Содержание к диссертации
Введение
Дифференцирование мер вдоль векторных полей не принадлежащих пространству Камерона- Мартина и дифференцирование мер на группах Ли . 31
1.1 Дифференцирование мер вдоль векторных полей не принадлежащих пространству Камерона-Мартина 31
1.2 Дифференцируемость меры Винера на функциях со значениями в компактной группе Ли 35
Аналог лагранжевого описания для уравнения Навье-Стокса и интегрирование вдоль случайных контуров 38
2.1 Некоторые определения и предварительные сведения 38
2.2 Эквивалентность уравнения Навье-Стокса и стохастической системы уравнений в частных производных 40
2.3 Эквивалентность параболических уравнений 2-ого порядка и стохастических уравнений в частных производных первого порядка 48
2.4 Теорема о сохранении циркуляции поля скорости для уравнения Навье-Стокса 50
2.5 Интегрирование вдоль случайных контуров и задача Коши для параболических уравнений 57
2.6 Аналитическое продолжение уравнения Навье-Стокса и уравнение Эйлера 62
Циркуляция и уравнения гидродинамики 67
3.1 Циркуляция решения уравнения Навье-Стокса и бесконечномерное уравнение типа Бюргерса 67
3.2 Гармонические функции для оператора Лапласа-Леви и уравнение Стокса 70
4 Представление решения некоторых псевдодиффе ренциальных уравнений Шредингера гамильтоновыми интегралами Фейнмана . 72
4.1 Обозначения и терминология 72
4.2 Определение интеграла Фейнмана 74
4.3 Задача Коши для уравнения Шредингера в фазовом пространстве
- Дифференцируемость меры Винера на функциях со значениями в компактной группе Ли
- Эквивалентность уравнения Навье-Стокса и стохастической системы уравнений в частных производных
- Циркуляция решения уравнения Навье-Стокса и бесконечномерное уравнение типа Бюргерса
- Задача Коши для уравнения Шредингера в фазовом пространстве
Введение к работе
В диссертации рассматриваются задачи бесконечномерного анализа, связанные с исследованием линейных и нелинейных эволюционных уравнений. В ней получено представление решения задачи Коши для бесконечномерного уравнения Шредингера в фазовом пространстве с помощью интеграла Фейнмана по траекториям, описывается новый класс векторных полей, вдоль которых дифференцируема мера Винера на траекториях в евклидовом пространстве и развивается подход к исследованию системы уравнений Навье-Стокса, аналогичный лагранжеву подходу и исследованию гидродинамических уравнений Эйлера; при этом система уравнений Навье-Стокса заменяется некоторой (эквивалентной ей) системой стохастических дифференциальных уравнений. Следует отметить, что эта система стохастических дифференциальных уравнений эквивалентна детерминированной системе уравнений Навье-Стокса, так что этот подход принципиально отличается от подхода, основывающегося на введении в уравнение Навье-Стокса члена содержащего белый шум.
Перечисленные задачи относятся к одному из важнейших направлений бесконечномерного анализа, на протяжении более 20 лет находящемуся в центре внимания специалистов - анализу в пространстве функций на бесконечномерном пространстве с мерой. Этой области бесконечномерного анализа посвящена обширная и постоянно растущая литература; отметим в частности, монографии [29], [19], [33], [28], [15] 1 и многочисленные журнальные статьи как этих, так и многих других авторов, в том числе Трумена, Альбеверио, Аккарди, Воловича, Хренникова, Леандра, Висмута, Бжезняка и многих других. Таким образом, тему диссертации следует считать вполне актуальной.
