Содержание к диссертации
Введение
1 Теоремы общего характера 15
1.1 Начальные сведения 15
1.2 Инвариантность относительно сдвигов 19
1.3 Описание весовых функций 23
1.3.1 Обобщение теоремы Лебега 24
1.3.2 Критерий для веса алгебры Ci(G) 28
1.3.3 Различные условия для случая р > 1 31
1.4 Описание допустимых групп 35
1.5 Разные конструкции весовых алгебр 37
1.6 Аппроксимативные единицы 44
1.7 Инволюция в весовых алгебрах 51
2 Коммутативные алгебры 55
2.1 Пространство максимальных идеалов 55
2.2 Критерий регулярности 58
2.3 Конструкции регулярных алгебр 66
3 Задание умножения на данном линейном пространстве 76
3.1 Пространства со счетным безусловным базисом 79
3.2 Пространства р 83
3.2.1 Сепарабельный случай 83
3.2.2 Несепарабельный случай 84
3.3 Пространства Фреше 89
Литература 95
- Инвариантность относительно сдвигов
- Разные конструкции весовых алгебр
- Критерий регулярности
- Пространства р
Введение к работе
Алгебры суммируемых с весом функций и рядов впервые появились в работах А. Бёрлинга [26] и И. М. Гельфанда [40] и с тех пор стали классическим объектом изучения в гармоническом анализе. Настоящая диссертация продолжает исследования в этой области.
Не столь очевиден, однако, ответ на обратный вопрос: следует ли справедливость этих неравенств из того факта, что пространство p(G) является алгеброй? Первый результат в этом направлении был получен Р. Эдвардсом [36], который доказал, что для полунепрерывной сверху функции w на локально компактной группе G условие (1) следует из того, что f(G) — сверточ-ная алгебра. Позднее Грабинер [43] доказал тот же, по существу, факт для вещественной прямой и любой измеримой положительной функции w. В диссертации содержится окончательное решение вопроса: неравенство (1) для любой положительной измеримой функции w на локально компактной группе является критерием того, что пространство Cf(G) замкнуто относительно свертки (теорема 1.3.1).
При р 1 условие (2) является необходимым в некоторых естественных частных случаях [48], [23], но, вообще говоря, это не критерий. В 1978 г. [38] был построен пример семейства алгебр „(N) на полугруппе натуральных чисел, вес которых не удовлетворяет условию (2). Первые контрпримеры на группах (единичной окружности и вещественной прямой) построены автором (примеры 1.3.4, 1.3.5).
Весовые алгебры Cf{G) можно построить на любой локально компактной группе, в частности, при w = 1 мы получаем обычную алгебру C\(G). Если же р 1, группа не может быть произвольной. Здесь уместно вспомнить доказательство известной р-гипотезы: пространство CP{G) на локально компактной группе G при р 1 замкнуто относительно свертки тогда и только тогда, когда группа G компактна (доказательство в общем случае и историю вопроса см. в статье Саеки [61]). Добавление веса расширяет класс допустимых групп: в диссертации доказано, что на любой ст-компактной (т.е. представимой в виде счетного объединения компактов) группе при любом p 1 существует вес w, при котором пространство Cp(G) является алгеброй (теорема 1.4.1). В теореме показано также, что условие сг-компактности в случае абелевых групп необходимо для того, чтобы на группе существовала хоть какая-то алгебра C {G) с р 1. Аналогичный вопрос для неабелевых групп остается открытым.
Интересен также вопрос, можно ли вес произвольной весовой алгебры выбрать непрерывным, не изменив саму алгебру. Фейхтингер [37] ответил на этот вопрос положительно в случае р — 1 при дополнительном требовании инвариантности алгебры Cf{G) относительно сдвигов. При р 1 верно аналогичное утверждение (следствие 1.2.3). Кроме того, в теореме 1.3.1 показано, что при р = 1 инвариантность появляется автоматически, т.е. результат верен для любой алгебры ™((7). Простые примеры (1.3.6) показывают, что при р 1 вес нельзя, вообще говоря, выбрать непрерывным.
