Введение к работе
Актуальность теїш. Одним из важнейших направлений в теории голоморфных функций, как, впрочем, и во всем алализе, является изучение задач, связанных с разложениями в ряды по фиксированной последовательности функций из различных пространств. Помимо того, что они представляют самостоятельный интерес, полученные в провесе их решния результата широко применяются как для- исследования внутренних проблем комплексного анализа, так и в прикладных задачах. Например, это касается аппроксимации и интерполяции в комплексной и вещественной области, разрешимости различных функциональных уравнений и конструктивного построения их решений. Существенное место в этой тематике, занимает теория представления функций, голоморфных в областях или на компактах из р, рядами экспонент и их обобщений. Определяодш их особое полояение среди прочих пространств и систем (к примеру, классических степенных или. тригонометрических) является то обстоятельство, что лолуча-еныэ разложения, как правило, ^единственны. В связи с этим к ним неприменимы, по крайней мере непосредственно, методы, разработанные для базисов в пространствах голоморфных функций.
В 1965 г. А.Ф.Лзонтьевым [II было устанопено, что если в -внутренность правильного треугольника с центром в начале координат, то мошко так расположить на лучах, исходящих из этого центра и перпендикулярных его сторонам, точки <\У, чтобы каждая функция, голоморфная на замыкании б, разлагалась бы в б в абсолютно сходящийся ряд по системе {ехрк^гУ. Пожалуй, с этого времени началось интенсивное построение теории представления функции, голоморфных в области или на компакте, рядами экспонент и обобщенных экспонент, проводившееся вплоть до последнего времени под значи-
тельным влиянием работ А.Ф.Леонтьева, подытоженных в [2],[3]. Существенный вклад в развитие указанного направления внесли работч В.П.Громова, В.К.Длдыка. D.И.Мельника, В.Х.Мусояна, А.М.Седлец-кого, D.H.Фролова, А.П.Хромова, В.И.Шевцова и др.
Исследования /.Ф.Леонтьева шелушили естественноя основой для создания теории абсолютно представляющих систем в локально выпуклых пространствах, осуществленного, главным образом, в работах Ю.Ф.Коробейника (напр., [4]-[Б]). Применение фундаментальных принципов функционального анатиза позволило, помимо развития обшей теории, а также постановки и решения ряда новых задач, дать ответ на некоторые проблемы, не поддававшиеся изучению ранее разработанными методами.
Другое направление в исследовании разложения функций в ряды экспонент было инициировано Л. Эренпрайсои [7], который предложил использовать для этих целей так называемые достаточныз множества. Именно, если И - равномерно аналитическое пространство и S - дискретное достаточное множество для подходящей реализации его сопряженного, то каадую функцию из В моааю представить в виде суммы абсолютно сходящегося в В ряда экспонент с показателями из S. Впоследствии рядом зарубежных математиков рассматривалась задача о построении достаточных множеств для пространств целых функций, определяемых радиальными характеристиками роста. Дальнейшее продвижение здесь было достигнуто В.В.Напалковым [8], (9].
Указанные два направления развивались практически независимо друг от друга гочтк до начала 80-х годов, когда при естественных ограничениях было установлено их совпадение. Именно, сначала Ю.Ф. Коробейник получил характеризацто абсолютно представляющих систем в некоторых типах локально выпуклых пространств через
совпадение определенных топологий в сопряженных к ним. Отсюда очевидным образом вытекало наличие непосредственен связи между абсолютно представляющими системами обобщенных .?кспонент и слабо достаточными множествами. Затем В.В.Напалков при условии, что отношение весовых функций, определяющих пространство, стремится к нулю по мере удаления в бесконечность, показал эквивалентность понятий достаточности и слабой достаточюсти. В последующем она быяа установлена и при более общих предполоЕЗННЯХ .
В результате развития указанных направлений был накоплен достаточно богатый фактический материал, сконцентрированный, в основном, вокруг задачи построения "показателей" абсолютно представляющих систем обобщенных экспонент, достаточных и слабо достаточных множеств. Кроме того, в работах Л. Эренпрайса, Д.М.Шней-дера, Ю.Ф. Коробейника и других было выяснено, что достаточные и слабо достаточные множества играют важную роль в ряде задач комплексного анализа, возникающих, например, при исследовании уравнений в частных производных и уравнений свертки, теорем деления, различных интерпретаций принципа $рагмена-Линделефа и теорем типа Левинсона. С другой стороны, в сфере приложений в последнее время наблюдается возросшия интерес к таким пространствам, к которым полученные к настоящему моменту результаты неприменимы. В частности, здесь можно выделить пространства функций, голоморфных в области и имеющих вблизи ее границы рост, определяемый тонкими характеристиками, или пространства улырадифференцируемых функций. Вышеизложенное диктует, на наш взгляд, необходимость детального исследования целого комплекса проблем, связанных с изучением слабо достаточных множеств и абсолютно представляющих систем, составляющих цели настоящей диссертационной работы.
