Содержание к диссертации
Введение
1 Магнитная силовая трубка - нелинейная струна (Нерелятивистский случай) 24
1.1 Введение 24
1.2 Лагранжевы координаты 24
1.3 Вывод уравнения нелинейной струны
1.4 Частный вариационный принцип 34
1.5 Характеристики уравнения нелинейной струны 37
1.6 Нелинейная струна в гравитационном поле точечного источника 38
1.7 Нелинейная струна в криволинейных координатах 45
1.8 Анализ результатов 47
2 Релятивистская магнитная силовая трубка 49
2.1 Введение 49
2.2 Уравнения релятивистской магнитной гидродинамики . 51
2.3 Лагранжевы координаты 54
2.4 Вариационный метод 60
2.5 Характеристики уравнения релятивистской нелинейной струны 65
2.6 Релятивистская магнитная силовая трубка в метрике Керра 70
2.7 Обобщенный механизм Пенроуза 74
2.8 Анализ результатов 79
3 Численное моделирование движения релятивистской нелинейной струны в эргосфере 83
3.1 Введение 83
3.2 Подготовительный этап моделирования. Численные схемы 83
3.2.1 Нормализация уравнений 84
3.2.2 Консервативная форма уравнения струны 85
3.2.3 Полное давление 86
3.2.4 Вычисление плотности 86
3.2.5 Начальное состояние 87
3.2.6 Граничные условия 88
3.2.7 Черепашья переменная 88
3.2.8 Контроль ошибки 89
3.2.9 Начальные параметры 89
3.3 Результаты численного моделирования 90
3.3.1 Фаза накопления 90
3.3.2 Извлечение энергии. Выброс 98
3.3.3 Извлечение энергии. Спиральные волны ИЗ
3.4 Поведение ошибки 121
3.5 Анализ результатов 123
Литература
- Вывод уравнения нелинейной струны
- Уравнения релятивистской магнитной гидродинамики
- Релятивистская магнитная силовая трубка в метрике Керра
- Консервативная форма уравнения струны
Введение к работе
Магнитосферная и гелиосферная физика уже давно перешагнули собственные границы, и развитые там методы с успехом применяются к другим более экзотическим объектам (магнитосферы других планет, пульсары, нейтронные звезды). Это происходит вследствие того, что во Вселенной существует удивительное разнообразие магнитосферно-подобных структур и фундаментальных процессов в космической плазме, при исследовании которых применимы уже известные, хорошо зарекомендовавшие себя методы. Не является исключением и данная работа.
Настоящая диссертация посвящена исследованию поведения тестовой релятивистской магнитной силовой трубки в окрестности вращающейся черной дыры. Данная работа основана на возможности извлечения энергии из черной дыры Керра посредством магнитной силовой трубки (нелинейной струны). Теоретические предпосылки для такой возможности, основанные на классическом механизме Пенроуза [57, 58, 33], описаны в работах [67, 69]. Однако теоретические предположения не давали полной уверенности в возможности реализации подобного механизма. Для того чтобы их проверить, был проведен численный эксперимент, который, во-первых, полностью подтвердил возможность извлечения энергии из черной дыры посредством магнитной силовой трубки, а во-вторых, что немаловажно, численное моделирование позволило выделить и исследовать основные этапы предложенного механизма. Численное моделирование показало, что извлечение энергии может происходить двумя путями: в виде выброса частей силовой трубки с избыточными энергией и моментом из эргосферы или в виде выхода из эргосферы
спиральных волн положительной энергии. Моделирование также продемонстрировало, что извлечение энергии сопровождается формированием магнитных спиралевидных структур над полюсами эргосферы, которые можно интерпретировать как начало формирования джета.
Актуальность темы. В последнее время в связи с бурным развитием внеатмосферной астрономии резко вырос интерес к различного рода астрофизическим объектам, в окрестности которых наблюдаются высококоллимированные и ускоренные до релятивистских скоростей потоки плазмы.
Самое интересное, что подобные феномены наблюдаются в окрестности совершенно различных на первый взгляд объектов. Во-первых, в окрестности сравнительно небольших по астономическим меркам объектов порядка нескольких солнечных масс (объекты Хербига-Аро, биполярные туманности, оптические джеты). Во-вторых, в окрестности объектов, масса и размеры которых сравнимы с галактическими (ядра активных галактик, квазары и, по-видимому, источники 7-вспышек) [27, 35, 56, 64]. Интересно отметить что, несмотря на столь различные свойства самих объектов, свойства плазменных потоков в их окрестности имеют некоторые очевидные подобия. Как в первом, так и во втором случае ускоренные потоки направлены вдоль оси вращения и, как правило, являются биполярными (т.е. направлены в обе стороны от объекта), хотя иногда встречаются и однополярные. Кроме того, в обоих случаях джеты имеют характерную узелковую структуру. Основные же отличия заключаются в различных масштабах подобных явлений и, соответственно, в заключенной в них энергии. В случае звездноподобных объектов масштабы явлений имеют порядок парсека 0.01 — 2 пк, со скоростями энерговыделения достигающими значений 1037 — 1038 эрг/с [44, 45, 55]. В случае же галактических объектов масштабы плазменных потоков имеют размеры порядка значений 0.1 — 1 Мпк, со скоростями энерговыделения, имеющими значения 1044 — 1052 эрг/с [53].
Несмотря на столь огромные различия в значении величин, на сего-
-J
к о
го о
а а
оо -4
Chandra X-Rav
дняшний день считается, что за явления, связанные с истечением плазмы в виде ускоренных высококоллимированых потоков, ответственно магнитное поле, пронизывающее окружающую плазму, хотя источники энергии в обоих случаях очевидно имеют различную природу. Для маломассивных объектов это, скорее всего, протозвезды т.е. молодые звезды, еще не успевшие встать на главную последовательность и избавляющиеся от лишней массы и углового момента, или старые звезды, уже закончившие свой эволюционный путь и сбрасывающие внешнюю плазменную оболочку [27]. Для крупномасштабных объектов, таких как ядра активных галактик или квазары, центральным источником энергии, по всей видимости, являются гигантские черные дыры с массами ~ 106Mq.
