Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Симметрические дилатации доссипативных операторов 24
1.1. Диссипативные операторы 24
1.2. Дилатации линейных операторов 28
1.3. Пространства вектор-функций 30
1.4. Эрмитова и симметрическая дилатации диссипативного оператора (спектральное представление) 34
1.5. Симметрическая дилатация диссипативного оператора А в случае *р(А) - *Р(А*) 43
1,6. Симметрическая дилатация диссипативного оператора (трансляционное представление) . 46
ГЛАВА II. Самосопряженные дилатации диссипативных операторов 53
2.1. Самосопряженная дилатация диссипативного оператора (спектральное представление) . 53
2.2. Самосопряженная дилатация диссипативного оператора (трансляционное представление) . 63
2.3. Самосопряженная дилатация диссипативного оператора А в случае ограниченности мнимой компоненты оператора А 72
' 2.4. Минимальность самосопряженной дилатации . 79
ГЛАВА III. Эрмитовы и j-самосопряжнные дилатации линейных операторов 88
3.1. J -эрмитова дилатация линейного оператора 88
3.2. Спектральное представление J -самосопряжен ной дилатации линейного оператора 90
3.3. Трансляционное представление J -самосопряженной дилатации линейного оператора 106
Дополнение. Об одной модификации понятия характеристической функции линейного ограниченного оператора 119
Литература 134
- Эрмитова и симметрическая дилатации диссипативного оператора (спектральное представление)
- Симметрическая дилатация диссипативного оператора (трансляционное представление)
- Самосопряженная дилатация диссипативного оператора А в случае ограниченности мнимой компоненты оператора А
- Спектральное представление J -самосопряжен ной дилатации линейного оператора
Введение к работе
При изучении неунитарных и несамосопряженных операторов полезными оказываются развиваемые в последние десятилетия как метод характеристических функций, так и метод дилатаций Сто есть ме -тод "растяжений" заданного оператора до унитарного или самосопряженного). При этом теория унитарных дилатаций сжатий довольно полно разработана в ряде работ Б.С.-Надя и Ч.Фояша [i^ . Затем Ч.Дэвис [14] , Ч.Фояш и Ч.Дэвис [15] , Л.А.Сахнович [ібі , А.В.Кужель [5,17^| , опираясь на метод Надя-Фояша, построили и исследовали J -унитарнне дилатаций произвольного плотно заданного замкнутого оператора и произвольного ограниченного оператора.
А.В.Кужель в [5, 171 построил одно из трансляционных представлений J -самосопряженной дилатаций произвольного плотно заданного линейного оператора с непустым множеством регулярных точек.
Простейшие соображения говорят о том, что в случае диссипа-тивных операторов должны существовать симметрическая и самосопряженные дилатаций. Для этого достаточно воспользоваться преобразованием Кэли.
Таким образом, в случае диссипативных операторов задача сводится к явному построению симметрической и самосопряженной дилатаций. Эта задача была решена в работе Б.С.Павлова [У] для оператора Шредингера А- -Д + ^ + <-р , где Q, и О - вещественные непрерывные функции из R ,
О ^ Р = 4- «** <оо и оператор А ~ "А + % предполагается самосопряженным на ^(А). - 5 -При этом существенно используется тот факт, что ^(AY)5 *р(А\ ) и мнимая компонента оператора А\ ограничена. Анализ показывает, что этот метод применим и в абстрактной ситуации.
В [V] и [із] самосопряженная дилатация построена в случае некоторых других конкретных диссипативных дифференциальных операторов (порожденных соответственно самосопряженным дифференциальным уравнением второго порядка и стационарным волновым уравнением).
Данная работа посвящена явному построению и исследованию различного типа симметрической и самосопряженной дилатаций диссипа-тивного оператора, а также J-симметрической и J -самосопряженной дилатаций произвольного линейного оператора и, кроме того, исследованию свойств дилатаций и установлению связи между их различными представлениями. Явное построение спектрального представления самосопряженной дилатаций диссипативного оператора является одним из основных результатов, полученных в диссертации. При этом в процессе построений существенно используются идеи работ Б.С.Павлова.
В главе I дается явное построение симметрической дилатаций L диссипативного оператора А » действующего в гильбертовом пространстве "^г с непустым множеством регулярных точек Р^А") , плотной областью определения 5)(А) , и исследуются некоторые свойства такой дилатаций.
В частности, в I.I рассматриваются некоторые известные свойства диссипативных операторов, а также операторов где Й»*(А-лГ)Г', *j>(A). - б -
Пусть -і в р(А), тогда обозначим 8= Ё-; » в ~ в-.,- ,
В 1.2 рассматриваются различные определения дилатаций линейных операторов и некоторые общие свойства дилатаций.
В случае ограниченных операторов оператор IB , действующий в гильбертовом пространстве Н , называется дилатацией [і] оператора А , который действует в гильбертовом пространстве yrCL п , если
А"^РВ"] (Vnev) с*) где Р - оператор ортогонального проектирования в п на "^ . При этом условие (#) эквивалентно любому из следующих:
2) (А->і)Ч= Р(в-аГ)"Ч($«лАб^ R (t,j) = (т-лг)7#/ф[^:М<м>4
Последние два условия имеют смысл и в случае неограниченных операторов, и, таким образом, любое из них можно принять в качестве определения дилатаций произвольного линейного оператора
А , У которого р(А)^: 0 .
Дилатаций
В* и /В, оператора /i , действующие соответственно в пространствах Ні и Пд , называются изоморфными, если существует унитарное отображение it пространства Ht на Н^ такое, что і) L6U U (Н^), 2) /Й2 = 66 /8, и1.
ТЕОРЕМА I.I. Пусть А - линейный оператор в пространстве "^ и /о - дилатация оператора А , действующая в п (** CZ Н) . Если при этом оператор /6^ , действующий в Hi » удовлетворяет следующим условиям:
2) существует унитарное отображение 66 пространства Н на Hi такое, что a) ul = L (\/U^), то /Ох - дилатация оператора А .
В І.З рассматриваются некоторые известные свойства пространств вектор-функций: где "^г - гильбертово пространство. Доказываются необходимые для дальнейшего свойства оператора дифференцирования в этих пространствах.
В случае сепарабельности пространства V устанавливается изоморфизм между пространствами н+ „ & = «- , и. « $- = Ч с помощью ортонормированной системы функций Чебышева-Лаггера [2] в L, (о, со) и Lz(-**,o) .
