нескольких значениях к.
Зависимость свободной магнитной энергии аркады W от бессилового(токового) параметра а при различных значениях обратной шкалы высот к и сохраняющемся магнитном потоке Ф. Принято энергии потенциальной аркады, которая равна 1ф) = - . Если принять для оценок В0 =200Гс и учесть, что в соответствии с принятой в данной модели нормировкой длин к измеряется в единицах nrVv, то при к = 1 получим: (0) = 1.6x1011 эрг. Как видно из рис. 12, если К1, то уже при ог = 3 свободной магнитной энергии, запасаемой в аркаде, вполне достаточно для обеспечения крупной солнечной вспышки, поскольку получается, что рост свободной магнитной энергии в системе с увеличением а значительно замедляется. Получается, что запасать необходимое для производства большой вспышки количество магнитной энергии могут только достаточно высокие аркады, поле которых проникает без заметного ослабления до высот в десятки тысяч км (напомним еще раз, что в качестве единицы масштаба в данной задаче выбрана величина / = 10 с.и = ЮМм = 10 тысяч км).
Большая энергоемкость рассмотренной магнитной аркады может вызвать вопросы в связи с тем, что в свое время Али в работе [94, 95] на основе теоремы вир нала показал, что в бессиловой магнитной конфигурации перемещениями концов ее магнитных силовых линий на фотосфере нельзя запасти энергии больше, чем величина энергии полностью открытой магнитной конфигурации, имеющей то же самое распределение нормальной составляющей магнитного поля на фотосфере. Ограничения на величину энергии, запасаемой в бессиловом поле над фотосферой, получены и в работе [199]. Эта же проблема обсуждается в [212, 213]. Данный вывод может показаться противоречащим нашему результату о неограниченном росте магнитной энергии системы с повышением параметра а. На самом деле, противоречия нет, поскольку в указанных выше работах обсуждается изменение энергии системы при фиксированном, не зависящем от параметров системы, распределении нормальной компоненты поля на фотосфере: В:(хуу,0) = const. В нашей модели, согласно (75), (78), это распределение не фиксируется, его конкретный вид зависит от всех трех основных параметров задачи: от бессило А / вого параметра а, обратной шкалы высот к и от величины отношения yR
В нашей постановке задачи сохраняющейся величиной является не само распределение нормальной составляющей поля на фотосфере, а лишь интеграл от него, т.е. величина Ф- магнитный поток поля в.(х,у,0) в аркаде (формула (85)). Это значительно более слабое условие, по сравнению с условием В.(х,у\0) = const. Оно и обеспечивает полученную зависимость W(a,k). Нам представляется, что такой подход физически лучше обоснован, чем предельно жесткое условие В_[х,у.0) = const. Уровень разрешения фотосферных магнитограмм не дает основания утверждать, что на предвспышечной стадии распределение магнитного поля на фотосфере, под вспышечным волокном-аркадой, остается совершенно неизменным. С определенной долей уверенности можно говорить лишь о сохранении интегральной величины — магнитного потока в аркаде: на предвспышечной стадии условие вмороженности магнитного поля в плазму выполняется очень хорошо, поэтому количество силовых линий, формирующих аркаду, должно оставаться неизменным.
Сила реакции излучения. Затухающие колебания магнитной петли
Статическое бессиловое решение, которое получается из найденного выше общего решения при g = 0 и S(z) -1, в свое время впервые позволило с высокой точностью описать пространственное распределение всех трех компонент магнитного поля в наблюдаемых слоях типичного солнечного пятна (Соловьев [60]). Разумеется, как и всякая бессиловая конфигурация, магнитное поле пятна (в соответствии с теоремой вириала) не может быть бессиловым всюду, во всем пространстве — граница между магнитной силовой трубкой пятна и окружающей фотосферой носит «силовой характер»: скачок магнитного давления уравновешивается здесь соответствующим скачком газового давления. Однако, распределение магнитного поля внутри силовой трубки пятна, резко расширяющейся по мере ее выхода в верхние слои солнечной атмосферы, очень близко к бессиловому.
Проанализируем отдельно ситуацию в центральной части (тени) солнечного пятна, где магнитное поле преимущественно вертикально, а стационарные течения плазмы отсутствуют, и в полутени, где доминирует горизонтальная составляющая поля и имеются течения Эвершеда.
