Вопросы поточечной сходимости в среднем сумм Фурье и их линейных средних по некоторым ортогональным системам Магомед-Касумов Магомедрасул Грозбекович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Приближение функций из весовых пространств Лебега и Соболева с переменным показателем суммами Фурье по системе Хаара 19

1.1. Предварительные сведения 19

1.1.1. Система Хаара 19

1.1.2. Пространство Лебега с переменным показателем 22

1.1.3. Весовое пространство Лебега с переменным показателем 25

1.1.4. Класс весовых функций НР(.)(Е) 30

1.1.5. Класс весовых функций Ар (б) 45

1.2. Базисность системы Хаара в весовых пространствах Лебега с переменным показателем 47

1.2.1. Введение 47

1.2.2. Основной результат 48

1.3. Приближение функций суммами Фурье - Хаара в весовых пространствах Лебега и Соболева с переменным показателем 52

1.3.1. Введение 52

1.3.2. Предварительные сведения 52

1.3.3. Приближение функций из весовых классов Соболева с переменным показателем суммами Фурье - Хаара 55

1.3.4. Приближение функций из весовых пространств Лебега с переменным показателем суммами Фурье - Хаара 59

1.4. Сходимость прямоугольных сумм Фурье - Хаара в пространствах Лебега с переменным показателем 64

1.4.1. Постановка задачи 64

1.4.2. Вспомогательные утверждения 65

1.4.3. Основной результат 67

Глава 2. Некоторые вопросы поточечной сходимости 71

2.1. Особенности поведения частичных сумм Фурье - Хаара в двоично-иррациональных точках разрыва 71

2.1.1. Введение 71

2.1.2. Вспомогательные утверждения 72

2.1.3. Основной результат 76

2.2. Аппроксимативные свойства средних Валле-Пуссена триго нометрических рядов на классах кусочно гладких функций 78

2.2.1. Основные понятия 78

2.2.2. Вспомогательные утверждения 79

2.2.3. Основной результат 95

Заключение 100

Литература 103

• Весовое пространство Лебега с переменным показателем
• Приближение функций из весовых пространств Лебега с переменным показателем суммами Фурье - Хаара
• Вспомогательные утверждения
• Аппроксимативные свойства средних Валле-Пуссена триго нометрических рядов на классах кусочно гладких функций

Введение к работе

Актуальность. Рассмотрим первое направление (глава 1). В последние годы стремительными темпами растет число работ, так или иначе связанных с пространствами Лебега с переменным показателем (см. монографии L. Diening, P. Harjulehto, P. Hasto; И.И. Шарапудинова; D. Cruz-Uribe, A. Fiorenza, М. Ruzhansky и приведенные там списки литературы). Данные пространства естественным образом возникают в многомерном вариационном исчислении (Q. Zhang, Z. Qiu, X. Liu, В.В. Жиков), в теории дифференциальных и интегральных уравнений (L. Diening), в теории и приложениях по обработке сигналов и в ряде других областей. Поэтому изучение и развитие теории этих пространств не только представляет теоретический интерес, но и имеет практическую значимость.

Первое систематическое исследование топологии этих пространств было дано в работе И.И. Шарапудинова (1979). В частности, в ней было показано, что если 1 < р(Е) < р(Е) < оо *, то топология пространства №(^Х\Е) нормируема и одну из эквивалентных норм можно определить, полагая для / Є Ц}^х (Е)

_/м

Шр(-) = 11/1^(-)(^) = ¹¹¹¹ і" ^>0: /

р(х)

а

fi(dx) < 1}.

Е

В настоящее время имеется большое количество других работ, в которых детально рассмотрены эти пространства и их свойства. Более подробную историческую справку по становлению теории этих пространств можно найти в упомянутых работах.