Далее в 1.4 получен основной результат главы I - спектральное представление эрмитовой и симметрической дилатации диссипативного оператора А . При этом вначале рассматривается оператор А , область определения которого Q(A) не предполагается плотной.
Рассмотрим пространство Н = Н+ф^
, где и построим в нем оператор U следующим образом.
Вектор U = [ і ) , где Ц., 6 М+ , 1в6^ , принадлежит чГ) ( L ) тогда и только тогда, когда
I) u+ Wz (о,«о '> ^ft) * где \A/Z - класс Соболева;
2) lo б 9(A) ;
При этом оператор L, определяется так: 9L =z ^к. где --,.+ ^
ТЕОРЕМА 1.2. Оператор L является эрмитовой дилатацией оператора А .
Следствие. Если диссипативный оператор Д плотно задан, то L - симметрическая дилатация оператора А .
Для симметрической дилатации L получены следующие свойства: D (p(L)f)(p(A)-QA;
2) Индексы дефекта оператора L, :
Далее рассматривается свойство минимальности дилатации L .
Пусть Пі и М ~ линейные многообразия пространства Н . Тогда Мі V Мо обозначает наименьшее подпространство пространства Н , содержащее М^ и Мг . ІШШЖЛіІі. Если пространство ^t~Q^. - сепарабель- ное, то эрмитова дилатация L является минимальной в том смысле, что \**V
Доказательство проводится непосредственно нахождением га.
В случае можно построить следующее представление дилатации. Рассмотрим оператор Lv в прост-ранстве Н = Ц+ 2Г * где Ц[ = Lz (о,оо; "),
Е = \А79(A) , \/=^f-
Вектор ( L J ^ сг{ VJ т когда
I) U+e W/(o,-o; Є); огда и только тогда, з) U+m = z vEvL. тогда U=u([';)=( *l;
ТЕОРЕМА 1.4. Оператор Lv является симметрической дила-тацией оператора А *
При доказательстве этой теоремы одновременно показано, что дилатации Lv и L изоморфны.
1.6 посвящен трансляционному представлению симметрической дилатации диссипативного оператора А .
Здесь рассматривается оператор LT , зависящий от параметра У>о . При У = 2 этот оператор был построен в [з] .
Рассмотрим гильбертово пространство элементами
,-& .г» #.= **. b*Qb с / = (/.,/«,,...), /*&> /*6 («**) VC^ О
В пространстве ^г+ рассмотрим неограниченный оператор S+
1/-2./-. /(/./«.A....).
Оператор LT , зависящий от параметра У>о , действует в пространстве ^+ следующим образом.
I. Вектор f= (-/о,/<,/*,,, ,^ J)(Z,T) тогда и только тогда, когда - II - і) /*(*), ZLiUit
П. Если /Є )(0, то LTf~(].,2t,fr,...),
ГДЄ JQ = Л /о , J\, = У* $ц / ^ 6 Ж) -
ТЕОРЕМА 1.5. При У=2 оператор Ьу , определенный условиями I и П, является симметрической дилатацией диссипативного оператора А .
ТЕОРЕМА 1.6. Пусть А - диссипативный оператор и пространство $-0^ - сепарабельное. Тогда дилатация L унитарно эквивалентна оператору LT при ^-i
Из доказательства этой теоремы следует, что LT - дилатация оператора А при У=/ , изоморфная дипатации L .
Минимальность дипатации L,r при &W доказывается с помощью следующей теоремы.
ТЕОРЕМА 1.7. Если Bi и /62 - изоморфные дипатации оператора А » действующие соответственно в пространствах Ні и Н% , и со <»
Явному построению различных представлений самосопряженной дипатации диссипативного оператора, установлению связей между ними и исследованию некоторых свойств таких дилатации посвящена глава П.
В 2.1 проводится построение спектрального представления таких дилатации следующим образом.
Пусть А - плотно заданный диссипативный оператор, действующий в гильбертовом пространстве
Рассмотрим пространства вектор-функций К* ~ Lz (о,***;^} и Н--*.і(—.4*0 , где і^Щ- , %=аь .
Образуем гильбертово пространство л - п~ Ф ^- Ф И+ и построим в нем оператор J следующим образом:
Вектор I»-I -»о J f где L± п + , Uo Є "Э" » ПРИ" надлежит 5)(^) тогда и только тогда, когда
2) f = U.+ 6LM JpCA};
3) L6>)-"T4,(oW<2>^ , где T^I+ZlR*;, ыи W pes) >T0 9Д. і U / \ ЄЛ+ где »+1.+ dt di - ІЗ -
ТЕОРЕМА 2.1. Оператор 5 является самосопряженной дилата-цией диссипативного оператора А .
Используя вид дилатации, доказываются следующие ее свойства: і) >(А) Л $>(!>) = GA; г) 6-р(з)с Єр (А).
2.2. посвящен построению трансляционных представлений самосопряженной дилатации диссипативного плотно заданного оператора Д -с Р(А) . Устанавливается связь с дилатацией J
Рассмотрим гильбертово пространство У ~ "-„ Ф "^ $ "> , где V~-"Va . i*=f ^
Элементами являются векторы f = (" ' у 7"1 if/1 7 * > 7 і » 7*,.. J f^Jfi при к W , /« ^2 при к^-{ , fo "^ , ЩИ- - (ТО
Срамка означает, что помещенный в нее элемент расположен на нулевом месте).
В пространстве
Построим в пространстве <№ оператор J>r » зависящий от параметра Й">о , следующим образом:
I. Вектор f Є іР(^г) тогда и только тогда, когда
ОО оо
К/Г<- /*../**<-.
И = 1 «Х-ї-* з) St/=T*S-/+;)V , где s>= <3<7Wr\
П. Если /б >CSr) , то 5r^-6'-» ^.0.^-0
ТЕОРЕМА 2.2« Оператор Sr » определяемый условиями I и П, при У-Z является самосопряженной дилатацией диссипативно-го оператора А .
Эта дилатация при ~tf ~% была получена А.В.Кужелем в (_5J.
Затем в теореме 2.3. доказывается, что в случае сепарабельности пространств ft~Q% и ^^SJ- оператор S при У= і является дилатацией оператора А изоморфной ди-латации 5
В 2.3. рассматривается построение самомопряженной дилата-ции в случае ограниченности мнимой компоненты V оператора А .
Образуем гильбертово пространство L2(-~.iE), - u,^
Построим в db оператор Ь следующим образом.
