Содержание к диссертации
Введение
1 Аналог теоремы Валирона-Гольдберга при ограничении на усреднённую считающую функцию множества корней 21
1.1 Основные результаты 21
1.2 Сведение оценки логарифма максимума модуля канонического произведения к оценкам специальных интегралов 29
1.3 Доказательства теорем 37
1.4 Доказательства вспомогательных утверждений 45
2 Уточнение теоремы Гольдберга об оценке типа при уточнённом порядке целой функции целого порядка бесконечного типа 53
2.1 Регуляризованный интеграл Валирона 53
2.2 Основные результаты 56
2.3 Лемма о медленно меняющихся функциях 58
2.4 Сведение оценок логарифма максимума модуля канонического произведения к оценкам специального ряда и интеграла 60
2.5 Доказательства теорем 67
Заключение
- Сведение оценки логарифма максимума модуля канонического произведения к оценкам специальных интегралов
- Доказательства вспомогательных утверждений
- Лемма о медленно меняющихся функциях
- Сведение оценок логарифма максимума модуля канонического произведения к оценкам специального ряда и интеграла
Введение к работе
Актуальность
Одним из основных направлений теории целых функций является изучение связи между скоростью роста максимума модуля целой функции и считающей функции её корней. В диссертации рассмотрены целые функции конечного положительного порядка. Данный подкласс целых функций наиболее восстребован в приложениях, в него входят решения линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами. В частности, решениями таких уравнений являются целые гипергеометрические функции, функции Бесселя (домноженные на соответствующую степень z\ функции Эйри, Вебера.
В конце XIX века появились знаменитые теоремы Адамара1 и Бореля2
0 факторизации целой функции и порядке канонического произведения.
Эти теоремы легли в основу данного направления.
Следующий крупный вклад в рассматриваемую тематику был внесён Валироном3'4 в начале XX века. Во-первых, он ввёл понятие уточнённого порядка, которое позволило классифицировать все целые функции конечного порядка по скорости роста логарифма максимума их модуля в круге. Во-вторых, он вывел неулучшаемую двустороннюю оценку типа целой функции при произвольном уточнённом порядке через верхнюю плотность множества её корней относительно этого уточнённого порядка. Заметим, что в оценке сверху требуется, чтобы порядок функции не был целым числом. Неулучшаемость нижней оценки Валирона была доказана Левиным5, а неулучшаемость верхней оценки — Гольдбергом6. Гольдберг в случае, когда верхняя плотность множеста корней целой
1Hadamard J. Essai d'retude des fonctions donntees par leur dtevreloppement de Taylor // J. Math. Pure et Appl., 1892, v.8, p. 154—186.
2Borel E. Sur les zeros des fonctions entieres // Acta math., 1897, 20, с 357—396.
3Valiron G. Sur les fonctions entieres d'or dr e nul et d'or dr e fini et en particulier des fonctions a correspondance reguliere //Annales de la fac. sci. de l'univ. Toulouse, 1913, V.5, ser. 3, p. 117—257.
4Valiron G. Lectures on the General Theory of Integral Functions // Privat Toulouse, 1923.
5Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М., ГИТТЛ, 1956.
еГольдберг А.А. Интеграл по полуаддитивной мере и его приложение к теории целых функций.
1 // Матем. сборник, 1962, т. 58, № 3, с. 289—334.
7Гольдберг А.А. Интеграл по полуаддитивной мере и его приложение к теории целых функций. III // Матем. сборник, 1964, т. 65, № 3, с. 414—453.
функции целого порядка относительно некоторого уточнённого порядка конечна, построил новый уточнённый порядок и получил неулучшаемую оценку сверху типа целой функции при этом новом уточнённом порядке.
Очень много результатов в рассматриваемой тематике было связано с учётом распределения аргументов корней. Упомянем основополагающие работы Левина8, Пфлюгера9'10, Гольдберга6'7'11. Немало интересных задач было решено для функций, все корни которых лежат на одном луче. Эти вопросы освещены в обзоре Левина, Гольдберга и Островского12, в нём имеется обширная библиография.
В то же время, недавняя статья Попова13 показала, что и в классической задаче нахождения оптимальной асимптотической оценки сверху логарифма максимума модуля канонического произведения с заданной мажорантой радиальной считающей функции множества корней остаются ещё интересные проблемы. В диссертационной работе эти исследования продолжаются; изучаются как функции нецелого, так и целого порядка.