В последнее время активно развивается теория приближений в пространствах Лебега с переменным показателем (L. Diening, P. Harjulehto, P. Hasto; И.И. Шарапудинова; D. Cruz-Uribe, A. Fiorenza, М. Ruzhansky). Наиболее важные результаты, полученные в этих работах, связаны с так называемым условием

*3десь и далее символами р(М), р(М) будем обозначать essinfp(x) и esssupp(x) соответственно

хЄМ _хеМ

Дини - Липшица

(1)

х-у

\р(х) -р(у)

которое впервые в контексте пространств Лебега с переменным показателем появилось в работе И.И. Шарапудинова (1986). Среди основополагающих результатов, полученных в этом направлении, можно отметить следующие: базисность системы Хаара (И.И. Шарапудинов, 1986), ограниченность максимальной функции Харди - Литтлвуда (L. Diening, P. Harjulehto, P. Hasto, A. Nekvinda, D. Cruz-Uribe, A. Fiorenza, C.J. Neugebauer), базисность тригонометрической системы (И.И. Шарапудинов, 2007), базисность системы нормированных полиномов Ле-жандра (И.И. Шарапудинов, 2009) и др. В связи с тематикой диссертации особый интерес для нас представляют результаты, которые связаны с системой Хаара. Остановимся более подробно на некоторых из них.

В статье И.И. Шарапудинова было показано, что система Хаара является
базисом в D>^ = U>(^X\E), Е = [0,1], тогда и только тогда, когда переменный
показатель р(х), 1 < р(Е) < р(Е) < оо, удовлетворяет условию Дини - Лип
шица. Эта статья появилась в 1986 г. Однако до последнего времени вопрос о
скорости сходимости сумм Фурье - Хаара в метрике пространства 1Л^Ж) оставал
ся открытым. Этот пробел был устранен совсем недавно в работе И.И. Шара
пудинова (2014), в которой доказано, что если переменный показатель р(х) удо
влетворяет условию (1), то для сумм Фурье - Хаара Q_n(f) имеет место аналог
первой теоремы Джексона вида ||/ - Q_n(f)\\_P(-) < c(p)Q(f, ^)р(-), где Q(f, 6)_р(.)
- модуль непрерывности в определенный с помощью функций Стеклова.

В той же работе исследована задача об оценке отклонения сумм Фурье - Хаара от функций f(x) Є W\ n, где W\s - пространство Соболева с переменным

показателемр(х), и доказано, что ||/ - Q_n{f)\\_P(.) < „II/%()

Целью главы 1 данной работы является перенос некоторых упомянутых

выше результатов, полученных для системы Хаара, на многомерные и весовые

пространства Лебега.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1. Обобщение на весовые пространства ряда свойств и утверждений, полученных для безвесовых пространств Лебега с переменным показателем.

2. При построении рядов Фурье - Хаара для функции f(x) Є L^ =

(х) ^l

І/ад ([0,1]) приходится вычислять коэффициенты Ck = J f(x)xk{x)dx.

о Для того чтобы эти коэффициенты были конечны, необходимо и достаточно, чтобы f(x) была суммируемой. В связи с этим появляется требование

/ул t rv* \ -1

о вложенности Lw С L , и возникает задача исследования условий на вес w(x), при которых упомянутое вложение будет выполнено.

3. Выше мы говорили об исследовании условий, при которых возможно по-

/ул t rv* \

строение рядов Фурье - Хаара для произвольной функции / Є LQ . Естественным развитием этого исследования является вопрос о сходимости рядов Фурье - Хаара в метрике Lw к соответствующей функции, т.е. возникает задача поиска условий на показатель р(х) и вес w(x), при которых система Хаара будет базисом в Lw .

4. После того, как будут найдены условия, обеспечивающие базисность си-

/ул t rv* \

стемы Хаара в LQ , встанет вполне закономерный вопрос о том, с какой скоростью ряды по указанной системе сходятся к самой функции. Таким образом, появляется задача о получении аналогов первой теоремы Джексона для сумм Фурье - Хаара в весовых пространствах Лебега с переменным показателем.

Перейдем теперь к рассмотрению второго направления (глава 2). Как было отмечено в самом начале, оно включает в себя две задачи.