Вектор V ~ I VQ \ j)\$ ) тогда и только тогда, когда \ V+ /
Если V6 ^(S), TO 9+V+
Далее в случае U ^ ^-- 5^(^/ Б теРеме 2»4 устанавливается, что 5 ~ дилатация оператора А # изоморфная дилатации j .
В 2.4 доказывается минимальность дилатации о , о г (при 2Ґ=Ї ) и S Доказательство проводится непосредственно, используя выражение для резольвенты оператора $ и связь между дилатациями.
Самосопряженная дилатация j^ , действующая в гильбертовом пространстве Н^ , оператора А » действующего в пространстве "*2f , называется минимальной, если
Основным результатом главы Ш является явное построение спектрального представления J -самосопряженной дилатации произвольного плотно заданного линейного оператора с непустым с О (А)''. Это обобщение результатов глав I и П.
В 3.1 строится спектральное представление J -эрмитовой дилатации произвольного линейного оператора А , действующего в гильбертовом пространстве # , при условии, что -ібр(А).
Рассматривается оператор о » введенный в І.І, и операто-
В пространстве п+ ~ L>z (0,00 ; 3 J , где ^ft ~ о > индефинитная метрика вводится с помощью оператора X : (оператор J действует на векторы ц+ (і ) при каждом фиксированном г ) и [Л**-' ^+Jh+ (У* ^+»^+/н+.
Оказывается (теорема 3.1), что оператор L, , построенный в ІЛ, является J -эрмитовой дилатацией оператора А . Мы его будем обозначать Lj .
Если <р(А) = % , то Ц- 7 -симметрическая дилатация оператора А .
3.2 посвящен построению спектрального представления J -самосопряженной дилатации произвольного плотно заданного оператора Д при условии, что -l
Рассматриваются введенные в I.I операторы В и 6 и операторы . Затем в пространстве (-j_ - L^ (-00, о j з^ )f где -^z - Q ^ так же, как и в пространстве п+ , вводится индефинитная метрика с помощью оператора Jt . А в пространстве Н = /-/+ ф ^ Ф Н- индефинитная метрика вводится с помощью оператора J : J/ I. V,, J -самосопряженная дилатация bj имеет тот же вид, что и дилатация S , только условие 3) на область определения дилатации несколько отличается от прежнего:
ТЕОРЕМА 3.2. Оператор Jj является J -самосопряженной дилатацией оператора Д .
Эта теорема доказывается с помощью леммы.
ЛЕММА 3.1. Если оператор г , действующий в невырожденном пространстве г| с индефинитной метрикой, задаваемой оператором J , является J -симметрическим и
Г~^, і у CZ P(F) , то г - J -самосопряженней оператор. - 18 -Теорема 3.3 устанавливает вид оператора Sj- .
В 3.3 рассматривается трансляционное представление J - самосопряженной дилатации и дан метод построения дилатации для определенного класса конкретных операторов, в частности, опера тора Штурма-Лиувилля. J
В пространстве рассмотрим оператор
Оператор J задает в пространстве Ж индефинитную метрику. Затем рассматривается оператор ST с параметром }f > о , построенный выше, имея в виду, что операторы Q и Q опреде- ляются равенствами
Этот новый оператор, который мы обозначим Ът j , при ^=^2, является J -самосопряженной дилатацией оператора А .
Устанавливаются некоторые свойства J -самосопряженных дилатации, в частности, минимальность и связь различных представлений.
В заключение главы Ш рассматривается построение J -самосопряженной и самосопряженной дилатации конкретных операторов, используя результаты работы Черновой Г.И. Гю] .
Дилатации строятся для операторов следующего вида.
Пусть А0 - симметрический оператор, действующий в гильбертовом аространстве ~~у , и где О^л ~ "^г О (А" А 1)\)(/\) - дефектное подпространство оператора А , отвечающее числу л .
Рассмотрим расширение А оператора Д0 с областью опре- деления где: і а , ъ,Л ( CZ , О- и Ь - постоянные, /а1 + Оператор А действует так:
Оператор А является правильным расширением [б] оператора А0 Для этих операторов и строятся дилатации. Заметим, что для таких операторов
В дополнении рассматривается одна модификация понятия, характеристической функции линейного ограниченного оператора, а именно: характеристическая а -функция оператора.
В случае сжатий Б.С.-Надь и Ч.Фояш [iJ определили характеристическую функцию равенством где 2)Г = (Г-ГТ) - дефектный оператор, отображающий пространство "г , в котором действует оператор і , в дефектное подпространство $)т ~ оОт # оператора Т.
При этом, как было показано в [i J , при .на ли чий инвариантного подпространства ^ , у оператора "Г характеристическая - 20 -функция Ц-(^) допускает факторизацию:
9ТМ~- V 0J*) I, (V Я постоянные унитарные операторы, а - характеристическая функция оператора w , Т>Т т, = ат
Указанное свойство характеристической функции играет существенную роль при изучении различных классов сжатий.
В [l8J А.В.Кужель ввел понятие характеристической функции в случае произвольного ограниченного оператора "Г равенством
0T(>)=Tj-*Qr.(l->T*yQr, о) где ^^(г-гт), от~\і-т'т\'*.
В частности, если ""["" - сжатие, то - опе- ратор проектирования на )т . В этом случае указанное определение характеристической функции совпадает с определением Б.С.-Надя и Ч.Фояша.
В [ilj был также получен аналог теоремы Надя-Фояша о факторизации характеристической функции. Однако при этом вводилось понятие И/г -подпространства и теорема о факторизации была получена только в случае существования у рассматриваемого оператора инвариантного И/г -подпространства. Все попытки избавиться от указанного ограничения на инвариантные подпространства оказались безрезультатными.
Здесь введена некоторая модификация, понятия характеристичес- кой функции, что дает возможность установить в общем виде теорему о факторизации, перенести многие результаты Б.С.-Надя и Ч.Фо-яша и других авторов на ограниченные операторы, не являющиеся сжатиями, и упростить доказательство ряда утверждений.
Пусть А - линейный ограниченный оператор, действующий в гильбертовом пространстве ^ . Оператор-функцию V\^(?-), определяемую равенством где J-S«j[*(a2I-A*A\ QA- \
В частности, понятие характеристической і -функции совпадает с понятием характеристической функции из работ [її, 18 J .
