Пространства, порождённые обобщённой мажорантой частных сумм Пернай Владимир Витальевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Тип пространств, порождённых обобщённой мажорантой частных сумм 19

Глава 2. Оценки Ф-поперечников 30

Глава 3. Сложность семейств параллелепипедов и выпуклых множеств

Заключение 64

Список литературы 66

• Тип пространств, порождённых обобщённой мажорантой частных сумм
• Оценки Ф-поперечников
• Сложность семейств параллелепипедов и выпуклых множеств

Введение к работе

Актуальность темы. Вопросы сходимости функциональных рядов вида

^2а_кср_к(х) (1)

по различным системам функций Ф = {ір_к(%)}кєіі заданных на некотором множестве X при I = N или / = Z, составляют классическую часть теории функций. Исследованию этих вопросов посвящены труды многих выдающихся математиков начиная с XIX века. Подробно история этих исследований изложена в монографиях¹'²'³'⁴'⁵'⁶.

Исследование вопросов сходимости рядов вида (1) в случае, когда/ = N, часто сводится к оценке мажорант частных сумм

S*{{a_k},x)

sup

1^г<оо

y^Qfc^fc(

k=i

х)

(2)

Например, если Ф - ортонормированная система, а X = (0,1), то сходимость почти всюду по мере Лебега ряда (1) для любых {а_к} Є 1^ эквивалентна конечности почти всюду мажоранты (2) для любых {а^} h-Уже при рассмотрении сходимости кратных рядов

_^2^а_т(^х_"

(3)

где / С Z , возникает потребность в оценках мажорант более общего вида

Зп({ч},х)

sup

(4)

где Q - некоторое семейство подмножеств /. В теории кратных рядов при исследовании сходимости рядов вида (3) рассматривают различные случаи семейств Q. Среди основных семейств Г2, возникающих при различных

^ачмаж С, Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. - Москва: Физматлит, 1958.

²Бари Н. К. Тригонометрические ряды. - Москва: Физматлит, 1961.

³Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. - Москва: ИЛ, 1963.

⁴3игмунд А. Тригонометрические ряды T.I-II. - Москва: Мир, 1965.

⁵01evskii А. М. Fourier Series with respect to general orthogonal systems. - Berlin: Springer-Verlag,

1975.

'Кашин Б. С, Саакян А. А. Ортогональные ряды, 2-е изд. - Москва: Изд-во АФЦ, 1999.

определениях сходимости кратных рядов, можно выделить семейства кубов, параллелепипедов, шаров с центром в нуле, гиперболических крестов. В 1995 году Б.С. Кашин и СИ. Шарек получили оценки мажорант (4), зависящие от геометрических свойств семейства Q. Для точной формулировки напомним

Определение 1. к-ым поперечником по Колмогорову множества G в нормированном пространстве X называется величина

dk(G,X)= inf max min \\x — y\\x,

EcL_k xeG yeE

(5)

где Lk - множество линейных подпространств вХ размерности не выше к.

ЕслиХ = Щ и G С X, то для краткости обозначимdk(G, X) = dk(G).

При заданных /, Q, ^1 < оо, определим Q С Ж. , положив

где евклидово пространство М. размерности =ffl мы отождествляем с множеством действительных функций на /, a %_w - характеристическая функция множества <х>, то есть

1,

Хш\рс >

если х Є си:

О, если х ф ии.

Имеет место

Теорема А (Б.С. Кашин,С.И. Шарек). Пусть {(pk}kei ~ ортонормиро-вапная система в Ж¹ и Q - семейство подмножеств I. Тогда

_Е

d_m-\{Q)

т

где с > 0 абсолютная постоянная.

В 1989 году Б.С. Кашин⁸ доказал аналог классической теоремы Меньшова "об исправлении" для дискретных ортнормированных систем. При

⁷Кашин Б. С, Шарек С. Й. Логарифмический рост L¹ -нормы мажоранты частных сумм ортогонального ряда II Матем. заметки. - 1995 - Т. 58, № 2. - С. 218-230.