Хорошо известно, что алгебра i(G) на локально компактной группе G полупроста. Это доказывается обычно с использованием инволюции f (t) = f (t 1)A(t l), где A — модулярная функция группы, задающая переход от левой меры Хаара к правой. Для весовых алгебр вопрос усложняется, поскольку не при всяком весе на алгебре Cp"{G) (и даже при р = 1) можно определить естественную инволюцию. Полупростота алгебр Cf(G) доказана в настоящее время для симметричных весов (w(t) = w;(-1)), для аменабель-ных групп и в некоторых других случаях [32]. Окончательный же ответ неизвестен. В диссертации доказана полупростота алгебр C {G) при р 1 для абелевых групп (теорема 2.1.4).
Другим существенным алгебраическим свойством является аменабельность. Банахова алгебра называется аменабельной, если все ее дифференцирования со значениями в сопряженных бимодулях — внутренние [19, гл. VII, §2.3]. Это понятие было введено Джонсоном [47], который доказал следующую теорему: алгебра C\{G) на локально компактной группе G аменабельна тогда и только тогда, когда группа G аменабельна.
В диссертации доказано, что при р 1 инвариантные алгебры Cp(G) не могут быть аменабельны (раздел 1.6). В общем случае ответ неизвестен.
В классическом гармоническом анализе наиболее содержательная теория развита для абелевых и компактных групп. На компактной группе рассмотрение веса не дает практически ничего нового. Точнее, все алгебры Cf(G) изоморфны обычной алгебре Ci(G), а для алгебр Cp{G) при р 1 верно то же самое, если потребовать непрерывности веса или хотя бы инвариантности пространства С™(G) относительно сдвигов (см. раздел 1.2). Неинвариантные алгебры при р 1 существуют, но обладают патологическими свойствами (примеры 1.3.6, 1.3.4, 2.2.3).
Коммутативные весовые алгебры, напротив, разнообразнее по своим свойствам, чем классические алгебры C\{G). Первым типичным вопросом при изучении коммутативной банаховой алгебры А является описание ее пространства максимальных идеалов (Л), которое мы будем называть также спектром алгебры А. Как известно, спектр алгебры C\(G) на коммутативной группе G можно отождествить с двойственной к G группой G.
Коммутативная банахова алгебра Я называется регулярной, если она разделяет точки и замкнутые множества в своем спектре, т.е. если для любого замкнутого множества F и точки х . F найдется функция / Є Я, равная нулю на F и отличная от нуля в точке х. Регулярные полупростые коммутативные алгебры были впервые рассмотрены Шиловым [22]. В такой алгебре Я возможен спектральный анализ: идеал 1(F) функций из Я, равных нулю на замкнутом множестве F С G, является ядром своей оболочки [10, §25D], иначе говоря, множество общих нулей функций из 1(F) снова равняется F.
Регулярность алгебры при дополнительных условиях (см., напр., [10, §25D]) влечет за собой абстрактную тауберову теорему: всякий собственный замкнутый идеал J С Я содержится в регулярном максимальном идеале, т.е. в ядре некоторого характера алгебры Я. Тауберова теорема для алгебры i(G) на абелевой локально компактной группе G — классический результат гармонического анализа.
Весовые алгебры не всегда регулярны. Это связано с тем, что при быстро растущем весе w преобразования Фурье функций из ™(Щ образуют квазианалитический класс, и для них справедлива теорема единственности. Этот результат выводится из теоремы Пэли и Винера [3] и является основным инструментом в изучении преобразований Фурье весовых алгебр. Точное условие на рост веса таково: вес w на вещественной прямой называется неквази-аналитическим, если сходится интеграл и квазианалитическим, если этот интеграл расходится.
Как критерий регулярности банаховых алгебр условие (3) встречается впервые у Шилова [22] для некоторых весовых алгебр степенных рядов. Бёрлинг [27] получил этот критерий для весовых алгебр на прямой. Далее результат Бёрлинга был распространен Домаром [33] на случай произвольной абелевой локально компактной группы, причем определение квазианалитичности пришлось немного изменить. Согласно Домару, вес w на группе G называется неквазианалитическим, если для любого х Є G сходится ряд при этом условие (4) является критерием регулярности алгебры Cf(G).
Доказательство Домара практически без изменений переносится на случай инвариантных алгебр с показателем р 1, это сделано в разделе 2.2 диссертации. Пример 2.2.3 показывает, что в отсутствие инвариантности условие (4) может нарушаться.