Оказывается, что характеристическая а-функция \\/д(} оператора А связана с характеристической функцией (3) оператора Т-сГ^А равенством: WA(i)~«QT(ai). w
При этом в случае /|А(| ^ <* можно считать, что в равенстве (4) Qj.(a) есть характеристическая функция Б.С.-Надя и Ч.Фо-
Пусть fff - инвариантное относительно оператора Д подпространство "*у . Тогда А"(о A.)- A.-AI,,. VM|tf
А - линейный ограниченный оператор, отображающий ^ в #i , Инвариантное подпространство "^ называется //г -подпрост- - 22 -ранством, если Г ~Од* L Од , где L - некоторый ограниченный оператор, отображающий ^L в %± . Используя процесс факторизации, описанный в [її] , доказано, что в случае наличия у оператора Vг -подпространства, характеристическая а. -функ- / ция допускает факторизацию
Ч,(*У [о ІГ Q% где , как и в [и] , есть некоторые постоянные операторы типа изометрических.
При этом если ||А|| й (X , то каждое инвариантное подпространство оператора Д является Л/г -подпространством, и,следовательно, в этом случае характеристическая а-функция может быть факторизована без каких-либо ограничений на инвариантные подпространства. В этом случае операторы JJ и \/ являются унитарными, а оператор сО удовлетворяет соотношениям
На случай характеристической d -функции перенесены также результаты Д.Кларка [l2J , полученные для характеристической I-функции.
В данной работе внутри глав принята сквозная нумерация теорем, лемм и формул, в которой первое число указывает номер главы, а второе - номер соответствующего утверждения главы.
Настоящая работа выполнена в Симферопольском государственном университете им.М.В.Фрунзе.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах ГзJ , ГІ9-22І и докладывались во Всесоюзной летней школе по операторам в функциональных пространствах в 1982 г. в г.Минске, на семинарах - 23 -' по функциональному анализу Симферопольского госуниверситета (руководитель - проф. А.В.Кужель), на семинаре по теории операторов в пространстве с индефинитной метрикой Воронежского госуниверситета (руководитель - проф. И.С.Иохвидов), на семинаре кафедры высшей математики физического факультета Харьковского госуниверситета (руководитель - доцент В.К.Дубовой).
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНЕСЕННЫЕ НА ЗАЩИТУ:
Явное построение спектрального представления симметрической дилатации диссипативного оператора и связь этого представления с другими.
Минимальность симметрических дилатации.
Явное построение спектрального представления самосопряженной дилатации диссипативного оператора и связь этого представления с трансляционным представлением и представлением в случае ограниченности мнимой компоненты диссипативного оператора.
Свойство минимальности самосопряженных дилатации.
Спектральное представление J -самосопряженной дилатации произвольного линейного оператора с плотной областью определения и непустым множеством регулярных точек.
Факторизация характеристической а -функции линейного ограниченного оператора.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю А.В.Кужелю за постоянное внимание к работе.
Эрмитова и симметрическая дилатации диссипативного оператора (спектральное представление)
В дальнейшем А - диссипативный оператор (не обязательно плотно заданный), действующий в комплексном гильбертовом пространстве - , имеющий регулярную точку. Для определенности будем предполагать, что -і є Р(А") . Рассмотрим пространство вектор-функций М+ = Ьг (oto; %Л, где %i Ф- » а оператор Q определяется равенством (1.5). Образуем гильбертово пространство п+и построим в нем оператор L следующим образом. Вектор 1х=Л J , где U+ в /-/+ , L06 , принадле -жит JL)(L J тогда и только тогда, когда При этом оператор L определяется так: если 1 J)(L ) , то ТЕОРЕМА 1.2. Оператор L является эрмитовой дилатацией оператора Д . Доказательство. Докажем, что оператор /_ является эрмитовым. Действительно, пусть їх Є )(L). Тогда, применяя формулу (1,9), а затем (1.6), получаем: Докажем, что -LG Р( ) . Так как оператор L, эрмитов, и, следовательно, точка -А может быть лишь точкой остаточного спектра оператора L , то для этого достаточно показать, что 2(/- + ьГ)=5 Н . Допустим противное, то есть, что существует ненулевой вектор Пусть 1, = / + )(/, ) и положим 1ч-6 }=и0=о м так как (при этом условие 3) ва p(L) выполняется). Теперь докажем, что L, - дилатация оператора Д . Проверим, что оператор /? , определяемый равенством Обозначим 1,= ц =? / 1 . Тогда получаем: 7 L = / і Таким образом, все три условия на $)(/,) для вектора 1 выполняются.
Пусть \х & J)(L) , тогда Так как по определении Аналогично ( V А 6 P(/0/) Р(0 J » ГДЄ оператор ортогонального проектирования в п на . Следствие, Если диссипативный оператор Д плотно задан, то L - симметрическая дилатация оператора А Доказательство. Надо доказать, что &)(L)-H . Допустим противное, то есть, что существует вектор и О t Пусть « - , тогда в силу условий на , то есть U Є (%). Так как () = Н+ , то L . = о . Таким образом, V, = ( і J .Пусть = i ] гХ ). тогда (I! Д )н = (L 0) L0). =о ( \Л. Є J)CA) ) и так как Предыдущие результаты дают возможность получить следующие утверждения: , где Ьд - область эрмитово-сти оператора A , L - симметрическая дилатация оператора А. Действительно, пусть = ( і ) QCL) [) р(А) , ак как Тогда Uf-( )-О и, следовательно, litf) =0 , ТЕ . По лемме I.I Ц0 G-д . Пусть теперь L,= / W Ц . Тогда по лемме I.I Следовательно Q(7- -fcX)Lu - о , то есть J)(Z ) содержит вектор, у которого 1г+(о)=о . Но тогда 1,+ ( ) -О 6 рб )» то есть /Je 9а)-п$(А). 2) Найдем индексы дефекта симметрического оператора L . Как следует из доказательства теоремы I.I, -і. є o(L} . Следовательно, fZ- :(L) Н Э (L+cl) s)(L) = {о]. Найдем векторов U /1 / ) 6 г/ , для которых Положим 1»+ = о , тогда в силу предложения I) Л ) Р( ) м Р(А) тогда и только тогда, когда L06 Ь-д . Следовательно, L0 - - ( "C J A то есть Теперь, полагая 1ч0=-о , получаем L+(o)=o , и, следова тельно: Таким образом: Как известно тогда Jtwv, ЇЇ?г(С) =d + Ji y ЇІІ (А) . Таким образом, индексы дефекта оператора Так как L - симметрический оператор, то для него можно записать первую формулу Неймана [2] : В нашем случае В силу равенства (1.32) получим: Легко проверить, что для любого Ц е и J 60 Г) j (L) . Из (I.I3) следует, что , следователь ТЕОРЕМА 1.3. Если пространство с- &- " сепарабельное, то эрмитова дилатация L является минимальной в том смысле, Доказательство. Надо доказать, что Используя выражение (ІЛІ) для резольвенты оператора L , по лучаем: ., где Применяя метод математической индукции, докажем формулу для KL -ой степени резольвенты оператора L : Как легко видеть, при и / мы получим формулу (I.I5). Пусть формула (і.Іб) верна для п. и докажем её справедли -вость для и+1 , то есть, что - иг и-w
Таким образом, формула (1.16) доказана. Теперь докажем (I.I4). Пусть Vx0 л) (A) , тогда для и =ao,jC, 2.,.. . получаем: то в силу сепарабельности пространства х множество вектор -6-і функций вида t в ио , где L0 е , = о, , г,.. . ПЛОТНО В І-2. (» "Vi ") 1.5. Симметрическая дилатация диссипативного оператора А в случае %)(А)= 9 (/Г). Так как (A)=Jp(AJ, то можно рассматривать оператор Очевидно, V - положительный, самосопряженный оператор (не обязательно ограниченный), поэтому существует оператор їр Г , . Построим в простран-стве // оператор Ly следующим образом: Вектор I;\ { + ] 6 b)(L\, ) тогда и только тогда, когда ЕСЛИ І6 b){Lv) , то Lvb-Lvj і ) / д. - Теорема 1.4» Оператор Lv является симметрической дилата-цией оператора А . Доказательство. Для доказательства теоремы проверим выполнение всех условий теоремы I.I, принимая за оператор IB сим -метрическую дилатацию L , построенную в 1.4. Как видно из построения пространства И , с И , если с вектором ц0 "5т отождествить вектор (с 16 М . Построим унитарное отображение пространства Н . =L2(, E) на Н+ — Lz (о, ; $/ ), где f=: Q- .