Преобразованием меры Винера на траекториях в евклидовом пространстве, соответствующим рассмотренному классу векторных полей, является вращение траектории винеровского процесса зависящее от времени. Это преобразование интересно в связи с тем, что оно возникает при рассмотрении формулл интегрирования по частям для мер Винера на траекториях со 1В зарубежной литературе применительно к этой области бесконечномерного анализа используется название "Исчисление Маллявэна" и "White noise analysis". значениями в многообразиях. Стандартные теоремы о диффе-ренцируемости меры Винера вдоль векторных полей со значениями в пространстве Камерона-Мартина (рассмотренные, например, в [22, ]) здесь неприменимы в силу того, что этим преобразованиям соответствуют векторные поля не принадлежащие пространству Камерона-Мартина ни в одной точке. В диссертации будет показана дифференцируемость меры Винера на С({0,1]R ) вдоль соответствующих векторных полей и найдена соответствующая логарифмическая производная. С помощью этого результата и результата статьи [21] доказана дифференцируемость меры Винера на траекториях в компактной связной группе Ли вдоль ограничения этих полей. Другой подход к этим задачам можно найти в статье [8].
В математической физике хорошо известна проблема поиска связи между уравнением Навье-Стокса(в дальнейшем мы будем пользоваться сокращением Н.-С.) и турбулентностью. При этом в силу того что турбулентность является стохастической системой естественным желанием было бы и описывать её стохастическим уравнением. В диссертации показана эквивалентность уравнения Н.-С. и некоторой системы стохастических дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных. Будет доказано, что,при некоторых предположениях, решение детерминистического уравнения Навье-Стокса представимо в виде композиции двух случайных полей. В случае отсутствия вязкости наш результат соответствует классической Лагранжевой картине описания уравнения Эйлера, описанной, например, в книгах [5] и [9], т.е. поля становятся классической траекторией и скоростью на траектории (естественно в этом случае стохастическая часть исчезает). Аналогичное разложение оказывается верным и для других эволюционные уравнений. Далее будет рассмотрена циркуляция решения уравнения Навье-Стокса вдоль некоторого потока случайных контуров и будет доказано, что эта величина является мартингалом с обращенным временем. Этот результат для уравнения Навье-Стокса является аналогом классической теоремы Кельвина о сохранении циркуляции решений вдоль потока траекторий для уравнения Эйлера. Исходя из этого факта будет доказано отсутствие нетривиального решения уравнения Н.-С. которое при —> —со стремится к нулю; тривиальным решением называется решение не зависящее от пространственной переменной. Помимо этого, будет показано, что для определённых систем линейных параболических уравнений справедлив аналогичный факт т.е. то, что циркуляция решения вдоль потока случайных контуров является мартингалом с обращенным временем. Этот факт позволяет с помощью явной формулы найти интеграл решения вдоль любого замкнутого контура, тем самым сводя задачу решения этой системы уравнений к более простой. Аналогичные подходы к уравнению Навье-Стокса рассматривались в статьях [20], [б],[3]. Отличие нашего подхода состоит в том, что мы не используем усреднение ни в каком виде.
В диссертации описывается уравнение которому удовлетворяет циркуляция решения уравнения Навье-Стокса как функция контура. Это уравнение оказывается бесконечномерным аналогом уравнения Бюргерса. При этом бесконечномерным аналогом лапласиана является лапласиан Леви. Линеаризованное уравнение Стокса оказывается эквивалентным бесконечномерному уравнению теплопроводности рассмотренному в статье [2]. Кроме того, описан один класс ''гармонических"(по отношению к Лапласиану Леви) функций. Этот результат интересен в связи с тем, что в статье ([1]) доказано, что гармонические функции генерируемые лапласианом Леви взаимнооднозначно соответствуют полям Янга-Миллса. Аналогичный подход к уравнению Навье-Стокса рассматривался в работе [18].
В работе рассматривается задача Коши для бесконечномерного уравнения Шрёдингера в фазовом пространстве. При этом гамильтонианом в уравнении Шрёдингера является (бесконечномерный) псевдодифференциальный оператор(ПДО). В диссертации показано, что задача Коши имеет решение и это решение представимо в виде интеграла Фейнмана по траекториям в фазовом пространстве(называемого также гамильтоновым ,или симплектическим интегралом Фейнмана). Интеграл Фейнмана определяется с помощью равенства Парсеваля(это определение^ также другие определения интеграла Фейнмана и связи между ними можно найти в [33]-[31]). Полученный результат является усилением одного из центральных результатов в [33] (там рассматриваются ПДО с -qp и -pq символами , а в диссертации с произвольным т-символом).