Возможность существования черных дыр непосредственно следует из общей теории относительности [3]. Довольно долго они оставались чисто теоретическими объектами, пока в начале 60-х годов прошлого века в связи с открытием квазаров к ним заново не вырос интерес как к источнику необычайно большой светимости, наблюдаемой у квазаров. С тех пор количество наблюдаемых явлений, ответственными за которые считаются черные дыры, многократно выросло. На сегодняшний день считается почти достоверным, что черные дыры действительно существуют, причем кандидаты в черные дыры открыты как в области звездных масштабов (Лебедь Х-1), так и в галактических (галактика М87) [31, 63].
До середины прошлого века считалось, что основным источником излучения в галактиках являются звезды, следовательно большая часть энергии, излучаемой галактикой, должна вырабатываться в результате реакций термоядерного синтеза в звездах. Однако, позже были открыты различные типы галактик, активность которых связана не со звездами, а с мощным выделением энергии в относительно небольшой ядерной части галактики < 1 пс. Причем активность подобных объектов характеризуется очень большой светимостью 1042 — 1052 эрг/с, для сравнения светимость нашей Галактики составляет 1044 эрг/с.
Для активных галактик характерно наличие следующих свойств.
Во-первых, нетепловой вид спектра от радио до гамма диапазона, переменность видимого блеска с периодом от 10 минут (в рентгеновском диапазоне) до 10 лет в оптическом и радио диапазонах. Во-вторых, наличие широких эмиссионных линий в спектре, говорящих о движениях горячего газа с большими скоростями. В третьих, спектральные и поляризационные особенности, которые могут говорить, например, о наличии магнитного поля и его структуре.
До сих пор нет окончательного ответа, что же является источником столь мощного энерговыделения. Исторически первой была выдвинута модель, предполагающая наличие в центре галактики плотного массивного звездного скопления, в котором много молодых звезд с большой светимостью, однако расчеты показали, что источники энергии, основанные на термоядерном синтезе, не могут обеспечить столь большой светимости [56].
Другие модели были основаны на открытии в 1967 году пульсаров. В моделях, выдвинутых Моррисоном и Рисом, предполагается, что именно пульсары ответственны за необычно высокую активность отдельных галактик. Моррисон выдвинул гипотезу о существовании сверхгигантской магнитной звезды (~ 106 — 108Mq), которая действует подобно гигантскому пульсару в центре активной области [54]. В свою очередь, Рис предположил, что ядра могут содержать области с огромным количеством пульсаров ~ 106 — 108, оси вращения которых согласованы, что и приводит к их суммарной высокой активности [65]. Однако эти теории не прошли проверку временем.
Физическая модель активности ядер галактик должна прежде всего объяснить две вещи: высокую степень коллимации потоков плазмы и механизм передачи энергии вдоль струи, размер которой может быть порядка 1 Мпк. В случае столь больших масштабов электроны в дже-те успеют высветить всю свою энергию, которую необходимо каким-то образом восполнять, потери энергии происходят за счет синхротронного излучения, именно поэтому наблюдаемый спектр является нетепловым.
Большинство специалистов на настоящий момент полагают, что в основе механизмов, отвечающих за подобные явления, лежит аккреция вещества, пронизанного магнитным полем, на центральный объект [35, 36, 37, 62].
Наиболее популярным механизмом, объясняющим галактическую активность (образование коллимированых джетов), на сегодняшний день, считается механизм Блендфорда-Знаека [36].
В основе этого механизма лежит явление униполярной индукции [28,15]. В этой модели предполагается, что магнитное поле, первоначально пронизывающее аккреционный диск вследствие чрезвычайно большой проводимости космической плазмы вморожено во вращающуюся в диске материю. В результате вращения поперек черной дыры генерируется огромная разность потенциалов, достигающая значений Ю^В. Эта разность потенциалов будет заставлять течь токи вдоль магнитных силовых линий из диска, что в конечном итоге приводит к отбору энергии вращения от черной дыры и транспортировке ее наружу в виде вектора Пойнтинга [31]. Однако предложенная модель имеет существенные недостатки, т.к. рассматривает стационарные бессиловые решения осе-симметричной начальной конфигурации магнитной плазмы в окрестности черной дыры, что кажется маловероятным для материи, аккрецирующей на черную дыру. Более подробная критика описана в работе [63].
В данной работе сделана попытка исследования поведения намагниченной плазмы (плазмы в магнитном поле) в окрестности вращающейся черной дыры. Однако, рассмотрение подобного процесса сталкивается с большими трудностями, как для аналитики, так и для численного моделирования. Можно отметить, что большинство современных моделей релятивистского джета основаны на осесимметричных, а зачастую и стационарных решениях уравнений релятивистской магнитной гидродинамики, в то время как в реальности задачи существенно трехмерны, нестационарны и нелинейны. Таким образом, возникает необходимость в существенном упрощении рассматриваемой задачи, однако это упрощение
следует проводить достаточно осторожно, так как с одной стороны необходимо значительно упростить задачу, а с другой необходимо построить модель, с помощью которой можно исследовать все основные свойства рассматриваемого явления. Для этой цели был использован опыт, накопленный в области физики, на первый взгляд очень далекой от рассматриваемой задачи - физики магнитосферы.
В ряде задач, изучаемых в физике магнитосферы и Солнца, часто более удобно бывает рассматривать плазму не как набор заряженных частиц, движущихся в магнитном и электрическом полях, а как набор магнитных силовых трубок. Зачастую такое представление дает простой и удобный способ разобраться в физике довольно сложных явлений, не прибегая к трудоемким и долгим вычислениям; в некоторых случаях такое представление оказывается единственным способом разобраться в физике процесса.