Первая задача связана с вопросами поточечной сходимости сумм Фурье - Хаара

П г,

Qn(f,x) = J2^ckXk(x), с_к= f(t)xk(t)dt. (2)

k=i {

Подобные задачи рассматривались многими авторами (см., например, работы Б.И. Голубова, П.Л. Ульянова и цитированную там литературу). В частности, сначала Г. Фабер (1910), а затем П.Л. Ульянов (1963) показали, что для функций ограниченной вариации суммы Фурье - Хаара (2) обладают следующими свойствами:

1. Суммы (2) сходятся во всех точках непрерывности функции f{t).

2. Суммы (2) сходятся во всех двоично-рациональных точках.

3. Суммы (2) существенно расходятся в каждой двоично-иррациональной точке разрыва функции fit).

При проведении практических экспериментов по приближению разрывных функций суммами Фурье - Хаара было обнаружено, что если двоично-иррациональная точка разрыва является рациональной, то последовательность частичных сумм Фурье - Хаара в данной точке принимает относительно простой вид.

Целью 1 главы 2 является более детальное исследование поведения сумм Фурье - Хаара для функций ограниченной вариации в окрестностях рациональных двоично-иррациональных точек разрыва.

Перейдем к рассмотрению второй задачи главы 2. Пусть f(x)- суммируемая 27г-периодическая функция. Для каждой такой функции можно определить частичную сумму Фурье порядка п:

а₀

+

к=\

S_n(f, х) = — + 2_, ^ак cos кх + bk sinкх,

I 2тг I 2тг

где (ik = — J f(t) cos ktdt, bk = — J f (t) sin ktdt.
ъ о к о

Суммы Валле-Пуссена представляют собой усеченные средние арифметические частичных сумм Фурье:

V^(f,x) = -J2Sn_+k(f,x), n>0,m>l.

I I и

к=0

Аппроксимативные свойства сумм Валле-Пуссена в равномерной метрике для некоторых классов непрерывных и гладких функций рассматривались многими авторами (СМ. Никольский, С.А. Теляковский, А.В. Ефимов, А.А. Захаров, Е.Ю. Овсий, А.С. Сердюк). В интегральной метрике исследования подобного рода можно найти, например, в статьях СП. Байбородова (1980), И.И. Ша-рапудинова (2012). Однако вопросы локальных аппроксимативных свойств сумм Валле-Пуссена на классах кусочно гладких функций до последнего времени оставались малоизученными.

Целью 2 главы 2 является исследование скорости приближения кусочно гладких функций суммами Валле-Пуссена.

Основные положения, выносимые на защиту:

3. Найдены необходимые и достаточные условия базисности двумерной системы Хаара {Хп,т(х, у)} в пространстве Лебега і/(^ж'^у)([0,1]²) с переменным показателем р(х_} у).

4. Рассмотрены вопросы базисности системы Хаара в весовых пространствах Лебега Lw . Найдены достаточные условия на показатель р(х) и вес w(x), при которых система Хаара образует базис в Lw .

5. Исследована скорость приближения функций из пространств Лебега LQ и Соболева W_p(.)_>w суммами Фурье - Хаара в терминах модуля непрерывности (3).

4. Рассмотрены условия вложенности LQ С L . Получены достаточные условия на вес, при выполнении которых указанное вложение выполнено. Было также показано, что эти условия близки к необходимым.

5. Изучено поведение частичных сумм Фурье - Хаара для функций ограниченной вариации в окрестностях рациональных двоично-иррациональных точек разрыва.

6. Исследованы локальные аппроксимативные свойства сумм Валле-Пуссена V^(/, х) на классах кусочно гладких функций f(x). Получена оценка скорости стремления величины |V^(/, х) — f(x)\ к нулю для таких функций.

Научная новизна. Все результаты диссертации, выносимые на защиту, являются новыми.

Научная и практическая значимость. Результаты, полученные в настоящей диссертации, на наш взгляд, представляют интерес для научного сообщества, поскольку вносят определенный вклад в развитие бурно развивающейся теории приближений в пространствах Лебега с переменным показателем, а также в развитие теории тригонометрических рядов Фурье. Стоит отметить к тому же, что результаты данной работы могут найти прямое применение в практических вопросах, таких, как обработка, сжатие и хранение цифровых сигналов (изображений, звука, видео).