⁸Кашин Б. С. Аналог теоремы Меньшова "об исправлении" для дискретных ортонормированных систем If Матем. заметки. - 1989 - Т. 46, № 6 - С. 67-74.

этом вводилась норма, связанная с мажорантой частных сумм

\9\\и — \\9\\и{Ф)

max

^2(g,k

(6)

k=i

In

где Ф = {<^k}k=i ~ некоторый ортонормированный базис в М^п, а (д, ср) -стандартное скалярное произведение в Ш.^п:

Теорема В. Для каждого є > 0 существует такая постоянная С, что при п = 1,2,... для любого ортонормированного базиса Ф в W¹ и любого вектора g Є W¹, \\g\\q = 1, найдётся вектор g Є W¹, для которого

2- Ш\и{Ф) < cn-¹'².

В 1997 году B.C. Кашин⁹ показал, что Теорему В можно доказать для норм более общего вида, заданных с помощью обобщённых мажорант частных сумм

y^Qg^c

(7)

аЄІ

X

аЄш

'ґ-ч-1

При этом в определении нормы (7) на семейство Q подмножеств заданного набора индексов / накладывалось условие, ограничивающие его "сложность": при некотором а < 1 найдутся семейства A_s, 0 Є A_s, s = 0,..., So, с числом элементов

#A_S < O₀expexps^a,s = 0,..., so, (8)

такие, что каждое множество ш Є Q допускает представление в виде

Ш

^±1

\JE„ _sG A_s, #E_S ^?-,Е₈ПЕ_8І = 0 при s^s'.

s=0

(9)

Определение нормы (6) является частным случаем нормы (7), если в (7) положить / = {1,.. . , п} и

П

{1},{1,2},...,{1,...,.},...,{1,...,п}

Напомним известные определения.

⁹Кашин Б. С. О возможности обобщения теорем "об исправлении" // Матем. заметки. - 1997 Т. 62, № 6 - С. 931-939.

Определение 2. Для і = 1,2,... і-ой функцией Радемахера называется функция на (0,1), которая задаётся выражением

i(t)

+1 При t Є (^J-2T,ji), j

-1 nput Є (^r, J), j

нечетное:

четное,

j = l,2,...,2\

Система функций Радемахера {єі}^і является системой независимых функций.

Определение 3. Банахово пространство X с нормой \\ \\х называется пространством типа р, р Є [1,2], с постоянной Т_р(Х), если для любого m = 1,... и для любой последовательности {я^}^ С X выполняется неравенство

1/p

_$>w

i=\

.hi

X

_$>w

i=\

.hi

X

^{dt ^ T}_P^{(X) J2}

i=\

I IIP

I^х* llx

(10)

При этом наименьшая константа T_p(X), для которой неравенство (10) всегда будет выполняться, называется постоянной типа р.

Напомним еще определение, введённое Р.С. Исмагиловым¹⁰ в связи с вопросом приближения гладких функций подпространствами, порождёнными к элементами тригонометрической системы.

Определение 4. Тригонометрическим поперечником порядка п множества F С Loo(—7г,7г) называется величина

d_n (F, L

00,

inf sup dist^ (/, G

n)-,

где inf берётся no всем пространствам вида

G_n = span({e^ikt}_keA)_} AcZ, |Л|

п.

Аналогично тригонометрическим поперечникам, Ж. Бургейн и Б.С. Кашин ввели понятие Ф-поперечиков в произвольном банаховом пространстве X для произвольной системы Ф элементов пространства X.

¹⁰Исмагилов Р. С. Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение функций тригонометрическими многочленами // УМН. - 1974 - Т. 29, № 3(177) - С. 161-178.

Определение 5. В банаховом пространстве X для заданной системы Ф = {(>} С X, Ф-поперечником порядка п множества F С X называется величина

d{F,X) = inf supdistx(/, G_n),

где inf берётся no всем пространствам вида

G_n = span({cp_k}_keA), |Л| = п.