Цель работы
Цель настоящей диссертации состоит в решении следующих задач: получить асимптотическую оценку сверху логарифма максимума модуля целой функции нецелого порядка через мажоранту усреднённой считающей функции её корней;
найти неулучшаемое второе слагаемое в теореме Гольдберга об асимптотической оценке сверху логарифма максимума модуля целой функции целого порядка бесконечного типа.
8Левин Б.Я. О росте целой функции по лучу и о распределении ее нулей по аргументам // Матем. сборник, 1937, т. 2, № 6, с. 1097—1142.
9Pfluger A. Die Wertverteilung und das Verhalten von Betrag und Argument einer speziellen Klasse analytischer Functionen I // Comm. Math. Helv. No 11. 1938. P. 180-213.
10A. Pfluger. Die Wertverteilung und das Verhalten von Betrag und Argument einer speziellen Klasse analytischer Functionen II // Comm. Math. Helv. No 12. 1939. P. 25-69.
пГольдберг А.А. Интеграл по полуаддитивной мере и его приложение к теории целых функций. II // Матем. сборник, 1963, т. 61, № 3, с. 334—349.
12Гольдберг А.А., Левин Б.Я., Островский И.В. Целые и мероморфные функции // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления, 1991, № 85, с. 5—185.
13Попов А.Ю. Наибольший возможный рост максимума модуля канонического произведения нецелого порядка с заданной мажорантой считающей функции корней // Матем. сборник, 2013, т. 204, №5, с. 67-108.
Научная новизна
Все результаты диссертации являются новыми. Перечислим основные из них:
Получен аналог неравенства Валирона—Гольдберга через усреднённую верхнюю плотность множества корней целой функции.
При некотором условии на усреднённую считающую функцию множества корней целой функции доказана в определённом смысле неулучшаемая асимптотическая оценка сверху логарифма максимума модуля.
Дополнен результат Гольдберга для случая целой функции целого порядка бесконечного типа.
Результаты диссертации обоснованы в виде строгих математических доказательств и получены автором самостоятельно. Точные формулировки установленных автором утверждений приведены ниже.
Методы исследования
В работе применяются методы теории целых функций и правильно меняющихся функций. Использованы, в частности, метод Гольдберга для построения последовательности корней канонического произведения, а также асимптотические методы.
Теоретическая и практическая ценность
Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в дальнейших исследованиях по теории целых функций .
Апробация работы
По теме диссертации были сделаны доклады на следующих семинарах:
Кафедральном семинаре кафедры математического анализа под рук. профессора Т.П.Лукашенко (мехмат МГУ, 2015 г.):
Семинаре кафедры математического анализа под рук. профессора А.М.Седлецкого (мехмат МГУ, 2012 и 2013 гг.).
Результаты диссертации докладывались на следующих международных конференциях: «КРОМШ-2013» (Крым, 2013), «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2014), «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2015).
Публикации
Результаты диссертации опубликованы в 5 работах автора (в том числе 3 статьях в журналах из перечня ВАК), список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертации
Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, насчитывающего 22 наименования. Общий объем диссертации составляет 83 страницы.
Сведение оценки логарифма максимума модуля канонического произведения к оценкам специальных интегралов
Данная часть диссертации посвящена задаче нахождения асимптотической оценки сверху логарифма максимума модуля целой функции / нецелого порядка при заданной мажоранте усреднённой считающей функции множества корней Nf(R).
Величина Nf(R) более тесно, чем rif(R), связана с асимптотическим поведением логарифма модуля функции /. Справедлива формула Иенсена Nf(R) = — / ln\f{Re ilfi)\d -mlnR-ln J- о Согласно этой формуле при больших R с точностью 0(ln R) функция Nf(R) совпадает со средним логарифма модуля f(z) на окружности \z\ = R. В случае /(0) = 1 указанное среднее есть в точности Nf(R). Поэтому задача оценки сверху \nM(f,R) через Nf(R) фактически является задачей оценки сверху максимума функции ln\f(Relip)\ на отрезке 0 tp 2тт через её среднее на этом отрезке и выглядит нереальной. Но специфика асимптотического поведения логарифма модуля целой функции нецелого порядка такова, что оценка сверху 1пМ(/, R) (с некоторым не зависящим от R множителем) через достаточно регулярную мажоранту функции Nf(R) при всех достаточно больших R уже оказывается возможной.
