Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Предварительные сведения 17
1.1. Разветвлённые накрытия римановых поверхностей 17
1.2. Разветвлённые накрытия графов 19
1.3. Графы групп и теория униформизации 26
Глава 2. Точки Вейерпітрасса как точки ветвления голоморфных отображений 31
2.1. Циклические накрытия и теорема Левитса 31
2.2. Обобщение теоремы Левитса на случай нерегулярных накрытий 33
2.3. Накрытия регулярного типа и точки Вейерпітрасса 41
Глава 3. Группы с разбиениями, действующие на графах 45
3.1. Дискретная версия теоремы Акколы о группах, допускающих разбиения 45
3.2. 7 гипеРэллиптические графы 52
Глава 4. Гиперэллиптические графы и поднятие гиперэллиптической инволюции 59
4.1. Поднятие гиперэллиптической инволюции на абелевы накрытия 59
4.2. Поднятие гиперэллиптической инволюции на нерегулярные накрытия 61
Заключение з
Список литературы
- Разветвлённые накрытия графов
- Обобщение теоремы Левитса на случай нерегулярных накрытий
- 7 гипеРэллиптические графы
- Поднятие гиперэллиптической инволюции на нерегулярные накрытия
Разветвлённые накрытия графов
Римановой поверхностью называется одномерное связное комплексное многообразие. В данной работе мы рассматриваем только компактные римановы поверхности без края. Пусть / : X — Y — непостоянное голоморфное отображение римановых поверхностей, и в локальных координатах точки х Є X отображение / записывается в виде w = zn. Если п 1, то точка х называется точкой ветвления порядка п отображения /. Число п при этом называется индексом ветвления отображения / в точке х, а величина (п — 1) — порядком ветвления отображения / в точке х. Сумму порядков ветвления отображения / по всем точкам х Є X назовём суммарным порядком ветвления отображения / и обозначим через В. Пусть у = f(x), где х не является точкой ветвления. Тогда количество прообразов точки у называется степенью отображения /.
Непостоянные голоморфные отображения римановых поверхностей называются накрытиями этих поверхностей. Если непостоянное голоморфное отображение имеет точки ветвления, то накрытие называется разветвлённым. В противном случае — неразветвлённым. Пусть f : X —Y — накрытие римановых поверхностей. Множество конформных гомеоморфизмов ср : X — X таких, что / о ср = f образует группу G, которая называется группой преобразований наложения накрытия /.
Накрытие / : X — Y называется регулярным, если его группа преобразований наложения действует транзитивно на каждом слое f l(y), у Є Y. В этом случае поверхность Y оказывается изоморфной факторповерхности X/G, и накрытие / является канонической проекцией f : X — X/G. Накрытие, не являющееся регулярным, называется нерегулярным. Приведём следующее важное соотношение.
Теорема (формула Римана - Гурвица). Пусть f : X — Y — накрытие римановых поверхностей степени п. Предположим, что род поверхностей X и Y равен g и 7 соответственно. Тогда справедливо соотношение 2д-2 = п(2 /-2) + В, где В — суммарный порядок ветвления накрытия f. Обратимся к понятию точки Вейерштрасса. Определение 1. Пусть риманова поверхность X имеет род g 2. Точка Р Є X называется точкой Вейерштрасса, если на X существует мероморфная функция, которая в точке Р имеет полюс порядка g и регулярная в других точках. Количество точек Вейерштрасса на римановой поверхности ограничено снизу и сверху величиной 2g + 2 и g3 — g соответственно. Также существует понятие обобщённой точки Вейерштрасса, но в данной работе мы его не рассматриваем. 1.2. Разветвлённые накрытия графов
Следуя Жан-Пьеру Серру [20], определим граф следующим образом. Определение 2. Граф X состоит из: (і) множества вершин V{X)\ (ii) множества направленных ребер Е(Х): соединяющих вершины; причём с каждым ребром є Є Е(Х) в множество Е(Х) также входит ребро с обратным направлением ё; (ш) двух функций s,t : Е(Х) — V(X): определяющих соответственно начальную и конечную вершину ребра; (iv) инволюции е — ё множества Е(Х) без неподвижных ребер такой, что s(e) = t(e) и t(e) = s(e) (смена ориентации). В настоящей работе рассматриваются конечные связные графы, возможно имеющие кратные рёбра и петли. Множество St (a) = Stx{a) = s \a) = {є Є Е{Х) \ s{e) = а} назовём звездой вершины а Є V(X). Величина deg(a) = St(a) называется валентностью вершины а. Морфизм графов if : X — Y переводит вершины в вершины, ребра в ребра, и для любого є Є Е(Х) выполнено (p(s(e)) = s((p(e)), (p(t(e)) = t((p(e)) и if{e) = tp(e). Заметим, что морфизм графов переводит петли в петли. При работе с петлями в графах может оказаться полезным подход с использованием полурёбер, разработанный в [21]. Морфизм графов if : X —Y для каждой вершины а Є V{x) индуцирует локальное отображение
Морфизм if называется локально биективным, если отображение fa биективно для всех а Є V(х). Мы называем if неразветвлённым накрытием, если if сюръективно и локально биективно. Биективный морфизм называется изоморфизмом, и изоморфизм ср : X — X — автоморфизмом.