Обычно задача об оценке поперечников функциональных классов, лежащих в пространстве L_p{— 7Г,7г), 1 ^ р ^ оо, сводится к оценке поперечников конечномерных множеств. В частности, рассмотрение наиболее важного для приложений случая, когда принадлежность к функциональному классу (вложенному в пространство непрерывных функций) определяется ограничением нормы в некотором гильбертовом пространстве, приводит к задаче об оценках rf_n(B^,/^), (^(В^,/^) (в последнем случае рассматривается дискретная тригономерическая система).

Достаточно точные оценки поперечников n(>2 ₅ ^оо) были установлены Кашиным в 1977 году¹¹. Было показано, что шар В^ может быть хорошо приближен в метрике /до подпространством очень малой по сравнению с N размерности. Получение оценок б^(>^,/^) потребовало существенно более сложной техники. Первый результат о существовании в С подпространств, натянутых на п ^ (1 — S)N элементов дискретной тригонометрической системы, где 5 > 0 - абсолютная постоянная, хорошо приближающих шар В2 в метрике /^ был получен Ж. Бургейном и усовершенствован М. Талаграном¹². Порядок приближения, доставляемый этими подпространствами, ухудшается лишь на логарифмический множитель по сравнению с подпространствами, реализующими колмогоровский поперечник. Точнее говоря, теоремы Ж. Бургейна и М. Талаграна формулировались в двойственной форме как утверждение о существовании подпространств в L\{— 7г,7г) вида

8_Рап{е^ш},_єЛ, Л с {1,..., N}, |Л| ^ 6N,

для элементов которых Ь\- и іу2-нормьі отличаются не более, чем логарифмическими множителями.

^пКаіішн Б. С. Поперечники некоторых конечномерных множеств и классов гладких функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1977 - Т. 41, № 2 - С. 334-351.

¹²Talagrand М. Selecting a proportion of characters // Israel J. Math. - 1998 - Vol. 108, no. 1 - P. 173-191.

Интерес представляет случай, когда размерность приближающего подпространства гораздо меньше, чем размерность приближаемого множества. Этот случай для Ф-поперечников по равномерно ограниченным ор-тонормированным в /^ системам Ф = {(fii}i был рассмотрен в 2007 году О. Гедоном, С. Мендельсоном, А. Пажором и Н. Томчак-Ягерманн¹³. Они получили следующий результат

Теорема С (О. Guedon, S. Mendelson, A. Pajor, N. Tomczak-Jaegermann). Пусть {(Pj}jLi - ортонормированный базис в /^ и пусть \\(Pj\\in ^ К,

Для каждого целого т, 1 ^ т ^ N, найдётся набор Л С {1,..., А^} такой, что \А\ = N — т и для любых коэффициентов {dj} Є C^N

^C-K(logNf

,N

1Ґ

Из соображений двойственности и теоремы С непосредственно вытекает оценка Ф-поперечника шара В^ по норме пространства /^.

Также напомним необходимые нам классические понятия теории приближений

Определение 6. Пусть К - компакт в метрическом пространстве Е с метрикой р. Обозначим шар радиуса є с центром в у по метрике р как

^Вр(у^) = {ze Е : p(y,z) ^є}. Числом покрытия N_p(K,e) называется величина

( г

N_p(K, є) = inf < г : К С М B(jjj_} є) для некоторых yj Є Е_} j = 1,..., г

а s-ым энтропийным числом множества К в пространстве Е называется величина

е_а(К) = е_а(К,р) = inf {є : N(K,e) ^ 2^s} , s = 0,1,....

¹³Guedon О., Mendelson S., Pajor A. , Tomczak-Jaegermann N. and orthogonal decompositions generated by bounded orthogonal systems // Positivity. - 2007 - Vol. 11, no. 2 - P. 269-283.

