Введение к работе
Актуальность темы. В моделях многих процессов является естественным учет принципа причинности: настоящее может зависеть от прошлого, но не должно зависеть от будущего. Преобразования (операторы), подчиняющиеся этому принципу, называют причинными.
Представляется естественным, что принцип причинности должен учитываться не только при составлении уравнении. А именно, зависимость / ь-> х решения х уравнения Тх — / от / также должна удовлетворять этому принципу. Это приводит к понятию причинной обратимости — принципу причинности должен удовлетворять не только оператор Т. но п обратный к нему.
Одномерная причинная обратимость широко применяется в теории управления при исследовании входо-выходной устойчивости систем с обратной связью (см., например, монографии J.C. Willems. The Analysis of Feedback Systems. Cambridge: ЛІІТ Press, 1971: A. Feintuch and R. Sacks. System Theory: A Hilbert Space Approach. Academic Press. Xew York, 1982; 4. Дезоер и M. Видьясагар. Системы с обратной связью: вход-выходные соотношения. М.: Наука, 1983: В.Г. Курбатов. Линейные дифференциально-разностные уравнения. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1990.)
Под многомерной причинностью мы подразумеваем интерпретацию, в которой прошлое и будущее понимаются в смысле специальной теории относительности, т.е. как порожденные световым конусом в R4, а также в более абстрактном смысле — как порожденные произвольным конусом в Е" или даже произвольной подполугруппой локально компактной абелевой группы. Многомерная причинность возникает, например, в задачах, где скорость распространения сигналов ограничена.
Цель работы. Основной целью работы является получение эффективных условий причинной обратимости, порожденной конусом в W, операторов свертки с ограниченными мерами. В свете этой цели основными результатами работы являются: описание полугрупп характеров конусов в Еп; исследование плотности вложения полугруппы непрерывных характеров в полугруппу разрывных характеров; доказательство топологической изоморфности пространства характеров алгебры абсолютно непрерывных мер, сконцентрированных в конусе,
полугруппе непрерывных характеров этого конуса; вычисление причинных спектров относительно конуса операторов свертки с мерами без непрерывных сингулярных составляющих; а также вычисление причинных спектров операторов свертки с сингулярными мерами специального вида.
Общие методы исследования. Основным аппаратом исследования в диссертации являются методы функционального анализа, в частности, теория операторов, спектральная теория, абстрактный гармонический анализ, теория интеграла Лебега, банаховы алгебры и преобразование Гельфанда.
Научная новизна. Причинной обратимости операторов в пространствах функций на М посвящена обширная литература (см., например, ссылки выше). Для операторов свертки с мерами на W условия обычной обратимости также хорошо известны. Наконец, многомерные причинные операторы встречаются как в математической, так и физической литературе. Несмотря на это. причинная обратимость в пространствах функций на Ш." ранее специально не изучалась.
Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут применяться в теории операторов, дифференциальных уравнений с частными производными, в прикладных задачах при описании взаимодействий в средах с ограниченной скоростью распространения сигналов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах ЛГТУ, МГУ (руководитель О.Г. Смолянов), ИПУ РАН (руководитель Н.А. Бобылев) и ВГУ (руководитель А.Г. Баскаков), а также на международной конференции по Стохастическому и глобальному анализу (Воронеж, 13-19 января 1997 года).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 работы, список которых приводится в конце автореферата. Из результатов совместной работы с В.Г. Курбатовым в диссертацию включены только результаты параграфов 3 и 4, принадлежащие А.А. Студеникину.
Структура ц объем работы. Работа изложена на 130 страницах и состоит из введения, 5 разделов и списка литературы.
Библиография. Список использованной литературы содержит 89 наименований.
Автор выражает благодарность фонду Robert'a Havemann'a за поддержку в работе над диссертацией.
Текст автореферата набран в Дд^-М^Х'е.