Как известно, любая целая функция / нецелого порядка имеет бесконечно много корней. Сформулируем результат, аналогичный теореме Валирона-Гольдберга, но в котором задана усреднённая верхняя плотность множества корней. ТЕОРЕМА 1.1.1. Пусть р(г) — произвольный уточнённый порядок, lim р(г) = р Є (0, +oo)\N, / — произвольная целая функция порядка г +оо р, множество корней которой имеет конечную верхнюю плотность относительно этого уточнённого порядка. Тогда f имеет конечный тип при порядке р(г), и справедливо неравенство vP(r)(f) pS(p)D;{r)(f). (l.i.i) При этом существует функция f, для которой неравенство (1.1.1) обраищется в равенство. Оценка сверху (1.1.1) не следует из (0.0.15), поскольку согласно (0.0.8) D оценивается через pD не сверху, а снизу. Но зато из (0.0.8), (0.0.15), (1.1.1) видно, что если для некоторой функции / неравенство (0.0.15) обращается в равенство, то для этой же функции обращается в равенство и неравенство (1.1.1).
Неравенство (1.1.1) было известно ранее только при 0 р 1 и лишь в случае р(г) = р (см. [5], (гл. 5, 3), [14] (2). При этих значениях р функция S(p) допускает простое выражение: S(p) = 7Г cosec(7rp), но при р 1 функция S(p) не элементарна. В общем случае теорема 1.1.1, по-видимому, является новой.
В диссертации доказывается более детальный результат. Предполагается, что усреднённая считающая функция множества корней Nf(r) допускает оценку сверху Nf(r) Иг) + 0(га), г — +оо, (1.1.2) где 0 а р. В предположении справедливости этого ограничения наЛ /(г) выводится в определённом смысле неулучшаемая асимптотическая оценка сверху 1пМ(/, г). Сперва рассмотрим уточнённые порядки р{т), отличающиеся "правильностью" поведения при г — +оо. Из определения (0.0.4) следует, что если р{г) — произвольный уточнённый порядок, lim р{г) = р, то
Если для усреднённой считающей функции Nf(r) множества корней целой функции f порядка р выполняется асимптотическая оценка сверху (1.1.2), то 1пМ(/,Д) RPW(pS(p) + (pS» + ЗД)ад,(Д) + о( (Д))), Я +ос. (1.1.7) слм длл усреднённой считающей функции N{r) возрастающей последовательности положительных чисел {гп}пЄм, lim rn = +оо, выполняется двусторонняя асимптотическая оценка rP{r) + Q(raj N = Q(rT г _ +00 в которойт [р] + 1, то найдутся числовые последовательности if п Є [7Г, 7г) и Rk +оо такие, что для логарифма максимума модуля на окружностях \z\ = Rk любой целой функции F, множество всех корней которой есть {гпег1Рп}пещ, справедлива асимптотическая оценка снизу lnM(F, ДА) R Rk)(pS(p) + (pS,(p)- S(p))wl(Rk)- o(wl(Rk))), k oo. (1.1.8) ЗАМЕЧАНИЕ. Если существует последовательность {гп}пєМ; для усреднённой считающей функции которой верна асимптотика 7V(r) = Hr) + 0(ra), г +ос, (1.1.9) то можно сделать вывод, что оценка снизу (1.1.8) демонстрирует неулучшаемость оценки сверху (1.1.7). Для существования такой последовательности достаточно возрастания на некотором луче (жо,+оо) функции rp r {p + Wi{r)). Она возрастает, если выполнено хотя бы одно из двух условий: 1) функция Wi(r) абсолютно непрерывна на некотором луче (жі, +оо) и lim rw i(r) = 0 (предел берётся по некоторому множеству полной меры), г +оо 2) функция Wi(r) возрастает на некотором луче (жі,+оо) (в этом случае она, разумеется, отрицательна). Нетрудно убедиться в том, что условие 1) замечания 1.1 выполнено для всех функций (1.1.6). Теперь рассмотрим произвольный уточнённый порядок р(г). В этом общем случае от функции / ничего не требуется, кроме выполнения предельного соотношения (1.1.4). Возьмём произвольную положительную невозрастающую на некотором луче (го, +оо) функцию w(r), lim w(r) = О, и введём класс C(w).