В разделе 2.3 строятся регулярные алгебры C™(G) при всех р 1 на любой а"-компактной абелевой группе G. Таким образом, если на группе существуют какие-нибудь весовые алгебры, то среди них есть и регулярные. Спектр регулярных алгебр C™(G) равняется двойственной группе G — это результат Домара [33]. Последняя глава диссертации посвящена другому вопросу, тесно связанному с теорией весовых алгебр. Напомним, что на данной группе G при фиксированном р все алгебры C™{G) изоморфны между собой как банаховы пространства и различаются только алгебраической структурой. В связи с этим возникает вопрос: каков диапазон свойств различных алгебр, изоморфных данному банахову пространству? Пример результата такого рода — теорема о том, что бесконечномерная аменабельная банахова алгебра не может быть изоморфна гильбертову пространству [41].
В главе 3 рассматривается простейшая из задач подобного вида: описать класс Л4(Х) пространств максимальных идеалов всевозможных полупростых коммутативных банаховых алгебр с единицей, изоморфных данному банахову пространству X. При решении этой задачи используются, в частности, результаты главы 2.
Из общей теории банаховых алгебр следует, что все пространства М Є Л4(Х) должны быть хаусдорфовы и компактны. Несложно показать также (см. гл. 3), что вес (наименьшая мощность базы топологии) пространства М не превосходит плотности (наименьшей мощности всюду плотного множества) Т)(Х) пространства X. Эти условия описывают максимально возможный класс Л (пг) для пространства данной плотности т. В частности, для сепарабельного пространства (счетной плотности) класс Л ( о) состоит из всех бесконечных метризуемых компактов. Из теоремы Милютина [11] следует, что С[0,1] дает пример пространства, имеющего максимальный класс М(С[0,1}) = М(Щ).
В диссертации описываются классы Л4(Х) для некоторых пространств X. В разделе 3.2 показано, что пространство 1 і является, наряду с С[0,1], примером пространства с максимально возможным классом А( ( г) — At (Ко). В разделе 3.1 доказано, что для некоторого класса пространств, включающего пространства со счетным безусловным базисом, ЛЛ{Х) содержит все счетные бесконечные компакты.
Можно определить также минимально возможный класс Л/"(т) пространств Л4(Х) при данной плотности Ъ(Х) = т. Обозначим символом Г2 сходящуюся последовательность {0} U {1/п : п Є N} в обычной топологии. Пличко доказал [15], что Q Є Л4(Х) для всякого сепарабельного банахова пространства X. С другой стороны, Шкариным [62] приведен пример сепарабельного банахова пространства, для которого другие компакты невозможны, т.е. М(Х) = {Г2}. Таким образом, {О,} = Л/"( о) является наименьшим возможным классом Л4(Х) для сепарабельного пространства X.
В разделе 3.3 получено обобщение результата Пличко на случай сепарабельного пространства Фреше X, т.е. возможность задать на пространстве X такую структуру коммутативной алгебры Аренса—Майкла (определение см. в § 3.3) с единицей, что ее пространство максимальных идеалов будет гомеоморфно О,.
И, наконец, в разделе 3.2.2 получен следующий результат о несепара-бельных пространствах. Пусть m — бесконечное множество. Если пространство p(vn), р 1, наделено какой-нибудь структурой коммутативной банаховой алгебры с единицей, то характеры образуют замкнутое подмножество в единичном шаре В(хп) сопряженного пространства со слабой топологией. Иначе можно сказать, что любое пространство М є At( (m)) гомеоморфно вкладывается в шар В(хп). В теореме 3.2.3 доказано, что, с другой стороны, верно включение В(хп) Є Л4(р(т)).
Автор благодарит своего научного руководителя А. Я. Хелемского за неизменное внимание к работе. Автор выражает также глубокую благодарность Е. А. Горину за плодотворные обсуждения и редакторскую работу над текстом введения.