Степень достоверности. Основные результаты вместе со строгими математическими доказательствами опубликованы в ведущих рецензируемых научных журналах. Полученные результаты не противоречат результатам других авторов по данной тематике.

Апробация работы. Результаты данной диссертационной работы докладывались на конференциях:

Международная научная конференция «Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование» (Волгодонск, 4-8 июля 2011 г.),

VI Региональная научно-практическая конференция «Информационные технологии: математические аспекты» (Дагинформ-2011) (Махачкала, 26 ноября 2011 г.),

16-я Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения (г. Саратов, 27 января - 3 февраля 2012 года, статус -международная),

8-я Региональная школа-конференция молодых ученых «Владикавказская молодежная математическая школа» (г. Владикавказ, 16-21 июля 2012 года),

Международная научная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Владикавказ, 14-20 июля 2013 г.),

17-я Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения (г. Саратов, 27 января - 3 февраля 2014 года, статус -международная),

а также на научных семинарах Отдела математики и информатики Дагестанского научного центра РАН.

Публикации и личный вклад. Основные результаты по теме диссертации изложены в 12 печатных изданиях [1-12], 5 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [1-5], 7 — в тезисах и материалах конференций [6-12].

Доказательство всех результатов, выносимых на защиту, выполнено автором самостоятельно. Постановка задач и выбор методов исследования принадлежат И.И. Шарапудинову Исключение составляет задача 4 (см. выше Основные положения, выносимые на защиту), постановка и выбор методов решения которой принадлежат автору.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 109 страниц. Список литературы содержит 53 наименования.

Весовое пространство Лебега с переменным показателем

Как известно, множество непрерывных функций всюду плотно в пространстве Лебега ЕР{Е))Е с Rn с постоянным показателем 1 р оо. В [2, 2.1] было показано, что непрерывные функции образуют всюду плотное множество и в пространствах Лебега ЕР(Х\Е),Е С ЕП с переменным показателем 1 р{х) р(Е) оо (см. также [3, следствие 2.73]). Здесь мы докажем аналогичное утверждение для весовых пространств Лебега, при этом для простоты ограничиваясь случаем Е = [0,1].

Утверждение 1.12. Множество непрерывных функций С[0,1] всюду плотно в весовом пространстве Лебега Ы{х\[0,1]), 1 р(х) р([0,1]) оо.

Доказательство. Доказательство проведем в три шага. Сначала а) докажем, что пространство ограниченных функций всюду плотно в iXf = Lw {[0,1]), затем б) покажем, что всякая ограниченная функция может быть сколь угодно точно приближена функциями с конечным числом значений. И, наконец, в) заметим, что функции с конечным числом значений можно с любой степенью точностью приближать непрерывными функциями. а) Отметим сначала, что всякая ограниченная измеримая функция д(х) определённая на отрезке [0,1], будет принадлежать

Возьмем теперь произвольную функцию f(x) Є Lw . В силу свойства абсолютной непрерывности интеграла Лебега для всякого є 0 найдется 5 0, такое что для любого множества Е с [0,1] с мерой ц(Е) 5 интеграл J \f{x)\p w{x)dx є. С другой стороны, /(ж) - измеримая функция, поэтому, пользуясь С-свойством Лузина, мы можем утверждать, что для данного 5 0 всегда найдется замкнутое множество Fs С [0,1] с мерой fi(Fs) 1 — S, на котором f(x) будет непрерывной. Рассмотрим следующую функцию б) Любую ограниченную измеримую функцию д(х) можно с любой степенью точности равномерно приблизить функциями с конечным числом значений. Действительно, задавшись произвольным є 0, разобьем множество значений [А, В] функции д(х) на интервалы длиной меньше чем є:

Рассмотрим множества е-,- = {х : yj д(х) yj+i}, j = О, N — 1, ем = {х : д(х) = ум}- Введем функцию h(x), положив h(x) = yj, х Є е-,-. Ясно, что h(x) - функция, принимающая конечное число значений, и \д(х) — h(x)\ є, ж Є [0,1]. Следовательно, функции с конечным числом значений также образуют в Lw всюду плотное множество. в) Покажем теперь, что всякую функцию h(х), имеющую конечное число значений, можно как угодно точно приблизить в Lw непрерывными функциями. Поскольку функцию с конечным числом значений можно представить как линейную комбинацию характеристических функций Хм(%), то доказательство достаточно провести только для хм(х).