Из (1.1.5) следует, что, каков бы ни был уточнённый порядок, порождаемая им по формуле (1.1.3) медленно меняющаяся функция принадлежит одному из классов C(w), причём функцию w можно взять медленно меняющейся. Обозначим максимума модуля целой функции порядка р, усреднённая считающая функция корней которой удовлетворяет ограничению (1.1.2), справедлива асимптотическая оценка сверху
Доказательства вспомогательных утверждений
В теоремах 2.2.1, 2.2.2 предполагается, что р Є N, р(г) — произвольный уточнённый порядок, lim р{г) = р, множество корней функции / имеет конечную положительную верхнюю плотность (0.0.6) при уточнённом порядке, А(/, г)—функция, заданная формулой (0.0.34). Через р(г) обозначен уточнённый порядок Гольдберга, построенный по р(г) согласно (0.0.26)— (0.0.28).
Если выполняются условия (0.0.28), ГРП = 0{ГР)) Г +ОО, (2.2.1) и сходится интеграл +оо j A+iMt-r dt, го то верна асимптотическая оценка lnM(/,r) Dp{r)(fy{r) + 0(rp), г - +оо. (2.2.2) С другой стороны, каковы бы ни были число D Є (0,+оо), функция Н, удовлетворяющая асимптотической оценке А(г) = Н{г) - Drp{r) = о(Иг)), г - +оо, (2.2.3) и стремящаяся к +оо (вообще говоря, сколь угодно медленно) функция В, существуют целая функция G порядка р и возрастающая последовательность положительных чисел Rk Hm Rj = +оо, такие, что верны соотношения nG(r) = H(r) + 0(l), г +оо, (2.2.4) и lnM(G, Rk) Dpir){f)RfRk) - B{Rk)Rpk Vk Є N. (2.2.5) ЗАМЕЧАНИЕ. Сделать остаточный член в (2.2.2) o(Rp) вряд ли возможно. Пока неясно, можно ли в (2.2.5) вместо сколь угодно медленно стремящейся к бесконечности функции В взять константу. ТЕОРЕМА 2.2.2. При условиях (0.0.28), lim Иг)-р = +оо, (2.2.6) г +оо U г f k+(f,t)t-p-ldt = o(rpir)-p), г - +оо, (2.2.7) го зерна асимптотическая оценка 1пМ(/,г) Dp{r){f)r + Dp{r)(f)S?rM + o(r ), г - +оо. (2.2.8) С другой стороны, каковы бы ни были число D Є (0, +оо) и возрастающая функция Н, для которых справедлива асимптотическая оценка А(г) = Н{г) - Drp{r) = о(Иг)), г - +оо, (2.2.9) при условии г /Д( ) - = «, -), г -Н», (2.2.10) го существуют целая функция G бесконечного типа при порядке р и возрастающая последовательность положительных чисел {Rk]ke "такие, что верны соотношения (2.2.4), lim Rj = +оо, k oo \nM(G,Rk) DRfRk) + DSRpk{Rk) +o{Rpk{Rk)), k - oo. (2.2.11) ЗАМЕЧАНИЕ. В связи с требованиями (2.2.7) и (2.2.9) теоремы 2.2.2 возникает вопрос о том, каким условиям должны удовлетворять уточнённый порядок р(г) (в предположении (0.0.28)) и измеримая локально ограниченная функция и : [го, +оо) — [0, +оо), и(г) = о(гр )} г — +оо, достаточным для того, чтобы выполнялась асимптотическая оценка
Тем самым, двойное неравенство (2.3.2) доказано при всех ,г, удовлетворяющих ограничению (2.3.6); и его осталось доказать ещё для значений t Є [fo5 ха)і но зато лишь при достаточно больших г. Положим
Сведение оценок логарифма максимума модуля канонического произведения к оценкам специального ряда и интеграла ЛЕММА 2.4.1. Даны число q Є No и последовательность положительных чисел {гп}пещ, удовлетворяющая условиям
Если {\п\пец — произвольная последовательность комплексных чисел, такая, что \\п\ = rn (Vn Є N), то каноническое произведение ОО , N F[z) = Y[Eq(j-] (2.4.2) сходится равномерно на любом, компакте в С, является целой функцией и логарифм максимума её модуля допускает оценку сверху
Пусть на луче (ri,+oo) задана положительная, возрастающая и стремящаяся к бесконечности (вообще говоря, сколь угодно медленно) при г —оо функция А(г). Тогда существуют такие последовательности действительных чисел {(fn}neN и натуральных чисел {щ}кеы, что для логарифма максимума модуля канонического произведения
Метод построения последовательности корней произведения (2.4.4), как и в первой части диссертации, заимствован из работы Гольдберга Лемма 2.4.1 позволяет свести оценку логарифма максимума модуля канонического произведения (2.4.2) к оценке суммы ряда M.q(r/rn) в случае, когда при заданных модулях корней максимум модуля функции (2.4.2) имеет наибольший возможный рост. Следующий лемма сводит оценку суммы этого ряда к оценке специального интеграла, если считающая функция последовательности {гп} имеет "достаточно регулярную" мажоранту (или миноранту).