Инвариантность относительно сдвигов
В данном разделе собраны необходимые технические леммы об инвариантности весовых алгебр относительно сдвигов и о полумультипликативных функциях. Часть результатов известна из работ Эдвардса [36] и Фейхтингера [37]. Сдвиг функции мы обозначаем обычным образом: s/() = f{st), fs(t) = f(ts). Инвариантность пространства C{G) относительно левых сдвигов эквивалентна следующему условию, которое впервые рассматривал Р. Эдварде [36, 1.13]: для всех s Є G w(st) Ls = esssup—-г - со. (1.2.3) tzG w{t) Эдварде называет такой вес медленно растущим (of moderate growth). Критерий (1.2.3) не зависит от р, так что пространства с данным весом и всеми показателями р 1 инвариантны или неинвариантны одновременно. Поменяв s и t местами, мы получим условие для правых сдвигов, вообще говоря, не эквивалентное первому. Мы будем использовать преимущественно левые сдвиги, и под словом «инвариантность» будем понимать инвариантность под действием левых сдвигом. Непосредственные вычисления показывают, что supf = Le-i. (1.2.4) Из условия (1.2.3) следует, что Ls 0, Lst LsLt, и . „ w(st) ,, /т. ess mf , / = l/L8-i 0. teG w(t) Лемма 1.2.1. Если неравенство (1.2.3) выполняется для локально почти всех s Є G, то оно выполняется и для всех s Є G. Доказательство. Пусть S С G — множество тех точек s, для которых вы полняется условие (1.2.3). По условию множество 5, а значит, и S-1 локально имеет полную меру. Возьмем произвольное множество Т С S П S"1 конечной положительной меры. Множество Т Т 1 содержит некоторую окрестность единицы U. Но из того, что функция L полу мультипликативна, следует, что S замкнуто относительно умножения и U С Т Т"1 С S S С S. Теперь, по той же причине, SU С5, а поскольку S (будучи локально полной меры) всюду плотно, то S = G. Следующая лемма доказана Фейхтингером [37, теор. 2.7]. Лемма 1.2.2. Если функция w удовлетворяет условию (1.2.3) и локально интегрируема, то она подобна некоторой непрерывной функции.
Следствие 1.2.3. Пусть C(G) — инвариантная алгебра (в частности, алгебра с полумультипликативным весом). Тогда функция w подобна некоторой непрерывной функции. Доказательство. По лемме 1.1.5 для любого компакта F справедливо вклю чение w Є CP{F) С C\(F), значит, можно применить лемму 1.2.2. Поскольку на компактной группе всякая непрерывная функция подобна константе, получаем как следствие, что на компактной группе все инвариантные относительно сдвигов алгебры изоморфны обычной алгебре CP{G). Обращение следствия неверно: Пример 1.2.4. Существует такая алгебра 2 C OJ ЧТ0 W непрерывна, но не удовлетворяет условию (1.2.3). Пусть 0 ап 1, Ап = [п + ап,п + 1] при всех целых п. Положим W\AU = 1 + п2, w(n-\- ап/2) = 1 + п, и продолжим w кусочно-линейно. При ап = l/max(l,n2) выполняется условие (1.3.8) (подробные вычисления для схожего веса см. в примере 1.6.3), однако условие (1.2.3) не выполняется ни для какого s Є (0,1): w(n + ап + s) 1 + n2 w(n + an) 1 + n как только s an. Среди функций медленного роста можно выделить следующий естественный подкласс. Назовем функцию w полумультипликативной, если при всех s, t справедливо неравенство w(st) w(s)w(t). (1.2.5) В этом случае Ls w[s). Свойство полумультипликативности существенно в теории весовых алгебр потому, что именно этим свойством обладают веса алгебр Cf{G) (см. теор. 1.3.1). Нам потребуется следующая лемма (фактически это предложение 1.16 из [36]): Лемма 1.2.5. Пусть измеримая функция L : G —» К. полу мультипликативна и положительна. Тогда L ограничена и отделена от нуля на любом компакте. Замечание 1.2.6. На дискретной группе вес любой алгебры при всех р 1 полу мультипликативен. Неравенство (1.2.5) получается из тождества Ist = /s It переходом к нормам индикаторных функций. Лемма 1.2.7. Если Cp(G) С i{G) — инвариантная алгебра, то essinfu; 0. G Доказательство. По лемме 1.2.2 функцию w можно считать непрерывной, а по лемме 1.2.5 функция L ограничена на любом компакте. Пусть D = D l — компакт положительной меры, и N — такое число, что Lr . N при г Є D. Тогда для любых s Є G, г Є D верны неравенства wis) -j-1 w{sr) Nw(s). (1.2.6) Предположим теперь, что inf tt; = 0, т.