Методы исследования
В Диссертации используются методы бесконечномерного и стохастического анализа, а также ряд специальных конструкций.
Теоретическая и практическая ценность
Диссертация носит теоретический характер. Кроме того некоторые результаты могут найти применение при изучении течений вязкой несжимаемой жидкости.
Апробация диссертации
Основные результаты диссертации докладывались на конференции молодых учёных и семинарах механико-математического факультета МГУ.
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в четырёх работах автора. Работ по теме диссертации, написанных в соавторстве, нет.
Структура и объём работы
Диссертация состоит из четырёх глав, разбитых на параграфы. Общий объём диссертации составляет 93 страницы. Список литературы включает 38 названии.
Краткое содержание диссертации
Дифференцируемость меры Винера на функциях со значениями в компактной группе Ли
В диссертации рассматриваются задачи бесконечномерного анализа, связанные с исследованием линейных и нелинейных эволюционных уравнений. В ней получено представление решения задачи Коши для бесконечномерного уравнения Шредингера в фазовом пространстве с помощью интеграла Фейнмана по траекториям, описывается новый класс векторных полей, вдоль которых дифференцируема мера Винера на траекториях в евклидовом пространстве и развивается подход к исследованию системы уравнений Навье-Стокса, аналогичный лагранжеву подходу и исследованию гидродинамических уравнений Эйлера; при этом система уравнений Навье-Стокса заменяется некоторой (эквивалентной ей) системой стохастических дифференциальных уравнений. Следует отметить, что эта система стохастических дифференциальных уравнений эквивалентна детерминированной системе уравнений Навье-Стокса, так что этот подход принципиально отличается от подхода, основывающегося на введении в уравнение Навье-Стокса члена содержащего белый шум.
Перечисленные задачи относятся к одному из важнейших направлений бесконечномерного анализа, на протяжении более 20 лет находящемуся в центре внимания специалистов - анализу в пространстве функций на бесконечномерном пространстве с мерой. Этой области бесконечномерного анализа посвящена обширная и постоянно растущая литература; отметим в частности, монографии [29], [19], [33], [28], [15] 1 и многочисленные журнальные статьи как этих, так и многих других авторов, в том числе Трумена, Альбеверио, Аккарди, Воловича, Хренникова, Леандра, Висмута, Бжезняка и многих других. Таким образом, тему диссертации следует считать вполне актуальной.
Преобразованием меры Винера на траекториях в евклидовом пространстве, соответствующим рассмотренному классу векторных полей, является вращение траектории винеровского процесса зависящее от времени. Это преобразование интересно в связи с тем, что оно возникает при рассмотрении формулл интегрирования по частям для мер Винера на траекториях со
В зарубежной литературе применительно к этой области бесконечномерного анализа используется название "Исчисление Маллявэна" и "White noise analysis". значениями в многообразиях. Стандартные теоремы о диффе-ренцируемости меры Винера вдоль векторных полей со значениями в пространстве Камерона-Мартина (рассмотренные, например, в [22, ]) здесь неприменимы в силу того, что этим преобразованиям соответствуют векторные поля не принадлежащие пространству Камерона-Мартина ни в одной точке. В диссертации будет показана дифференцируемость меры Винера на С({0,1]R ) вдоль соответствующих векторных полей и найдена соответствующая логарифмическая производная. С помощью этого результата и результата статьи [21] доказана дифференцируемость меры Винера на траекториях в компактной связной группе Ли вдоль ограничения этих полей. Другой подход к этим задачам можно найти в статье [8].