Лемма о медленно меняющихся функциях
Докажем вторую часть теоремы. По данной возрастающей функции Н построим возрастающую последовательность положительных чисел гп как решения уравнения Н(гп) = п (если Н(го) 1, то несколько первых членов этой последовательности берём произвольными). Тогда при всех значениях г, начиная с того, в котором функция Н принимает целое значение, считающая функция п{г) построенной последовательности удовлетворяет двойному неравенству а, значит, выполняется условие леммы 2.4.1 (q = р). По этой лемме (можно взять А(г) = уВ{г)) найдутся последовательность действительных чисел (рп и возрастающая последовательность положительных чисел R = rn2fc, lim Rk = +oo, такие, что ОО , N п=\ ч является целой функцией и для логарифма максимума её модуля на окружностях \z\ = Rk верна асимптотика lnM(G, ДА) = Y,MP ( 7 ) + ( V №)) , к - оо. (2.5.17) п=1 Очевидно также, что множество корней функции G есть в точности последовательность {гпегірп}пещ и п(г) = пс(г). Ввиду условия, наложенного в теореме на функцию Н, и доказанной асимптотики (2.2.4) считающая функция множества корней функции G допускает оценку снизу nG{r) Drp{r) - єі(г)Иг), (2.5.18) где Є\(г) = о(1), г — +оо. Эта оценка следует из условий (2.2.3), (2.2.1) и доказанного выше соотношения (2.2.4). Из (2.4.19) и (2.5.18) следует неравенство ОО , ч 2Мр[-) DJp{r- hi) - Jp{r- h2), (2.5.19) n=i \Гп где hi = tP \h2 = ei{t)tP \ Асимптотика (2.5.13) вместе с асимптотической оценкой (2.5.15) позволяют вывести из (2.5.19) оценку снизу J2MP\—) Dr P{r) + (r") r +- (2.5.20) Отсюда и из (2.5.17) находим In M(G, Rk) DRpk(Rk) + О (yB(Rk)I%) , к oo. Следовательно, при всех достаточно больших к выполняется неравенство (2.2.5), а за счёт отбрасывания нескольких первых элементов последовательности {Rk} с последующей их перенумерацией можно сделать так, чтобы неравенство (2.2.5) выполнялось при всех к Є N. Теорема полностью доказана.