В тени пятна решение уравнений магнитогидростатики можно представить как сумму бессилового, [rotB х В] = 0, divB = 0, решения и чисто гидростатического распределения давления и плотности:
Правда, как уже отмечалось выше, для устранения особенностей бессилового (или, в более простом случае, потенциального) распределения поля в глубоких слоях пятна, а также для детального согласования магнитогидро-статических моделей пятна с современными эмпирическими моделями пятен, приходится вводить в бессиловое распределение определенные «силовые» поправки [55, 56]. Этот фактор, наряду с влиянием четко выраженной силовой границы магнитной трубки пятна, и приводит к иному, чем в фотосфере, температурному распределению в солнечном пятне: при этом условие вертикального гидростатического равновесия остается необходимым условием модели.
В полутени солнечного пятна, благодаря большому наклону вектора магнитного поля по отношению к вертикали, для приближенного описания изменения плотности газа с глубиной можно воспользоваться гипотезой, которая обычно применяется при выводе обобщенного уравнения Грэда-Шафранова (20). Будем считать, что плотность плазмы, является, как и давление, функцией только магнитного потенциала р = pQY). Поскольку в полутени пятна магнитные поверхности располагаются практически горизонтально, то сделанное предположение фактически не отличается от обычного условия: p = p(z). (В тени пятна, где магнитные поверхности расположены почти вертикально, гипотеза р = р{ ) применяться не может).
Для целей дальнейшего анализа уравнение движения жидкости (16), которое мы здесь перепишем в виде уравнение, учитывающее, что течения плазмы происходят вдоль магнитных силовых линий (при этом уравнения (17) удовлетворяются автоматически); p[rolVxV] = -VP pV(U + —) (143) - стационарное распределение давления, плотности и течении плазмы при наличии сил тяжести.
В уравнении (142) (4/) - некоторая функция магнитного потока, поэтому ее градиент всюду направлен по нормали к магнитной поверхности:
Таким образом, мы находим, что в полутени солнечного пятна (при наличии бессилового магнитного поля и сонаправленных стационарных течений) имеет место гидростатическое распределение, но с несколько измененным значением ускорения свободного падения,
В полутени пятна скорость эвершедовых течений составляет около 2 км/с, напряженность магнитного поля 2 кГс. Тогда для К мы получаем порядковую оценку К = 100 (——). В качестве характерного масштаба про с-Гс странственного изменения магнитного поля в полутени пятна можно принять несколько сотен километров, например, 400 км — такова ее характерная тол щина по современным оценкам [45]. В этом случае
Учитывая, что на поверхности Солнца ускорение силы тяжести равно 2.74-104 см /с-2, мы обнаруживаем, что второе слагаемое в правой части выра жения (145) почти на три порядка меньше, чем первое! Причина этого явле ния состоит, очевидно, в том, что в полутени пятна и альвеновская скорость (К, - В/, \07см/с), и скорость эвершедовых течений (около 105аи/с)зна чительно меньше скорости звука (около 106с.и/с), так что газовое давление играет определяющую роль; и мы получаем, что в полутени солнечного пят на, несмотря на наличие в ней весьма впечатляющих с наблюдательной точки зрения течений плазмы и достаточно сильного магнитного поля, фактически реализуется чисто гидростатическое распределение.
В этом, очевидно, и состоит простое объяснение удивляющего исследователей факта, что гидростатические модели полутени — образования, на первый взгляд, явно динамического! — всегда давали вполне удовлетворительное и даже хорошее совпадение с эмпирическими моделями, основанными на данных наблюдений [45, 162].
Одним из довольно часто наблюдающихся в линии Яв структурных элементов солнечной атмосферы являются кольцевые волокна (см., например, [35]), имеющие вид практически правильного горизонтально расположенного тора с характерным разрывом на одном-двух участках, которые, тем не менее, выделены по своим физическим (и, соответственно, излучатель-ным) характеристикам на общем фоне и называются «каналом волокна». Совершенно очевидно, что в основе структуры такого кольцевого волокна лежит магнитное поле соответствующей формы.
В данном разделе будет рассмотрена простая МГД-модель равновесная магнитостатическая модель кольцевой магнитной конфигурации, основанная на следующих наблюдательных фактах и связанных с ними предположениях:
1, Аксиальная симметрия системы. Для целей настоящего исследования мы будем пренебрегать наличием разрыва в волокне, рассматривая его (волокно) как лежащее в горизонтальной плоскости идеальное кольцо с радиусом кривизны Я Будем использовать, естественно, цилиндрическую систему координат с осью z, направленной вертикально вверх и началом координат в центре симметрии кольца (рис.23).