е. w(tn) = хп — 0 для некоторой последовательности tn Є G. Тогда w(t) ІУжп при t Є ri.D, так что / w q{t)dt [ w-q{t)dt N-qx-qfi(D) -+ +оо. JG JtnD Однако по условию C(G) С \(G), что по предложению 1.1.3 эквивалентно включению w q Є C\{G). Противоречие. П
Теорема 1.2.8. Пусть G — абелева локально компактная группа, C{G) — инвариантная алгебра. Тогда функция w подобна полумулътипликативиой функции. Доказательство. По лемме 1.2.2 функцию w можно считать непрерывной. Аналогично доказательству предыдущей теоремы выберем компакт D = —D и число N так, чтобы выполнялись неравенства (1.2.6). Возьмем теперь произвольные s, t Є G. Из неравенства »{D)I8tD IsD ID-HD (1-2.7) получаем, что KmUstnW \\ISD\\ \\itoAi откуда благодаря неравенству (1.2.6) fi(D)l+1/pw(st)/N N2n(D)l/p/i(D2)1/pw(s)w(t), т.е. w(st) Cw{s)w(t). Функция v = Cw подобна w и полу мультипликатив на. Следствие 1.2.9. Пусть C(G) С \(G) — инвариантная алгебра на абеле-вой группе G. Тогда функция w подобна полу мультипликативной функции Доказательство. Пусть функция v подобна w и полумультипликативна. По лемме 1.2.7 5 = inf 3t 0. Если 5 1, то v — требуемая функция. Если же 6 1, то нужной фукнцией будет v/5.
Разные конструкции весовых алгебр
В данном разделе приведены способы перехода от весовой алгебры на группе к алгебре на факторгруппе и наоборот. Вместе с явной конструкцией веса на свободной группе со счетным числом образующих F это дает альтернативный способ построения весовых алгебр на дискретных группах .
Начнем с конструкции весовых алгебр на группе F . Напомним, что для этого достаточно построить функцию и, удовлетворяющую неравенству (1.3.9), а затем можно положить w = w-1/9. На свободной (дискретной) зруппе FQQ СО счєтїішм числом образующих существует веси Є JCI(FOO), удовлетворяющий условию (1.3.9). Доказательство. Обозначим образующие группы FQQ через {ej : j Є N}. Элементы группы F имеют вид х = eXl ... еХп, где п 0, хп Є Z\{0}, іп Є N. При такой записи мы всегда подразумеваем, что ij ф ij+\ при всех j. Нам понадобится следующая функция целого аргумента: сг(0) = 1, т(п) = 1/п2 при п ф 0. Согласно неравенству (1.4.14) а а Сгсг.
Перейдем теперь к построению веса на факторгруппах. Пусть G — локально компактная группа, N С G — ее замкнутая нормальная подгруппа. Естественный способ перейти от функции на группе G к функции на факторгруппе G/N — усреднить по смежным классам. Напомним эту конструкцию (см. Вейль [2, 9], Рейтер и Штегеман [58]). Нам понадобятся только нормальные подгруппы, так что однородное пространство будет группой. Если / Є L\(G), то сдвиг fx(t) = f(xt) Є Li(N) при почти всех х Є G. Определим оператор усреднения TV: TNf(x) = [ fx(t)dt = J f(xt)dt. (1.5.19) JN JN Функция T/v/ постоянна на смежных классах по TV и потому корректно определена на G/N, причем Тдг/ L\(G/N), и дшТм$ = JQI- Более того, отображение Тдг : i(G) — C\{G/N) является гомоморфизмом алгебр [58, 3.5.4]. Рейтер показал [58, 3.7.13], что алгебра Cf(G) порождает алгебру на факторгруппе f(G/N) с весом w(x) = mi{w(t) : t Є xN}. Для р 1 вес на факторгруппе задается иначе (мы опять используем достаточное условие (1.3.9)): Лемма 1.5.2. Пусть на группе G задана полоэюителъная функция и Є L\(G), удовлетворяющая условию (1.3.9). Пусть N С G — замкнутая нормальная подгруппа. Тогда