Если функция / имеет бесконечно много корней, то, расположив все её ненулевые корни в последовательность Л = {Лп}пЄ (каждый корень встречается в этой последовательности столько раз, какова его кратность), получим следующее разложение функции / в произведение: /W = /IW/AW, где h(z) = zme \ fA(z) = f[Ep(-), д—многочлен степени р, т—кратность корня / в точке z = 0 (если /(0) ф 0, то множитель zm отсутствует). Поскольку lnM(/i, R) = 0(RP), R — +оо, то оценку (2.2.8) достаточно вывести для In М(/д, R), а согласно лемме 2.4.1— оо даже для мажоранты логарифма максимума модуля—суммы M.p(R/\\n\). Согласно обозначению (0.0.34) верно неравенство n/W r)(/K(r) + A+(/,r). (2.5.21) Лемма 2.4.2 вместе с оценкой (2.5.21) считающей функции последовательности Л показывают, что для этой суммы верна оценка сверху ОО , ч y,Mp\jh) Dp{r)U)Jp{r M) + Jp(r-M)„ (2.5.22) rAehi(t) =t \ h2(t) =t e(t). Из асимптотики (2.5.13) следует, что для доказательства асимптотической оценки (2.2.8) нам осталось установить справедливость асимптотической оценки
Поскольку в теореме (2.2.2) выполняется условие (2.2.7), то первое слагаемое в (2.5.24) есть о(гр ) при г — +оо. Оценим второе слагаемое. Ввиду стремления к нулю функцию є{t) при t — +00 имеем +оо / +оо г \ г и нам осталось доказать, что +оо Г = о№), +0О. (2.5.25) Г Обозначим Lp(t) = t l 2l{t). Ввиду (2.3.1) функция Lp убывает на некотором луче [t0,+oo). Следовательно, +оо +оо +оо / гнт = / г № Ф) J г = МгГ = 21(г)/г. Этим соотношение (2.5.25) доказано, и доказательство первой части теоремы 2.2.2 завершено.
Докажем вторую часть теоремы. По данной возрастающей функции Н построим возрастающую последовательность положительных чисел гп как решения уравнения Н(гп) = п (если H{TQ) 1, то несколько первых членов этой последовательности берём произвольными). Тогда при всех значениях г, начиная с того, в котором функция Н принимает целое значение, считающая функция п{г) построенной последовательности удовлетворяет двойному неравенству Н(г) -1 п(г) Я(г), а значит и асимптотике (2.2.4). Из (2.2.9), (2.2.4) следует эквивалентность n{r) Drp{r\ г +ос. (2.5.26) Из (2.5.26) и (0.0.27) вытекает сходимость интеграла _. оо r-p 1n(r)dr = -2 гпР Г1 а, значит, выполняется условие леммы 2.4.1 (q = р). По этой лемме (можно взять А(г) = угр р найдутся последовательность действительных чисел (рп и возрастающая последовательность положительных чисел R = rn2fc, lim Rk = +00, такие, что п=\ ч является целой функцией и для логарифма максимума её модуля на окружностях \z\ = Rk верна асимптотика Очевидно также, что множество корней функции G есть в точности последовательность {гпегірп}пещ и п(г) = пс(г).
Ввиду условия, наложенного в теореме на функцию Н, и доказанной асимптотики (2.2.4) считающая функция множества корней функции G допускает оценку снизу Эта оценка следует из условий (2.2.9), (2.2.10) теоремы и доказанного соотношения (2.2.4). Из (2.4.19) и (2.5.28) следует неравенство где Ьл = tP \h2 = ei{t)tP \ Выше были выведены асимптотика (2.5.13) интеграла Jp(r\h{) и асимптотическая оценка (2.5.23) интеграла Jp{r\h2)- Из этих соотношений и условия (2.2.6) находим J2MP( — ) Drp{r) + DSrAr) + о(Иг)). (2.5.31) Из (2.5.27), (2.5.31) получаем (2.2.11). Теорема 2.2.2 полностью доказана. Заключение В первой главе диссертации рассмотрены целые функции, порядок которых конечен, положителен и не является целым числом. В предположении, что задана мажоранта усреднённой считающей функции множества корней такой целой функции / и эта мажоранта обладает на бесконечности "достаточно регулярным" поведением, автором получена асимптотическая оценка сверху 1пМ(/, R) с двумя неулучшаемыми слагаемыми. Неулучшаемость оценки понимается в следующем смысле. Доказывается, что для любого уточнённого порядка р(т), предел на бесконечности которого не является целым числом, существует целая функция F, усреднённая считающая функция множества корней которой имеет заданную асимптотику Np(R) = RP R + 0(\nR), R — +00, и на некоторой последовательности окружностей радиусов Rm — +00 оценка снизу \n.M(F, Rm) асимптотически такая же, как и оценка сверху логарифма максимума модуля любой целой функции / при условии Nf(R) RP + 0(Ra), 0 а р = lim p(R).