При доказательстве теоремы С использовались современные варианты chaining-метода Колмогорова и достаточно точные оценки е-энтропии конечномерных компактов. В 2012 году Ж. Бургейн и Б.С. Кашин, получили следующий результат¹⁴

Теорема D (Ж. Бургейн, Б.С. Кашин). Пусть задан набор элементов {ipi}₌₁ С І2 , N ^ п, причём

\Ш\і<^к, г = 1,2,...,п.

Для любого целого к_} 1 ^ к ^ п, найдётся подмножество Л набора {1,...,п} такое, что

|Л| = к,

sup dist/лг S^anpi, span({^,i Є Л}) < СК(logN)^7/2_X/-.

{о«}?=1,Ег=1к1²<1 ^Kti J v^

Принципиальным отличием теоремы D от теоремы С является отказ от требования ортогональности системы {(/?j}₌₁.

Цель работы. Исследование нормированных пространств, норма в которых задаётся с помощью обобщённой мажоранты частных сумм по семействам множеств с определенной сложностью. Получение оценок Ф-поперечников в этих пространствах. Оценка сложности семейства дискретных параллелепипедов и семейства выпуклых помножеств куба [1,п] .

Научная новизна работы. Все результаты работы являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Установлены верхние оценки для постоянной типа 2 нормированных пространств, норма в которых задаётся обобщённой мажорантой частных сумм функционального ряда по семейству Q подмножеств заданного набора индексов /, удовлетворяющему определённым ограничениям на сложность.

2. Для указанных пространств установлены верхние оценки для Ф-поперечников.

3. Доказано, что рассмотренным в диссертации ограничениям на сложность семейств Q удовлетворяет семейство множеств, хорошо приближающее пересечения всех выпуклых подмножеств куба [1,п] с целочисленной решеткой Z .

¹⁴Бургейн Ж., Кашин Б. С. О равномерном приближении частной суммы ряда Дирихле, более короткой суммой и Ф-поперечниках // Матем. сб. - 2012 - Т. 203, № 12 - С. 57-80.

Методы исследования. В работе используются различные методы теории приближений, функционального анализа, теории случайных процессов и выпуклой геометрии.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в теории приближений, функциональном анализе и геометрии.

Апробация работы. Автор выступал с докладами по теме диссертации на следующих научных семинарах:

семинар "Ортогональные ряды" на Механико-математическом факультете ФГБОУ ВО "Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова" под руководством академика РАН Б. С. Кашина и члена-корреспондента РАН С. В. Конягина (неоднократно, 2012-2015);

спецсеминар по теории тригонометрических и ортогональных рядов на Механико-математическом факультете ФГБОУ ВО "Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова" под руководством профессора М.К. Потапова, профессора В. А. Скворцова, профессора Т.П. Лукашенко и профессора М.И. Дьяченко (2016);

семинар Кафедры высшей математики ФГАОУ ВПО "Московский физико-технический институт (государственный университет)" под руководством профессора Е. С. Половинкина (2016).

Публикации. Результаты диссертации получены автором самостоятельно и опубликованы (без соавторов) в 2 работах в журналах из списка, рекомендованного ВАК. Список работ приведён в конце автореферата.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из списка обозначений, введения, трёх глав, заключения и списка литературы из 23 наименований. Общий объём диссертации — 68 страниц.

Тип пространств, порождённых обобщённой мажорантой частных сумм

Принципиальным отличием теоремы D от теоремы С является отказ от требования ортогональности системы {(р{}=1.

Цель работы. Исследование нормированных пространств, норма в которых задаётся с помощью обобщённой мажоранты частных сумм по семействам множеств с определенной сложностью. Получение оценок Ф-поперечников в этих пространствах. Оценка сложности семейства дискретных параллелепипедов и семейства выпуклых помножеств куба [l,n]d.

Научная новизна работы. Все результаты работы являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Установлены верхние оценки для постоянной типа 2 нормированных пространств, норма в которых задаётся обобщённой мажорантой частных сумм функционального ряда по семейству Q подмножеств заданного набора индексов /, удовлетворяющему определённым ограничениям на сложность.