Для этого достаточно построить унитарное отображение пространства на простран -ство J1 . Используя равенство (1.7), получаем: откуда Тогда отображение Uj ; — определяется следующим об D830H / \ сохраняет норму вектора. Следовательно, оператор является ограниченным и, распространив его по непрерывности на все пространство , получим унитарное отображение Uj пространства Е на пространство . Теперь построим унитарное отображение IL пространства Ht на пространство Н+ по правилу: U2l+ =5 Ui lir) - 1»+ (Оператор Uj[ действует на векторы 1+(0 при каждом фиксированном І ), и, наконец, Докажем, что Lv=zU"iL U to этого достаточно показать: В силу свойства 2) оператора дифференцирования оператору S+ в Н+ соответствует при построенном выше отображении U этот же оператор в Н+ . Теперь пусть \,= / j+ \в J)(M. Тогда Таким образом, 2) доказано.
Симметрическая дилатация диссипативного оператора (трансляционное представление)
Пусть к= С Є S #) Это означает, что І) 1Г W/ (-, о; \ в W/ (о,- ; fc) ; - 55 з) CVo)=r4(:Vo)- .. при этом Sк =/-» С + (A ;JH Пусть существуют -!« . и - U = I U и - . w, SL ? . Покажеі їм, что l jXS) и = Si . Так как множества Р(Ф.J , Р( + ) , Р(А) - непустые, то операторы S- , + и А замкнуты. Следовательно, условия I) и 2) на р($) для вектора и выполняются. Перейдем в 3) к пределу и.-»=-о , получаем: Так как пределы ц и (А+С Г) Ц существуют и оператор А замкнут, то l+( )- T l-(o) + lQ(A + H) P , то есть 1е% ($). В силу замкнутости операторов S- , S+ и А , как легко видеть, iiwv, SLw -q- L, Замкнутость оператора S доказана. Докажем, что оператор 5 является эрмитовым. Используя (1.8), получаем легко проверяемое равенство: (Г-ІІІІ-І)3 = 64-;І) (Vi ef)(A)) (ал) - 56 Применяя сначала равенство (1.9), затем условие 3) на и (1.6), а потом (2.1), получим: ( )H-(i,sL)H=;iiuo)/ij-;/iuc fl;+ = О = -а і jL[a(L(e), R.t-L(o)) + (T L(o),) + (Й-ХД-МЛ-Со)) Последнее равенство получено с учетом того, что 8 = І R.c - ft. - 2 R-i й Докажем теперь самосопряженность оператора S Так как оператор ST эрмитов и замкнут, то для этого достаточно показать, что f L у-і\ а Р( $). I/ Докажем, что -L & p(S) . Точка - . может быть лишь точкой остаточного спектра оператора S . Следовательно, до статочно показать, что Допустим противное, то есть, что существует ненулевой вектор її 6 Н такой, что У. а/ Положим 1,+ (0 ) = 10 и 1,,( )-о .Тогда, - 57 -так как -А J () , то U 60 о . б/Положим U-( ) =о . Тогда условие 3) на Х$) примет вид и ясно, что U0 может при нимат f _ ь любые значения из )(&) . А так как -г! є Р(А) , то в/ Пусть I,, (оУ - произвольно. Так как : С$о\ 0в -где М = [1 5)( -): Lft oj (см. [2] ) и (S0) - $- » то г! 6 р(Р_) и, следовательно, Щ&ПІ) Ц_. Тогда ( ) = о .
