Содержание к диссертации
Введение
1 Задачи сопряжения на римановой поверхности 20
1.1 Задачи с конечным индексом 20
1.1.1 Постановка задачи. Некоторые дивизоры, функции, абелевы дифференциалы 20
1.1.2 Задача факторизации. Параметризации функций G(t) 21
1.1.3 Корректная постановка задачи сопряжении 20
1.2 Задачи с бесконечным индексом 32
1.2.1 Задачи с бесконечным индексом па плоскости 32
1.2.2 Краевые задачи с бесконечным индексом на римановой поверхности 36
2 Псевдодифференциальные операторы на торе 43
2.1 Псевдодифферснциальпые операторы нулевого порядка 43
2.1.1 Класс операторов 43
2.1.2 Непрерывность в пространствах Соболева 40
2.1.3 Композиция псевдодиффереициальпых опера горой . 55
2.1.4 Обратимость неевдодифферепциальиых оператором 62
2.2 Операторы типа линейного сопряжения 69
2.2.1 Класс операторов 69
2.2.2 Основные свойства 72
2.2.3 Факторизация оператора 78
2.2.4 Обращение! оператором (решение уравнении) 82
3 Псевдодифференциальные операторы на торе с вырожда ющимся символом 92
3.1 Класс оператором 92
3.2 Функции «*(;:, ^), c{z,y) 94
3.2.1 Свойства функций fi\, р"*, h 95
3.2.2 Свойства функций а1 (с,(р), г(с,<р) 102
3.3 Факторизация оператора. Решение уравнении 104
3.3.1 Регуляризация оператора А. Оператор А 104
3.3.2 Факторизация оператора А 113
3.3.3 Решение уравнения. Гладкость решении 122
4 Псевдодифференциальные операторы на римановой по верхности произвольного рода 132
4.1 Многообразия, атласы 132
4.1.1 Определения, общие свойства 132
4.1.2 Атлас для римановой поверхности рода /; = 0 (сферы) 135
4.1.3 Атлас для римановой поверхности рода р = 1 (тора) 136
4.1.4 Атлас для римановой поверхности рода р > 1 139
4.2 Замена переменных в псевдодифференциальпых операторах 145
4.3 Псевдодиффсреициальпые операторы па римановой поверхности 150
4.4 Продолжение операторов 157
4.5 Обращение оператора с невырожденным символом 164
5 Операторы с вырождающимся символом 171
5.1 Класс операторов 171
5.2 Локализация оператора 179
5.3 Обращение локализованных операторов 188
5.4 Обращение оператора 204
6 Вырождающаяся краевая задача с наклонной производной 216
6.1 Постановка задами. Граничные операторы 216
6.2 Сведение краевой задачи с наклонной производной к псевдодифференциал ыюму оператору 224
6.3 Вырождение символа оператора задачи с наклонной производной. Условия на граничное векторное поле 230
6.4 Вычисление локальных индексов. Разрешимость задачи 242
Выводы
- Задачи с бесконечным индексом
- Операторы типа линейного сопряжения
- Функции «*(;:, ^), c{z,y)
- Решение уравнения. Гладкость решении
Введение к работе
В самом общем случае псевдодифференциальный оператор для функции двух переменных - это линейный оператор, заданный в плоскости преобразования Фурье [1, с.97]:
Af = A(f\z) = Ja(z,t)f(№ dt,
Я2 ,
z = (х,у), = (6,6), = хг + у2, d = dfid&; /(О - преобразование Фурье функции f(z) [2j:
/( ) = //(0 или /( ) = Jf(z)e- dz, Я2 я2
dz — dxdy.
Функция a(z,) называется символом оператора А. В частности, единичный оператор Е : f —) / будет псевдодифференциальным с символом, тождественно равным единице.
Обычно класс псевдодифференциальных операторов определяется условиями на символы. Так, стандартные условия на класс символов - полиоднородность по и бесконечная гладкость по z и (см. [1]).
Псевдодифференциальные операторы на классе функций, заданных на многообразии, определяются в терминах линейных операторов для функций двух переменных, получающихся при отображении переменной на многообразии в плоскость карты [1]. В настоящей работе рассматриваются псевдодифференциальные операторы на римановой поверхности, т.е. на компактном двумерном комплексно-аналитическом многообразии без края.
Хорошо известный пример псевдодифференциальных операторов для функций одной переменной - одномерные сингулярные интегральный операторы. Так, пусть
Ll = {z\\z\ = l}
-единичная окружность, сингулярный интегральный оператор
Sf = S{j\z) = -.[{ -dt 7гг J t — z
Li
будет псевдодифференциальным с символом
Действительно, в этом случае преобразование Фурье - это разложение в ряд Фурье
00 оо
/( ) = Л0е х = J2 ЛО Є Z, z = efa , Є [0,2тг],
=-оо =—оо
причем в силу формул Сохоцкого [3, 4]
Г Z«, f о,
\ - «, е о,
т.е.
оо
ї=—оо
Отметим, что символ оператора 5 разрывен при = 0.
В настоящей работе речь пойдет о решении уравнения Af = д, где функции /, принадлежат некоторым функциональным пространствам: f Є X, д Є Y; A : X — Y - линейный псевдодифференциальный оператор. В дальнейшем задачу решения уравнения Af = д для краткости будем называть "обращением оператора А1 . При обращении оператора необходимо, как минимум, описать следующие пространства:
• ядро оператора, т.е. множество решений однородного уравнения kerA = {f еХ Af = 0} сХ;
• коядро оператора в сопряженном пространстве Y или условия разрешимости
coker А = {д Є Y g (Af) = О, V/ Є X } С Y .
Очевидно, условия д (до) — 0 Уд Є cokerЛ необходимы для разрешимости уравнения Л/ = д0. Если эти условия и достаточны, т.е. образ оператора
imA = {g = Af\feX}cY
- замкнутое подпространство Y, то оператор А называется нормально разрешимым (по Хаусдорфу) [1], [5, с.29].
Особый интерес представляет случай, когда образ оператора ітЛ имеет прямое дополнение в пространстве Y, которое в этом случае также называют коядром оператора (в пространстве Y):
Y = im А © coker А.
Пусть QQ : Y — coker Л - проектор на коядро [6, с.130], тогда условия разрешимости уравнения Af = g имеют вид Qog = 0.
Далее, если ker А ф {0}, то решение уравнения Af = g неединственно. Для выделения единственного решения в этом случае необходимо на решение наложить дополнительные условия. Если ядро оператора имеет прямое дополнение в пространстве X:
X = ker А 0 Хх
и Qi : X - ker Л - проектор на ядро, то в качестве дополнительных условий можно задать проекцию решения на ядро оператора Q\f = /о, где /о Є ker Л - произвольный элемент ядра.
Отмстим, что ядро и коядро оператора можно описать с точностью до изоморфизма, т.е. до взаимно однозначных отображений
Л0 : Х0 І— ker Л , BQ:YQ І—У coker Л .
Для уравнения Af = g часто бывает целесообразно (и даже необходимо, см. [4, 5]) рассматривать его решение / Є X как оператор над правой частью g Є Y. В таком случае при ker Л ф {0} следует наложить дополнительные условия на решение /, а при coker Л ф {0} следует спроектировать правую часть g на образ оператора ітЛ. Проектирование обычно задается с помощью введения дополнительных искомых слагаемых в правую часть уравнения. Итак, рассмотрим задачу
Л/ = g + В01ра , Ло/ = /о,
где /о - заданный (произвольно) элемент пространства Хо, А$ : X — Хо , фа - искомый элемент пространства YQ, В0 : Y0 —» У. Будем называть (1)
корректной постановкой задачи для уравнения Af = д, если решение (1) существует, единственно и имеет вид
(/•Ря + ЪЛ,
( -фо = В0д,
причем условие фо = В0д = 0 необходимо и достаточно для разрешимости уравнения Af = д. Подчеркнем, что корректная постановка задачи исчерпывающим образом характеризует разрешимость уравнения • 4/ = 9i так как в этом случае пространство XQ изоморфно кег А: AQ : Х0 —у кег Л - изоморфизм; Y0 изоморфно соксг А: В0 : YQ І—У соксг А - изоморфизм; В0В0 = QQ : Y —У сокег А - проектор на коядро оператора, AQAQ = Q\ : X — кегЛ - проектор на ядро. Оператор Р : Y -» X будем называть обобщенным обратным к оператору А.
Наконец, обратим внимание на часто встречающуюся ситуацию, когда гладкость решения / уравнения Af — д меньше, вообще говоря, чем гладкость правой части д. С точки зрения теории линейных операторов это означает, что обращение оператора строится в шкале пространств Хп, а Є R, т.е. исходный оператор А : Ха —У Ха, а обобщенный обратный Р : Ха —у Хр, /3 = Р(а) а. В настоящей работе в качестве шкалы Ха рассматривается шкала пространств Соболева И7! (a = s) или Гельдера СП (а = 7).
Как известно, сингулярный интегральный оператор для функции одной переменной можно с точностью до вполне непрерывного слагаемого а представить в виде
А = А + а = b{z) + c(z)S + а,
где главная часть оператора A = b(z) + c(z)S имеет символ
Г b(z)+c{z)=ai{z), 0, a[z,) = \ b(z) - c(z) = a2(z), 0.