Легко заметить, что введённая функция является непрерывной, равна 1 на множестве FM, 0 вне множества GM И не превосходит 1 на GM \ FM- Поэтому разность \хм{х) — ірє(х)\ отлична от нуля только на GM \ FM, причем Ho w(x) Є Ll, поэтому в силу свойства абсолютной непрерывности ин теграла Лебега за счет выбора є последний интеграл в приведенной выше формуле можно сделать сколь угодно малым. Нам также понадобится следующее утверждение.

Утверждение 1.13. Пусть f(x,t) - измеримая функция, заданная на декартовом произведении Е\ х Е2 множеств Е\ и Е2, на которых заданы конечные меры ці и Ц2 соответственно. Тогда справедливо неравенство

Доказательство. Утверждение леммы в случае w(x) = 1 было доказано в [2, с. 35]. Перенести его на случай произвольного веса w(x) не составляет труда, если учесть, что /p(.)jU,

В данном пункте мы рассмотрим условия на вес и;(ж), обеспечивающие возможность построения рядов Фурье - Хаара в соответствующих весовых пространствах Лебега с переменным показателем Lw = Lw ([0,1]), 1 р(х) р([0,1]) оо.

Определение и основная теорема Ясно, что сами функции Хаара Xk(x) Є Lw для всякого суммируемого веса w(x). Каждой функции / є Lw мы хотим поставить в соответствие ряд Фурье - Хаара: /-$ (1.11) k=0 1 где Ck = f f(x)xk(%)dx. Однако не при всяком весе w(x) для функции о Чтобы убедиться в этом, достаточно взять р(х) = 1, w(x) = х и рассмотреть функцию f(x) = , которая, как легко проверить, принадлежит Lw . Однако коэффициент со Фурье -Хаара для этой функции равен оо. Поэтому на вес w(x) требуется наложить дополнительные условия, при которых станет возможным вычисление коэффициентов, т.е. f(x)xk(x)dx оо, к = 0,1,.... (1-12)

Другими словами, вес w(x) должен быть таким, чтобы имело место вхождение Lw С L1. Очевидно, что в этом случае будут выполнены неравенства в (1.12) и при fc 0.

Замечание. Далее для нормированных пространств X и Y будут использоваться термины вхождение и вложение. Говоря вхождение, мы будем подразумевать, что множество X является подмножеством множества Y. Под вложением мы понимаем вхождение X с Y, при котором для любого х Є X выполняется неравенство \\X\\Y сІІжІх где с не зависит от х.

Приближение функций из весовых пространств Лебега с переменным показателем суммами Фурье - Хаара

Вопросы базисности классических ортогональных систем в пространствах Лебега с переменным показателем исследовались в статьях [10,15,34, 46,47]. Отметим, что наиболее важные результаты в этих пространствах в безвесовом случае связаны с условием Дини - Липшица обнаруженным впервые в работах [10,48]. В частности, в статье [10] было показано, что система Хаара образует базис в пространстве Лебега і/(ж)([0,1]) с переменным показателем р(х) тогда и только тогда, когда р(х) удовлетворяет условию (1.37). Аналогичный результат для двумерного случая был доказан в статье [34] (см. параграф 1.4). В упомянутых работах базисность системы Хаара рассматривалась относительно безвесовых пространств Лебега с переменным показателем. В данном параграфе исследуется этот вопрос для пространств Лебега Lw с весом w(x), подчиняющимся условиям вида (А1), (А2) (см. 1.1.5). Как уже отмечалось, условие (А2) похоже на условие Макенхоупта, которое играет важную роль при исследовании вопросов теории приближений в весовых пространствах Лебега. Что касается условия (А1), то его появление связано с тем, что мы не требуем от показателя выполнения условия р 1, рассматривая и случай р = 1. 1.2.2 Основной результат

В пункте 1.1.4 было показано, что если w(x) Є Т-Ір{.), то каждому элементу / є Lw можно поставить в соответствие ряд Фурье - Хаара (1.11). Возникает вопрос о том, в каких случаях указанный ряд будет сходиться к самой функции /. Ответ на это дает приведенная в этом пункте теорема.