В математической физике хорошо известна проблема поиска связи между уравнением Навье-Стокса(в дальнейшем мы будем пользоваться сокращением Н.-С.) и турбулентностью. При этом в силу того что турбулентность является стохастической системой естественным желанием было бы и описывать её стохастическим уравнением. В диссертации показана эквивалентность уравнения Н.-С. и некоторой системы стохастических дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных. Будет доказано, что,при некоторых предположениях, решение детерминистического уравнения Навье-Стокса представимо в виде композиции двух случайных полей. В случае отсутствия вязкости наш результат соответствует классической Лагранжевой картине описания уравнения Эйлера, описанной, например, в книгах [5] и [9], т.е. поля становятся классической траекторией и скоростью на траектории (естественно в этом случае стохастическая часть исчезает). Аналогичное разложение оказывается верным и для других эволюционные уравнений. Далее будет рассмотрена циркуляция решения уравнения Навье-Стокса вдоль некоторого потока случайных контуров и будет доказано, что эта величина является мартингалом с обращенным временем. Этот результат для уравнения Навье-Стокса является аналогом классической теоремы Кельвина о сохранении циркуляции решений вдоль потока траекторий для уравнения Эйлера. Исходя из этого факта будет доказано отсутствие нетривиального решения уравнения Н.-С. которое при — —со стремится к нулю; тривиальным решением называется решение не зависящее от пространственной переменной. Помимо этого, будет показано, что для определённых систем линейных параболических уравнений справедлив аналогичный факт т.е. то, что циркуляция решения вдоль потока случайных контуров является мартингалом с обращенным временем. Этот факт позволяет с помощью явной формулы найти интеграл решения вдоль любого замкнутого контура, тем самым сводя задачу решения этой системы уравнений к более простой. Аналогичные подходы к уравнению Навье-Стокса рассматривались в статьях [20], [б],[3]. Отличие нашего подхода состоит в том, что мы не используем усреднение ни в каком виде.
В диссертации описывается уравнение которому удовлетворяет циркуляция решения уравнения Навье-Стокса как функция контура. Это уравнение оказывается бесконечномерным аналогом уравнения Бюргерса. При этом бесконечномерным аналогом лапласиана является лапласиан Леви. Линеаризованное уравнение Стокса оказывается эквивалентным бесконечномерному уравнению теплопроводности рассмотренному в статье [2]. Кроме того, описан один класс гармонических"(по отношению к Лапласиану Леви) функций. Этот результат интересен в связи с тем, что в статье ([1]) доказано, что гармонические функции генерируемые лапласианом Леви взаимнооднозначно соответствуют полям Янга-Миллса. Аналогичный подход к уравнению Навье-Стокса рассматривался в работе [18].
Эквивалентность уравнения Навье-Стокса и стохастической системы уравнений в частных производных
Теорема (14). Пусть с (-) = (wi,... ,шп) Є C(Rn R2 )-набор из " гармонических функций, первые " п — 1 из которых выбраны произвольно, а последняя определяется равенством divu = 0 с точностью до константы С (определяемой далее) и определим функцию и из условия rot и = и условия определяющее константу С). Тогда если F(-) = / X) и (х) хкі
Замечание (15). Так как лапласиан Леви обладает свойством дифференцирования т.е. Api,(fg) = /Apf, + g&Pbf ([2],стр.) то множество "гармонических" функций (относительно лапласиана Леви) замкнуто относительно умножения. Отсюда следует что замыкая класс "гармонических" функций полученных в теореме 14 относительно умножения мы также получаем "гармонические" функции.
В четвёртой главе рассмотрена задача Копій для бесконечномерного уравнения Шредингера. Гамильтонианом в уравнении Шредингера служит псевдодифференциальный оператор с т-символом. Этот результат является усилением одного из результатов [33]. Там рассматриваются pq— и qp— символы, а в диссертации произвольный r-символ. В частности, при т — \ получаются символы Вейля. Доказано существование решения задачи Коши и найдено представление решения в виде интеграла Фейнмана. Подобные вопросы рассматривались в книге Березина [26].