Замечание 1. Следует отметить, что данное нами определение мор-физма графов отличается от определения М. Бейкера и С. Норина [14] в следующим смысле. Пусть if : X — Y — морфизм графов и для некоторого є Є Е{Х) пусть (f(s(e)) = (f(t(e)) = b Є V(Y). Тогда морфизм if из работы [14] переведёт ребро е в вершину Ь. В нашем случае морфизм ср должен отправить ребро е в петлю с вершиной Ъ.
Определим класс морфизмов графов, называемых гармоническими отображениями, которые имеют много общих свойств с голоморфными отображениями между римановыми поверхностями. Понятие гармонического отображения между графами введено X. Уракавой [22] для простых графов и обобщено М. Бейкером и С. Норином [14] для мультиграфов (графов, имеющих кратные рёбра).
Обобщение теоремы Левитса на случай нерегулярных накрытий
Пусть ср : X — У — разветвлённое накрытие римановых поверхностей. Для любой точки у Є Y множество (р 1(у) называется слоем над у. Если слой содержит точки ветвления, то он называется сингулярным. Если каждый сингулярный слой состоит из точек ветвления с одинаковыми порядками, своими для каждого слоя, то if называется накрытием регулярного типа. Пусть накрытие f регулярного типа имеет г сингулярных слоев, и mi,777-2, ,тпг — порядки точек ветвления в слоях. Тогда мы говорим, что ср имеет тип ветвления {mi, 7772, , 777г}. Для удобства, если какой-нибудь порядок TUk встречается /3(777) 1 раз, то пишем тк . Отметим, что любое регулярное накрытие является накрытием регулярного типа. Обратное, вообще говоря, не верно.
Приведём лемму, с помощью которой доказывается теорема 10. Лемма 4 ([32]). Пусть G — циклическая группа порядка п конформных автоморфизмов римановой поверхности S, и пусть отображение f : S — S/G имеет тип ветвления {mi,... ,7Т7Г}. Если Ga — подгруппа группы G порядка а, то каноническая проекция fa : S — S/Ga имеет тип ветвления {(777i,a)n/[mi a], (mr,cOn/K a]} , где (ті, а) = НОД(777 , а), [ті, а] = НОК(777 , а), і = 1, 2,..., г. Пример 7. Продемонстрируем работу последней леммы. Пусть на торе X действует циклическая группа ZQ порядка 6. Каноническая проекция X — X/ZQ = С имеет тип ветвления {6,3,2} (см. [31], стр. 36), т. е. одна точка ветвления порядка б, две точки ветвления порядка 3 и три точки ветвления порядка 2. Согласно лемме 4, накрытие X — X/Z% будет иметь тип ветвления {З1,32,11} или {З3}, т.е. три точки ветвления порядка 3. Схема накрытий примера изображена на Рис. 2.1.
Теорема 10. Пусть X и Y — римановы поверхности и (р : X — Y — циклическое разветвлённое накрытие степени N. Предположим, что if имеет г сингулярных слоев, и г-й состоит из N/rrii точек ветвления порядка rri{, г = 1,...,г. Пусть d — положительное целое число 1. Рассмотрим множество Xrj точек ветвления отображения if, порядки которых делятся Had и предположим, что 2 N/rrii 4. Тогда все точки множества Xrj являются точками d:d\rrii Вейерштрасса. Доказательство. Пусть группа преобразований наложения накрытия f порождается элементом 7, где 7 = id. Тогда все точки из Х яв 43 ляются неподвижными точками автоморфизма 7 d порядка d. Действительно, пусть Р Є Xd, т. е. Р — точка ветвления порядка 77 накрытия if, и rrik делится на d. Тогда НОД(т ;, d) = d и HOK(mfc, d) = rrik- Согласно лемме 4, порядок ветвления точки Р при отображении X — X/{jN d) равен d. Следовательно Р — неподвижная точка автоморфизма jN/d. Условие 2 N/rrii 4 гарантирует, что количество d:d\rrii точек в Xd больше четырёх. Значит, по лемме 1 (теорема Левитса) все точки множества Х& являются точками Вейерштрасса. Пользуясь аналогичными аргументами из доказательства леммы 4 в [32], получим следующую лемму.