Теорема 1.4. Пусть р(х) Є Vl9([0,1}), w(x) Є T-Lp(.y Тогда система Хаара будет базисом пространства Lw , если w(x) Є (J Ap { Bv).

Доказательство. Покажем, что для любой функции / є Lw последовательность частичных сумм п „ Qn(f)(x) = J2ckXk(x), ck= f(x)xk(x)dx k=Q { сходится к функции f в метрике пространства Lw Для этого, как известно [49, с. 215], достаточно показать выполнение следующих условий: a) линейные операторы Qn(f) равномерно ограничены на единичном шаре /p(.)jU, 1 пространства Lw , т.е. sup sup \\Qn(f)\\p(.),w оо; П \\f\\p(-),w l b) последовательность линейных операторов Qn(f) сходится к тожде ственному оператору /(/) для любой функции / є , где Т) - некоторое множество, всюду плотное В Lw. Условие Ь) следует из утверждения 1 книги [22, с. 71] и того факта, что множество , состоящее из кусочно-гладких функций, постоянных на интервалах с двоично-рациональными концами, всюду плотно в Lw

В данном параграфе рассмотрена задача о скорости приближения функций суммами Фурье - Хаара в весовых пространствах Лебега Lw = Lw ([0,1]) с переменным показателем р(х) и весом w(x). Далее, если речь идет об отрезке [0,1], то существенную верхнюю и нижнюю грани функции р(х) будем обозначать через рир соответственно. Через с, с(р), с(р, w) будут обозначаться константы, зависящие лишь от величин в скобках и, вообще говоря, различные в разных местах. Результаты этого параграфа являются обобщениями на весовой случай результатов, полученных в статье [17].

Как было отмечено в параграфе 1.1.4, для построения рядов Фурье -Хаара для функций из Lw необходимо и достаточно, чтобы имело место вхождение iXf С L1. Там же было показано, что для выполнения указанного требования достаточно, чтобы вес w(x) є Т-Ір{.). Далее, в параграфе 1.2 были получены достаточные условия, при которых система Хаара образует базис в Lw . Однако вопрос о скорости приближения функций f(x) суммами Фурье - Хаара Qn(f\x) = Yl ckXk(%) в метрике Lw оставался к=\ открытым. Рассмотрению этого вопроса и посвящен данный параграф.

Вспомогательные утверждения

Теорема 2.1. Если хо -рациональная двоично-иррациональная точка, двоичное разложение (2.2) которой имеет период длины п, то числовая после-дователъностъ qk = Q2k(f,x), х Є Д для любой функции ограниченной вариации f со скачком в точке хо будет представлять собой объединение п сходящихся последовательностей:

Рассмотрим теперь поведение частичных сумм функции f{x) в точке XQ. Используя представление (2.9) и обозначение (2.8), можно написать следующее равенство:

Как было показано выше, представляет собой объединение п стационарных последовательностей (напомним, через п обозначалась длина периода двоичного разложения точки разрыва XQ). ЧТО касается первого слагаемого, то ( — f(xo) при к — оо, так как жо является точкой непрерывности функции f(x) (см. свойство 1).

Одной из задач теории приближений является оценка скорости приближения функций f(x) из некоторого класса 9JT тем или иным методом приближения Un(f), ставящим в соответствие каждой функции f(x) Є 9JT приближающий ее тригонометрический полином Un(f,x) порядка п. Другими словами, оценивается величина

Для сумм Валле-Пуссена подобные задачи в равномерной и интегральной метриках по различным классам непрерывных и гладких функций рассматривались в большом количестве работ (см. [23-30] и цитируемую там литературу). Однако надо отметить, что в литературе, как правило, рассматривается либо равномерное приближение суммами Валле-Пуссена для классов непрерывных и гладких функций, либо приближение в среднем для классов суммируемых функций. Вопросам же локальных аппроксимативных свойств сумм Валле-Пуссена для кусочно гладких функций не уделялось достаточно внимания. Данная глава призвана несколько восполнить этот пробел.

