Содержание к диссертации
Введение
1 Предельные ряды по полиномам чебышева, ортогональным на равномерной сетке, и их аппрокси мативные свойства 13
1.1 Введение 13
1.2 Некоторые сведения о полиномах Чебышева, ортоогональных на равномерной сетке 15
1.3 Предельный ряд по полиномам Чебышева, ортогональным на равномерной сетке 17
1.4 Предельный ряд в двумерном случае 22
1.5 Аппроксимативные свойства предельного ряда 28
1.6 Аппроксимативные свойства двумерного предельного ряда 39
2 Аппроксимативные свойства смешанных рядовпо полиномам чебышева, ортогональным на равномерной сетке 44
2.1 Введение 44
2.2 Некоторые свойства полиномов ,(,) 45
2.3 Смешанные ряды по полиномам 0,0(,) 49
2.4 Операторы +2,() = +2,(,) 51
2.5 Операторы +2,() = +2,(,) 55
2.6 Оценки для функции ,() 60
3 Аппроксимативные свойства cмешанных рядов по полиномам якоби и чебышева их дискретизаций 75
3.1 Введение 75
3.2 Некоторые сведения о полиномах Якоби 86
3.3 Некоторые сведения о смешанных рядах по полиномам Якоби. 87
3.4 О сходимости смешанных рядов по полиномам Якоби 91
3.5 Частичные суммы У 2ЛЛ 96
3.6 Частичные суммы Уп+2г(Л = УйЩіЛ "
3.7 Дискретизация частичных сумм У Щ(Л 100
3.8 Приближение функций из классов Aq(B) операторами У +2г (/) Ю6
3.9 Об одном методе численной реализации операторов У +2г (/) НО
Заключение 114
Литература
- Предельный ряд в двумерном случае
- Аппроксимативные свойства двумерного предельного ряда
- Смешанные ряды по полиномам 0,0(,)
- О сходимости смешанных рядов по полиномам Якоби
Предельный ряд в двумерном случае
Например, в некоторых случаях оказывается так, что полиномы, ортогональные по Соболеву на отрезке [а, Ь], могут иметь нули на одном или на обоих концах этого отрезка. Это обстоятельство имеет важное значение для некоторых приложений, в которых требуется, чтобы значения частичных сумм ряда Фурье функции f(x) по рассматриваемой системе ортогональных полиномов совпали в концах отрезка [а, Ь] со значениями f(a) и f(b). Заметим, что обычные, ортогональные с положительным на [а, Ь] весом, полиномы этим важным свойством не обладают. В уже упомянутых работах [5–10], в частности в [10], было показано, что для целого г 1 классические полиномы Якоби Р г{х) обладают свойством ортогональности относительно приведенного выше скалярного произведения, если положить а = — 1, Ь = 1, p(t) = (1 — t)a, где а — 1. При этом отметим, что ряды Фурье по полиномам Якоби Р г г(х), ортогональным по Соболеву, являются частным случаем смешанных рядов по общим полиномам Якоби Р {х), соответствующим выбору — 1 а - нецелое и (3 = 0. Тот факт, что ряды Фурье по полиномам Якоби Р г г(х), ортогональным по Соболеву, являются частным случаем смешанных рядов по общим полиномам Якоби Р (х), позволяет применить к исследованию аппроксимативных свойств рядов Фурье по полиномам Якоби-Соболева методы и подходы, разработанные ранее в работах [1-4,11] для решения аналогичной задачи для смешанных рядов по общим классическим ортогональным полиномам Якоби (непрерывный случай) и полиномам Чебышева, ортогональным на равномерной сетке (дискретный случай).
Конструкция смешанных рядов ненамного сложнее, чем конструкция рядов Фурье по тем же ортогональным многочленам. Особенно хорошо она выглядит в случае а = (3 = 0. Этому случаю посвящена вторая глава, в которой исследованы некоторые аппроксимативные свойства таких рядов.
В третьей главе рассматривается задачи о сходимости и аппроксимативных свойствах смешанных рядов по общим полиномам Якоби Р (х). В ряде работ Шарапудинова И.И. (см., например, [2,3] были достаточно полно исследованы аппроксимативные свойства смешанных рядов по полиномам Якоби Р (х) в ультрасферическом случае, когда а = (3 = 0. Однако оставалась ма ло исследованной задача об аппроксимативных свойствах смешанных рядов по общим полиномам Якоби ,(), когда параметры и не совпадают. Эта проблема рассмотрена в третьей главе настоящей диссертации. Полученные в этой главе результаты носят в определенном смысле окончательный характер.