Глава состоит из трёх параграфов. В параграфе 4.1 вводятся основные определения и терминология т.е. вводятся определения фазового пространства в котором расматрива-ется наше уравнение, псевдодифференциального оператора и соответствующих банаховых пространств (точные определения смотри в тексте диссертации). Пусть Q,P-6aHaxoBbi пространства с нормами . 7 и .р соответственно, находящиеся в двойственности Q, Р ,а—непрерывная вещественная функция на пространстве Р,Ма(Р)—пространство всех счётно-аддитивных комплекснозначных мер на Р,удовлетворяющих условию Jp \o,(p)\\n\(dp) +со.; а определяет псевдодифференциальный оператор а : Mla{Q) — M1(Q), где М1а(ф)-фурье-образ пространства Ma(Q) , Ml(Q)-фурье-образ пространства M(Q), -произвольная мера из пространства Ма(Р) и ji-её преобразование фурье ()( ?).= !ре1 Я Р р)- h : Р X Q - R,h(p,q) = /о /Р e, ?1 p e, Wl I/(«f?b Фі)) гДе v счётно-аддитивная ком-плекснозначная борелевская мера на банаховом пространстве Q х Р.Функция h определяет где /-произвольная функция из пространства Ml(Q). Обозначим через Eq, Ер банаховы пространства измеримых по Бо-релю ограниченных отображений из отрезка [0, і\ в пространства Q,P соответственно с нормами QEQ = зирхд(г)д для XQ Є EQ И а;р;р = 5ирхр(т)р для хр Є Ер.Положим Е = Ер х EQ.Пространство Е состоит из всех измеримых по Борелю ограниченных отображений из отрезка [0,f] в пространство Q х Р и норма (xQ,a;p) = ZQEQ + ЖРЕР задает на нем банахову структуру. Аналогично Fq, Fp банаховы пространства счетно-аддитивных мер на отрезке [0, t] со значениями в пространствах Q, Р соответственно,имеющих ограниченную вариацию(банаховость относительно норм \VQ\Q — \yq\(0,t) для yQ Є FQ и \yQ\q = yg(0,0 для yQ FQ соответственно).Положим F = Fp x FQ.Пространство F состоит из всех счетно-аддитивных мер на отрезке [0, t]co значениями в пространстве Q х Р ограниченной вариации,и норма (уд,ур) = ІІЇ/QIIEQ + ІЬРІІЕР задает на нем банахову структуру.
Пространства Ер, FQ находятся в двойственности EP,FQ : для пары хр Є Ep,yq Є FQ.Аналогично для пары пространств Eq,Fp определим двойственность Eq,Fp : для пары XQ Eq,yp Є Fp.Двойственности Ep,Fq Eq,Fp задают двойственность E,F равенством: (xp,XQ),(yP,yQ) = xp,yq + XQ,yP дляжд Є EQ,yp Є FP,xp EP,yQ Є FQ. Для каждого натурального п определим вложение жп : Dn х (Q х Р)п - F,полагая тг„( і, ..., „, (qi,pi), - - , (qn,Pn)) = (gi,Pi) ! + + (qn,Pn)5tn где Z?n = ( i,... tn) : О-тг-мерный симплекс и г-мера Дирака на [0, ] сосредоточенная в точке т [0, t]. Обозначим через Вр наибольшую т-алгебру подмножеств пространства F,coдepжaщyюcя в сг-алгебре борелевских подмно-жеств,инвариантную относительно сдвигов на векторы из пространства F и умножения на число и такую,что для любого натурального п вложение 7ГП измеримо в этой сг-алгебре(в пространстве Dn х (Q х Р)п — F берется (Т-алгебра борелевских подмножеств). Цилиндрические подмножества пространства F относительно двойственности Е, F содержатся в классе подмножеств Вр.
Пусть M+(F) множество всех неотрицательных счетно-аддитивных мер р,имеющих ограниченную положительную вариацию и удовлетворяющих следующему условию: для каждого множества X из семейства Вр существует множество / принадлежащее семейству Л/г,такое,что X Є А и р(А\Х) = 0,где Л )-наименьшая ст-алгебра подмножеств пространства F,coдepжaщaя все цилиндрические подмножества, порожденные двойственностью E,F .