Перейдем к более точному описанию задачи. Пусть f(x) - некоторая суммируемая 27г-периодическая функция. Для каждой такой функции мож но определить частичную сумму Фурье порядка п:

Далее, введем пространства кусочно гладких функций. Напомним, что пространство Соболева Wp([a, b}) состоит из г — 1 раз непрерывно дифференцируемых на [а, Ь] функций f(x), для которых f r l" {x) абсолютно непрерывна на [a, b], а f r\x) Є Lp{[a) b}). Пусть теперь дано конечное множество точек из отрезка [0, 27г] вида А = {0 = 6»о 6»i ... eq = 2n}.

Тогда через Wp,A обозначим пространство 2ТТ-периодических функций, которые на каждом отрезке [0І,9І+І] МОЖНО превратить в функцию из \р([ві,ві+і\) путём переопределения её на концах. Например, функция f(x) = sign sin ж Є Wp,A для A = {0,7г, 2тт} при любых r,p 0, а функция f(x) = \х — 7г — 7г, х Є [0, 2тт) будет входить в W A, если А = {0, 2тт}.

Целью данной главы является исследование скорости сходимости средних Валле-Пуссена для кусочно гладких функций f(x) из класса Wp,A, т.е. получение оценки скорости стремления к нулю величины \f(x) — V (/, х)\ при п -л оо.

В доказательстве основной теоремы используется приведенное ниже вспомогательное утверждение, которое, впрочем, представляет и самостоятельный интерес. Доказательство. Отметим, что ряды (2.15) сходятся на рассматриваемом интервале (0,27г) (см. [52, Теорема (2.6), с. 16]). Доказательство проведем для одного из рядов (2.15): для второго оно получается аналогичным. и утверждение для г 1 доказано. Рассмотрим теперь случай г = 1. Легко видеть, что оценка (2.50) для 61 верна и при г = 1. Что касается 62, то полученная в (2.47) формула при г = 1 дает лишенную смысла оценку @2 оо. Поэтому тут потребуется иной подход. Из (2.43), используя (2.46) и лемму 2.3, приходим к следующему неравенству ДЛЯ &2 4И2 + 1п ) 4m(2 + ln )

Применяя известное свойство логарифмов In х х — 1 и делая замену переменной суммирования, для первой суммы S\ сразу получим: п-\-2т— 1 , _, ;=n+m Для того чтобы оценить вторую сумму 5 2, перепишем ее в следующем виде: В параграфе 2.2.1 были введены пространства кусочно гладких функций WI A. Задача оценки скорости сходимости сумм Валле-Пуссена V(f,x) к функциям f(x) Є Wp,A для случая р = 1 и г = 3 была рассмотрена в статье автора [31]. Мы не будем здесь подробно останавливаться на этом результате, а ограничимся лишь формулировкой основной теоремы из упомянутой статьи.

Аппроксимативные свойства средних Валле-Пуссена триго нометрических рядов на классах кусочно гладких функций

Осталось еще раз воспользоваться оценкой (2.49): и утверждение для г 1 доказано. Рассмотрим теперь случай г = 1. Легко видеть, что оценка (2.50) для 61 верна и при г = 1. Что касается 62, то полученная в (2.47) формула при г = 1 дает лишенную смысла оценку @2 оо. Поэтому тут потребуется иной подход. Из (2.43), используя (2.46) и лемму 2.3, приходим к следующему неравенству ДЛЯ &2 4И2 + 1п ) 4m(2 + ln )

Применяя известное свойство логарифмов In х х — 1 и делая замену переменной суммирования, для первой суммы S\ сразу получим:

В параграфе 2.2.1 были введены пространства кусочно гладких функций WI A. Задача оценки скорости сходимости сумм Валле-Пуссена V(f,x) к функциям f(x) Є Wp,A для случая р = 1 и г = 3 была рассмотрена в статье автора [31]. Мы не будем здесь подробно останавливаться на этом результате, а ограничимся лишь формулировкой основной теоремы из упомянутой статьи.