2. Для указанных пространств установлены верхние оценки для Ф-поперечников.

3. Доказано, что рассмотренным в диссертации ограничениям на сложность семейств Q удовлетворяет семейство множеств, хо рошо приближающее пересечения всех выпуклых подмножеств куба [1,n]d с целочисленной решеткой IIі.

Методы исследования. В работе используются различные методы теории приближений, функционального анализа, теории случайных процессов и выпуклой геометрии.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в теории приближений, функциональном анализе и геометрии.

Апробация работы. Автор выступал с докладами по теме диссертации на следующих научных семинарах: семинар "Ортогональные ряды" на Механико-математическом факультете ФГБОУ ВО "Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова" под руководством академика РАН Б. С. Кашина и члена-корреспондента РАН СВ. Коняги-на (неоднократно, 2012-2015); спецсеминар по теории тригонометрических и ортогональных рядов на Механико-математическом факультете ФГБОУ ВО "Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова" под руководством профессора М.К. Потапова, профессора В. А. Скворцова, профессора Т. П. Лукашенко и профессора М.И. Дьяченко (2016); семинар Кафедры высшей математики ФГАОУ ВПО "Московский физико-технический институт (государственный университет)" под руководством профессора Е. С. Половинкина (2016). Публикации. Результаты диссертации получены автором самостоятельно и опубликованы (без соавторов) в следующих работах автора в журналах из списка, рекомендованного ВАК: [14], [15]. Структура и объём работы. Диссертация состоит из списка обозначений, введения, трёх глав, заключения и списка литературы из 23 наименований. Общий объём диссертации — 68 страниц. Краткое содержание работы. Приведём основные результаты диссертации. Нумерация утверждений совпадает с их нумерацией в соответствующих главах.

Глава 1 диссертации посвящена изучению типа нормированных пространств, норма в которых задаётся с помощью равенства (0.8), где семейство подмножеств Q заданного набора индексов /, удовлетворяет ограничениям (0.9) и (0.10), а также если семейство подмножеств заданного набора индексов /, удовлетворяет более жёсткому, чем (0.9) ограничению: для некоторых а 1 и (3 0 найдутся семейства As, 0 Є As, с числом элементов #AS CoN? expsa, s = такие, что каждое множество ш Є Q допускает представление в ви-де (0.10). В первой главе устанавливаются верхние оценки постоянных типа 2 пространств, норма в которых задаётся с помощью мажоранты (0.8) по семействам множеств Г2, удовлетворяющим ограничениям (0.10) и (0.14). Теорема 1.1.(В.В. Пернай, [14]). Пусть семейство Q подмножеств I удовлетворяет (0.10) и (0.14) пРи некоторых а ) 1 и /3 0. Тогда постоянная типа 2 пространства Х(0) допускает оценку Т2(Х) К(С0,(3П)-(logN)a/2+1+\ где 7 - произвольное число больше 0, а К (Со, /3,7) постоянная, которая зависит только от Со,/3 и 7

Оценки Ф-поперечников

Также в главе 1 для пространств, норма в которых задаётся с помощью (0.8) по семействам множеств Q, удовлетворяющим ограничениям (0.9) и (0.10) с некоторым а 1, устанавливается верхняя оценка постоянной типа 2. Кроме того, приводится пример такого пространства, у которого нижняя оценка постоянной типа 2 близка по порядку к верхней. Точнее, доказывается