Уравнение Af = g легко решается сведением к задаче линейного сопряжения аналитических функций [3, 4]
аі(2)Ф+(г) + а2(г)ф-(2)=5(г), гЄІі, (3)
где Ф -г) = S±(f z) = (f(z) ± S(f I z))/2 - граничные значения функций, аналитических соответственно в областях D - = { z \ \z\±x 1 }.
Напомним метод Гахова решения задачи (3). Пусть a\ {z) Ф О,
. ,a(z, — f) 1 . a2(z) _ .,.
ае = ind у = —A arg -—4 , f 0. (4)
Тогда можно представить
a\(z) — c(z)a+(z), a2(z) = c(z)zSBa (z), где
причем функции o {z) - граничные значения функций, аналитичных и отличных от нуля в областях D±; c(z) ф 0, z Є L\. Соответственно имеем представление для оператора А:
A = a + bS = ai5+ + a2S =
(5) = c(z){S+ + zsS )(a+S+ + a-S-) = PXQ P2 ,
где Pi - оператор умножения на функцию c(z),
Р2 = a+S+ + aS , QX = S+ + zsS .
Операторы Pi,2 обратимы:
1 c(z) l a+(z) a (z)
Таким образом, уравнение Af = g сводится к уравнению
2ж/і = 9\; /і = Рг/, 0і = РГХ9,
решение (условия разрешимости) которого строятся непосредственно. В частности, уравнение Qae/i — 9\ (а, значит, и задача (3), и уравнение Af = д) имеет I = тах(0,ае) линейно независимых решений и / = тах(0, —ае) условий разрешимости на правую часть g(z). При этом I - I = аэ.
В терминах теории линейных операторов [1, 5] приведенные утверждения означают, что оператор A = a + bS - нстсров, т.е. нормально разрешим и размерности его ядра I — dim ker А и коядра / = dim coker А конечны, их разность аз = / — / = ind А называется индексом оператора
А, причем оператор А = А + а также нетеров и имеет тот же индекс [1, с.246-252], [5, с.32-47]. В этом случае пространства кет А и imA всегда имеют прямые дополнения [5, с.27] и корректная постановка задачи имеет вид
I А/ = д + Вк(г)фк, (6)
{ Akf = fk, к = ТГі,
где фк, к = 1,1 - искомые, а fk, к = 1,/ - заданные (произвольно) константы, Ак - линейные непрерывные функционалы. Задача (6) будет корректной постановкой для уравнения Af = д, если ее решение существует, единственно и имеет вид
I
_ fc=l k фк = Вкд, к = 1,1 ,
причем условия фк = Вкд = 0, к — 1,1 необходимы и достаточны для разрешимости уравнения Af = д. Здесь функционалы Вк, к = 1,1 - базис коядра оператора А в сопряженном пространстве Y , Bk{z), к = 1,1 -базис коядра в пространстве Y; Ak(z), к = 1,1 - базис ядра оператора А;
г 2,Bk{z)B k = Q0:Y - coker А С Y
fc=i
- проектор на коядро оператора,
2lk(z)Ak = Q0 : X - ker А Jt=i
- проектор на ядро.
В настоящей работе в качестве примера нетеровых задач рассматриваются задачи сопряжения аналитических функций на компактной ри-мановой поверхности
А(Ф±(2)) = Ф+(і)-С(і)ф-(і)=д(і), teL, (8)
где L - контур на римановой поверхности D, разбивающий ее на две части D±, Ф±(і) - граничные значения на L аналитических в D± функций Ф±(г). Подобным задачам посвящено большое число работ (см. например [7, 8, 9]), однако корректная постановка задачи впервые предложена в работах автора (совместно с В.Н.Монаховым и Д.Б.Верховодом)
[25, 28, 29, 33]. При этом дополнительные условия на решение берутся однородные: Akf = f(zk) = 0, к = 1, /.
Отметим, что в общей теории нетеровых операторов числа I (размерность ядра) и Г (размерность коядра) могут меняться при прибавлении к оператору А вполне непрерывного слагаемого, однако индекс оператора ае = / — I при этом не меняется[1, 5]. В дальнейшем характеристики разрешимости, не меняющиеся при прибавлении вполне непрерывных слагаемых, будем называть инвариантными. При этом обычно индекс оператора выражается через топологические инварианты его символа (как в формуле (4), см. "формулы индекса" в [1]). Для задачи (8) числа I и I выражаются в терминах функции G(t), но не являются для нес топологическими инвариантами, а индекс оператора имеет вид l — l = аз — р+1, где ае - приращение аргумента функции G{t) вида (4) (топологический инвариант G{t)), ар- род римановой поверхности D.
В случае, когда размерности I или / бесконечны, сама задача описания кегЛ (сокегЛ), не говоря уже о корректной постановке, становится достаточно нетривиальной. В качестве первого примера таких задач автором рассмотрены задачи сопряжения аналитических функций на компактной римановой поверхности (8) с бесконечным индексом (когда argG(i) имеет точку разрыва второго рода, т.е. argG() — оо при t — to Є L). Для рассмотренного в данной работе класса функций G(t) возможны две ситуации: либо / = оо, / = 0, либо I = О, I = со. В случае I = оо для однозначного определения решения задаются условия /() = 0, к = 1,оо, а при / = оо на правую часть g(t) накладываются дополнительные условия вида В д = О, к = 1,оо. Таким образом, этот подход к корректной постановке задачи несколько отличается от изложенного выше, хотя также обеспечивает задание решения / уравнения Af — д как оператора над правой частью д. При этом обращение оператора строится в шкале пространств Гельдера С7.
Вернемся, однако, к основной теме данной работы - псевдодифференциальным операторам на компактной римановой поверхности, т.е., локально, для функций двух переменных. Обычно в качестве их символов a(z,) рассматриваются функции, полиоднородные по , т.е. предста-вимые в виде суммы однородных по функций с убывающим порядком однородности, например
Основную роль при этом играет член максимального порядка amo(z,) = ao(z50 который называют главным символом оператора Л, число т0 порядок оператора, а остальные слагаемые называют младшими членами [1]. В частности, с точностью до младших членов, символ произведения псевдодифференциальных операторов равен произведению главных символов сомножителей. Соответственно, если главный символ не обращается в нуль при ф О (не вырождается), то с точностью до младших членов оператор А обратим и главный символ обратного оператора равен l/ao(z,). Точнее, если a0(z,) ф О при ф 0, то оператор А - нетеров нулевого индекса и l/a0(z,) - главный символ его рсгуляризатора, а младшие члены влияют на разрешимость уравнения А/ = д так же, как прибавление к иетерову оператору вполне непрерывного слагаемого [1]. Отметим при этом, что оператор порядка то с помощью умножения на оператор с главным символом т° очевидным образом сводится к оператору нулевого порядка, причем для оператора нулевого порядка младшие члены (т.е. символы отрицательного порядка) задают вполне непрерывный оператор [1].
Одной из основных моделей для псевдодифференциальных операторов является краевая задача с наклонной производной для эллиптического уравнения:
P(y,d)u = 0, yeD+,
(6(1/),Vu) n = g(y), yeD, {9)
где риманова поверхность D = dD+ - граница области D+ С Я3, F(y, д) -эллиптический линейный дифференциальный оператор второго порядка, b(y) : D —» R3 - граничное векторное поле, Ь(у) ф 0, у Є D. Как известно, эту задачу можно свести к уравнению с псевдодифференциальным оператором на D [1]. При этом условие невырожденности символа принимает вид ап(у) = (Ь{у),п(у)) ф 0, где п(у) - нормаль к D, ап(у) -нормальная составляющая вектора Ь(у) (условие Лопатинского).
В данной работе рассматриваются псевдодифференциальные операторы нулевого порядка с вырождающимся (обращающимся в нуль) символом. В качестве основного примера здесь фигурирует задача с наклонной производной в случае, когда не выполнено условие Лопатинского, т.е. в некоторых точках нормальная составляющая вектора Ь(у) обращается в нуль, вектор становится касательным к поверхности D. Таким задачам посвящено большое число работ (см., например, [10,11, 12, 13]). Отметим также близко примыкающие работы, в которых задача с псевдодифференциальным оператором рассматривается в несколько более общей постановке, когда главный символ может иметь разрыв ([14, 15, 16, 17, 18[). Как правило, эти операторы не являются нетеровыми, более того, их ядро или коядро обычно бесконечномерны. При этом, так как главный символ обращается в нуль, то на разрешимость уравнения Af = д существенно влияют младшие члены.