В параграфе 4.2 вводится определение интеграла Фейн-мана. Интеграл Фейнмана вводится как линейный непрерывный функционал на определённом пространстве функций. Это определение совпадает с определением данным в книге [33] для частных случаев г = 0 и г = 1 и, кроме того, в параграфе приведена одна лемма из [33] необходимая для обоснования определения интеграла Фейнмана.
Циркуляция решения уравнения Навье-Стокса и бесконечномерное уравнение типа Бюргерса
где /-произвольная функция из пространства Ml(Q). Обозначим через Ея, Ер банаховы пространства измеримых по Бо-релю ограниченных отображений из отрезка [0,і\ в пространства Q,P соответственно с нормами ZQQ = S«PXQ(T)Q для XQ Є EQ И жрр = swpxp(r)p для xp Є Fp.Положим Е — Ер x EQ.Пространство E состоит из всех измеримых по Борелю ограниченных отображений из отрезка [0, t] в пространство Q х Р и норма (жд,жр) = QEQ + ЯРЕР задает на нем банахову структуру. Аналогично Fq, Fp банаховы пространства счетно-аддитивных мер на отрезке [0, t] со значениями в пространствах Q, Р соответственно,имеющих ограниченную вариацию(банаховость относительно норм J/QQ = ІУ ?І(М) для yq Є FQ И \yQ\Q = yg(0,f) для yq FQ соответственно). ПОЛОЖИМ F = Fp x FQ.Пространство F состоит из всех счетно-аддитивных мер на отрезке [0, t]co значениями в пространстве Q х Р ограниченной вариации,и норма (уд,ур) = II Уд II Eg + ІІУРІІЕР задает на нем банахову структуру.
Пространства Ер, FQ находятся в двойственности EP,FQ : для пары xp Ep,yQ Є FQ.Аналогично для пары пространств EQ, Fp определим двойственность для пары XQ Eq,yp Є Fp.Двойственности EP,FQ EQ,FP задают двойственность E,F равенством: (хр,хд),(ур,уд) = xP,yQ + xQ,yp для XQ Є EQ,yP Є Fp,xP Є Ep,yQ Є FQ. Для каждого натурального n определим вложение 7г„ : n х (Q х ;Р)" - - \Р,полагая 7rn(ii,...,„,(gi,pi),..., (gn,p„)) = (9i,pi) ti + + ( », Pn) t„ где Dn = (fі,... f„) : t fі - tn O-n-мерный симплекс и г-мера Дирака на [0, t],сосредоточенная в точке т [0, і]. Обозначим через Вр наибольшую т-алгебру подмножеств пространства Р,содержащуюся в сг-алгебре борелевских подмножеств,инвариантную относительно сдвигов на векторы из пространства F и умножения на число и такую,что для любого натурального п вложение 7гп измеримо в этой т-алгебре(в пространстве Dn х (Q х Р)" —У F берется а-алгебра борелевских подмножеств).Цилиндрические подмножества пространства F относительно двойственности E,F содержатся в классе подмножеств В р. Пусть M+(F) множество всех неотрицательных счетно-аддитивных мер р,имеющих ограниченную положительную вариацию и удовлетворяющих следующему условию: для каждого множества X из семейства Вр существует множество А,принадлежащее семейству Л/?,такое,что X Є А и р(А\Х) = 0,где Л наименыная ст-алгебра подмножеств пространства / содержащая все цилиндрические подмножества, порожденные двойственностью E,F . 4.2 Определение интеграла Фейнмана Введем отображение Тт : F — р,полагая для любых а Є [0,f],yg Є Fq,yp Є Fp. Обозначим через FM(Fp, Ер) пространство всех отображений из пространства Fp в пространство борелевских комплекснозначных мер наЕр ограниченной вар нации,таких, что каждое отображение ур — /ЛуР удовлетворяет следующим условиям: Для любой ограниченной борелевской комплекснозначпой функции( ,определенной на банаховом пространстве Ер и такой что функция (р о Тт измерима относительно а- алге ; бры ?р,функция U(yq,yp) = J е хр фр)ііур{ 1хр) измерима относительно сг-алгебры ?