Сведение оценок логарифма максимума модуля канонического произведения к оценкам специального ряда и интеграла
Докажем вторую часть теоремы. По данной возрастающей функции Н построим возрастающую последовательность положительных чисел гп как решения уравнения Н(гп) = п (если H{TQ) 1, то несколько первых членов этой последовательности берём произвольными). Тогда при всех значениях г, начиная с того, в котором функция Н принимает целое значение, считающая функция п{г) построенной последовательности удовлетворяет двойному неравенству Н(г) -1 п(г) Я(г), а значит и асимптотике (2.2.4). Из (2.2.9), (2.2.4) следует эквивалентность n{r) Drp{r\ г +ос. (2.5.26) Из (2.5.26) и (0.0.27) вытекает сходимость интеграла r-p 1n(r)dr = -2 гпР Г1 а, значит, выполняется условие леммы 2.4.1 (q = р). По этой лемме (можно взять А(г) = угр р найдутся последовательность действительных чисел (рп и возрастающая последовательность положительных чисел R = rn2fc, lim Rk = +00, такие, что к оо ОО , ч п=\ ч является целой функцией и для логарифма максимума её модуля на окружностях \z\ = Rk верна асимптотика //? \ 1пМ(С,/4) = .Л/Ц — +о(Иг)), /с оо. (2.5.27) n=i Гп Очевидно также, что множество корней функции G есть в точности последовательность {гпегірп}пещ и п(г) = пс(г).
Ввиду условия, наложенного в теореме на функцию Н, и доказанной асимптотики (2.2.4) считающая функция множества корней функции G допускает оценку снизу В первой главе диссертации рассмотрены целые функции, порядок которых конечен, положителен и не является целым числом. В предположении, что задана мажоранта усреднённой считающей функции множества корней такой целой функции / и эта мажоранта обладает на бесконечности "достаточно регулярным" поведением, автором получена асимптотическая оценка сверху 1пМ(/, R) с двумя неулучшаемыми слагаемыми. Неулучшаемость оценки понимается в следующем смысле. Доказывается, что для любого уточнённого порядка р(т), предел на бесконечности которого не является целым числом, существует целая функция F, усреднённая считающая функция множества корней которой имеет заданную асимптотику Np(R) = RP R + 0(\nR), R — +00, и на некоторой последовательности окружностей радиусов Rm — +00 оценка снизу \n.M(F, Rm) асимптотически такая же, как и оценка сверху логарифма максимума модуля любой целой функции / при условии Nf(R) RP + 0(Ra), 0 а р = lim p(R).
Подобная оценка сверху 1пМ(/, R) с двумя неулучшаемыми слагаемыми, когда известна "регулярная" мажоранта считающей функции множества корней / (обычной, а не усреднённой) была получена в 2013 году А.Ю. Поповым, а ранее в оценке сверху был известен только неулучшаемый главный член. Интересна аналогия между результатами А.Ю. Попова и автора. Оценка А.Ю. Попова имеет вид
Во второй главе диссертации в русле идей первой главы получено уточнение теоремы А.А. Гольдберга о точной оценке сверху типа целой функции при уточнённом порядке с данной верхней плотностью множества её корней относительно другого уточнённого порядка, стремящегося к целому числу. И в этой ситуации в оценке сверху логарифма максимума модуля целой функции автором найдено неулучшаемое второе слагаемое, хотя сам вид оценки сверху принципиально отличается от (1) и (2).
Результаты диссертации показывают, что логарифм максимума модуля канонического произведения, считающая или усреднённая считающая функция множества корней которого имеет заданную мажоранту, может быть оценен сверху значительно точнее, чем это делалось в предыдущих исследованиях. В этом, по-видимому, и состоит основное достижение диссертационной работы.
Обрисуем перспективы дальнейших исследований по тематике диссертации. Большой интерес вызывают задачи о целых функциях с геометрическими ограничениями на расположение корней. Например, в приложениях весьма востребован класс целых функций, все корни которых расположены на одном луче (скажем, на Ш+) или, более общо, в области Т вида {z Є С \arg z\ h(\z\)}, где h—некоторая положительная функция, определённая на (0,+оо), lim h(r) = 0. Для этого класса функций
Но при р 1 функция So(p) устроена намного сложнее функции Валирона S(p) и её поведение пока не исследовано. В качестве ближайшей перспективы видится исследование поведения So(p) и получения аналога неравенства (3), в котором вместо верхней плотности множества корней / при уточнённом порядке р(г) стояла бы усреднённая верхняя плотность множества корней функции /.