Основной подход к исследованию вырождающейся задачи с наклонной производной состоит в "выпрямлении" траекторий векторного поля Ь{у), т.е. в замене переменной такой, что (Ь, V)/ = df /дх\, у = (хі,Х2, з)-После этого можно главную часть псевдодифференциального оператора свести к задаче Дирихле для производной f x , а при восстановлении исходной функции по ее производной получим некоторую задачу для функции от двух переменных (х2,:гз), т.е. исходная трехмерная задача сводится к плоской. При этом, однако, возникают две труднопреодолимые проблемы. Во-первых, для осуществления такой замены необходимо, чтобы векторное поле Ь(у) продолжалось с границы D внутрь области D+ без особых точек. Это очень жесткое условие, не выполненное даже для задачи Неймана. Таким образом, соответствующая замена производится локально. Но тогда встает задача "скеивания" локальных результатов, особенно сложная в случае, когда одна локальная область вырождения символа дает бесконечно много решений, а другая - требует бесконечно много условий разрешимости. Во-вторых, применение этого метода непосредственно зависит от локальной геометрии многообразия D после замены переменных, которая, в общем случае, может иметь достаточно сложный характер, что делает весьма затруднительной даже постановку соответствующей задачи для функции двух переменных. Кроме того, эти геометрические характеристики могут резко меняться при малых изменениях исходной поверхности D или векторного поля Ь(у), т.е. данный метод существенно топологически не инвариантен.
В настоящей работе автор старается преодолеть эти трудности, несколько изменив поход к задаче. Именно, в уравнении Af = g рассмотрим функции / и g в плоскости обратимых операторов, т.е. рассмотрим уравнение AP2f = Pig, PiJ= / = »/ = P$f Очевидно, что при такой замене общие характеристики разрешимости (ядро, коядро, корректные постановки задачи) не меняются с точностью до изоморфизма, осуществляемого операторами Pii2, Р{ }- Таким образом, проблему корректной постановки можно рассматривать с точностью до умножения оператора А слева или справа на обратимые операторы. В таком случае рассмотрим задачу о корректной постановке как задачу классификации: с помощью умножения на обратимые операторы Plj2 придать оператору А некоторый "канонический" вид, в котором непосредственно можно выписать ядро, коядро, корректную постановку и, следовательно, получить аналогичные результаты и для исходного опе ратора в терминах операторов Pi)2, Р{$. Напомним, что именно таков изложенный выше метод исследования одномерного сингулярного интегрального уравнения, причем "канонический" вид главной части, т.е. оператора линейного сопряжения - это Qx = S+ + гш5" (формула (5)). Особый интерес при этом представляет вычисление параметров, задающих этот "канонический" вид, и интерпретация их в терминах корректной постановки задачи (в формуле (5) это число ж).
В настоящей работе подобная задача классификации решается для определенного класса псевдодифференциальных операторов с вырождающимся символом с точностью до вполне непрерывного слагаемого. При этом в качестве "канонических" представителей возникают одномерные сингулярные интегральные операторы. На этой основе строятся корректные постановки задачи, а также выделяется инвариантная (не зависящая от младших членов) характеристика разрешимости уравнения Af = д -это как раз и будет параметр ж, определяющий "канонический" вид оператора. Этот параметр вычисляется в терминах главного символа оператора и является, как и следовало ожидать, топологическим инвариантом главного символа. Отметим, что так как одномерный сингулярный оператор действует на пространстве функций двух переменных, то вторая переменная будет играть роль параметра и, таким образом, ядро (коядро) оператора и корректная постановка задачи будут уже включать не константы, а конечное число функций одной переменной.
Основная идея состоит в том, что оператор (нулевого порядка) с вырождающимся символом заменяется на оператор с символом, не обращающимся в нуль, но разрывным по в тех точках, где символ исходного оператора обращался в нуль. Показано, что такую замену можно произвести с точностью до вполне непрерывного слагаемого. В свою очередь, операторы с разрывным по символом поддаются исследованию методами, подобными методу Гахова решения задачи линейного сопряжения аналитических функций. В результате показано, что, при определенных условиях на характер вырождения (обращения в нуль) символа, имеет место представление оператора А = А + а, где а - вполне непрерывен, а А имеет бесконечномерные ядро и коядро, содержащие соответственно I = 1(A) и / = 1 (А) произвольных функций одной переменной, заданных на единичной окружности L\. Последнее утверждение в точности означает, что корректная постановка задачи для уравнения Af = д имеет вид
Л/ = д + Вкфк{гг), (10.
Akf = fk(zi), к = 1,1, zx Є L, ,
где ipk{z\), к = 1,1 - искомые, a fk{z\), к = 1, / - заданные (произвольно) функции, определенные на единичной окружности L\. При этом единственное решение задачи (10) имеет вид
/ = Р$ + ЯкЛ( і), (11)
І $k{zi) = Вкд, к = 1,1 ,
причем условия xpk{zi) = В kg = 0, А; = 1, / необходимы и достаточны для разрешимости уравнения Af = д. Здесь Р, Ак, В к, Ак, Вк- непрерывные операторы, действующие в шкале пространств Соболева:
Р : Wj(D) -)• W 25{D); _ Вк : Wi(Lx) - Wr5{D), Вк : W2 ( ) - WT (i), A = U ; Лк : W{{D) -» (Li), Ajk: W{{LX) - W?- (D), A = 1,/; У = const 1. Отметим, что, как и в общем случае, корректная постановка задачи вида (10) с решением вида (11) исчерпывающим образом характеризует разрешимость уравнения Af = д. Так,
і
fc=i причем соответствие
I
fk(zi), к = Tj — /о = A kfk(zi) Є ker A
k=l
взаимно однозначно, т.е. вектор-функции одной переменной размерности I { fk{z{) к = 1,1} задают параметризацию ядра А;
і _
Qi = YAkAk : Wi(D) -) ker Л jt=i
- проектор на ядро оператора Л. Кроме того, имеем разложение пространства правых частей в прямую сумму
Wi(D) = ітЛ фсокегЛ,
где _ _ ітА = {д\Вкд = 0, к = 1,1 }
- множество правых частей, для которых существует решение уравнения
Af = g;
і coker А = { д0 = Вкфк(гі) } ,
к=\
причем соответствие
г
Фк(гі), к = 1,1 і— д0 = 2Вкфк(гх) Є coker Л
fc=i
взаимно однозначно, т.е. вектор-функции одной переменной размерности І { ipk(z\), к = 1,1 } задают параметризацию коядра А. При этом
Qo = J2 Вк к : Ж2 ( ) -»• coker А k=i
- проектор на коядро. Наконец, Р - обобщенный обратный к оператору А.
Числа I = 1(A) и I = 1 (А), характеризующие ядро и коядро оператора А, вычисляются в терминах главного символа исходного оператора А. Но возможны различные варианты представлений А = А + а, т.е. различные вполне непрерывные слагаемые а, при которых 1(A) и 1 (А) принимают различные значения, т.е. характеристики I и / не являются инвариантами. Однако их разность ае = / — / = ае(Л) будет во всех случаях неизменной, т.е. инвариантом. Таким образом, инвариантами оператора в данном случае являются конечность чисел I и I , определяющих корректную постановку задачи вида (10) и их разность l—l = ее(А). При этом индекс ае будет и топологическим инвариантом главного символа оператора А, тогда как числа I и I не будут топологическими инвариантами символа.
Далее, если рассмотреть уравнение Af = д на пространстве функций Хо — {I } равных тождественно нулю в окрестности множества
V = {z\3: ао(г,О = 0}
(области вырождения символа), то на этом пространстве оператор А нормально разрешим (по Хаусдорфу) и имеет конечномерное ядро и непрерывный правый обратный, т.е. образ X = А(Х0) - замкнут, множество решений уравнения Af = 0, / Є Хо - конечномерно и существует непрерывный оператор В такой, что
УдЄХ АВд = д,
т.е. f = Вд Є XQ есть частное решение уравнения Af = д Є X. По существу это означает, что все проблемы с разрешимостью уравнения Af = д, в том числе и связанные с младшими членами, локальны -"концентрируются" вблизи области вырождения символа V.
При исследовании псевдодифференциальных операторов особое внимание в настоящей работе уделяется псевдодифференциальным операторам на торе, которые впоследствии служат основной моделью для рассмотрения псевдодифференциальных операторов на произвольной рима-новой поверхности.
Как уже отмечалось, основным примером для рассмотренных в настоящей работе псевдодифференциальных операторов и основным приложением для ее результатов служит вырождающаяся краевая задача с наклонной производной (9). Выделяется класс векторных полей Ь(у), для которых соответствующий задаче (9) псевдодифференциальный оператор на D удовлетворяет условиям настоящей работы и, следовательно, на задачу (9) переносятся все результаты работы. В частности, установлена разрешимость задачи (9) в классе функций и(у), равных нулю в окрестности области вырождения
V = {yeD\an(y) = 0}.
Наконец, с точностью до вполне непрерывного слагаемого предложены корректные постановки для задачи (9), причем в терминах векторного поля Ь(у) вычислены характеристики I и Г и индекс ае = I — I . При этом общий смысл условий на векторное поле Ь(у) вблизи области вырождения V следующий:
1. Траектории касательной составляющей векторного поля Ь(у) можно "выпрямить", т.е. вблизи области вырождения оператор дифференцирования по касательной в плоскости гомеоморфизма имеет вид д/ду, где у - одна из локальных переменных на D. Специально отметим, что локальная замена переменных производится не в трехмерном пространстве, а только на самом многообразии D.
2. Номальная составляющая векторного поля кусочно-монотонна вдоль траекторий касательного поля.