/г(/9 : F — С). Через G(F) обозначим пространство всех комплекснозначпых функций определенных на пространстве F = (FQ Х Fp),n пред-ставимых в виде MVQiVP) = fe XP yQ VyAdxp), (4.2) где отображение ур — цур принадлежит пространству FM(Fp, Ер). Для каждой функции / из пространства G{F) определим функцию rja(f) : F —» С,полагая . Ґ / i I a(xp(s))ds e r,m e Jo fiyp{dxp), (4.3) где функция / и семейство мер fj,yP связаны соотношением (4.2). Каждая мера р из множества M+(F) задает на пространстве G(F) полунорму Отметим что для каждого / Є G(F) функция r]a(f) ограничена и измерима относительно сг-алгебры Z?/?.B силу равенства (4.3) интеграл в равенстве (4.4) конечен. Легко видеть,что семейство полунорм sp определяет на пространстве G(F) локально выпуклую топологию. Пространство всех непрерывных линейных функционалов на пространстве G(F) будем обозначать через G (F). Для каждого х Є Е определим функцию ех : F -» С,ех(у) = еі х . Лемма 3. Функции ех{х Є Е) принадлежат пространству G(F) и линейная оболочка множества {ех : х Є Е} плотна в пространстве G(F). Доказательство. Пусть SEP XP- мера Дирака на пространстве Ер, сосредоточенная в точку хр. Для каждого х = (хр,хд) Є Е отображение ур — Є1 Х УР 6ЕР,ХР принадлежит пространству FM{Fp,Ep), поэтому в силу равенства" функция ех будет принадлежать пространству G(F). Остаётся доказать, что линейная оболочка семейства функций ех(х Є Е) плотна в пространстве G(F). Пусть / Є G(F) и мера р принадлежит множеству M (F). Возьмём є 0. Так как функция Т]а (/) ограничена и измерима относительно т-алгебры B(F), то найдутся натуральное п, комплексные числа ai,... , ап и попарно неперемекающиеся множества Х\,... ,Хп из сг-алгебры B(F), такие, что гДе XX - характеристическая функция множества X. Из принадлежности меры р множеству M+(F) следует существование множеств Ai,... , Ап принадлежащих сг-алгебре Л/г, таких, что Так как мера р счётно-аддитивна и множества Ак(к — 1,... , п) принадлежат сг-алгебре Л/г, то для любого к п функцию \Ак можно приблизить цилиндрическими функциями с любой точностью относительно полунормы д - J p(dy). В свою очередь ограниченные цилиндрические функции можно приблизить с любой точностью относительно той же полунормы линейными комбинациями функций ех(х Е). Поэтому найдутся такие комплексные числа /Зі,... ,/3/ и точки х\ — (xi,p,xitQ),... , ж/ = (X P,XIQ), принадлежащие пространству Е, что будет выполнено неравенство
Задача Коши для уравнения Шредингера в фазовом пространстве
Через G(F) обозначим пространство всех комплекснозначпых функций определенных на пространстве F = (FQ Х Fp),n пред-ставимых в виде где отображение ур — цур принадлежит пространству FM(Fp, Ер). Для каждой функции / из пространства G{F) определим функцию rja(f) : F —» С,полагая где функция / и семейство мер fj,yP связаны соотношением (4.2). Каждая мера р из множества M+(F) задает на пространстве G(F) полунорму Лемма 3. Функции ех{х Є Е) принадлежат пространству G(F) и линейная оболочка множества {ех : х Є Е} плотна в пространстве G(F). Доказательство. Пусть SEP XP- мера Дирака на пространстве Ер, сосредоточенная в точку хр. Для каждого х = (хр,хд) Є Е отображение ур — Є1 Х УР 6ЕР,ХР принадлежит пространству FM{Fp,Ep), поэтому в силу равенства" функция ех будет принадлежать пространству G(F). Остаётся доказать, что линейная оболочка семейства функций ех(х Є Е) плотна в пространстве