Таким образом, 2/Теперь докажем, что 9?( Г) = Н. Допустим противное, как и в первом случае. а/Положим 1,, = 1-(0 =0 и [,+ ()- о . Тогда, так как б/ Преобразуем условие 3) на $ (S) : Lt(o) = rL(o)+tS , где fep(A) . Действуя на это равенство оператором Q и используя свойство 2) операторов 8 и в » получаем: г.:Й- Л.+ (k. + 6L6 ))a R-" (А"-г)? (г.г) А гак как ( j? U , R- М Г)?] С (А ) , то Действуя на равенство (2.2) оператором А Г , полу чаем: (А Г) (А - Г)У=2Л0 , где (2.з) - 58 Условие (2,3) является следствием условия З) на J)(S) Если Q существует в узком смысле (то есть определен всюду и ограничен), то (2,3) можно принять вместо условия 3) на p(s) . Положим L+ ) 0 , тогда из (2,3) получаем: (A+U) -zll. = (А -Л")Ц. (2. ) Покажем, что Uo , связанное равенством (2,4), может пробегать все )(А ) » то есть (VL б р(д )) ( 3W) A J Uo е ) что Действительно, существует U , что Ues lwlii. Положим с #.; Lx + J2. Q-i й. ІІ б Р(Л) . Отсюда и полу чим доказываемое утверждение, если положить I», (о) = Q L . Легко проверить, что найденные ь+() , f и L удовлетворяют (2.4). Таким образом, 1»0 - о , так как с Є о (A J . в/ Пусть L+ o") - произвольно. Тогда, так как Щ -Ц) = Н, , то 1 + = О . Следовательно, Ц — О Остается проверить, что S - дилатация оператора А . Докажем, что определяемый ниже оператор п(л) равен (S-»l)"f . если P(S) . Действительно, - 59 /И (?.- 1)"1. \ V \ /» где: UH, V-(o) [(?.-?iyll_(i)jto , у.ш-Кі-1. о — ОО Из выражения для R(A ) видно, что J (rsl)nj)((?o)0j3(A) СПJ ($) и так как является регулярной точкой для операторов S , 0 и / , то Вектор R( ?)V )(S (\AG И) . Действительно: і) Легко видеть, что V- (і) V/z (- , J " ; и 2) f = v. + Q V- ( = ft, (L j» Q V. (To)) S)(A)i 3) V+M V-fe)+i6fr+/ /?»XU-l/«eV!.(o . T"U(»V 0(Anr)(V„tQV,(« )) = T V.M + - 60 Таким образом: Пусть t = / С )( ) . тогда (s- iH = / f?--J»r)L V Докажем, что Действительно: / L ( ) k (3,- іУ (Я- Г)и+ " «. /, где а =T l- ( ) + iQ (I+fRiYA- ІІ) = 74-(0 + 5) = U( 0. Следовательно: l4 - 61 І. (і) к. / R(xXS-»r)L» -iifSi \ гаккак [(P.-al)"XC- r)U )L.e = Теперь докажем, что Действительно: / (?--u)v. \ / і \ (A- r)(V„+(J -o))+y6l/-Co) =/ t. \ где Т, = (А- А Г)(V„ + S V-(c)) +у Q V. (о) = = (A- l)(Q la-(I yRk)Sv,(o) + QV.(o) yQ\/.(o) U = (Я.- яГ)( 5.-агГи + ?" " ) , где і . T V-(o\ iQ(I+j«fl )(l.s QV-( )) Так как ( +- 1)6 =о то Ц e L+ Таким образом, K( )=(S ) . При этом, так как оператор R V) определен на всем пространстве и замкнут, то он ограничен и, следовательно, R( ) - резольвента оператора S . Из выражения для ( $- !). видно, что (А-ЛГУ Ц = Р( -»Г) Ч. (VL.efr л - 62 -\Д W6sOCTj ($) ft D(7\ , где P - орхопроекіор в H иа . Следовахельно, S - дилахация операхора А . Рассмохрим некохорые свойсхва дилахации S : і) (A)rtS OD=G/ . Дейсхвихельно, пусхь о д , следовахельно, о = 0, хогда, как легко проверихь, 2.K-i(A-A )L-B(A-nI%. (\/Uep )/)p(A )) ) охкуда В (A 1)1 = о и, следовахельно, 5)Ue о . Так как L. = о и 1,+ =о , хо условия І) и 2) на ])($) для векхора / о ) вьшолняюіся, а выполнение условия 3) на J}) следуех из равенсхва 5)U0 =о . Таким образом, L є pes). Пусхь . Тогда из (2.2) получаем, чхо У=1о рб О а из УСЛ0ВЙЯ 3) на р($0 имеем: 2 19=о -Тогда на основании ( ) R„ (А-А )1ч0 -о и, следовахельно, AL=A U сим Таким образом, не являясь в общем случае расширением операхора А , дилахация S являехся расширением эрмиховой часхи 4.-А г операхора А . В часхносхи, если операюр А &А мехрический, хо 5 есхь самосопряженное расширение операхора с выходом из просхранехва. Следовахельно, в ханом случае мы получаем еще один способ построения самосопряженных расширений максимальных симмехрических операхоров. 2) ( (й)(іЄ-р(А). Дейсхвихельно, пусхь . Следовахельно, суще - 63 ствует такой вектор , что SL= Л , то есть 9-L \ /М -Л. + M r)f --ML« ел / IW. ИЛИ S I- - ; S+L+« U и Первые два равенства невозможны при 1_ о и L+ о , так как Gj ( ) П G/ () =5, Ф (см. [г] ). Тогда, так как L- 6 \А (- ; 5-г) # то LM =?о и из третьего равенства получаем: AU- U , то есть U6j,(A). 2.2. Самосопряженная дидатация диссипативного оператора (трансляционное представление).