Магнитосфера представляет собой очень сложную динамическую систему, однако для того чтобы понять основные ее свойства, как это ни странно, достаточно рассмотреть поведение одной-единственной уединенной (тестовой) магнитной силовой трубки. Такую трубку можно выделить из межпланетного магнитного поля и проследить ее движение от Солнца к Земле и ее взаимодействие с магнитосферой. Это можно сделать благодаря тому, что в магнитной гидродинамике имеется свойство вмороженности магнитных силовых линий в плазму, что позволяет метить магнитные силовые трубки частицами плазмы и тем самым их индивидуализировать. Наличие максвелловских натяжений вдоль силовой линии часто служит основанием для аналогии между магнитной силовой трубкой и резиновой нитью или жгутом, т.е. объектом, способным растягиваться и сжиматься. Во многих случаях представление о силовой трубке как о пружине позволяет дать ясное качественное описание сложных явлений. Классическим примером служит альвеновская волна, которая часто интерпретируется в терминах струны. В магнитной гидродинамике аналогия между силовой трубкой и пружиной, или точнее, нелинейной струной, имеет не только качественный, но, что гораз-
до важнее, количественный характер. На основе этой идеи разработан метод, позволяющий сводить ряд трудных магнитогидродинамических задач, в том числе трёхмерных и нестационарных, к последовательности двумерных задач для нелинейных струн - силовых трубок [24, 71, 60].
Данный метод был успешно применен к проблеме взаимодействия солнечного ветра с магнитосферой, что подтверждают многочисленные спутниковые измерения [25]. Классическим примером подобного подхода может служить открытая модель магнитосферы Данжи, которая позволяет естественным образом объяснить зависимость динамики магнитосферы от межпланетного магнитного поля [41, 18, 19], что было хорошо продемонстрировано в работах [7, 75].
Выделение отдельного представителя - уединенной магнитной силовой трубки из солнечного ветра и рассмотрение ее движения может выявить основные черты взаимодействия солнечного ветра с магнитосферой. Поведение такой тестовой силовой трубки в солнечном ветре существенно зависит от значений параметров Рейнольдса и Маха-Альвена.
Параметр Маха-Альвена определяет, какие эффекты будут определять поведение плазмы: динамические или магнитные [1]. При движении силовой трубки от Солнца к Земле на первом этапе основным параметром, отвечающим за ее поведение, является динамическое давление, в то время как магнитные явления не так существенны (^- ^> |^). Далее, в процессе движения магнитные силовые трубки натыкаются на магнитосферу Земли, скорость их падает - происходит образование магнитного барьера [18]. Магнитопауза препятствует проникновению магнитного поля солнечного ветра внутрь магнитосферы. Неоднородность обтекания плазмой солнечного ветра магнитосферы Земли приводит к тому, что в подсолнечной точке скорость силовой трубки падает до нуля, в то время как другие ее части, вследствие вмороженности в плазму солнечного ветра, продолжают движение [7]. В результате силовая трубка вытягивается, магнитное поле В сильно возрастает, а плотность р падает. При этом меняется и соотношение давлений: динамического и маг-
нитного (^- <С ^). Явления, связанные с магнитным полем, начинают доминировать, образуется магнитный барьер [7].
Монотонное растяжение силовой трубки, а следовательно и накопление магнитной энергии не может подолжаться бесконечно, должен быть какой-то процесс, который снимает с магнитопаузы часть накопившегося магнитного потока. Таким процессом является пересоединение магнитных силовых линий [59, 17, 20]. Пересоединение на дневной стороне магнитопаузы происходит, когда магнитные силовые линии солнечного ветра имеют южное направление. Образование магнитного барьера, описанное выше, вызывает усиление токов на дневной стороне магнитопаузы. Вследствие нестабильности токового слоя возникают условия, необходимые для начала пересоединения. В процессе пересоединения меняется топология магнитного поля, что приводит к появлению открытых силовых линий и переносу магнитного потока с дневной стороны магнитосферы в ее хвост. На языке магнитных силовых трубок это выглядит как перезамыкание трубок солнечного ветра с трубками магнитосферы и переносу их в хвост магнитосферы. Открытые силовые линии с одной стороны привязаны к ионосфере, а с другой неограниченно простираются в межпланетное пространство (рис. 2).
По мере переноса в хвост часть открытой силовой трубки, вмороженной в плазму солнечного ветра, продолжает свое движение, в то время как другая ее часть остается фиксированной в ионосфере. Это опять же приводит к ее растяжению, а следовательно, к увеличению напряженности магнитного поля и падению плотности в долях хвоста. Таким образом, происходит монотонное накопление магнитной энергии в этой области, что естественно не может продолжаться бесконечно. В итоге в хвосте образуется ситуация, отчасти подобная той, которая имеет место на магнитопаузе. Пересоединение снимает накопившейся магнитный поток, преобразуя магнитную энергию во внутреннюю энергию плазмы и энергию ускоренных плазменных потоков [61, 20], которые, кстати сказать, и ответственны за полярные сияния.
і!
Рис. 2: Открытая модель магнитосферы Данжи позволяет естественным образом объяснить зависимость динамики магнитосферы от межпланетного магнитного поля.
Таким образом, как уже было сказано выше, при рассмотрении движения одной-единственной магнитной силовой трубки могут быть объяснены такие явления, происходящие в магнитосфере Земли, как:
о формирование магнитного барьера и накопление магнитного потока на дневной стороне магнитосферы;
о пересоединение на дневной стороне магнитопаузы;
о перенос магнитного потока с дневной стороны магнитосферы на ночную;
о накопление магнитной энергии в долях хвоста магнитосферы;
о пересоединение в хвосте магнитосферы.
Основные выводы, которые можно извлечь из опыта, накопленного в физике магнитосферы и полезного для нашего дальнейшего исследования:
о в первом приближении взаимодействие солнечного ветра и магнитосферы может быть описано в рамках струнного приближения;
о неоднородное движение плазмы приводит к накоплению максвел-ловских натяжений (магнитной энергии);
о релаксация максвелловских натяжений может быть реализована посредством процесса пересоединения магнитных силовых трубок.