Таким образом, условия на векторное поле допускают достаточно широкий класс полей, включающий, в частности, большинство случаев, рассмотренных ранее другими авторами [10, 11, 12]. Кроме того, этот класс инвариантен при малых изменениях векторного поля Ь(у) или поверхности D. При этом соответствующий "канонический" одномерный сингулярный интегральный оператор действует вдоль траекторий касательного векторного поля.
Итак, перечислим новые результаты, приведенные в настоящей работе:
• предложены корректные постановки задачи сопряжения аналитических функций на компактной римановой поверхности с конечным индексом;
• исследована задача сопряжения аналитических функций на компактной римановой поверхности с бесконечным индексом, для нее также предложены корректные постановки;
• для определенного класса вырождающихся псевдодифференциальных операторов решена задача классификации по модулю обратимых сомножителей, т.е. с точностью до вполне непрерывного слагаемого выделен "канонический" класс операторов, определяющий вид общего решения и условий разрешимости уравнения Af — д;
• на этой основе предложены (с точностью до вполне непрерывного слагаемого) корректные постановки задачи для уравнения с вырождающимся псевдодифференциальным оператором на компактной римановой поверхности, в терминах главного символа вычислены характеристики этих постановок и среди них выделены инвариантные (не зависящие от младших членов);
• результаты предыдущего пункта применены к исследованию вырождающейся задачи с наклонной производной на римановой поверхности для эллиптического уравнения второго порядка.
К основным результатам настоящей работы отнесем следующие:
1. Рассмотрена задача о классификации псевдодифференциальных операторов с вырождающимся символом на римановой поверхности (в частности, операторов вырождающейся задачи с наклонной производной) по модулю обратимых сомножителей. Показано, что для достаточно широкого класса операторов эта задача может быть решена, причем в качестве "канонических" представителей выступают одномерные сингулярные интегральные операторы.
2. Для соответствующих псевдодифференциальных операторов рассмотрена задача о корректной постановке и об инвариантных (не зависящих от младших членов) характеристиках разрешимости уравнения Af = д. Корректная постановка задачи для уравнения Af =
д (с точностью до младших членов) имеет вид (10) (а решение (10) вид (11)). В терминах символа оператора найдены числа / (ядро оператора А параметризуется /-мерными вектор-функциями, определенными на единичной окружности), / (аналогичная характеристика коядра А) и их разность ае = 1 — 1 . При этом числа / и / зависят от младших членов, а их разность ае = / — I - не зависит, причем ае = ае(Л) является топологическим инвариантом главного символа оператора А.
3. Показано, что рассмотренный класс псевдодифференциальных операторов включает в себя операторы вырождающейся задачи с наклонной производной (9) (при определенных условиях на векторное поле Ь(у)). Таким образом, предложены корректные постановки задачи (9) с дополнительными условиями, аналогичными (10), приведены решения соответствующих задач, причем характеристики /, Г, ге = I — I вычислены в терминах граничного векторного поля
НУ) Остановимся подробней на содержании работы. Глава 1 посвящена задачам сопряжения аналитических функций на римановой поверхности. В п.1.1 рассмотрены задачи с конечным индексом, а в п.1.2 - задачи с бесконечным индексом.
В главе 2 рассматриваются псевдодифференциальные операторы на торе. В п.2.1 введен класс символов для псевдодифференциальных операторов нулевого порядка. Для удобства дальнейших рассмотрений и приложений этот класс несколько шире стандартного класса полиоднородных и бесконечно гладких символов [1], поэтому в этом пункте для введенного класса символов приводятся доказательства обычных для теории псевдодифференциальных операторов утверждений о непрерывности в пространствах Соболева, перемножении главных символов при умножении операторов и обратимости операторов с невырождающимся символом.
В и.2.2 рассмотрены так называемые операторы типа линейного сопряжения - операторы с разрывным по символом. Для этого класса операторов устанавливается представление, аналогичное представлению (5) (разложение Гахова)
A = P1Q!BP2 + a = A + a, (12)
где а - вполне непрерывен в пространствах Соболева W?, Р\ - обратимы, a Qs, - сингулярный интегральный оператор по одной переменной. В результате уравнение Af = д сводится к уравнению Qg.fi = д\, для которого непосредственно строятся общее решение и условия разрешимости.
При этом в уравнении Qa.fi — д\ одна переменная выступает в качестве параметра, т.е. все решения (условия разрешимости) в качестве произвольных коэффициентов содержат функции от этой переменной. Таким образом вычисляются ядро оператора, коядро (условия разрешимости) и предлагается корректная постановка задачи для уравнения Af = д. Конструкции и результаты данного пункта являются идейной и технической основой для дальнейших рассуждений.
В главе 3 изучаются псевдодифференциальные операторы на торе с вырождающимся символом. В п.3.1 вводится класс символов. П.3.2 носит вспомогательный технический характер, в нем установлены некоторые результаты, используемые в дальнейшем. Наконец, в п.3.3 приводятся основные результаты - замена оператора с вырождающимся символом на оператор с разрывным символом (регуляризованный оператор) с точностью до вполне непрерывного слагаемого, факторизация регуляризо-вашюго оператора, т.е. приведение его к "каноническому" виду Qs, вычисление характеристик /, I и ае = / — V и корректная постановка задачи для регуляризованного оператора.
В главе 4 мы обращаемся к псевдодифференциальным операторам на произвольной компактной римановой поверхности. В п.4.1 для ри-мановой поверхности строится специального вида атлас, карты которого гомеоморфно отображают часть римановой поверхности в тор, что позволяет впоследствии локально сводить операторы на римановой поверхности к операторам на торе и, таким образом, использовать результаты глав 2 и 3. В п.4.2 для введенного в главе 2 класса псевдодифференциальных операторов на торе устанавливаются обычные для теории псевдодифференциальных операторов результаты об изменении главного символа оператора при замене переменной. На этой основе в п.4.3 вводится класс псевдодифференциальных операторов на римановой поверхности и устанавливаются некоторые их свойства. В п.4.4 вводится специальный метод продолжения оператора, заданного на одной карте (т.е. на торе) и удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям, до оператора на всей римановой поверхности, тождественного вне данной карты (т.е. на классе функций, равных нулю в данной карте). Эта конструкция систематически используется в дальнейшем, позволяя переносить результаты, полученные для операторов на торе, на операторы на римановой поверхности. В частности, с помощью этого продолжения в п.4.5 доказана обратимость (с точностью до вполне непрерывного слагаемого) оператора с невырожденным символом. Этот обычный для теории псевдодифференциальных операторов результат доказан специально для введенного класса символов, кроме того, метод доказательства, основанный на последовательном обращении оператора в картах с после дующим продолжением на всю поверхность, существенно используется далее в главе 5.
Глава 5 посвящена основной задаче - классификации и обращению псевдодифференциальных операторов с вырождающимся символом на римановой поверхности и корректной постановке задачи для таких операторов. В п.5.1 вводится класс символов и устанавливаются некоторые их свойства. В п.5.2 устанавливается представление оператора А = Р0А0 + а, где а - вполне непрерывен, Р0 - обратим, а Л0 - оператор с вырождающимся символом, действующий как тождественный вне окрестности области вырождения V. Эта процедура названа "локализация". На ее основе сразу же устанавливается разрешимость (с точностью до конечномерного ядра) уравнения Af = д на классе функций, равных нулю в окрестности области вырождения V. Кроме того, если область вырождения состоит из нескольких компонент связности, то эта же процедура "локализации" позволяет разложить оператор в композицию операторов, символы которых вырождаются только на части компонент связности V, а на остальной части римановой поверхности операторы действуют как тождественные.
П.5.3 посвящен обращению локализованных операторов по отдельности. Здесь окрестность области вырождения символа локализованного оператора отображается в тор, что позволяет использовать результаты главы 3 для операторов на торе (т.е. привести их к "каноническому" виду и т.д.), а с помощью продолжения оператора (конструкция п.4.4) соответствующие результаты переносятся на оператор на римановой поверхности.
В п.5.4 "склеиваются" операторы, локализованные в п.5.2 и, таким образом, получаются результаты для исходного оператора. Здесь с точностью до вполне непрерывного слагаемого даются корректные постановки задачи для уравнения Af = д вида (10), причем числа I, I и ае = I — I вычисляются в терминах главного символа оператора.
Глава 6 посвящена задаче с наклонной производной (9). В п.6.1 приводится постановка задачи и некоторые результаты о граничных псевдодифференциальных операторах, а в п.6.2 задача (9) сводится к псевдодифференциальному оператору на римановой поверхности D. Далее в п.6.3 формулируются условия на граничное векторное поле Ь(у), обеспечивающие возможность применить к соответствующему псевдодиффе-ренциалыюму оператору результаты главы 5 и, наконец, в п.6.4 общие результаты главы 5 переносятся на задачу с наклонной производной (9).
В тексте работы обычно через М обозначаются различные константы. Если необходимо подчеркнуть зависимость константы от параметров или функций, то указывается М{ ), М(/) и т.п. Кроме того, тер мин "область" употребляется не только для обозначения открытых множеств, но иногда, в целях единообразия, и для обозначения множеств, где символ обращается в нуль (область вырождения, локальная область вырождения). Впрочем, в тексте всегда точно указывается, какая именно "область" в каждом случае имеется в виду.