Диссертация посвящена исследованию вопросов, связанных с приближением функций некоторыми специальными рядами по полиномам Чебышева, ортогональным на равномерной сетке, и по полиномам Якоби, важнейшей особенностью которых является «прилипание» частичных сумм друг к другу на границах областей ортогональности соответствующих систем ортогональных полиномов. Как выяснилось, свойством «прилипания» частичных сумм на границах области ортогональности обладают так называемые предельные и смешанные ряды по полиномам Чебышева, ортогональным на равномерной сетке, и по полиномам Якоби. Это свойство рассматриваемых специальных рядов существенно влияет на аппроксимативные свойства их частичных сумм. Основной целью настоящей диссертации является исследование аппроксимативных свойств частичных сумм конечных предельных рядов по полиномам Чебышева, ортогональным на равномерной сетке и смешанных рядов по этим полиномам. Исследованы также вопросы сходимости смешанных рядов по общим полиномам Якоби и аппроксимативные свойства дискретизованных частичных сумм смешанных рядов по полиномам Чебышева первого рода для аналитических функций.
При исследовании основных задач, поставленных в настоящей диссертации, применялись как традиционные подходы теории ортогональных систем, так и новые, которые непосредственно связаны с особенностями предельных рядов по полиномам Чебышева, образующим ортогональную систему на равномерной сетке, и смешанных рядов по этим полиномам и полиномам Якоби. К числу традиционных методов приближения функций посредством ортогональных полиномов относятся, например, такие хорошо известные методы, как рекуррентные соотношения, формула Кристоффеля-Дарбу, оценка фунции Лебега сумм Фурье по ним, асимптотические свойства и весовые оценки ортогональных полиномов. Что же касается задачи приближения функций частичными суммами предельных рядов по полиномам Чебышева, ортогональным на равномерных сетках, и смешанных рядов по полиномам Якоби, то вместо функции Лебега сумм Фурье по этим полиномам возникают некоторые новые величины, существенно отличающиеся от выражений для функций Лебега как по своей структуре, так и по поведению, зависящему от порядка рассматриваемой частичной суммы. Это обстоятельство потребовало разработки существенно новых методов исследования поведения возникающих новых величин. Следует при этом отметить, что при исследовании аппроксимативных свойств предельных (конечных) рядов по полиномам Чебышева, ортогональным на равномерных сетках, существенно использовались асимптотические свойства и весовые оценки этих полиномов, установленные впервые в работах Шарапудинова И.И. (см., например, [12]).
Научная новизна Все представленные в работе результаты являются новыми. Практическая и теоретическая ценность Работа носит теоретический характер. Вместе с тем, полученные результаты могут применяться при обработке и сжатии дискретно заданной информации: сигналов, временны х рядов и т.д. Разработанная автором компьютерная программа демонстрирует эффективность описанных в работе методов. В частности, программа осуществляет покусочное сжатие информации с сохранением непрерывности в местах стыка. Основные положения, выносимые на защиту В работе исследуются специальные (смешанные и предельные) ряды по классическим полиномам Чебышева, ортогональным на равномерных сетках, и смешанные ряды по полиномам Якоби и Чебышева первого рода. Эти ряды возникли как аппарат приближения гладких и аналитических функций, альтер нативный рядам Фурье по тем же полиномам. Преимуществом по сравнению с рядами Фурье по тем же полиномам заключается в том, что частичные суммы специальных рядов обладают свойством «прилипания» на концах области ортогональности рассматриваемой системы полиномов. Это свойство заключается в том, что в окрестностях концевых точек данные частичные суммы приближают исходную функцию лучше, чем на всем промежутке ортогональности. Частичные суммы рядов Фурье по ортогональным полиномам этим свойством не обладают.
Аппроксимативные свойства двумерного предельного ряда
В ряде теоретических и прикладных областей возникают задачи об одновременном приближении функции f(x) и нескольких ее производных f {x)) f"{x))... f(k\x) посредством выбранной приближающей функции S(x) и соответствующих производных S (x), Sff(x),... S(k\x). Задача об одновременном приближении функций и их производных вызывает интерес исследователей не только сама по себе, но и в связи с различными прикладными вопросами. В качестве примера мы отметим, например, линейную систему, у которой выходной сигнал / = f(x) и входной сигнал д = д(х) связаны между собой равенством г—1 S рг\х) = У av{x)pv\x) + У Ьц(х)д (х), г/=0 ц=0 где неизвестные переменные коэффициенты v() ( = 0,..., — 1) и () ( = 0,..., ) представляют собой алгебраические полиномы заданной степени , а заданные функции = () и = () непрерывно дифференцируемы на [—1,1], соответственно, раз и раз. Ставится задача найти неизвестные переменные коэффициенты v{) { = 0,..., — 1) и () { = 0,..., ) экспериментальным путем. Такую задачу часто называют идентификацией параметров системы. Методы и подходы к решению этой задачи существенно зависят от того, что именно мы знаем о входном и выходном сигналах = () и = (). Основной (и наиболее трудный) вопрос, который возникает при решении поставленной задачи, заключается в том, чтобы в заданной точке Є [—1,1] одновременно найти численные значения производных {v\). Эта задача, в свою очередь, приводит к промежуточной проблеме об одновременном приближении заданной функции () и нескольких ее производных {), "{),... (k\) посредством выбранной приближающей функции () и соответствующих производных (), "(),... (k\). Задача об одновременном приближении функций и их производных часто возникает также, когда требуется решить дифференциальное уравнение приближенными численно-аналитическими методами.