Таким образом, эволюция одной-единственной силовой трубки дает ценную информацию относительно процессов, происходящих в магнитосфере Земли.
Следующим шагом нашего исследования является применение струнного подхода к другому, более экзотическому объекту, чем магнитосфера. На основе всего вышеизложенного, можно предположить, что описанный метод может быть применен к исследованию поведения намагниченной плазмы в окрестности других объектов, в частности, в окрестности
вращающейся черной дыры. Хотя эти объекты и имеют существенные различие, однако физика процессов, которые, как мы ожидаем, будут происходить в окрестности черной дыры Керра, должна быть схожа с процессами проистекающими в магнитосфере. Эта уверенность основана на том, что, как и в случае магнитосферы, струнное представление позволяет описывать процессы, связанные с накоплением и релаксацией максвелловских натяжений, а также с быстрым высвобождением магнитной энергии посредством процесса пересоединения.
Как и в случае изучения взаимодействия солнечного ветра с магнитосферой Земли [7, 75], намагниченную плазму в окрестности черной дыры Керра можно представить как набор магнитных силовых трубок (нелинейных струн) [47, 24, 71, 69], и далее по аналогии с [7, 75] исследовать поведение отдельного его представителя (тестовой релятивистской магнитной силовой трубки - релятивистской струны). Конечно, такое рассмотрение не сможет дать полной картины взаимодействия намагниченной плазмы с вращающейся черной дырой, однако, как и в случае изучения взаимодействия солнечного ветра с магнитосферой, некоторые основные аспекты такого процесса могут быть исследованы. В частности, может быть получен ответ на один из самых важных вопросов -вопрос о природе механизма, ответственного за отбор энергии от черной дыры.
Целью настоящей работы является исследование поведения тестовой релятивистской магнитной силовой трубки в метрике Керра. Методом такого исследования является численное моделирование, которое должно показать, верна ли наша гипотеза о возможности извлечения энергии и углового момента из черной дыры и их переноса к окружающей черную дыру плазме, что имеет важно значение для объяснения ускорения вещества и формирования джетов.
На защиту выносятся следующие положения:
Аналитическое исследование уравнений релятивистской магнитной силовой трубки. Сформулирован вариационный принцип, установлены законы сохранения углового момента и энергии для метрики Керра, найдены характеристики уравнения релятивистской струны. Показано, что струнный метод эффективен в ситуациях, когда главную роль играют процессы накопления и высвобождения максвел-ловских натяжений.
Проведенное численное моделирование показало, что при падении релятивистской силовой трубки на черную дыру Керра ее центральная часть непрерывно теряет угловой момент и энергию, в конце концов появляется участок струны с отрицательной энергией. В силу закона сохранения энергии оставшаяся часть струны приобретает энергию большую, чем вся первоначальная энергия струны целиком, тем самым происходит извлечение вращательной энергии из черной дыры.
На основе нелокального механизма Пенроуза исследовано явление генерации отрицательной энергии внутри эргосферы, что, в свою очередь, приводит к образованию избыточной положительной энергии и дальнейшему ее выходу из эргосферы, а в конечном счете - к извлечению энергии из черной дыры.
Показано, что на первом этапе движения магнитной силовой трубки в эргосфере происходит накопление избыточной положительной энергии и момента внутри эргосферы - фаза накопления. Она характеризуется удержанием и положительных, и отрицательных энергии и момента внутри эргосферы.
Обнаружено, что после фазы накопления наступает фаза высвобождения избыточных энергии и момента из эргосферы, которая характеризуется тем, что полная энергия и момент вне предела статичности имеют значения, превышающие начальные значения этих величин до взаимодействия струны с черной дырой. В результате происходит извлечение энергии и углового момента из эргосферы.
Показано, что процесс извлечения энергии из эргосферы может происходить двумя путями: во-первых, в виде центробежного выброса части струны с избыточным значением энергии и момента, во-вторых, в виде выхода из эргосферы спиральных волн, переносящих энергию и момент. Реализация того или другого способа зависит от начального значения магнитного поля.
Показано, что процесс извлечения энергии из эргосферы не зависит от начальной ориентации струны относительно оси вращения черной дыры, и в равной степени реализуется для произвольных начальных конфигураций.
Научная новизна:
Метод представления намагниченной плазмы в виде набора магнитных силовых трубок, хорошо зарекомендовавший себя в физике магнитосферы, впервые применен к такому объекту, как черная дыра Керра.
Проведенный численный эксперимент полностью подтвердил правомерность предложенного обобщения механизма Пенроуза на релятивистскую нелинейную струну. Впервые было показано, каким образом с помощью тестовой магнитной силовой трубки возможно извлечение энергии и момента из вращающейся черной дыры.
Численное моделирование показало, что процесс извлечения энергии и момента из черной дыры может проходить двумя путями: взрывообразно - в виде выброса части струны из эргосферы, и волновым образом - посредством выхода из эргосферы энергии и момента в виде спиральных волн.
Исследования показали, что процесс извлечения энергии и момента из черной дыры реализуется для произвольной начальной ориентации силовой трубки относительно оси вращения черной дыры, что
важно для рассмотрения аккреции вещества с начальным произвольно ориентированным магнитным полем.
Практическая ценность
Данное исследование дает новый взгляд на физику явлений, ответственными за которые считаются черные дыры.
Результаты, полученные в данной работе, могут быть использованы для попытки объяснения таких явлений, как джетовая активность в ядрах активных галактик, активность квазаров, исследование причин возникновения 7-вспышек.
Личный вклад автора. Автор принимал участие в аналитическом исследовании уравнений, описывающих релятивистскую магнитную силовую трубку, в разработке и реализации численного эксперимента и в анализе полученных результатов. Все изложенные в диссертации результаты получены автором самостоятельно или на равных правах с другими соавторами.