Основные результаты работы опубликованы в [23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42] и докладывались на семинарах:
• математические проблемы механики сплошных сред, под рук. чл.-корр. РАН Монахова В.Н. и чл.-корр. РАН Плотникова П.И., институт гидродинамики им. акад. М.А.Лаврентьева СО РАН, Новосибирск;
• качественная теория дифференциальных уравнений, под рук. проф. Зеленяка Т.Н., институт математики СО РАН, Новосибирск;
• геометрические структуры на многообразиях и орбифолдах, под рук. проф. Медных А.Д., институт математики СО РАН, Новосибирск;
• семинар отдела условно-корректных задач под рук. академика РАН М.М.Лаврентьева, институт математики СО РАН, Новосибирск;
• семинар отдела анализа и геометрии под рук. академика РАН Решетняка Ю.Г., институт математики СО РАН, Новосибирск и на конференциях:
• Conference on Complex Analysis and its Applications to Partial Differential Equations, Halle, 1988;
• Школа - семинар "Актуальные вопросы комплексного анализа", Ташкент, 1989;
• Восьмая международная школа - семинар "Качественная теория дифференциальных уравнений гидродинамики", Красноярск, 1992;
• Семинар им. акад. И.Г.Петровского, МГУ, Москва, 1993;
• Международная конференция "Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технических процессов)", Красноярск, 1997;
• третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98), ИМ СО РАН, Новосибирск, 1998;
• четвертый сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000), ИМ СО РАН, Новосибирск, 2000;
• конференции по математическим проблемам механики сплошных сред, ИГиЛ СО РАН, Новосибирск, 1997, 2001.
В заключение автор хотел бы выразить глубокую благодарность научному консультанту, профессору, д.ф.-м.н., чл.-корр. РАН Монахову Валентину Николаевичу.
Задачи с бесконечным индексом
Рассмотрим задачу сопряжения аналитических функций на плоскости С: где L = (—оо, +оо) - вещественная прямая, функции Ф±(і) есть граничные значения функций Ф±(г), аналитичных в D±. Будем рассматривать случай, когда axgG{t) — со при t — со. Пусть q 0 — целое, r(t) = t(t2 + l)---(t2 + q2). Введем весовые пространства Гельдера и, наконец, обозначим Я = H(a,q) = {f(t) Є C?(L) j Im/(i) = 0}, Я0 = Я П D . Кроме того, введем интеграл типа Коши Через Л+ обозначим класс функций G(t), которые можно представить в виде G(t) = X+(t)/X (t), где X±(z) аналитичны в , непрерывны и ограничены в D± = D L и X±{t) Є D%, [X i)]"1 eD%,te L. Положим Л" = {G(t) G l(t) Є Л+} и Л = Л+ U Л". Отметим, что условия на X±{z) эквивалентны следующим: Определение классов Л дано в терминах уже имеющегося решения задачи факторизации. В монографии [33, с.87-114] приведены весьма широкие подклассы классов Л , определения которых даны непосредственно в терминах самих функций G(t). Теперь введем классы последовательностей точек плоскости С, стремящихся к бесконечности. Пусть Z — {zm}, zm —ї со, тп — со, zm . L. Рассмотрим последовательности и функции что выполнены условия Условие (j) обеспечивает корректность определения класса Е, т.е. сходимость рядов в (jj) [33, с.98,104]. В [33, с. 117-118] приводится простое достаточное условие, обеспечивающее принадлежность последовательности Z классу Е. Установим соответствие между классами Л и Е. Пусть и функции Заметим, что если положить X±{z) = exp (Gz)), то для G{t) = X+(t)/X (t) выполнено условие (і) и Х± (z) ограничены и сверху и снизу в D±. Отсюда, в частности, следует, что хо С Л+ПЛ . Несложно установить сраведливость следующего утверждения [33, с.118-120]: Теорема 1.5 1. Если Z є , то G(t) = ехр{Ф0(2" 11)} Є Л+. 2. Если G{t) Є Л+, то ее молено представить в виде G(t) = G0(t)exp{ 0(Z\t)}, Goexo, ZeS, (1.14) причем решение задачи факторизации X+(t)/X (t) — G(t) будет иметь вид Следствие. Хо = Л+ П Л . Функции G(t) Є Л и последовательности Z Є S будем называть соответствующими (G - Z), если имеет место представление (1.14): При этом можно построить решение задачи факторизации вида (1.15) X±(z) = ехр(Ф(Со z) ± Ф(2±! \ z)), которое назовем каноническим. Соответствие G 4-ї Z разбивает Л± и Е на классы эквивалентности имеет место следующее соответствие между классами: Так, если indG(f) = ге, ае со, то, очевидно, G(t) Є Л±(±ае 0), причем класс х — x(G) содержит только функции того же индекса и при этом N(x) = {Z \ Z = {z\, Z2,... , 2Гае}}- Кроме того, если на Л+(Л ) и на Е ввести бинарные операции G(t) = G\(t) -6 (0 на Л+(Л ) и Z = Zx UZ2 на Е, то эти операции сохраняют классы и соответствие между ними. Фактически соответствие G f- Z или х - iV — это обобщение на бесконечный индекс того факта, что для корректной постановки краевой задачи при indG = ге требуется ровно ае дополнительных условий (условий разрешимости), т.е. каноническое решение однородной задачи имеет ровно аэ нулей (полюсов). Обратимся теперь к решению задачи (1.13).
Теорема 1.6 Пусть функция g(t) Є Ca{L), д(оо) = 0, G(t) Є Л, последовательность Z Є Е, Z - С±г при G Л и X±(Z) - каноническое решение задачи факторизации. Тогда 1. Если G Є Л+ ("положительный" индекс), то существует и един ственно решение задачи 2. Если G Є Л ("отрицательный" индекс), то для разрешимости задачи (1.13) в классе функций Ф оо) = 0 необходимо и доста точно выполнения условий причем операторы Р : Са(Ь) — C (D±) - непрерывны, /3 = a2/(2q + l). Теорема доказывается стандартным для теории краевых задач способом (см. [33, с.124]). Отметим, что условие д(оо) = Ф±(оо) = 0 определяет функции с точностью до прибавления констант д(оо), Ф оо), т.е. не является особенно обременительным. 1. Исходная краевая задана при G Є Л безусловно и однозначно разрешима тогда и только тогда, когда G Є Хо- 2. Если G Є Л+ и indG = оо (т.е. не является конечным), то исходная краевая задача имеет бесконечно много линейно независимых решений. Последнее утверждение следует из очевидной инвариантности класса N при изменении любого конечного числа членов последовательности Z eN. 1.2.2 Краевые задачи с бесконечным индексом на ри-мановой поверхности Пусть по-прежнему D - риманова поверхность рода р О, L - гладкий, замкнутый, простой, гомологичный нулю (т.е. разбивающий D на части .D ) контур на D, G(t), g(t) - функции, заданные на L, G(t) ф 0. Рассмотрим краевую задачу Ф+(і)- 3(і)Ф"(0 =$( ). teL (1.16) в случае, когда g(t) Є Ca(L), \n\G(t)\ ограничен на L, a avgG(t) может иметь бесконечный разрыв в некоторой точке t0 Є L. Аналогично плоскости С такую задачу будем называть краевой задачей с бесконечным индексом на D и по-прежнему будем считать #(о) = 0, Ф±(іо) = 0. Отметим, что задача с бесконечным индексом на плоскости имела локальный характер в том смысле, что все проблемы достаточно было решать только в окрестности бесконечности. В частности, можно считать, что все точки последовательности Z Є лежат в фиксированной окрестности бесконечности и т.п. Эта "локальность" задачи и позволяет без особого труда перенести все результаты предыдущего пункта на задачи с бесконечным индексом на D. Как и на плоскости, в случае "отрицательного" индекса мы вместо задачи (1.16) будем рассматривать задачу с дополнительными условиями разрешимости: причем функционалы грк(д) будут определены отдельно. Пусть U Э to — фиксированная окрестность точки to, z: U — С — локальный параметр. Будем в дальнейшем считать, что в терминах локального параметра z(L П U) — отрезок вещественной оси.