Теорема 1.2.(В.В. Пернай, [15]). Для произвольного 7 0 пространство X(Q), где Q удовлетворяет (0.9) и (0.10), является пространством типа 2 с постоянной Т2(Х), которая удовлетворяет неравенству Ф-поперечников множеств в пространстве X, норма в котором задаётся с помощью определения (0.8) по семействам множеств Г2, удовлетворяющим ограничениям (0.10) и (0.14) при некоторых а 1 и /3 0. Точнее доказывается Теорема 2.1.(В.В. Пернай, [14]). Пусть Ф = { /?KLi набор линейно-независимых функций в Щ таких, что 1Ыоо М, 1 І П и множество F = свд 2\аг\2 г=1 г=1 Пусть норма в пространстве X задаётся с помощью мажоранты (0.8), где семейство Q удовлетворяет (0.10) и (0.14) с некоторыми а 1 и [5 0. Тогда для любого целого к, 1 к п, верно неравенство d (F,X) (Co,/3,7)M(log7V)4+«/ y, где 7 - произвольное число больше 0, М - абсолютная постоянная, а іЦСо,/3,7) - постоянная, зависящая от Со,/3 и 7 В главе 3 рассматриваются примеры семейств множеств, которые удовлетворяют ограничениям на сложность (0.10) и (0.14) с некоторыми а 1 и (3 0. Важным примером такого семейства является совокупность всех "параллелепипедов" П= {l,...,mi} х х {l,...,md} С {l,...,n}d}. В работе [14] отмечается, что данная совокупность удовлетворяет условиям (0.10) и (0.14) при а = 1 и f3 = (d — l)/d. Точнее имеет место Утверждение 3.1. Совокупность всех дискретных параллелепипедов вида Ud= {l,...,mi} х х {l,...,md} С {l,...,n}d} при d Є N удовлетворяет (0.10) и (0.14) пРи а = 1 и (3 = (d — l)/d. Обозначим пересечение множества В zM.d и решётки IIі как В%. Множества В%, полученные как пересечение выпуклого множества В с целочисленной решёткой, можно называть выпуклыми множествами в Z .

Как уже отмечалось выше, в теории кратных рядов рассматриваются различные случаи семейств подмножеств в Z , суммирование по которым задаёт частные суммы, исследуемые на сходимость. При этом чаще всего рассматриваются семейства кубов, параллелепипедов, шаров, гиперболических крестов. Представляет интерес также случай, когда семейство состоит из всех "выпуклых множеств". При этом встает вопрос о "сложности" этого семейства. В частности, СВ. Конягиным был поставлен вопрос: удовлетворяет ли ограничениям на сложность (0.10) и (0.14), семейство множеств Q, полученное как пересечение всевозможных выпуклых подмножеств куба [l,n]d с целочисленной решёткой IIі. В связи с задачей СВ. Конятина в главе 3 доказывается

Теорема 3.1.(В.В. Пернай, [15]). Для любого 0 7 1 найдётся семейство Q подмножеств {1,... ,n}d, удовлетворяющее (0.10) и (0.14) с некоторыми постоянными а 1 и (3 О, зависящими только от 7 и d, такое, что для любого выпуклого множества В С [l,n]d найдётся А Є Q такое, что А С В% и #(Вх\А) у-#Вх. При доказательстве теоремы 3.1 изучаются свойства симплексов с вершинами в целых точках, вписанных в данное выпуклое тело. Напомним, Определение 0.7. Симплексом в і-мерном евклидовом пространстве называется выпуклая оболочка d + 1 аффинно-независимых точек. Зададим на множестве М. меру, "считающую" количество целых точек в множестве: т(А) = ADZd, AcRd. Тогда имеет место Лемма 3.3. Произвольное выпуклое тело К С M.d содержит симплекс S, возможно, размерности меньше d, с вершинами в точках с целочисленными координатами такой, что Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю академику Борису Сергеевичу Кашину за поставновку интересных задач, плодотворные обсуждения, неоценимую помощь и постоянное внимание, а также профессору Сергею Владимировичу Конягину и доценту Константину Сергеевичу Рю-тину за ценные советы и замечания.