функция TNU па факторгруппе G/N также удовлетворяет условию (1.3.9). Доказательство. Если и и и, то, очевидно, TN(U и) Т и. Следова тельно, Т и Тдгм = Тм(и и) С T/vu. Если подгруппа компактна, возможен и обратный переход: Лемма 1.5.3. Пусть G — локально компактная группа, N С G — компактная нормальная подгруппа. Пусть на группе Н = G/N задана функция и, удовлетворяющая условию (1.3.9). Тогда функция v на группе G, определенная равенством v{x) = u(xN), также удовлетворяет этому условию. Доказательство. Очевидно, v Є L\(G) и T v = и. Значит, TN(V V) = и и и — T/yf. Поскольку v и v v постоянны на смежных классах по N, отсюда следует, ЧТО V V V. П Леммы 1.5.2 и 1.5.3 позволяют доказать следующую теорему. Теорема 1.5.4. На любой счетной дискретной группе G при любом р 1 существует алгебра C{G) с весом, удовлетворяющим условию (1.3.9). Доказательство. По лемме 1.5.1 на группе Foo существует функция и i( oo); удовлетворяющая условию (1.3.9). Каждая счетная группа представ ляется в виде факторгруппы F /N по некоторой нормальной подгруппе N; осталось воспользоваться леммой 1.5.2. Для недискретной локально компактной группы построение нельзя свести к случаю свободных топологических групп в смысле Граева [6], так как свободная топологическая группа F(X), порожденная пространством X, локально компактна только в случае дискретного X (см., напр., [18]).
Если группа G дискретна, то индикаторная функция единицы содержится во всех алгебрах С (G) и является единицей относительно сверточно-го умножения. Если же группа не дискретна, в алгебрах p(G) нет единиц. Это доказывается точно так же, как и в классическом случае [21, теор. 20.25]. В алгебрах без веса CP{G) всегда есть аппроксимативные единицы. Для весовых алгебр достаточным условием существования аппроксимативных единиц служит условие инвариантности, см. теорему 1.6.2. При нарушении этого условия утверждение теоремы может быть неверно, см. пример 1.6.3.
Критерий регулярности
Коммутативная банахова алгебра it называется регулярной, если она разделяет точки и замкнутые множества в своем спектре, т.е. если для любого замкнутого множества F и точки х fi F найдется функция / Є it, равная нулю на F и отличная от нуля в точке х. Регулярные полупростые коммутативные алгебры впервые рассматривались Шиловым [22]. В такой алгебре Я возможен спектральный анализ: если мы рассмотрим идеал 1(F) всех функций из Я, равных нулю на замкнутом множестве F С G, то множество общих нулей функций из 1(F) снова равняется F.
Регулярность алгебры при дополнительных условиях (см., напр., [10, 25D]) влечет за собой абстрактную тауберову теорему: всякий собственный замкнутый идеал J С Я содержится в регулярном максимальной идеале, т.е. в ядре некоторого характера алгебры Я.
Весовые алгебры регулярны не при любом весе w. Это связано с тем, что при быстро растущем весе w преобразования Фурье функций из (№.) образуют квазианалитический класс, и для них справедлива теорема единственности. Этот результат выводится из теоремы Пэли и Винера [3] и является основным инструментом в изучении преобразований Фурье весовых алгебр.
Бёрлинг [27] доказал, что условие (2.2.3) является критерием регулярности весовых алгебр на прямой. Далее результат Бёрлинга был распространен Домаром [33] на случай произвольной абелевой локально компактной группы, причем определение квазианалитичности пришлось немного изменить.
Доказательство Домара легко обобщается на случай р 1, если предположить, что весовая алгебра jp(G) инвариантна относительно сдвигов (теор. 2.2.2). Для неинвариантных алгебр условие (2.2.4) уже не является критерием, см. пример 2.2.3. В случае р = 1 подобного различия не возникает, так как алгебры C{G) всегда инвариантны.