Тогда без ограничения общности положим, что Кроме того, если L - компонента связности L, содержащая точку t0, то полагаем, что L0 — гомеоморфный образ вещественной оси L = fo(o) L0 = [—00,00], to = 0(00), причем z(o(s)) Остальные компоненты связности L L\L = (J LP будем, как и ранее, j=i считать образами единичной окружности, j : L\ — LP. Введем пространства Гельдера В дальнейшем примем также обозначения LR = {t Є L \ \t\ R}, CR = {z Є С \ \z\ R], Сд = CR П {z І ±Іглг 0} и, соответственно, будем рассматривать классы Ca(L0R), Ca(CR), а также класс Я0Я = {f(t) Д и /( ) Є Я0} (см. п.1.2.1). Набор (a,q) будем считать фиксированным. Пусть Л+(Д L) - класс функций вида G{t) = X+(t)/X (t), t Є L, соответствующих мероморфным в D± функциям X±(z), не имеющим полюсов в окрестности to и таким, что Положим A (D,L) = {G(t) G l(t) Є A+( ,L)} и A{D1L) = A+{D,L)UA-{D,L). Пусть, как в п.1.1, До = о1г1""г минимальный дивизор, r . U фиксированы, j = \,р и Ко(р, z) - нормированный абелев дифференциал, кратный Дог-1, {ш\(р),... ,шр(р)} - соответствующий базис абелевых дифференциалов 1 рода на D, (о; (г) = О, А; ф j, k,j = 1,р) (см. леммы 1.1 и 1.2 п.1.1.1). В дальнейшем систему {K0(p,z); cjjt(p), к = 1,р] считаем фиксированной. Введем операторы Теперь через Xo{D, L) обозначим класс функций G(t), для которых функция удовлетворяет условиям: (Г - решетка периодов для системы u k(p), к = 1,р). Очевидно, класс xo{D,L) замкнут относительно умножения. Легко показать корректность определения Xo(D, L), т.е. сходимость интегралов (Ш). Лемма 1.9 Условия (і), (ii) для Go(t) выполнены тогда и только тогда, когда (?o(o(s)) Є Хо г е Хо класс функций на плоскости С (см. п.1.2.1). Утверждения леммы следуют из очевидного представления в терминах локальных параметров t где A(s,z) аналитична no s, z, \s\ i?, \z\ R, \A(s, z)\ Ms 2. Обратимся теперь к классам последовательностей на римановой поверхности D. Зафиксируем точки TQ Є Z?±\(t/ U L), r . L0. Введем функцию TQ Є ±\t/. Кривая интегрирования, соединяющая гиг, пересекает L в точке t0. Функция Ф(г р) - это аналог функции на плоскости. Нетрудно показать, что функция Ф(г р) обладает следующими свойствами [33, с.134-135]: 1. ехр Ф(г р) аналитична в D±, кроме точки г, где имеется простой полюс, ехр Ф(г г) = 0. . Граничные значения на L Ф (г І) принадлежат CQ (L), q 0, имеют разрыв 1 рода в точке to, приращение по L определяется равенством Далее будем рассматривать "бесконечные" дивизоры (последовательности) Пусть А = Д+ А_, где Д± С D±, {рт} = А П U - точки Д, лежащие в U, rm = \z{pm)\, (fm = arg2(pm). Введем характеристику и класс дивизоров (?, L) = {А (Д)(а 9) со}. Нетрудно показать корректность определения класса (JD, L), т.е. сходимость рядов Ф±(Д± t). Для А Є E(D,L) положим Ф0(Д І) = Ф+(Д+ t) Теорема 1.7 Классы A(D, L) и ( , L) двойственны в том смысле, что: 1. Ясли А Є ( , L), mo G(t) = ехр(Ф0(Д і) Є Л+( , L). 2. Zuvtu G(t) Є A±(L , L), /по существует дивизор А Є ( , L) такой, что G(t) = G(t) 3. Если положить
Операторы типа линейного сопряжения
Таким образом, окончательно докачана формула (2.55), чем и завершается доказательство леммы. Перное утверждение леммы 2.23 означает, чго при а 0 решение уравнения QH.f = у, у Є П (Т) неегда существует (т.е. коя;іі)о ранно пулю), а ядро оператора Q,v параметризуется /-мерными вектор-фупкцпямп, определенными на единичной окружности L\ и корректная постановка задачи для уравнения Q,rJ = у имеет вид (2.51). В свою очередь, при а . О решение уравнения Qa.j = у единственно (т.е. ядро равно пулю), но имеется коядро, которое параметри чуется / -мерными вектор-функциями на L\ и корректная постановка задачи „тля уравнения Q f = у имеет вид (2.54). Подчеркнем, чго во всех чтих случаях ядро (коядро) оператора бесконечномерны, а / и / чго не размерность, а количество произвольных функции. Наконец, при ;v 0 / = 0, а при а 0 / = 0 и в любом случае I. — I = а топологический инвариант главного символа ««(:,«,;). Добавление к оператору Q,v множителя /І + ПЦ. где п() оператор порядка -1 (см. (2.4G)) не меняет ситуацию принципиально. Действительно, тогда по : \\ .1(Т) — \Y{T) вполне ікчірермвеп и значит оператор Е + По нетеров и нулевого-индекса, т.е. имеет конечномерные ядро п коядро одинаковой размерности. Пусть а1 0 и В — QA\E + п0). Имеем Пусть оператор Е + о() имеет ядро размерности // с базисом 1ц,... ,/ „: и, соответственно, коядро той же размерности: Cfc : 11 (7 ) — С линейно независимые функционалы, Е + /ilt тоже нетеров оператор нулевого индекса. На пространстве Л"() = kerC „, фупк-циоиалы гц. не обязательно линейно независимы, пусть число линейно независимых г па Л о равно ш », тогда можно считать С,... , ;„ линейно независимы на A (), a Cj{f) = О, .у = m + 1,;/ при / Є Л"». Выберем /" Є Л о так, что (Л о что бесконечномерное п од п ростра пет но Л о конечной корачмерпостп т). Тогда ич (2.59) и (2.GO) получим /о Є Л о, т.е. и конечном счете и ядро оператора В добавилось п — т проичвольпых констант п помнилось столько же услоииіі рачрсіпимоети иа правую часть //. Аналогично при а 0 у оператора (Е + \»)QiV может появиться конечномерное ядро и столько же услоииіі добавится к условиям рачре-ишмости. Таким обра чом, иегеров пулевого индекса множитель Е + \п в представлений (2.4G) добавляет одинаковое (конечное) число констант в ядро п коядро оператора.
Множитель Е + по в представлении (2.1G) можно представить как добавление к оператору Л конечномерного слагаемого. Действительно, пепольчуя лемму 2.1G п.2.1, представим Е 4-1\» = Е + I\\ + \%. где /v"і конечномерный, а Е + (\\ обратимый оператор. Тогда, введя операторы Пусті. Л = oi {(io{z, у()) + f -i( 0) псеидодиффсрепциальиыи оператор пулевого порядка, главный символ которого iu(z, p) может обращаться в пулі.. На характер обращения в нулі. (iu(z, ) наложим следующие условия: Заметим, что выполнения усікший (3.2) достаточно потребовать только при кр Є [(), тг]. Кроме того, функция liu(z,ip), нообще говоря, неодпошач-пн, о;інако выполнение условия (3.2) не чависит от выбора непрерывном ветви логарифма. В силу (3.1) главный символ а()(с, ) вырождается только при sinip = 0. При чтом условия (3.1), (3.2) автомапикч ки выполнены, если символ a()(clV;) не вырождается, «о(с, )1 М = const, Как и в п.2.1, 2.2 введем индексы: Так как a0(z, p) ф О при sin у? 0, то определение индексов к\.2 и а корректно. Далее будем представлять оператор Л в виде оператора тина линейного сопряжения: Аналогично п.2.2.1, введем символы г/ (с,). = %{1 удоилстворяю-щие условию Соответственно, Отличие от п.2.2.1 состоит втом, что наспмвол (Iі (с.) не накладывается никаких условий однородности и гладкости по . Пусть Лемма ЗЛ Пусть .-Iі Є A,j, Л„ = Л + Л" Є Д„ и А - Л,.ЬМ + A2S оператор типа линейного сопряжения. Тогда: Доказательство. Доказательство первых трех утнерждепиП леммы полностью аналогично доказательству леммы 2.19 п.2.2.1. Обратившись к четвертому утверждению, с учетом формулы (2.31) н.2.2.1, получим и аналогично ДЛо = Е. Лемма докачана. Как и в п.2.2, представим и из условии (2.5) п.2.1 и n()(z, ) ф 0 при sin у? ф 0 следует, что jit(z, ) удовлетворяет условию (2.5) при sin у? f o 0. Лпалогичпо п.2.2, пусть Установим ряд вспомогательных результатов, относящихся к (функциям Отменим, что для функции /(./;,у) ф 0 /оО іУ) непрерывна па торг Т. При чтом во втором условии леммы при А; = 0 имеется в виду оценка In / вида (3.9) по модулю, а при А 1 функции (ln/)(fc) непрерывны паГ (ем. формулу (3.10)). Доказательство. Первое утверждении леммы срачу следует пч свойств интеграла типа Копш в пространствах Гельдсра (см., панрнме] , 3, Л\). Обратимся ко второму утверждению. Проичводпые In/ имеют и общем случае вид откуда, испольчуя мерное утверждение леммы 3.2, срачу получим оставшиеся утверждения теоремы. Установим теперь оценку мо,туля для (jk(z, p), li[z,p) при s unp -4 0.