Лемма 5. Пусть накрытие f : X — Y регулярного типа римано-вых поверхностей степени п имеет тип ветвления {mi,...,mr}. Предположим, что накрытие f является разложимым в композицию f = ф о /; где f — накрытие степени d. Тогда f имеет тип ветвления Umhd)n/[mi d\ ..., (mr,d)n/[m d]\ , где (mi, d) = НОД(ШІ, d), [ті, d] = HOK(rrii,d), і = 1, 2,..., г. Следующая теорема относится к основным результатам этого параграфа и является обобщением теоремы 10 на случай накрытий регулярного типа. Её доказательство использует уже обобщение теоремы Левитса (теорема 7).
Теорема 11. ПустьX иУ — римановы поверхности, a f : X — Y — N-листное накрытие регулярного типа. Предположим, что f имеет г сингулярных слоев, и г-й состоит из N/rrii точек ветвления порядка rri{, г = 1, ...,г. Пусть d — положительное целое число 1. Рассмотрим множество Xrj точек ветвления отображения if, порядки которых делятся на d и предположим, что J N/rrii А, а d:d\rrii накрытие ip разложимо в композицию отображений ip = ф о /; где f — накрытие степени d. Тогда все точки множества Xrj являются точками Вейерштрасса. Доказательство. Пусть Р — любая точка из множества Х&. Из леммы 5 следует, что Р — точка полного ветвления. Х& содержит больше четырёх точек вследствие условия 2 N/rrii 4. Значит, по теоре d:d\rrii ме 7 (обобщение теоремы Левитса) все точки множества Х& являются точками Вейерштрасса. Приведём пример к теореме 11. Пример 8. На основе группы монодромии G из примера 6 построим новую группу монодромии Н: порождённую следующими четырьмя подстановками (1,3,7,9,5)(2,8,10,4,6), (1,5,9,3,7)(2,8,4,10,6), (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10), (1,10,9,6,5,2,3,4,7,8).
Группа Н порядка 7200 соответствует нерегулярным десятилистным накрытиям if поверхностей, рода которых соотносятся как g\ = 10 $2 + 8. Отображения ip имеют две точки полного ветвления и четыре точки ветвления порядка пять. Группа Н импримитивна с блоками импримитивности размера 5. Следовательно, по теореме Гитта ([33], Теорема 1.7.6) if представляется в виде композиции отображений ip = ifjo f\ где f — накрытие степени 5. Значит, по теореме 11 все шесть точек ветвления накрытия ip будут точками Вейерштрасса. Глава З
Группы с разбиениями, действующие на графах Эта глава посвящена доказательству дискретной версии результатов Р. Д. М. Акколы [16] и Е. Бухаланса [18] по 7-гиперэллиптичес-ким римановым поверхностям. Результаты данной главы опубликованы в работах [А6, А7].
В работе [16] Аккола для групп, действующих на римановой поверхности и допускающих разбиения, доказал формулу, имеющую интересные приложения. По сути, это та же формула Римана - Гурвица, только в записи которой отсутствуют индексы ветвления. В данном параграфе мы доказываем её дискретную версию.
7 гипеРэллиптические графы
Понятие 7 гипеРэллиптичн0СТИ обобщает понятие гиперэллиптичности. В этом параграфе мы доказываем дискретную версию некоторых результатов из работ [16, 18].
Определение 14. Граф X рода д 2 называется -гиперэллипти ческим, если существует гармоническое отображение F : X — Y степени 2, где граф Y имеет род 7- Каждое ребро в Y имеет два прообраза под действием F, и существует автоморфизм второго порядка г графа X, который меняет местами эти прообразы. Этот автоморфизм называется j -гиперэллиптической инволюцией. Отметим, что эта инволюция действует на X чисто гармонически. Если 7 = 0, то X является гиперэллиптическим.
Замечание 4. Пусть X — гиперэллиптический граф рода д, и F : X — Т — гармоническое отображение степени 2, где Т — дерево. Поскольку в каждой точке ветвления х Є V(X) кратность тпр(х) = 2, в силу формулы Римана - Гурвица (1.2) число точек ветвления отображения F равняется д + 1.