Законность перестановки знаков суммирования будет следовать из дальнейшего, когда мы покажем сходимость рядов 91 (/, ж).

Зафиксируем индекс і и попытаемся оценить величину 91 (/, ж). С этой целью, дважды применяя интегрирование по частям, преобразуем коэффициенты ак,г и Ьк г к виду:

Осталось оценить ве личину а(т,п). Поскольку функции Uk(t) = f"(t)cos — интегрируемы и ряд J2 uk(t) сходится равномерно на [0, 2тг], мы можем воспользоваться тео к=\ ремой из [53, Т. 6, с. 437] и внести знаки суммирования внутрь интеграла. Тогда, учитывая обозначение (2.24), можно записать следующее неравенство:

Из (2.56), (2.57) и утверждения 2.2 видно, что 91 (/,х)\ оо, чем обеспечивается законность перестановки сумм в (2.55). С другой стороны, формулы (2.55), (2.56) и (2.57) с помощью утвеждения 2.2 позволяют получить требуемую оценку: 2тг

1. Получено обобщение результата о базисности системы Хаара [10] в пространстве Лебега L ([0,1]) с переменным показателем на двумерный случай. А именно, найдены необходимые и достаточные условия, при которых прямоугольные частичные суммы QN,M(f,x,y) Фурье по системе Хаара {Хп,т(%,у)} сходятся в пространстве р( ,г/)([0,1]2) к функции f(x} у), когда N, М - ос, N х М.

2. Рассмотрены вопросы базисности системы Хаара в весовых пространствах Лебега Lw . Найдены достаточные условия на показатель р(х) и вес w(x), при которых система Хаара образует базис в Lw .

3. Исследована скорость приближения функций из пространств Лебега Lw и Соболева Wp w суммами Фурье - Хаара в терминах модуля непрерывности (2).

4. Для исследования вопросов теории приближений, связанных с системой Хаара в весовых пространствах Лебега Lw с переменным показателем, потребовалось изучить условия на вес w(x), обеспечивающие вложенность Lw С L1. Получены достаточные условия на весовую функцию, при выполнении которых указанное вложение выполнено. Было также показано, что эти условия близки к необходимым.

5. Для выполнения теоретических задач, связанных с весовыми пространствами, понадобилось осуществить перенос ряда известных свойств пространств Лебега с переменным показателем с безвесового случая на весовой.

6. Изучено поведение частичных сумм Фурье - Хаара для функций ограниченной вариации в окрестности рациональной двоично-иррациональной точки разрыва XQ. Показано, что в этом случае последовательность сумм Фурье - Хаара Qn(f,xo) представляет собой объединение п сходящихся подпоследовательностей, где п - длина периода двоичного разложения числа XQ.

7. Исследованы локальные аппроксимативные свойства сумм Валле-Пуссена V (/, х) на классах кусочно гладких функций f(x). Получена оценка скорости стремления величины \V(f,x) — f(x)\ к нулю. Эта оценка позволяет утверждать, что для такого рода функций суммы Валле-Пуссена дают скорость приближения, на порядок более высокую, чем суммы Фурье.

Остается неизученным вопрос о сходимости по Принсгейму сумм QN,M(f,x,y) по двумерной системе Хаара, т.е. не рассмотрен случай, когда N и М не связаны ограничением N х М. 2. Пока не найдены необходимые условия базисности системы Хаара в весовом пространстве Лебега с переменным показателем. 3. При изучении вопросов вложенности Lw С L1 получены отдельно достаточные условия и необходимые условия и показана их близость. Однако вопрос о необходимом и достаточном условии пока остается открытым. 4. При исследовании скорости сходимости сумм Валле-Пуссена к функциям из классов кусочно гладких функций получена оценка сверху. На данный момент не рассмотренным является вопрос об оценке снизу.

Результаты диссертации представляют не только теоретический интерес, но и могут быть использованы в различных приложениях. В частности, эти результаты могут быть востребованы в таких областях, как, например, обработка и сжатие сигналов.

В заключение хотелось бы выразить глубокую признательность своему научному руководителю д.ф.-м.н. Шарапудинову И.И. за постановку задач и руководство в подготовке работы.