Заметим, что при умножении веса алгебры Cp(G) на вещественный характер, v = xw, мы получаем алгебру Cvp(G), изометрически изоморфную исходной. В частности, обе алгебры регулярны или нерегулярны одновременно. Однако условие (2.2.4) может перестать выполняться после такого перехода (достаточно рассмотреть веса w(t) = 1 + t2 и v(t) = elw(t) на вещественной прямой). Известно [8, теор. 3], что всегда можно найти такой характер х, чтобы новая алгебра Cvp{G) содержалась в C\(G). Это включение упрощает многие детали, и в частности, условие (2.2.4) эквивалентно регулярности именно для алгебр Cp"(G) С \(G). Таким образом, следует иметь в виду, что условие (2.2.4) нужно проверять после предварительной нормировки веса. Теорема 2.2.2. Пусть C{G) С C\{G) — инвариантная алгебра. Тогда регулярность этой алгебры эквивалентна условию (2.2.4).
Доказательство. Достаточность. По следствию 1.2.9 можно считать, что w 1 и вес w полу мультипликативен. Если при этом выполняется условие (2.2.4), то алгебра (G) регулярна, а т.к. C{G) является модулем над Cf(G) (теор. 1.3.1), то алгебра C(G) регулярна тоже.
Необходимость. Предположим, напротив, что ряд (2.2.4) для некоторого ж Є С расходится. Будем считать, что вес выбран непрерывным (следствие 1.2.3). Замкнутая подгруппа Gx, порожденная элементом ж, либо компактна, либо изоморфна группе 7L [21, теор. 9.1]. В первом случае ряд (2.2.4) сходится независимо от условия регулярности. Предположим поэтому, что подгруппа Gx дискретна в G. Двойственную группу Gx — G/G можно отождествить с окружностью, параметр которой выберем в отрезке [—7г, ТТ]. Выберем число є Є (0,7г). По условию существует такая функция /о Є (G), что носитель supp/o компактен и содержится в (—є, є) + Gx.
Полумультипликативность w позволит нам вывести отсюда сходимость ряда (2.2.4). Выбрав функцию р\ Є \{Ъ) такой, чтобы носитель supp i был достаточно мал, можно добиться того, чтобы для ф = p (pi по-прежнему выполнялись условия (2.2.5), а кроме того, ф-w Є \{Ъ).
На прямой регулярность алгебры С (Ж) эквивалентна сходимости интеграла (2.2.3) вне зависимости от полумультипликативности веса. Простое доказательство достаточности для случая р = 1 приведено в статье Е. А. Горина [5]. При р 1 применимы те же рассуждения, хотя вес и нельзя предполагать гладким. Необходимость доказывается, например, следующим образом. Рассмотрим алгебру из примера 1.3.4: w(t) = tl A,t Є [0,1). Алгебра [0,1) регулярна, так как содержит все экспоненты вида fn(t) = еш , преобразования Фурье которых равны /„ = 5п. Условие (2.2.4) при этом не выполняется. Чтобы показать это, выберем число а Є (0,1) с хорошими рациональными приближениями, например, a = X Li n1) гДе Qi = 2, qn 2gn_iexp(gr2t_1) и все qn целые.
Доказательство. В случае р = 1 это теорема Домара [33, 1.5]. На самом деле
в своей статье Домар рассматривает более широкий класс алгебр — так назы ваемые алгебры типа F, и доказывает, что их спектр совпадает с двойствен ной группой G [33, 1.41]. Алгебры типа F определяются тремя условиями. Первое из них совпадает с определением регулярности, а условия II и III вы полняются для всех весовых алгебр (предложения 1.1.1 и 1.1.6 соответствен но).