Нам потребуется следующая алгебраическая лемма. Лемма 6. Пусть Г — свободное произведение п 1 копий Ъ - Пели F Г — подгруппа без кручения индекса 4; то F T и Г/ F изоморфна четверной группе Клейна. Доказательство. Группа Г имеет представление Пусть F Г любая подгруппа без кручения индекса 4. Действие Г на правых смежных классах {F,Fyi,Fy2,Fy } подгруппы F в Г даёт транзитивное представление в : Г — 5 4. Если некоторый ХІ В представлении (3.11) имеет неподвижную точку, тогда для некоторого у Є Г имеем ухіу 1 Є F и F не является группой без кручения, так как (у ХІ y l) = 1. Значит, ж не имеет неподвижных точек, следовательно представлен в , двойной перестановкой (т. е. перестановкой циклического типа (2 2)). Поскольку мы имеем дело с транзитивным представлением, в : Г — V является эпиморфизмом, где V — четверная группа Клейна.
Покажем, что F кет в. Возьмём любой w Є F. Поскольку w оставляет неподвижным смежный класс F, и имеются только действия двойных перестановок и тривиальное действие, w должно оставлять неподвижными другие смежные классы. Значит, w Є кет в. Обратное включение кет в F очевидно. Таким образом, полу чаем F = ker в \ Г. П Перейдем к основному результату настоящего параграфа. Теорема 14. Пусть X — неразветвлённое накрытие степени 2 над гиперэллиптическим графом Y рода g 2. Тогда граф X является j-гиперэллиптическим для некоторого 7 [ -] Доказательство. Обозначим через ф : X — Y накрытие из условия теоремы. Граф Y гиперэллиптический, поэтому существует гармоническое отображение ф :Y — Т степени 2, где Т — дерево (граф рода 0). Пусть F будет композицией гармонических отображений ф о ф.
Покажем, что гармоническое отображение F : X — Т регулярно и найдем его группу преобразований наложения Go- Для этого применим теорию Басса - Серра. Превратим X и Т в графы групп следующим образом. Пусть X = (Х,Л) — граф групп, где Л приписывает тривиальную группу Az = {1} каждой вершине и каждому ребру z графа X. Пусть Т = (Т, В) — граф групп, где В приписывает группу Bz = Z2 каждому из д + 1 образов z точек ветвления отображения ф: и тривиальную группу Bz = {1} каждой другой вершине и всем ребрам z дерева Т.
Покажем, что отображение F : X — Т индуцирует накрытие F : X — Т графов групп. Поскольку F гармоническое, остаётся проверить, что для любой вершины а Є V(X) тривиальный мономорфизм Аа — " Вр(а) УДОВЛЄТВОрЯЄТ УСЛОВИЮ ГПр(а) \Аа\ = \ F(a)\ или5 так как ВСЄ Аа = {1}, УСЛОВИЮ mF(a) = \BF{a)\. (3.12)
Отображение ф — неразветвлённое накрытие, и поэтому локально биективно. Значит, для любой вершины а Є V(X) имеем тпр(а) = гпф(ф(а)). Если ф(а) — точка ветвления отображения ф: то имеем гпф(ф(а)) = 2, Вр(а) = 2 2, и поэтому (3.12) верно. Если ф{а) не является точкой ветвления отображения ф, то ггіф(ф(а)) = 1, Вр(а) тривиальна, следовательно (3.12) также верно, иГ:Х- Т- накрытие графов групп.
Выберем любую вершину х в графе X. Пусть Н = F (7i i(X, х)) и Г = 7Гі(Т, F{x)). Поскольку ф не имеет точек ветвления, по формуле Римана - Гурвица (1.2) X имеет род 2д — 1, и поэтому 7Гі(Х, ж) — свободная группа на 2д — 1 образующих. Далее, так как по теореме 2 группа Н — мономорфный образ группы 7Гі(Х,ж), то Н свободная подгруппа ранга 2д — 1 в группе Г. В свою очередь, Г является свободным произведением д + 1 копий Z2.
Заметим, что Н является подгруппой индекса 4 в Г. По лемме 6, поскольку любая свободная группа является группой без кручения, имеем Н Г. Следовательно по определению F : X — Т — регулярное накрытие, и по теореме 3 его группа накрывающих преобразований Go изоморфна Г/Н, а из леммы 6 мы знаем, что Г/Н, в свою очередь, изоморфна четвертной группе Клейна.