Апробация работы. Результаты исследований, представленных в работе, докладывались на международных конференциях:
International Conference on Substorms-5 (Санкт-Петербург, Россия, 16-20 мая 2000), V Международная конференция по гравитации и астрофизике стран азиатско-тихоокеанского региона (Москва, Россия, октябрь 2001), XXV ежегодный Апатитский семинар "Физика Авроральных Явлений" (Апатиты, Россия, 26 февраля - 1 марта 2002), 4th International Conference "Problems of Geocosmos"(Санкт-Петербург, Россия, 3-8 июня 2002), 9. International conference on theoretical physics (Париж, ЮНЕСКО, 22-27 июля 2002).
На всероссийских конференциях:
Всероссийская астрономическая конференция (Санкт-Петербург, Россия, 6-12 августа 2001).
Публикации. По теме диссертации опубликованы две статьи в научных рецензируемых журналах и две статьи в сборниках научных конференций.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 75 наименований, содержит 148 страниц машинописного текста, включая 32 рисунка.
Содержание работы.
Во введении обоснована актуальность темы исследования, представлен обзор литературы, сформулированы цель работы, основные положения, выносимые на защиту, отмечена научная новизна и практическая ценность работы, кратко изложено содержание работы.
Первая глава посвящена введению в рассмотрение такого объекта как нелинейная струна и изучению ее поведения в поле точечного тяготеющего центра, что является первым шагом на пути основного исследования и служит хорошей возможностью апробирования используемых в данной работе методов.
В параграфе 1.2 из общих соображений показано каким образом с помощью введения лагранжевых координат можно представить уравнение движения в виде уравнения нелинейной струны.
Параграф 1.3 посвящен строгому введению лагранжевых координат и выводу уравнения нелинейной струны.
В параграфе 1.4 рассмотрен частный вариационный принцип для струны и рассмотрен закон сохранения энергии для участка струны.
В параграфе 1.5 представлены характеристики уравнения струны,
рассмотрение которых позволяет очертить круг задач, которые могут быть исследованы в рамках струнного приближения.
Параграф 1.6 посвящен результатам численного моделирования поведения нелинейной струны в поле тяготения точечного источника. Моделирование показало, что поведение такого объекта как струна имеет коренное отличие от поведения пробной частицы. Это, в частности, проявляется в том, что свободная частица может быть захвачена тяготеющим центром только при одном условии - если частица имеет нулевой прицельный параметр. В то время как для струны, имеется целый набор ненулевых прицельных параметров, при которых она захватывается гравитационным полем.
В параграфе 1.7 показано, как выглядит уравнение струны в произвольных криволинейных координатах. Это сделано для того, чтобы иметь возможность сравнить два случая: релятивистский и нерелятивистский.
Параграф 1.8 посвящен суммированию результатов, полученных в параграфах 1.2-1.7.
Вторая глава посвящена введению в рассмотрение такого объекта, как релятивистская нелинейная струна, а также сделаны априорные предположения о характере движения такого объекта в метрике Керра.
В параграфе 2.1 кратко изложен классический механизм Пенроуза, который показывает, каким образом возможен процесс извлечения энергии из вращающейся черной дыры посредством распада в ней частицы.
Параграф 2.2 посвящен описанию уравнений релятивистской магнитной гидродинамики.
В параграфе 2.3 изложено введение лагранжевых координат в релятивистском случае, благодаря чему, как и в нерелятивистском случае, возможно описание намагниченной плазмы как набора магнитных силовых трубок - нелинейных струн.
Вариационный метод для релятивистской струны изложен в параграфе 2.4.
Параграф 2.5 посвящен исследованию характеристик уравнения релятивистской нелинейной струны. Показано, что как и в нерелятивистском случае, характеристики уравнения струны являются альвеновской волной и медленным звуком. Таким образом, струнное приближение позволяет рассматривать процессы, связанные с накоплением и релаксацией максвелловских натяжений, а также процессы, где происходит накопление и высвобождение магнитной энергии.
В параграфе 2.6 кратко описывается метрика Керра и ее сравнение с метрикой Шварцшильда, а также показано отличие в движении пробной частицы в обеих метриках.
Обобщение классического механизма Пенроуза на случай струны представлено в параграфе 2.7. Из общих соображений, основанных на выполнении законов сохранения для струны, предложен механизм, позволяющий извлекать энергию и угловой момент из вращающейся черной дыры.
В заключении главы, в параграфе 2.8, подведен краткий итог результатов, полученных в этом разделе.
Третья глава посвящена непосредственно моделированию движения тестовой силовой трубки в метрике Керра, а также анализам полученных результатов.
Подготовительный этап моделирования описан в параграфе 3.2. В него входят: приведение уравнений к консервативному и безразмерному виду, описание процедур вычисления плотности и полного давления, описание начального состояния струны, постановка граничных условий, введение черепашьей переменной, позволяющей уменьшить пространственный шаг, описание набора начальных параметров, которые использовались при моделировании, а также описан критерий, с помощью которого производится контроль ошибки вычислений.
Параграф 3.3 посвящен описанию результатов численного моделирования. В нем показано, что предложенное обобщение механизма Пен-роуза имеет место. Как следствие, в эргосфере генерируются избыточные энергия и момент. На первом этапе происходит фаза накопления, когда и положительные, и отрицательные составляющие энергии и момента локализованы в эргосфере. Однако процесс генерации энергии и момента - монотонный процесс, что в результате приводит к их высвобождению из эргосферы. Как показало моделирование, этот процесс может протекать двумя путями в зависимости от начального состояния струны. Во-первых, в виде выброса части струны, содержащей избыточное количество энергии и момента, из эргосферы. Во-вторых, в виде спиральных волн, выходящих из эргосферы и выносящих избыточные энергию и момент. Также важным результатом моделирования является тот факт, что оба механизма реализуются при произвольной первоначальной ориентации струны относительно оси вращения черной дыры.
В параграфе 3.4 исследовано поведение ошибки в процессе моделирования, что весьма существенно для интерпретации полученных результатов как достоверных. Помимо этого, такое исследование позволяет оценить перспективность дальнейших исследований с использованием данного численного метода.