Сложность семейств параллелепипедов и выпуклых множеств

Предположим, что неравенство (2.2) нарушается для некоторого к, C(logTV)3 2 к п/2. Найдём такое /, что для некоторого к , \к — к \ к/10, \1\ = п — к , и для произвольного a,suppa С /, будет верно неравенство (2.4). Из предположения, что неравенство (2.2) не будет выполняться, следует, что найдётся вектор Полученное противоречие доказывает теорему 2.1. Глава З Сложность семейств параллелепипедов и выпуклых множеств в {1,..., п} В данной главе будем считать, что набор индексов / совпадает с {l,...,n}d = {l,...,n} х ... х {l,...,n}, nd N. Определение 3.9. Дискретным параллелепипедом в Nd будем называть множество вида Р = пі,...,ші х х nd,...,md, где для всех г, 1 г d, будет выполняться ПІ}ГГІІ Є N, щ rri{. Утверждение 3.1. Совокупность всех дискретных параллелепипедов вида Ud= {l,...,mi} х х {l,...,md} С {l,...,n}d} при (і Є N удовлетворяет (0.10) и (0.14) пРи а = 1 и (3 = -jk ДОКАЗАТЕЛЬСТВО УТВЕРЖДЕНИЯ 3.1. Для простоты выкладок будем считать, что п = 2V для некоторого натурального v Є N. Построим семейства As, s = 0,..., v.

Пересечение выпуклого множества В С №. и решётки Z будем обозначать . Представляет интерес вопрос, удовлетворяет ли ограничениям на сложность (0.10) и (0.14), семейство множеств Q, полученное как пересечение всевозможных выпуклых подмножеств куба [1,п] с целочисленной решёткой Z . Ниже устанавливается, что семейство множеств, приближающих выпуклые, удовлетворяет этим ограничениям. Точнее доказывается

Теорема 3.1 ([15]). Для любого 0 7 1 найдётся семейство Q подмножеств {1,... ,n}d, удовлетворяющее (0.10) и (0.14) с некоторым/и постоянными а 1 и (3 0; зависящими только от 7 и d, такое, что для любого выпуклого множества В С [l,n]d найдётся А є Q такое, что А с В% и

Для доказательства теоремы 3.1 нам понадобятся вспомогательные результаты. Заметим, что при d 1 каждая d— 1-мерная грань (і-мерного симплекса будет (d — 1)-мерным симплексом. Далее будем считать, что d 2. (i-мерный симплекс, который является выпуклой оболочкой точек 2 Q d будем обозначать как 5 Зафиксируем симплекс

Далее будем рассматривать замкнутые симплексы, то есть симплексы содержащие свои грани. Рассмотрим симплекс Sd(d 0, Лемма 3.1. Симплекс Sd(a 0}... ,a d) содержит симплекс Sd(ao}... ,dd) и подобен ему с коэффициентом подобия d. При этом, если ао,... ,a i Є {dbL)d, тогда и d 0,... ,d d Є {dbL)d.

Следовательно, симплекс Sd(d 0,... , d d) подобен симплексу Sd(do,... , dd) с коэффициентом подобия d.

Покажем, что симплекс Sd(d 0,.. . , d d) содержит симплекс Sd(do,... , dd). Для этого покажем, что все вершины симплекса Sd(do,... , dd) принадлежат симплексу Sd(d 0,.. . , d d). Из (3.5) и (3.6) a

Пусть неравенство (3.13) выполняется при с = (0,... ,0). При этом будем считать, что объем KQ больше нуля. Если объем KQ равен нулю, тогда Ко лежит в гиперплоскости и рассмотрение сводится к (d — 1)-мерному случаю.

Из леммы (3.3) следует, что в произвольном выпуклом теле К найдётся симплекс SQ С вершинами в целых точках, который будет содержать не менее, чем ц%(К)/(d ) целых точек. Рассмотрим набор множеств, полученных последовательным отсечением от К \ So гиперплоскостями, проходящими по сторонам симплекса So. Таким образом получено не более, чем d + 1 выпуклое множество. К каждому из них можно вновь применить лемму (3.3). Объединение получившихся симплексов обозначим как S\. Итерационно применяя лемму (3.3) к К \ Uj=0 S{, мы получаем S&, к = 1,. ... При этом Sk состоит из не более, чем (d + 1) симплексов и