Здесь мы рассмотрим оператор 5Т зависящий от параметра У о . Докажем, что при У -J т является самосопря -женной дилатацией оператора А . При y=f найдем связь оператора S T. с построенной в 2.1 дилатацией S при условии, что пространства t- Q . и }г = 3 - сепарабель-ные, и одновременно докажем, что ST - самосопряженная дила-тация оператора А При %-2 дилатация $ была построена в [5 \ . Пусть А - плотно заданный диссипативный оператор, действующий в гильбертовом пространстве " и -L 6 р(А) . Рассмотрим гильбертово пространство
Самосопряженная дилатация диссипативного оператора А в случае ограниченности мнимой компоненты оператора А
В рассматриваемом случае вид дилатации упрощается. Здесь мы построим эту дилатацию и найдем её связь со спектральным и трансляционным представлениями самосопряженной дилатации диссипативного оператора Д . Будем, как и выше, предполагать, что -LG. 9 (А). Используя равенства (1.7), получим: для любого U є рСА) . Будем предполагать, что Q fa J)(A)» В частности, используя свойство 3) оператора Q , (то есть Qfy d Хїг (А) ),и критерий равенства рСА) - J) (А ) , полученный в [6 J ,имеем: Учитывая это включение, дилатацию Ъ можно преобразовать к виду: вектор тогда и только тогда, когда: 2) L Є pM ("К как f, ОІ(»)] С ) (A) ); з) LtM = ;6M+ r)L + Q(A r)Q + T )L(o). Теперь образуем гильбертово пространство мнимая компонента оператора /\ Построим в пространстве оператор S следующим обра 30М: / V- \ Вектор V=/U І Є f)(S ) тогда и только тогда, когда \ v+ / Если V6 p( S ) , то Теорема 2.4. Оператор 5 является самосопряженной дилата А л-..-.. . . Дилатации и S изоморфны . Доказательство. Для доказательства теоремы проверим выполнение всех условий теоремы I.I, принимая за оператор / са -мосопряженную дилатацию S . Будем использовать унитарное отображение U пространства , построенное при доказательстве теоремы 1.4« Аналогично построим унитарное отображение U пространства Н. на И, . Отображение І из в yz » построенное по правилу u;(\vLW(A"-r)L №. $ ( )) сохраняет норму вектора ввиду равенства (2.Г7). Докажем, что WW ) aW$ Є.ю)
Действительно, допустим противное, то есть, что существует вектор Можем считать, что . Тогда но так как )(А) = )ґ ,то vU0 - о и, следовательно, (Vl. ,1,)=11 11 . foecib \ДГ1. = 0 . Тогда VJ0 о .Мы пришли к противоречию и (2.18) доказано. Из (2.17) следует, что оператор Ut является ограниченным. и, распространив его по непрерывности на все пространство , получим, учитывая (2.18), унитарное отображение Ut пространства Е на все пространство )rz Теперь построим унитарное отображение Uz пространства И-на Н- по правилу: U zV-=UtV-(i) = l-(i) = l (здесь оператор Ut действует на элементы пространства при каждом фиксированном "Ь ) и, наконец, унитарное отображение U пространства Ж на Н : Очевидно, что \/+(oW\/IvLo + \(o) . то или Так как L 0 Є бГ и - (71 )(Д ) , то преобразуем вектор , когда U, ufl M» "x MJ 5YA - Г) І!. = Q (А+і I) I . = Ввиду равенства (А+ т)й!г- І (A +Я)&+ T где Т - І+ ; (? имеем: = iQ(A+il)QL( )+T L(o). Мы использовали равенство . Таким образом, Это равенство выполняется для любого вектора U- (о) , так как операторы UtU t , Q(A H)Q „ Т - ограни ченные. Ограниченность оператора в (А + -1) Q следует из ограниченности оператора V , так как Q(A r)Qi=\f vQUI I! 6ll HUI Условие 3) на р($) доказано. Теперь проверим равенство V 5 V = $ U V , Так как A\..+ ffiV-(o) Al0 + Vwufl-(o) , то Таким образом, все условия теоремы I.I выполнены и, следова» тельно S - дилатация оператора Д , изоморфная дилатации S Б.С.Павловым [7J для оператора Шредин-гера. Определение. Самосопряженная дилатация , действующая в пространстве НІ , называется минимальной, если Доказательство. В нашем случае \0- і , следовательно, надо доказать равенство о Для этого достаточно показать: І Используя выражение для R ( ) (2.5) при /)=- . , получим: Отсюда следует, что Как легко видеть, мы получили резольвенту симметрической ди-латации L оператора А , действующей в пространстве Н+Ф (см. (I.II) при А = ).
Следовательно, равенство I) доказано в теореме 1.3. Докажем равенство 2). Для этого нам надо выражение для R;(S). Покажем, что оператор К , определенный ниже, совпадает с R;(S). где Vt(o) = [(9+-;r)"" U60]/=o, V-(«)=rv w-:dL.. Докажем, что для любого UH, RU )(s) . Для этого надо проверить выполнение для вектора К и всех трех условий на )($). 1) Легко видеть, что \Д (-к) Є \Л/2 (-, 1 ) и 2) Докажем, что fciL-QVirt + UTV+M + i ВІ. =й. Л.-а м+теи(о + ій.«-і/г. ---гй.Й. )1.» Тогда f= R.i(2cR iL+l -2iQV+())t JX ) 3) Покажеи, что V+(o) = T V-6 ) iS f ( где У оп. ределево предыдущим равенством, Действительно: V+ М- Т"(Т V+ Co)-i ? L.)-i Q (А Г))?-; (a {? L Таким образом, Теперь докажем, что . Исполь зуя равенство (2.4), получим: так как и, следовательно, Действительно. Из формул (2.19), определяющих оператор R , следует, что L( )-rU(0-iW- r)y . где r=L-K3Uo). Так как Докажем, что 1+ () удовлетворит равенству (2.20), то есть, что \і+сь) Т (т\»(о)-ів(/С-а)Ч ) + і Р. Действительно, l+(.) Tl+(o)-iT Q(A l)r-iSif = = 2&l.+ 6 W S +2QL-2QL-2BI,+ ( W =o Мы использовали равенства Q = В, )т (?(А+ 1)т и (2.4). Таким образом, Теперь докажем, что Как доказано выше, , следова тельно: тактик (&-Ц)(($..-г1у1.+ e V-(o)) Теперь для доказательства равенства 2) надо установить выражение для (? (?} 1,0 , Докажем по индукции, что и формула (2,21), как легко видеть, справедлива. Пусть (2,21) верна для vt и докажем её справедливость для v\+i , то есть, что Как и в случае симметрической дилатации легко доказать следующую теорему: минимальна, то 8 также мини -мальна. Следствие I. Если пространства и % - сепарабелыше, то дилатация Sr при }f-i - минимальна Следствие 2. Если Ф -СГ р(А) о дилатация S - минимальна. Следствия I и 2 получаются соответственно из теорем 2.3 и 2.4, 3.1. J -эрмитова дилатация линейного оператора. Пусть А - линейный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Рассмотрим операторы В =; R..- -i R: -2 R: R..- , б - \//ВЇ. J - » Г В Введем в пространстве Lz(o,o; - , = f-/+ , где -(3 » форму с помощью оператора J , действующего в пространстве Н+ по правилу: ГД = «71+( ) (оператор 3 действует на векторы W( ) при каждом фиксированном І ) следующим об разом: оо Так как J J - 7 , то очевидно и Ji = J - Jf , и, следовательно, оператор J задает в пространстве Н+ индефинитную метрику (если оператор А не является диссипативныи).
Имеет место формула интегрирования по частям в пространстве с индефинитной метрикой: bg.mU -(№Ч; \мЩл которая легко следует из формулы интегрирования по частям в пространстве Lz (а, &\ " ) с дефинитной метрикой и свойства 2) оператора дифференцирования. В частности, Зададим в пространстве Ц H+ " оператор iLrj- следу ющим образом: /і \ Вектор v - ( \ Є (Lj) тогда и только тогда, использовать следующее легко проверяемое равенство: Пусть и І Uo / » тогда Последнее равенство получаем с помощью (3.1) и (3.2). Выражение для (/.- .-лх)" совпадает, как легко видеть, с выражением для резольвенты эрмитовой дилатации диссипативного оператора в 1.4. И так как J (Q)f)j (A) , ToJ (LT)()f(A) 0 . Теорема доказана. Замечание I. Нетрудно видеть, что если у (А) о , Lj J - симметрическая дилатация оператора А . Замечание 2. Повторяя преобразования, которые были сделаны при доказательстве теоремы 1.3, можно доказать, что дилатация Lj в случае сепарабельности пространства б $- является минимальной в том смысле, что Замечание 3. Если оператор А - диссипативный, то J= I и мы получаем дилатацию, построенную в 1Л в пространстве с дефинитной метрикой.