Параграф 3.5 посвящен подытоживанию результатов, полученных в данной главе.
В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.
Вывод уравнения нелинейной струны
Научная новизна:
1. Метод представления намагниченной плазмы в виде набора магнитных силовых трубок, хорошо зарекомендовавший себя в физике магнитосферы, впервые применен к такому объекту, как черная дыра Керра.
2. Проведенный численный эксперимент полностью подтвердил правомерность предложенного обобщения механизма Пенроуза на релятивистскую нелинейную струну. Впервые было показано, каким образом с помощью тестовой магнитной силовой трубки возможно извлечение энергии и момента из вращающейся черной дыры.
3. Численное моделирование показало, что процесс извлечения энергии и момента из черной дыры может проходить двумя путями: взрывообразно - в виде выброса части струны из эргосферы, и волновым образом - посредством выхода из эргосферы энергии и момента в виде спиральных волн.
4. Исследования показали, что процесс извлечения энергии и момента из черной дыры реализуется для произвольной начальной ориентации силовой трубки относительно оси вращения черной дыры, что важно для рассмотрения аккреции вещества с начальным произвольно ориентированным магнитным полем.
Практическая ценность
Данное исследование дает новый взгляд на физику явлений, ответственными за которые считаются черные дыры.
Результаты, полученные в данной работе, могут быть использованы для попытки объяснения таких явлений, как джетовая активность в ядрах активных галактик, активность квазаров, исследование причин возникновения 7-вспышек.
Личный вклад автора. Автор принимал участие в аналитическом исследовании уравнений, описывающих релятивистскую магнитную силовую трубку, в разработке и реализации численного эксперимента и в анализе полученных результатов. Все изложенные в диссертации результаты получены автором самостоятельно или на равных правах с другими соавторами.
Апробация работы. Результаты исследований, представленных в работе, докладывались на международных конференциях:
International Conference on Substorms-5 (Санкт-Петербург, Россия, 16-20 мая 2000), V Международная конференция по гравитации и астрофизике стран азиатско-тихоокеанского региона (Москва, Россия, октябрь 2001), XXV ежегодный Апатитский семинар "Физика Авроральных Явлений" (Апатиты, Россия, 26 февраля - 1 марта 2002), 4th International Conference "Problems of Geocosmos"(Санкт-Петербург, Россия, 3-8 июня 2002), 9. International conference on theoretical physics (Париж, ЮНЕСКО, 22-27 июля 2002).
На всероссийских конференциях: Всероссийская астрономическая конференция (Санкт-Петербург, Россия, 6-12 августа 2001). Публикации. По теме диссертации опубликованы две статьи в научных рецензируемых журналах и две статьи в сборниках научных конференций. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 75 наименований, содержит 148 страниц машинописного текста, включая 32 рисунка.
Содержание работы.
Во введении обоснована актуальность темы исследования, представлен обзор литературы, сформулированы цель работы, основные положения, выносимые на защиту, отмечена научная новизна и практическая ценность работы, кратко изложено содержание работы.
Первая глава посвящена введению в рассмотрение такого объекта как нелинейная струна и изучению ее поведения в поле точечного тяготеющего центра, что является первым шагом на пути основного исследования и служит хорошей возможностью апробирования используемых в данной работе методов.
Уравнения релятивистской магнитной гидродинамики
Соотношение (1.58) представляет собой не что иное как закон сохранения энергии для ограниченного участка струны. Левая часть этого уравнения определяет изменение во времени полной энергии струны, правая же часть - мощность работы сил "упругости"(максвелловских натяжений) на краях струны.
Все это справедливо только для случая, когда полное давление является только функцией координат Р = P(x,y,z), т.е. t - циклическая координата. Если это не так, и полное давление зависит также от времени, то энергия в системе уже не будет сохраняться и выражение для сохранения энергии (1.58) нужно будет дополнить еще одним членом, содержащим производную от полного давления по времени.
Таким образом, благодаря переходу к лагранжевым координатам стало возможным представить уравнение движения (1.2) как уравнение нелинейной струны (1.15), вследствие чего мы можем рассматривать намагниченную плазму не как набор заряженных частиц, движущихся в магнитном поле, а как газ магнитных силовых трубок - нелинейных струн, движущийся в поле полного давления Р. Следовательно, для исследования поведения намагниченной плазмы нет необходимости следить за движением каждой частицы в отдельности, что аналогично решению полной МГД системы уравнений (1.1-1.5). Теперь для того чтобы составить представление о ходе физического явления, достаточно рассмотреть движение одной магнитной силовой трубки (тестовой трубки), которую мы можем выделить из общей массы. Конечно, такое рассмотрение не может нам дать полную картину поведения плазмы, однако оно может помочь ответить на ряд вопросов, что зачастую бывает достаточно для описания явлений в рамках данной задачи. Этот метод хорошо зарекомендовал себя и был неоднократно проверен в физике магнитосферы [75, 7, 41, 34, 22, 43, 66], что говорит в пользу его достоверности и позволяет надеяться на успешное его применение в других приложениях физики плазмы.
Прежде чем двигаться дальше, полезно определить какого рода процессы возможно исследовать в рамках струнного приближения, а какого рода нет. Для этого рассмотрим характеристики уравнения (1.15). Они могут быть записаны в следующем виде [7]: и определяют две различные ветви характеристик: альвеновскую (1.61) и медленную звуковую (1.62). Характеристики уравнения струны - вещественны, следовательно, мы имеем дело с гиперболическим типом уравнения. Это значит, что можно заранее ограничить область применения струнного подхода.