Возвращаясь в категорию графов, мы получаем регулярное накрытие X — X/GQ совпадающее с F : X — Т, где X/GQ = Т. Группа Go допускает разбиение {Gi, G2, G3} на три подгруппы порядка 2. Заметим, что каждая подгруппа Gi Go соответствует гармоническому отображению X — X/Gi, и один из X/Gi изоморфен Y. Пусть д и gi обозначают рода X и X/Gi, і Є {0,1,2,3} соответственно. По формуле (3.4), имеем
Покажем, что оценка точная. Т. е. что для любого д 2 существует граф X рода 2д — 1, и при этом минимальный род графа Y такого, что X — Y является гармоническим морфизмом степени 2, равняется [ -] Возьмем нечётное д. Рассмотрим граф Х\ рода 2д—1, изображенный на Рис. 3.2 для случая д = 5. Его группа автоморфизмов содержит пять инволюций. Их действия на Х\ следующие: горизонтальное и вертикальное отражение — h и -и, два диагональных отражения — d\ и G?2, И поворот г на 7Г вокруг центра графа. Соответствующие фактор-графы имеют рода -, -, д — 1, д — 1 и д.
Поднятие гиперэллиптической инволюции на нерегулярные накрытия
В следующем параграфе нам потребуется приведённое ниже утверждение. Индекс q в записи Xq обозначает род графа.
Предложение 3. Пусть Хр — Xq — циклическое накрытие графов степени п, где Xq — гиперэллиптический граф. Тогда сквозное гармоническое отображение Хр — Xq — XQ регулярно, а его группа преобразований наложения изоморфна Dn — диэдральной группе порядка 2п.
Доказательство. Гармоническое отображение Хр — Xq — XQ регулярно тогда и только тогда, когда гиперэллиптическая инволюция на Xq поднимается до инволюции на Хр. Общая теория говорит нам, что автоморфизм может быть поднят на неразветвлённое накрытие, если этот автоморфизм сохраняет в фундаментальной группе подгруппу, соответствующую накрытию (назовём её подгруппой накрытия). Наше накрытие Хр — Xq циклическое, и поэтому абелево. В этом случае подгруппа накрытия содержит коммутатор фундаментальной группы. Следовательно, мы можем рассмотреть действие гиперэллиптической инволюции на образе подгруппы накрытия в первой группе гомологии графа Xq, которая изоморфна фактору фундаментальной группы по её коммутатору. Гиперэллиптическая инволюция действует на первой группе гомологии как минус тождественная, т. е. оставляет элементы на месте и только меняет их ориентацию. Поэтому все подгруппы сохраняются.
Если U — поднятие гиперэллиптической инволюции и графа Xq: и группа преобразований наложения накрытия Хр — Xq равна (R \ Rn = 1), то RU также поднятие и. Поскольку (RU)2 = 1, группа преобразований наложения накрытия Хр — Xq — Хо, порождённая R и U, изоморфна группе Dn. 4.2. Поднятие гиперэллиптической инволюции на нерегулярные накрытия
Для регулярного накрытия X — Y графов запись G(X, Y) обозначает его группу преобразований наложения. Основной результат данной главы — следующая теорема, являющаяся дискретной версией теоремы Акколы [19] для римановых поверхностей.
Теорема 15. Пусть Xq — гиперэллиптический граф, ип — любое положительное нечётное число. Тогда существует нерегулярное нераз-ветвлённое накрытие Хр — Xq степени п такое, что Хр — гиперэллиптический граф.
Доказательство. Встречающиеся в доказательстве накрытия для случая п = 3 и q = 2 приведены на Рис. 4.1, 4.2.
Пусть п — нечётное положительное число. Граф Xq гиперэллиптический, поэтому существует гармоническое отображение ф : Xq — XQ степени 2, где XQ — дерево.
Превратим графы Xq и XQ В графы групп следующим образом. Пусть lLq = (Xq,A) — граф групп, где А приписывает тривиальную группу Az = {1} каждой вершине и каждому ребру z графа Xq. Пусть Хо = (Хо,В) — граф групп, где В приписывает группу Bai = Ъ 1 каждому образу а , і = 1,2,..., + 1 точек ветвления отображения ф: и тривиальную группу Bz = {1} каждой другой вершине и всем ребрам z графа Хо.