Спектральное представление J -самосопряжен ной дилатации линейного оператора
Пусть А - линейный оператор, действующий в гильбертовом пространстве , (А) "г и GJ (A) . Рассмотрим операторы Q-vlBj , У Б , Q VlSl , J ьїую Ё t где операторы В и 8 определены равенствами (1,5). Нам понадобятся некоторые свойства операторов J , ь/ t J - полярные представления one-раторов В и 6 соответственно. Оператор J является час« тично изометрическим [в] , действующим из # в $(в) - (Q } Іг в її . где- У - подпространство нулей оператора Легко проверить, что JB = В J , следовательно, и JQ-QJ . Кроме того, оператор J эрмитов и связан с оператором проектирования гв на подпростран ство п(о) соотношением: Аналогично: J J , JQ-QJ и J r , (3,4) где (" - ортопроектор из Пусть С - ограниченный оператор и С 0 . Так как \/с является пределом в сильном смысле некоторой последовательности многочленов от С t то из соотношения F С - 1С р , где rj К ограниченные операторы, а К о , вытекает, что fsfc-\/i "F . Воспользовавшись этим свойством, устанавливаем, что , то есть и, следовательно, Как и в случае пространства Ht "Ц(»; ii) , где Si= 2 " (GM 3 1), введеи в пространстве W- = 5. С-00»0 » г) , где -Q r , индефинитную метрику (если оператор А не является диссипативным) с по мощью оператора J"x , построенного по оператору J . Тогда в пространстве Н = Н Ф $ Ф Н+ индефинитную метрику будет задавать оператор J , определенный равенством: Зададим в пространстве Н оператор jj следующим образом: Вектор Vx= / v,e ] є y J ( 5т ) тогда и только тогда, когда: дальнейшем нам понадобится следующая лемма. Лемма 3.1« Если оператор F , действующий в невырожден ном пространстве п с индефинитной метрикой, задаваемой оператором J , является J -симметрическим и (4ijCP(F) .;w F - J самосопряженный оператор. Доказательство, Так как \i Q » Ifa. & V й вы полняютея соотношения (3.3) и (3.4), то пространство Н является невырожденным относительно J -метрики, то есть не существует отличного от нулевого вектора, ортогонального всему пространству \\ в J «метрике.
По условию оператор F является J симметрическим, сле довательно, F CZ р „ Надо доказать, что F f , то есть Так как пространство л - невырожденное, и І є P(w , то Y О , то есть т=1 и, следовательно, p(F)-J)(F+) , А . дилатацией оператора Доказательство. Равенство ( j) H доказывается так же, как и в случае самосопряженной дилатации о диссипа-тивного оператора (см.теорему 2.1). Докажем, что оператор $ является J -симметрическим. Ка к и в случае пространства Lz С0»00 "ч ) » имеет место формула: о во Так как т о + u U-(о) И выполняется равенство (3.2) то Таким образом, J -симметричность оператора Sj доказана. Теперь докажем, что Sj является J -самосопряженным оператором. Для этого воспользуемся леммой 3 1 и покажем, что Построим оператор R следующим образом: \ /. Покажеи, что R = ( Sj _ af) , Действительно, Докажем, что K = U0 , I - ч+ 2) Проверим равенство: Используя выражение для оператора r\ , получим: Докажем, что Ы= Ц . Таким образом, Как легко видеть, оператор R ограничен и определен на всем пространстве Н Теперь докажем, что і Р( Sj) Покажем, что оператор R , определенный ниже, совпадает Используя выражения для оператора Sj , получаем: Преобразуем условие 3) на ) ( Sj ) : Действуя на это равенство оператором Q и используя равенства УО. -Q3 и (3.5), получаем: как [ R . {.. , R (А I j С (А ) , „ Действуя на равенство (3.9) оператором A z Г , имеем: Используя равенство (ЗЛО), получаем: Теперь докажем, что Действительно:
Мы использовали свойства операторов І , У и Q , доказанные в начале настоящего параграфа. 3) Проверим теперь выполнение условия 3) на p Sj) для вектора R U . Для этого докажем равенство: \4 Со Действительно: Т V- (о) + і ЭQ(A + it}f = Таким образом, Тогда J «самосопряженность оператора Oj доказана. Из формулы для оператора "( Sj -Зі) , где }\ є W"(" »0 » следует равенство: то есть Sj - дилатация оператора А . Теорема доказана. Замечание, Если оператор А - диссипативный, то J-2-Г и мы получаем самосопряженную дилатацию S , построенную в 2.1. ТЕОРЕМА 3.3. Оператор jj определяется следующим образом: к огда: , тогда и только тогда, Доказательство. Как известно, оператор ST - сопряженный к оператору Sj в пространстве с J -метрикой, связан с оператором Sj » сопряженным к Sj в пространстве с дефе-нитной метрикой равенством Поэтому нам достаточно доказать, что Докажем равенство, которое нам будет необходимо для доказательства теоремы. Пусть выполняется условие 3) на 5) ( Sj ) для вектора Подействуем на это равенство оператором J Ф . Тогда полу чаем: Jflgf.(o)- 7 Q Г )- в А -« і) V. Так как В(А -гі)=ій-г(А -Г)г -іГУ" , ,0, обозначая Р - 0 + $ - () , получаем: Докажем, что Пусть \ е 5)(Sj) , Покажем, что Jli Р ( Sj ) . Последнее соотношение означает: Это условие, очевидно, выполняется в силу свойства I) оператора дифференцирования. в силу (3.11). 3) Условие 3) на p(Sj) для вектора JU имеет вид: Докажем равенство (3.12). Так как , то Действуя на это равенство оператором Т J и используя Используя (ЗЛО), получаем (ЗЛ2). Пусть теперь J4 P(j) . Докажем, что І б J)(S j) . и вы Условия I) и 2) на J)($r) легко проверяются, как ше. Докажем, что выполняется условие 3) на J)(Sj) , то есть, что из равенства (ЗЛЗ) где Y w + О- и (о) , следует условие