Классическая система МГД уравнений имеет три типа характеристик, которые соответствуют альвеновской волне, медленной звуковой и быстрой звуковой волнам [7]. В нашем же рассмотрении осталось всего два типа характеристик, соответствующих альвеновской волне и медленному звуку. Следовательно в рамках струнного приближения из рассмотрения полностью исключаются феномены, связанные с чисто газодинамическими процессами, т.е. явлениями, где полное давление Р принципиально нельзя считать известной функцией. В нашем же рассмотрении полное давление Р = Р(г) в уравнении струны является известной функцией координат. Это, конечно, накладывает некоторые ограничения на рассмотрение целого ряда магнитогидродинамических явлений, однако оставляет нам для исследования довольно большой класс проблем: во-первых, мы имеем возможность исследовать явления, связанные с растяжением и сжатием магнитной силовой трубки (максвелловские натяжения) а во-вторых, процессы, обусловленные накоплением и последующим быстрым преобразованием свободной магнитной энергии во внутреннюю энергию плазмы и в энергию ускоренных плазменных потоков [60, 8, 59, 23]. Также существенным положительным моментом представления уравнения движения в виде уравнения нелинейной струны нужно считать то, что значительно понижается размерность решаемой задачи. Происходит переход от трехмерного нестационарного уравнения движения (1.2) к одномерному уравнению струны (1.15). Это сильно упрощает решение проблемы посредством численного моделирования т.к., с одной стороны, нет необходимости использовать довольно громоздкие многоразмерные схемы, а с другой, что более важно, во много раз уменьшается время вычислений.
Нелинейная струна в гравитационном поле точечного источника
Моделирование поведения магнитной силовой трубки в окрестности вращающейся черной дыры Керра является довольно сложной задачей. Поэтому наиболее целесообразным на первом этапе ее решения представляется исследование взаимодействия магнитной силовой трубки с объектом, обладающим более простыми свойствами. Основными критерия ми в таком выборе, по-видимому, должны являться, с одной стороны, некое подобие в свойствах рассматриваемых объектов, а с другой - возможность простой физической интерпретации результатов моделирования. Наиболее подходящим объектом, обладающим такими свойствами, является гравитационное поле точечного источника, в котором и рассматривалось поведение магнитной силовой трубки. Другим чрезвычайно полезным аспектом такого рассмотрения является наработка основных методов при работе с нелинейной струной. Кроме того, такого рода исследование может служить хорошим тестом для изучения поведения магнитной силовой трубки при дальнейшем обобщении ее на гораздо более сложный релятивистский случай.
Поэтому первым естественным шагом на пути исследования поведения релятивистской магнитной силовой трубки будет изучение поведения более простого случая - ее нерелятивистского аналога - в гравитационном поле точечного источника.
Релятивистская магнитная силовая трубка в метрике Керра
Характеристики уравнения (2.59) являются вещественными, следовательно, мы имеем дело с гиперболическим типом уравнения. В нерелятивистском пределе V2 «С с2, первый тип характеристик (2.86) переходит в альвеновскую моду (1.61), второй тип (2.87) переходит в медленную моду (1.62). Из этого можно заключить, что как и в нерелятивистском случае, круг задач, которые мы можем рассматривать, ограничен. Уравнение струны (магнитной силовой трубки) может описывать процессы, связанные с накоплением и релаксацией максвелловских натяжений, также возможно описывать процессы, связанные с накоплением и высвобождением магнитной энергии (например, пересоединение). Однако из рассмотрения выпадают процессы, связанные с быстрым изменением полного давления (оно у нас считается известной функцией координат), т.е. процессы типа газодинамического взрыва в рамках данного приближения рассмотрены быть не могут. Тем не менее, данный подход хорошо зарекомендовал себя при решении многих магнитогидродинамических задач [41, 7, 24, 75].
Задача о движении магнитных силовых трубок в эргосфере сводится, благодаря переходу во вмороженные координаты, к рассмотрению поведения нелинейных струн. И для того чтобы понять основные моменты этого процесса, достаточно для начала рассмотреть поведение одной единственной (тестовой) магнитной силовой трубки. Такой подход оправдывает себя тем, что при достаточной простоте он, тем не менее, дает ясную физическую картину при рассмотрении такого сложного объекта, как намагниченная плазма.
В заключение следует отметить, что на пути представления релятивистской магнитной силовой трубки в виде релятивистской нелинейной струны мы получили полное соответствие между релятивистским и нерелятивистским случаями: лагранжевы координаты, уравнение движения, действие и характеристики для релятивистского случая при (v с) полностью переходят в свои нерелятивистские аналоги. Следовательно, если наблюдается такое хорошее соответствие между этими двумя случаями, можно обобщить тот большой опыт, который был накоплен в физике плазмы, и в частности в физике магнитосферы, и попробовать применить струнный метод к другим более экзотическим объектам. Релятивистская магнитная силовая трубка в метрике Керра
Основной целью данной работы является исследование поведения релятивистской магнитной силовой трубки в окрестности вращающейся черной дыры (черной дыры Керра). Такое исследование требует выявления основных этапов движения силовой трубки, а также рассмотрения явлений, которые могут иметь место в процессе данного движения.
Для этой цели первым естественным шагом является априорные, качественные представления о характере движения силовой трубки вблизи черной дыры Керра. Также заранее можно определить круг ожидаемых явлений, основываясь на общих принципах движения и на свойствах пространства-времени вращающейся черной дыры.
Элемент длины в метрике вращающейся черной дыры был впервые открыт Керром (1963) и представляет собой точное решение уравнений Эйнштейна [10, 32]. Записанный в координатах Бойера-Линдквиста, он определяется следующим соотношением [14] Здесь M и а соответственно масса и угловой момент черной дыры. Система единиц выбрана такая, что с= 1, G = 1.
Основным отличием черной дыры Керра от классической шварц-шильдовской черной дыры является наличие вращения, т.е. наличие углового момента. В результате горизонт событий, вследствие нарушения симметрии, расщепляется на два. Первый из них есть по-прежнему горизонт событий [14, 11]
и называется приделом статичности. Пространство, заключенное между двумя горизонтами, характеризуется тем, что никакая частица в этой области не может находиться в покое по отношению к системе отсчета удаленного наблюдателя, т.е. для частицы невозможно, чтобы ф = const, в то время как г = const возможно. Эта область пространства называется эргосферой. Частица обязана вращаться вокруг оси симметрии, более того, частицы могут двигаться как с уменьшением, так и с увеличением г, при этом они могут покидать эргосферу. Это существенно отличается от шварцшильдовской черной дыры, где частица, однажды пройдя горизонт событий, уже никогда не может выйти оттуда.