Пространства р
Частичная характеризация классов Л4(р) для сепарабельных пространств р — Р(Ж) вытекает из результатов раздела 2.3. Следствие 2.3.7 утверждает, что на любой сг-компактной, в частности, на любой счетной дискретной группе G существует регулярная весовая алгебра Cp(G). Как банахово пространство такая алгебра изоморфна р, а спектр ее равен двойственной группе G (теорема 2.2.4). Как известно, группа G компактна, а из счетности группы G следует метризуемость G. Очевидно и обратное: каждой компакт 84 ной метризуемой группе соответствует некоторая алгебра Cp(G) на счетной дискретной группе G. Следовательно, класс Л4(р) содержит все компактные метризуемые группы. В случае р = 2 можно пойти дальше и описать класс Аі{ і) полностью. Теорема 3.2.1. Класс ЛЛ{І2) совпадает с классом всех бесконечных метрических компактов. Доказательство. Как показано во введении к главе 3, все пространства М Є Ai{ 2) компактны, отделимы и метризуемы. Так как преобразование Гель-фанда полупростой алгебры инъективно, все пространства М также бесконечны. Нам остается, т.о., доказать, что для данного бесконечного метрического компакта М существует алгебра с нужными свойствами. По теореме 2.3.7 на свободной абелевой группе со счетным числом обра зующих Z00 существует регулярная алгебра А = Щ{Ъ). Как банахово про странство алгебра А изоморфна 2, а спектр этой алгебры равен Z = TN. Известно, что всякий метризуемый компакт гомеоморфно вкладывается в [0,1]N, а следовательно, и в TN. Можно поэтому считать, что М С TN. В алгебре Л рассмотрим замкнутый идеал J — {х Є Л : х\м = 0} и факто ралгебру В — A/J. Алгебра В полупроста, а ее спектр равен М [22]. В то же время пространство В гильбертово и бесконечномерно (так как разделяет точки бесконечного компакта), значит, изоморфно 1ч-
В данном разделе доказывается одна теорема о несепарабельных пространствах р(хп). Пусть m — бесконечное множество. Если пространство р(пг), р 1, наделено какой-нибудь структурой коммутативной банаховой алгебры с единицей, то характеры образуют замкнутое подмножество в единичном шаре Bq(m) сопряженного пространства со слабой топологией. Иначе можно сказать, что любое пространство М Є Л4(р(т)) гомеоморфно вкладывается в шар В(т). В теореме 3.2.3 доказано, что, с другой стороны, верно включение -В(пг) Є Л4(р(т)). Приводится явная конструкция умножения на пространстве р(т).
Сформулируем сначала теорему для дискретных полугрупп, аналогичную теореме 1.3.3. Поскольку нам дальше нужна будет только одна абелева полугруппа, груповая операция будет обозначаться +. Как обычно, свертка двух функций гс, у на полугруппе S определяется как (x y)(t) = Ф)у{г) s,reS: s+r=t Пространства P(S) и весовые пространства p(S) определяются аналогично дискретным группам. Теорема 3.2.2. Пусть S — дискретная полугруппа ий- положительная функция па S. Если и и и, (3.2.3) то пространство p(S) с весом w = u llq является банаховой алгеброй относительно сверточного умножения. Если S абелева, то алгебра p(S) коммутативна. Доказательство. Состоит из выкладки с применением неравенства Гельде ра, аналогичной доказательству теоремы 1.3.3. Теорема 3.2.3. Пусть m — бесконечное множество. Тогда на пространстве р(ш), 1 р оо; существует структура коммутативной полупростой банаховой алгебры, спектр которой гомеоморфен единичному шару Bq(xa) пространства iq(xn) в слабой топологии.
Доказательство. Возьмем свободную абелеву полугруппу S с образующими {ej : j Є m}. Мощность этой полугруппы равняется т, так что пространство ip(S) изоморфно р(т), а также любому весовому пространству p(S). Мы построим весовую алгебру ip(S) с нужным спектром. По теореме 3.2.2 для этого достаточно построить вес и, удовлетворяющий условию (3.2.3).
Полугруппу S можно отождествить со множеством финитных функций на m с неотрицательными целыми значениями. Введем порядок на множестве S: п га, если nj rrtj для всех индексов j Є S. Начнем с выбора щ = 1, а далее определим ип по индукции. Пусть \п\ = Ylni i если \п\ = 1, положим ип — 1. Если щ определены при всех к, 0 \к\ \п\, то положим ип= 2 Ukun-k 0 к п Неравенство (3.2.3) выполняется для веса Зи, подобного и. Таким образом, мы получаем коммутативную банахову алгебру Л — {S) с весом w = u x q. Найдем ее спектр.
Доказательство. Будем считать, что топология пространства X задана последовательностью возрастающих полунорм pi Рг Обозначим Ej = kerpj и EQ = X. Если полунорм конечное число (в частности, если X — нормированное пространство), то начиная с некоторого номера полунормы pk будут равны. Для конечномерного случая утверждение теоремы тривиально, поэтому пространство X будем считать бесконечномерным.