Цели работы. Исследование слабо достаточных множеств в общих классах индуктивных пределов весовых банаховых пространств целчх функция, вклшая их свойства, функциональное описание и построение наибопе "редких" для данного пространства слабо достаточных множеств. 'Для пространств, определяемых весовыми последовательностями с конечной верхней огибающей, охарактеризовать слабо достаточные множества, образованные нулевыми иыжествами целых функций, имещих в определенном смысле минимально возможный рост по. отношению к рассматриваемому пространству. Изучение и описание слабо достаточных множеств с точки зрения их распределения на плоскости. Применение полученных результатов к абсолютно представляющим системам собственных элементов линейного непрерывного з пространстве Фреше оператора и системам обобщенных экспонент в различных конкретных типах пространств голоморфных и ультрадиффе-ренцируемых функций. Исследование взаимосвязи между свойством системы быть абсолютно представляющей и наличием по ней абсолютно сходящихся нетривиальных разложений нут при максимально возможных по степени, общности предположениях. Использование результатов в некоторых вопросах теории уравнений свертки.
Методы иссдедованил. В диссертации применяется достаточно разнообразный и разноплановый аппарат, характерный при исследовании пространств голоморфных функций, снабженных некоторой локально выпуклой топологией, отличной от нормированной. Помимо классических методов и результатов ряда разделов комплексного и функционального анализа (таких, например, как теория функций вполне регулярного роста или вопросов разрешимости з-задачи в классах функций с априорными оценками), в работг развиты и модифицированы методы, ранее применявшиеся при изучении абсолютно представляющих
систем и слабо достаточных множеств D. Ф. Коробейником, В. В. Напалковым и другими математиками. Это позволило добиться качественного скачка в решении поставленных выше задач.
Научная новизна. Все результаты, изложенные в диссертации, являгтся новыми и заклинается в следупцек.
Пояуиенм новье по йорме критерии слабой достаточности множества а максимальной ш степени СиЗЕСТИ сэтугщ, гогволивяш»,. * частности, дать окончательный ответ на вопрос о взаикосвязи меаду слабо достаточными и эффективными по Инеру множествами и изучить ряд свойстз слабо достаточных мнонвств, получив.при этом неулуч-шаемье рззультаты сразу в многомерном случае. Все они являются новыми и для функций одной переменкой.
Найдены услсвля яа весовые последовательности, с аре делящие кндукгі'^ньа ~?е;;?л. при которых для него имеются слабо достаточна кноузства минимального типа, то есть множества, состояли? кз нуле?, целых Фуйсш минимально возможного роста, С их понощьа указаны мно;ксстг«а. обладашге ункзерсальнсстьл в той снюле, что они является слабо достаточными множествами минимального типа одновременно для целого спектра пространств, охзатнзащего не только все рассмотренные к настояззку зрекеки пространства, ко к ряд новых, ранее не поддававшихся исследования.
Для пространства всех целых функций с заданной оценкой индикатора при данном уточненном порядке получена полная геометрическая характеризацкя слабо достаточных множеств. Следет отметить»_ что подобные результаты не были известны даже з простейших ситуациях.
Для последовательностей собственных элементов линейного непрерывного оператора в пространстве Фреше Н исследована связь.
меащу свойством этих систем бшь абсолшно представляхщми в й и наличием по ним абсолютно сходящихся нетривиальных разложений нуля. По сравнению с предшествущкми работами удалось значительно расширить класс пространств, в которых имеет место эквивалентность указанных двух свойств.
Ряд результатов и методов вспомогательного плана, развитых в диссертации и, в частности, относящихся к построение семейств целых функция со специальными оценками, описанию мультипликаторов пространств, определяемых системе"; весовых функций, ч модификации метода Л.Хермандера в задаче о лороадагщих, также является новым.
Теоретическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они, а также разработанный в диссертации аппарат, использованы в ней при исследовании задачи о разложении голоморфных и ультрадифференцируемых функций в ряды обобщенных экспонент и некоторых вопросах теории уравнений свертки. Кроме того, эти результаты уже применялись в других рабо;ах и могут применяться в последующем к задачам теории интерполяции и изучения асимптотического поведения целых функций.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на мевдународной конференции по алгебре и анализу (Казань 1934 г.). Всесоюзных конференциях по комплексному анализу и теории функций (Теберда, 1985 г.; Уфа, 1387 г.; Ростов-на-Дзну, 1S39 г.; Архыз, 1931 г.), математических школах (Саратов. 1384. 1S85. 1320 гг.; Воронеж, 1989 г.), на семинарах в Московском, Санкт-Петербургском, Харьковском, Ростовском университетах. Институте математики Уральского научного центра РАН (Уфа) и Ъйсковскои энергетическом институте.
Публикации. Основкш результаты диссертации опубликованы б
работах [29]-[51].
Структура и объем диссертация. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Библиография содержит 17В наименования. Объем диссертации - 268 страниц текста.
Часть результатов диссертации получена в рамках проекта 93-011-242 "Лкнейнье операторы в комплексном анализе", осущест-вляеного при финансовой поддержке Р$*И.