Обозначим через Т фундаментальную группу 7Гі(Хо) графа групп XQ. Согласно определению, группа J- является свободным произведе 62 ниєм q + 1 копий Z2 и имеет представление
Каждый элемент 7« должен соответствовать инволюции графа групп X2p_i, имеющей неподвижную точку в V(X). Поскольку мы строим гладкое накрытие, ни один из 7« не может быть отображен с помощью /І в инволюции группы (V,R). С другой стороны, образы М7«) должны порождать всю D2n- Итак, положим соответствует Xq, и ядро гомоморфизма /І, і р-ь соответствует накрытию графов групп Х2р_і — Хд с группой накрывающих преобразований, изоморфной Dn (= Fq/F2P-i), действующей на Х2Р_і без неподвижных точек. Род графа-носителя X2P_i равен 2n(q -1) + 1. Группа преобразований наложения накрытия X2P_i — Хо, и накрытия носителей Х2Р-1 — Хо, изоморфна Z2 xDn. В этой группе автоморфизмов положим Z2 = (С) и D = (V, R ). (Мы используем штрихи, чтобы отличать автоморфизмы на Х2Р-\ от элементов абстрактной группы D2n)
Центральная инволюция имеет точки ветвления над вершинами а,і, і = l,2,...,g — 1, так что суммарный порядок ветвления для Х2Р-1 — X2p-i/(C) равен 2n(q — 1). По формуле Римана - Гурви-ца, род X2p-i/(C) равен 1.
Согласно построенному гомоморфизму, группа преобразований наложения накрытия Х2Р-\ — Xq равна (V ,R ). Другая Dn равна (C V ,R ): которая содержит п отражений, все неподвижные точки которых лежат над aq и aq+\. Таким образом, каждое такое отражение имеет 2(2п)/п (= 4) неподвижных точек. По формуле Римана -Гурвица, род X2p-i/(C V) равен р — 2.
Теперь рассмотрим Н = {V, С, CV, е} — четвертную группу Клейна. Рода фактор-графов по отношению к (V), (С), (CV) равны р, 1 и р — 2. По формуле (3.4), род Х2Р-\/Н равен 0. Таким образом, Хр = Х2р-\/(у ) гиперэллиптичен и является накрытием степени п над Xq.
Доказательство. По формуле Римана - Гурвица (1.2), род фактор-графа Хз = X2n+i/(R ) равен 3. Согласно следствию 1, Хз гиперэл-липтичен. По предложению 3, гармоническое отображение X2n+i — Хз — XQ степени 2п является диэдральным. Его группа преобразований наложения G(X2n+i,Xo) = (JJ R1), где U — поднятие гиперэллиптической инволюции графа Хз на граф X2n+i. Имеем следующую схему накрытий: Х2п+1 - Хз Х\ Хо Х2
Гиперэллиптическая инволюция с Х2 поднимается на X2n+i через Хз, и поэтому вся схема регулярна с группой преобразований наложения, изоморфной Z2 х Dn (= D2n т.к. п нечётно). Центральный элемент С порядка 2 в D2n единственен. Можно предположить, что С = U V, заменяя V на V R для подходящего а.
Мы находимся в ситуации, рассмотренной в доказательстве теоремы 15 для q = 2, и /І : Т -л D2n, где D2n = (С, V, R) и CV = U. Поскольку /i(7«) имеет порядок 2 для всех і, и все /і(7«) лежат вне одной из групп Dn в D2n, скажем вне (У, Л), образами /І(7«) могут быть только С или CVRa. Поскольку (CV, R) = Dn, один из образов /І(7«) должен быть С, чтобы получить всю D2n- Получается, что X2n+i сов падает с Х2Р-1 из доказательства теоремы 15. Следовательно, в гармо ническом морфизме X2n+i — X2n+i/(C) степени 2 граф X2n+l/ (С) имеет род 1, и поэтому X2n+i является 1-гиперэллиптическим. Также, X2P-i/(V) — гиперэллиптический граф. Замечание 7. Для п = 3 и q = 2 регулярное накрытие графов Х — Х2 и нерегулярное накрытие JQ — Х2 обсуждаются в книге У. С. Мас-си [35] в примерах 7.1 и 7.2 соответственно.
На двух рисунках ниже приводится схема накрытий из доказательства теорем 15 и 16 для п = 3 и q = 2. В этом случае над Х2 возникает два возможных неразветвлённых накрытия Xj с группой преобразований наложения, изоморфной диэдральной группе D% шестого порядка. Происходит это от двух различных способов породить Dz — либо (R, V), либо (RV, V), где R — элемент третьего порядка, а V — второго.