Функции «*(;:, ^), c{z,y)
Утверждение теоремы 3.11 очпачает, что при а1 0 оператор .-1 обратим справа и его ядро параметризуется / = а -мерпыми вектор-функциями одной переменной; в случае а 0 оператор Л обратим слева и его коядро параметричуется I — н -мсриыми вектор-функциями одной переменной. Ич-ча вырожд(чшя символа оператора Л репкчшя чадач (3.10), (3.13) будут иметь, вообще говори, меньшую гладкость, чем нравам частії //(с). Обратимся к особенностям вырождения символа по переменной . По sin Ж)І = І»2І/ІСІ - ЇЇ, а, скажем, при »2/і ) » «0(=, v (0) Л/. В частности, что очпачает, что па функции вида /(-)=//(- )-(, ./ =consl., оператор Л действует как оператор с певьірождаюіцпмся символом Ф, (І, "2))і И і (./ , »2)) ЛЛ а на функции вида f{z)=fj[zi).::],./ =cons(, как оператор с вырождающимся символом «(с, (//../)) — "i оо. Другими словами, действие операторов Л и Л в чем-то подобно действию оператора интегрирования по переменной Z\. Естественно было бы ожидать, что и обобщенный обратный оператор /о (понижающий гладкость) дейстнует и -пом смысле аналогично операции дифференцирования по переменной С, т.е. понижает гладкость только по переменной с(. Уточним, что имеется и и иду. Пусть = (і,&) Є К2, н, аналогично, И".(г/2,Т). Услонис /(с)еП ((у,7 ) ()акттгкч-кіі означает, что f(z) имеет рачличичю гладкость по переменным С п c-j. Гак, при г, = г» =const /(:« . с2)ЄіГ;, а при z2 = г.» Покажем, что / : П Л /, Л - Н (Г), Л, : ІГД ДЛ -» 1Г2"(7 ) ііепре])Ьіінп і. Смысл чтото утверждения и состоит и том, что обратные операторы понижают гладкость только по переменной Z\ : Уу.і ,а ж личину S, а Ра па ноли чину 2 5. Пусті» D римапона поверхность, т.е. двумерное компактное апалитиче-ское многообразиебез края 2(), 21, 33. Чтобы удобнеебыло использовать результаты глав 2 п 3, будем строить карты многообразия I) как отображения и тор, т.е. карта что гомеоморфизм // : У}, —» D, 7), С Т (ем. далее ц.4.1.2,4.1.3,4.1.4).
Введем классы бесконечно дифференцируемых функций па D. Пусть Т0 С Т. Как обычно, через C(TQ) будем обозначать множество двоя-копериодических функций на Я2, имеющих ограниченные производные любого порядка и тождественно равных пулю вне Т(). Через C(D) будем обозначать множество функций / : D — С таких, что и для любой карты h : 7/, — D, 7}, С Т. Соответственно отображении у :Т — D будем называл» класса С0, если и для любой карты h. Для исевдодиффереициалыюго оператора не существенна комплексно аналитическая структура многообразии, і юз-тому будем рассматривать D с точностью до гомеоморфизмов класса С. другими словами, в качество атласа можно взять любой набор гомеоморфизмов //,- : Tj — D класса С, такой, что множества Dj = lij{Tj) образуют покрытие D и гомеоморфизмы hj сохраняют ориентацию, т.е. отображения hjl о hk : Tk - Tj имеют положительный якобиан. В дальнейшем будем употреблять термин "гомеоморфизм класса С" для отображения h : 7}, — А 7/, С Т такого, что //J1 о// є С(7/,) и имеет положительный якобиан. Очевидно, класс таких гомеоморфизмов по зависит от выбора атласа (при сохранении ориентации многообразия, см. J2, 20, 33). Обычным образом определим классы финитных функций: Приводом несколько стандартных уиверждепий о функциях на многообразии, которые будем использовать в дальнейшем. Пусть А С А С А причем включение А) С А компактное, т.о. замыкание D0 состоит только из внутренних точек А- Утверждение 1. Существует функция \("г) Є С(?(А) такая, что х(іи) = 1 при w А)- В дальнейшем такие функции будем называть "срезающими". Утверждение 2. Пусть /(» ) Є C X {D), тог;ці оуіцоствуот ()упкция f{w) Є C?{DX) такая, «іти Действительно, достаточно взять где \(Ї/») срезающая функция из утверждения 1. Функция f(w) будет продолжен нем функции f[w) из области А) Д нуля вне области А класса С. Таким же способом можно строить продолжения до пуля функций любого класса гладкости. Пусть L кривая па А функция /( ") ф 0 і і і w Є L. Введем, как и в гл.2,3, понятие индекса /(// ) по кривой L: Утверждение 3. Пусть f(ic) ф 0 непрерывна при w Є А, А связно и индекс /(ш) но любой замкнутой кривой в А равен пулю.
Тогда можно однозначно определить в А непрерывную ветвь 1п/(» ). При том гладкость у логарифма такая же, как и у /(// ). Пусть h : TQ — D гомеоморфизм класса С, Т() С Т, Д( = //(Т()). Для функций /(г) Є С(Т0) и /(w) Є С( Д ) нведем операторы замены переменной: Очевидно, Л : Cg(A ) - Q(7b), /Г1 : С(Ти) - C(f (Д,). Операторы замены переменной можно определить и для функций любого другого класса гладкости. Отметим, что если гомеоморфизм h = h\ о h,2, то оператор замены переменной Пусть /ij :Tj -ї D атлас па D, Dj = hj(Tj), Tj компактно иключепы в Tj и срезающие функции Xj Є Cfi{Tj), \j{z) = 1 при с Є Tj. Тогда можно построить набор срезающих функций па D: причем Xjiw) — 1 ПРИ " Є -Oj = hjiTf)- Потребуем, чтобы множества Z)j покрывали все D, т.е. Римапова поверхность рода нуль это компактифицированная комплекс-пая плоскость D = С = Си {сю}. Для нее будем пепольюнать стандартный атлас: пусть атлас состоит in двух карт: Карты /j )j образуют атлас D Vfi 0. Для единообразия будем в дальнейшем считать множества T(S) подмножествами тора Соответственно функции f(z) Є С{Т(())) будем считать двоякоперио-дическими, т.е. С {Т{6)) С С{Т). Выберем и зафиксируем 0 Si 82 5-.% S\ fir, 1 и обозначим Т" = Т{бр), Dg,, = А),, ( „), v = ЇТ5. Очевидно, Т" С Т"н, р = ї ї, причем включения компактны. Возьмем срезающие функции Соответственно введем срезающие (функции на D: Очевидно, функции Хо,і( ") удовлетворяют условию (4.2) для любого р = 1,4. При этом 4.1.3 Атлас для римановой поверхности рода р = 1 (тора) Представим тор как римапову поверхность функции v = \/ч\и г — 1), т.о. как множество или, наконец, как два экземпляра сферы С, разрезанные по промежуткам [—1,0] и [1,оо] и склееные через противоположные берега разрезов [19, с.237-238,245]. Для упиформизации тора будем использовать функцию (10, с.103-1С8. 0{z) двоякопериодичоскан функция (т.е. тогда функция tj)(z) удовлетворяет уравнению и отображение z —ї w = {u,v): и = 0( )i " — V ( ) ч. конформный гомеоморфизм квадрата T на риманову поверхность функции v = у/Ци - и){и - ег)(и -сл) 119, с.237-238. Построим с помощью tj (z) гомеоморфизм Т па тор D нида (1.7).
Решение уравнения. Гладкость решении
Третье утверждение теоремы означает, что при умножении операторов их главные символы перемножаются с точностью до вполне непрерывного слагаемого. Доказательство. Пусть ,\"(ш), j = О,/; — 1 разҐмісппе единицы, построенное в лемме 4.1 с помощью срезающих функций ,Yj ( " )» т-- I. fe=o Тогда из (4.6), (4.20) получим \{}х) = л".\] = Л."і J = 0,/ — 1. Представим где Z?j = .4Xj- Для доказательства непрерывности оператора /1 достаточно доказать непрерывность в W-l{D) операторов Bj, j = (),/ — 1. По причем из построения Xj " (см. (4.20), (4.0)) и условия локальности для оператора Л следует, где Aj локальное представление оператора А (4.28). Так как по условию Aj пеевдодифференциальиый оператор пулевого порядка на Т, то в силу теоремы 2.3 Aj : \\ (Т) — И СП непрерывен. Тогда из (4.34) следует непрерывность оператора С\ : W(D) —» \V(D). Итак, первое утверждение теоремы доказано. Далее, если главный символ Л равен пулю, то Aj операторы порядка -1, т.е. вполне непрерывны в \V(T) (теорема 2.2 гл.2). Тогда из леммы 4.0 следует, что оператор С\ вполне непрерывен в W(D), откуда непосредственно елсугует второе утверждение теоремы. Обратимся к композиции Со = АВ. Докажем вначале условие локальности для С0. Пусть siippri Ланррта = 0. Возьмем множество U-л Э suppTi такое, что (/зПкиррг = 0 и построим срезающую функцию т(ш) Є С {Ьгз), причем T(W) = 1 при w Є ниррТ. Тогда примем по построению т и и силу условия локальности операторы тВт2 и т\А{\ — т) вполне непрерывны в IV(D), а операторы тхЛ и Вг-і просто непрерывны (первое; утверждение теоремы). Отсюда Т\С»Т2 вполне непрерывен в W-l D). Теперь возьмем локальные представления С уметом условия локальности, (4.20), (4.6) и (4.35), (4.35) имеем где a : 11 ( ) МЦВ) иполие непрерывен. 1-І: теоремы 2.5 и.2.1 следует, что Cj = AjBj : \\ {Т) — \\ .%(Т) псевдодифферепнипльпые операторы пулевого порядка с главным символом (J{)(z,tp) = г/, ,(с, р)///,(z, tp). Очевидно, символ CQ(C, v?) удовлетворяет условиям (4.21), (4.22). Тої via in леммы 4.7 следует, что С исеидодифферепциальпый оператор нулевого порядка. Найдем главный символ оператора С. Пусть \(j = / j(.\")t Vlj — / (.\j)-И:з вида \" (4.33) и (формул (4.20), (4.G) следует, что ГА. ) = (\j ) Кроме того, для символов «о, Ьц выполнены условия (4.30) с Tkj — TjL \fc = \{., откуда, перемножив равенства (4.30) для м.0 и / ( , получим Вочьмем локальные представления оператора С в виде Подставив вместо С ого выражение, получим Тогда по теореме 4.3 главный символ оператора CV имеет вид при 2 Є Т]!, чем и завершается доказательство третьего утверждения. Четвертое утверждение теоремы сле;іуот ні второго и третьего.