G(F). Пусть / Є G(F) и мера р принадлежит множеству M (F). Возьмём є 0. Так как функция Т]а (/) ограничена и измерима относительно т-алгебры B(F), то найдутся натуральное п, комплексные числа ai,... , ап и попарно неперемекающиеся множества Х\,... ,Хп из сг-алгебры B(F), такие, что гДе XX - характеристическая функция множества X. Из принадлежности меры р множеству M+(F) следует существование множеств Ai,... , Ап принадлежащих сг-алгебре Л/г, таких, что Ak Э 6) Так как мера р счётно-аддитивна и множества Ак(к — 1,... , п) принадлежат сг-алгебре Л/г, то для любого к п функцию \Ак можно приблизить цилиндрическими функциями с любой точностью относительно полунормы д - J p(dy). В свою очередь F ограниченные цилиндрические функции можно приблизить с любой точностью относительно той же полунормы линейными комбинациями функций ех(х Е). Поэтому найдутся такие комплексные числа /Зі,... ,/3/ и точки х\ — (xi,p,xitQ),... , ж/ = (X P,XIQ), принадлежащие пространству Е, что будет выполнено неравенство Значит любую функцию / из пространства G(F) можно с произвольной точностью приблизить относительно полунормы sp линейными комбинациями функций ех(х Є Е). Пусть pi,... ,рк меры из множества M+(F). Заметим, что если меры р ,р" принадлежат множеству М+(/?), то мера ро — р +р" тоже будет принадлежать множеству M+(F), так как для любого множества X из cr-алгебры B(F) найдутся множества А , А" из ст-алгебры Af, такие, что А Э ХУА" Э Х,р (А \Х) = 0,р"(А"\Х) = 0, а значит, множество также будет при А = А П А" принадлежать а-алгебре Ар и будут выполнены соотношения ро(А\Х) — р (А\Х) + р"(А\Х) = 0. Следовательно, мера р = pi + ... + pk будет принадлежать множеству M+(F). Из оценок для любого g Є G(F) и m = 1,... ,&и неравенства (4.9) следует, что при m = 1,... , к. Значит, линейные комбинации функций ех(х Є Е) плотны в пространстве G{F).T-\.T.J\. Обозначим через Ga(E) пространство всех комплекснознач-ных функций ф определенных на пространстве Е,каждая из которых представима в виде ф = ,где Пространство Ga(E) будет линейным пространством и отображение из пространства G (F) в пространство ( (Е задаваемое преобразованием Фурье — ,в силу леммы 3 будет линейным изоморфизмом.Определим на пространстве G (F) сильную сопряженную топологию и зададим с помощью отображения - локально выпуклую топологию на пространстве Ga(E) так,чтобы это отображение было топологическим изоморфиз-мом.Обозначим через Ga(E) пространство всех линейных непрерывных функционалов на пространстве Ga{E).Определим отображение / — f из пространства G(F) в пространство (Д),іюлагая /() = (/)V G (F). Квадратичная форма ат : F — С задаваемая равенством ат(уд,Ур) = Tr(yQ,yP),yQ является измеримой относительно сг-алгебры Вр функцией. Функция дт : F — С, у —ї ега (у принадлежит пространству G(F),TaK как имеет место равенство: для любого у = (J/Q, ур) Є F.B свою очередь мера удовлетворяет оценке: и для любой ограниченной борелевской функции ф на пространстве Ер,для которой функция ф о Тг измерима относительно сг-алгебры Вр,функция также будет измерима относительно ст-алгебры В р. Определение 5. Мерой Фейнмана Фат,порожденной квадратичной формой 2ат на пространстве F будем называть дт Є Ga(i2).Скажем,что функция / : Е — С интегрируема по мере Фейнмана Фат если она принадлежит пространству Ga(Е).При этом величину gT{f) назовем интегралом Фейнмана по мере Фаг и обозначим через / /(х)Фат(с1х).