Из соотношения (2.92) также определяется верхнее значение для величины углового момента что означает существование ограничения на величину углового момента черной дыры.
Наиболее ярко продемонстрировать отличие в движении частиц в окрестности шварцшильдовской и черной дыры Керра можно на примере пробной (тестовой) частицы, которая падает на дыру из бесконечности с начальным нулевым угловым моментом. Это различие хорошо видно из рисунка 2.2. На шварцшильдовскую черную дыру частица падает прямолинейно, в то время как в процессе падения частицы на керровскую дыру возникает совершенно другая картина. Частица еще задолго до приближения к эргосфере начинает чувствовать метрику и ее траектория приобретает вид спирали. Такая частица, попадая в эргосферу, будет двигаться там по спирали и в результате уйдет за горизонт событий.
Стоит также отметить то, что на протяжении всего движения момент такой частицы будет оставаться постоянным, что часто используется для описания движения других объектов. При таком сравнении, дабы избежать длинных формулировок, принято называть угловую скорость тестовой частицы в данной точке скоростью самого пространства, чем и мы будем в дальнейшем пользоваться.
Консервативная форма уравнения струны
В качестве граничных условий были использованы свободные граничные условия однако для того чтобы в силовой трубке сохранялись полная энергия и момент, длина струны выбиралась достаточно большой, чтобы исключить потери энергии и момента, в виде потоков, через концы струны. Критерий для выбора необходимой начальной длины струны определяется как где vmax - максимальная скорость задачи, она легко оценивается из выражений для характеристик (2.86),(2.87), а т - время счета.
Черепашья переменная
В процессе моделирования нас в первую очередь будет интересовать поведение струны в эргосфере вблизи горизонта событий. Для этого, чтобы избежать слишком больших шагов в радиальном направлении г, мы используем так называемую черепашью переменную, которая вводится как:
Благодаря использованию //, струна в радиальном направлении будет бесконечно малыми шагами приближаться к горизонту событий. Таким образом, появляется возможность исследования эффектов, происходящих непосредственно вблизи горизонта событий.
Контроль ошибки Контроль точности схемы осуществляется двумя способами. Первый состоит в том, что на каждом шаге проверяются законы сохранения для энергии (2.96) и момента (2.97). Второй способ более чувствительный, он основан на использовании калибровочного условия (2.70), из которого следует, что для всех точек струны должно выполняться
Мы проводим вычисления до тех пор, пока точность этого соотношения не превысит заранее определенного порога, т.е. Для всех нижеперечисленных результатов значение SQ не превышает 0.05. Начальные параметры Ниже перечислены диапазоны значений начальных параметров, которые были использованы при моделировании: о коэффициенты сХ} Су и с2 могут принимать любые значения, в результате было исследовано поведение силовой трубки с произвольной начальной ориентацией; оЬ 0.01 -=- 10; о Ср = 0.01 -г-1; о d = 1 -4- для того, чтобы моделировать полное давление Р в широком диапазоне значений; о а = 0.4999 - вращение черной дыры мы рассматривали близким к экстремальному значению.
Результаты численного моделирования
В результате численного моделирования мы получим координаты и скорости элементов х\ ХІТ, хга силовой трубки как функции струнного времени г и массовой координаты а. Однако визуализировать результат удобнее не в координатах Бойера-Линдквиста ,г,#, ф, а в декартовых ж, У, ,.
При отсутствии тяготеющей массы М метрика Керра (2.88) переходит в галилееву метрику, написанную в пространственных сплюснутых сфероидальных координатах [11], преобразование которых в декартовы осуществляется по формулам:
Картину падения можно описать следующим образом. Центральная часть струны, вследствие более сильного взаимодействия, начинает прогибаться в направлении черной дыры раньше периферийных частей. В результате она вовлекается во вращение тоже значительно раньше других частей силовой трубки. Это приводит к тому, что струна сильно растягивается и начинает закручиваться вокруг горизонта событий, при этом падающая струна имеет вид спирали (рис. 3.1). Попадая в эрго-сферу, силовая трубка вовлекается во вращение еще больше, она многократно оборачивается вокруг горизонта событий, причем с каждым новым оборотом струна все ближе и ближе к нему подходит вдоль радиального направления г. В тоже время в эргосфере наблюдается биение силовой трубки по компоненте 6 (рис. 3.2). Струна как бы отражается от полюса и от экватора черной дыры, но из эргосферы не выходит, в результате спиралевидная структура очень сильно усложняется и через некоторое время струна заполняет всю область эргосферы от экватора до полюса (рис. 3.2).
Интересно рассмотреть, каким образом ведут себя отдельные координаты Бойера-Линдквиста (рис. 3.3). Для каждой компоненты приведены шесть различных моментов моделирования, начиная с начального положения струны и заканчивая конечным моментом. Из графиков для радиальной г и азимутальной ф координат хорошо видно, что струна со временем все больше и больше наматывается вокруг шварцшильдовско-го горизонта событий (рис. З.ЗЬ,с), в итоге большая часть струны оказывается в эргосфере, и силовая трубка как бы обволакивает горизонт событий. Вид графика для -компоненты показывает, что вся струна, попавшая в эргосферу, находится в области между верхним полюсом черной дыры и ее экватором, также хорошо виден процесс биения силовой трубки в эргосфере, т.е. отражение струны от полюса и экватора (рис. 3.3d).
Интересным моментом, который также стоит упоминания, является внешняя схожесть в поведении временной t и азимутальной ф координат (рис. 3.3а,с). Это подобие не является случайным, оно показывает струнный характер поведения координатного времени t. Объяснить это можно следующим образом. Чем больше оборотов центральная часть силовой трубки совершает вокруг горизонта событий, тем ближе и ближе