Пусть Л : \Y(D) — W . D) исондодиффероицпальпый оператор нулевого порядка на D. Будем говорить, что символ оператора Л пс. иы-рождастся, если главный символ локальных представлений (4.28) a3Q(z,ip) Ф 0 при \j(z) ф 0. Как следует из (формулы (4.30), класс операторов с иевырождающимся символом не зависит от выбора атласа и срезающих функций Возьмем в качестве срезающих функций \j( " )i ./ = (), / — 1, тогда символ a3Q(z, р) ф О при z Є Tj. Если род поверхности р = 0, то T j это круг (п.4.1.2), т.е. любая кривая в Tj гомотопна пулю и, следовательно, индекс ао(г,у ) по любой замкнутой кривой в Tj ])ав(чі нулю. Если р 1, то области Tj содержат кривые L (7r) и L2(7r/2) (п.4.1.4). Введем индексы символи оператора Фактически индексы символа вычисляются по всем образующим гомотопической группы 7Ti(D). Пз формулы (4.30) с учетом того, что индекс «/, no у? равен пулю, еле;густ, что набор индексов к]-2, j = О, р — 1 не зависят от выбора атласа и срезающих функции, причем индексы к\ в другом локальном представлении это индексы «{; , А; ф j по кривом, обходящей одну из дырок области Т. В частности это означает, что если нее индексы символа равны нулю, то индекс функции ««(г, р) по любой замкнутой кривой в Tj равен нулю, j = 0,р — 1. Пусть \{ш) Є C (D), Л : U ;(D) - 1Г2"(У) лнпейпьііі оператор, удовлетворяющий условию В дальнейшем мы это условие будем записывать в виде подразумевая, что в правой части стоит оператор умножении па функцию 1 — \. Если Л : \\ -2(Т) — И (Т) оператор с символом a{z,t), z Є Т, (Е Z2, то условие (4.39) очевидно означает, Лемма 4.8 Для. пссвдодиффсрспцпалышго oncjMimojxi нулевого порядка па торс Действительно, и силу (4.23) тогда, беря = о-/ " переходя и равенстве (4.40) к пределу при /. —» +со, получим (1 - .\)«o(-.v(«)) — 1 — Лі откуда сразу следует (4.41). Лемма 4.9 Пусть операторы, Л п 13 удовлетворяют условию (4.39). Тогда: 1. Композиция АВ удовлетворяет (4.39). 2. Если А обратим справа, то правый обратима А 1 шакоісе удовлетворяет (4.39). При этом если f Є kerA, т.е. Af = 0, то (1 - X)f = о. 3. Если А обратим, то обратный А х удовлетворяет (4.39). Доказательство. Во-первых, если А и В удовлетворяют условию (4.39), то (1 — х)АВ — (1 Л ) = 1 — Xi r-v- еиравс;иши( первое утверждение леммы. Далее, пусть Л правый обратный к .4, тогда с учетом (4.39) т.е. Л-1 также удовлетворяет (4.39). Наконец, если Af = 0, то Итак, второе утверждение леммы полностью докачано. Третье утвержде-пие следует из второго. Теперь опишем конструкцию продолжения оператора па торе A : W(T) —» \У[Т), удовлетворяющего условию (4.39), до оператора па римановой поверхности D Н{А) : И .(/)) — \\ {D), которой будем систематически пользоваться в дальнейшем. Пусть А : \\ .]{Т) - И:;(Г), \(с) Є C?(U), V С Г, примем для Л выполнено условие (4.39) с \ = Х- Тогда Теорема 4.5 Пусть A : W -ЦТ) — W. T) удовлетворяет условию (1.39) X = л(2)- Тогда: 1. Н(А) также удовлетворяет (4.39) с \ = \(" )- 2. Если В : Wj{T) - \V.;{T) удовлетворяет (4.39), т/ш Н{АВ) = Н(А)Н{В). 3. /?отш Л обратим справа, то Н(А) тоже обратим справа и Н{А) Х — Н(А 1), при этом f(z) Є kerA = //- (/ I w) Є kerll(A). 4. Если А обратим, то H(A) обратим и //(.4) = #(Л" ). Доказательство. Используя (4.39), получаем (1 - х)Н{А) = (1 - x)irlAxh + {\ - х)2 = /r (i - \М\//. + (1 - л У2 = т.е. справедливо первое утверждение теоремы. Теперь обратимся ко второму утверждению.
С учетом доказанного первого утверждения теоремы и формулы (4.43) имеем Второе; утверждение доказано. Далее, очевидно единичный оператор удовлетворяет условию (4.39), причем Н(Е) = Е, тогда из второго утверждения теоремы с учетом леммы 4.9 срачу следует Н(А)Н(А ]) — Е для правого обратного оператора и Н(А)Н(А 1) = Я(Л )Я(Л) = Е для двустороннего обратного. Наконец, пусть / Є кегЛ, т.е. Л/ = 0, тогда и і второго утверждения леммы 4.9 елсугует, что (1 — Наоборот, если H(A)f = 0, то с учетом мерного утиерждеимя теореми тогда hf = / Є И 2"(і/) и аналогично предыдущему 0 = II(A)f = Л-1 Л/, откуда Af = 0. Теорема полностью докачана. Теорема 4.6 Пусть А : И Т) —» И (Т) псевдодифпфсремциалъиый оператор пулевого порядка на торс Т, удовлетворяющий условию (4.39) с х — \(z). Тогда: 1. Н{А) = С + а, где п : W{D) —» W . D) вполне, непрерывен и удовлетворяет условию (1 — \)а = 0; С : И (/}) — U j (D) нсев-додифн/)е.репциал1)Ный onejnimop нулевого порядка ни D, удовлетворяющий условию (4.39) с \ = \( ")- 2. Если главный символ onepamojia А а(,(с,9) ф 0. (с, у?) 7\ иш символ оператора С не вырождается. 3. Если при лпом Ш(/мо(с, у?) /Л то «с« индексы, символа uucjximojxi С равны пулю. Доказательство. Пусть А = ор(«()( , v(0) + fI-i( »0) = - о + f Л0 = ор(а0(с,9(О))- Так как А удовлетворяет условию (4.39) с ,\ = \, го в силу леммы 4.8 имеем и, очевидно, (1 — \)#о(а) = 0, а и:ч следствия леммы 4.G и.4.3 следует, что #о(п) : И J (Z)) — ir2 (D) вполне непрерывен. В свою очередь с учетом (4.44) и ич леммы 4.7 п.4.3 следует, что //о(Л()) : U (D) —» 1Г (Л) пссв-додифферепциальпыП оператор нулевого порядка, откуда, очевидно, и С = #о(Л()) + 1 — \ пеевдодифферепцпальнын оператор пулевого порядка, причем нч (4.44) м первого утверждения теоремы 4.5 следует, что С удовлетворяет условию (4.39) с \ = \(и ). Итак, первое утверждение теоремы доказано. Далее, пусть «о(г, р) Ф 0. Из той же леммы 4.7 н.4.3 следует, что главный символ оператора С Наконец, из (4.44) следует, что (1 — г,)г7{) = 1 — г,, откуда Но если «о(с,v7) 7 б\ ч » ()(=1 ) Ф ", чїікіім образом при \j{ ) ф О символ rf, 7 0, т.е. доказано второе утверждение теоремы. Наконец, если индексы a0(z, p) по V:l равны нулю, а индекс a{)(z,ip) по р равен пулю в силу (4.21), то индекс nQ{z, p) по любой замкнутой кривой в Т равен нулю. Тогда из (4.47) очевидно следует, что индекс c(}(z,ip) по любой замкнутой кривой в 7} равен нулю, откуда непосредственно следует третье утверждение теоремы. Теорема полностью доказана. Теорема 4.7 Пусть 7b,i(w) С (\\),\), \Ь С \ i, причем где Л,, : \V(D) — И -О) удовлетворяет условию (4.39) с. \ = ru(»»), можно представить в виде где fi(z) есть решение уравнения Обратно, если /, есть решение уравнения (4.51), то j\ = 0 ;і;ш z U\ и функция f(w) вида (4.50) сеть решение уравнения AJ = //. Доказательство. II условии (4.48) следует, что Обозначим г0,1 = / (7o,t с).