Настоящая глава посвящена исследованию вопросам сходимости и аппроксимативных свойств смешанных рядов по классическими ортогональным полиномам Якоби {), введенных впервые в работах Шарапудинова И.И. Эти ряды введены и исследованы в работах [2,3,23-25]. Смешанные ряды по классическим ортогональным полиномам Якоби, Лагерра и их дискретным аналогам возникли как аппарат одновременного приближения дифференцируемых функций и их производных (конечных разностей). Это связано с тем обстоятельством, что производная сумм Фурье ,(,) по полиномам Якоби сильно растут вместе с , когда точка расположена в произвольно малых окрестностях точек точек 1 и -1. Дело в том, что для производной полинома ,() справедливо равенство
Из-за этого сходимость частичных сумм Фурье-Якоби [S (f x)( к соответствующей производной f \x) при п -+ ос существенно замедляется, когда точка х близка к одному из концов отрезка [—1,1]. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Для этого нам понадобятся некоторые обозначения: р(х) = (1 — х){1 + х)13, Ср -пространство измеримых функций / = f(x), заданных на [—1,1], для которых существует норма
Величина L (x), фигурирующая в последнем неравенстве, называется функцией Лебега сумм Фурье по полиномам Якоби. Отсюда возникает задача об оценке функции Лебега L/{x) при -1 х 1. Краткую историю, связанную с задачей исследования поведении функции Лебега Ь (х) и соответствующей константы
Отсюда следует, что сумма Фурье по полиномам Якоби S ,a(f, х) аппроксимирует / є WrH в ns+1/2 раз медленнее, чем полином pn(f) = pn{f, %) наименее уклоняющийся от / в метрике пространства С[—1,1]. Этот пример демонстрирует, что функция f(x), обладающая указанным свойством может обладать сколь угодно высокой гладкостью. Более того, можно построить пример аналитической на отрезке [-1,1] функции f(x), для которой также справедливо неравенство вида Еп( \ c(a)ns+1/2 для всех п 0. С этой целью рассмотрим производящую функцию для полиномов Якоби Р а{х) (см. [26]) Г (о; + 1) Г(п + 2а + 1) п 2\-а-1/2
Таким образом, указанные примеры убеждают нас в том, что суммы Фурье S%,a(f,x) с а —1/2 обладают плохими аппроксимативными свойствами не только для классов гладких функций, но и для классов аналитических функций. Подводя итоги, можно отметить, что суммы Фурье S (f,x) по полиномам Якоби Р (х) достаточно часто дают неудовлетворительные результаты, при использовании их в качестве аппарата приближения функции / Є С[-1,1], даже если / является аналитической функцией на отрезке [-1,1], так как в отдельных случаях может оказаться так, что S (f, х) аппроксимирует / в ns+1/2 раз медленнее, чем многочлен наилучшего отклонения pn(f). Указанные выше отрицательные свойства (аппроксимативные) проявляются, если предпринимать попытку использовать суммы Фурье-Якоби %,l3(, ) для одновременного приближения функции () самой частичной суммой -1/2, то суммы Фурье r +r{ r,), как правило, приближают функцию Є [-1,1], вообще говоря, в ()s+r+1/2 раз медленнее (при — оо), чем наименьшее возможное приближение т() функции Є [-1,1] посредством алгебраических полиномов степени . В этом смысле не является исключением и наиболее часто применяемый на практике случай одновременного приближения функции () самой частич 1 1 ной суммой -n 2 2 (, ), а производные г\) ( = 1,2,...) производными 1 \ \Т) - 1 1
Смешанные ряды по полиномам 0,0(,)
Таким образом, (Sn(f,x)y аппроксимирует (еху на [—1,1] в п" - раз медленнее, чем Sn-V(f,x), а степень полинома Sn-V(f,x) равна степени полинома (Sn(f,x)y . Мы продемонстрировали на совсем простом примере тот факт, что суммы Фурье-Якоби не дают нам удовлетворительные результаты, если их использовать в качестве аппарата для решения задачи одновременного приближения дифференцируемых функций и их производных. Это связано с тем фактом, что в окрестности точки 1 ортонормированный многочлен Якоби {/г +г/3+г} 1/2РЇ +Г"б+Г(ж) растет вместе с к со скоростью, равной (по порядку) та+г+1/2 и, как следствие, это вызывает такой же рост константы Лебега La+r,a+r сумм Фурье-Якоби при 771 -+ ОС. Это привело к идее найти альтернативный применению сумм Фурье-Якоби путь для решения задачи одновременного приближения функций и их производных. Поиск решения такого пути привел к, так называемым, смешанным рядам классическим многочленам Якоби. В основе конструкции смешанных рядов лежит (см. [2,3,23-25]) формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме и разложение в ряд Фурье-Якоби r-той производной fr(x) с последующей подстановкой в формулу Тейлора вместо /(г)(ж) ее разложение в указанный ряд Фурье-Якоби . Это дает конструкцию нового ряда, в котором общий член имеет вид fr,kPk r г(х), где fr-:k (к = 0,1,...) - коэффициенты Фурье-Якоби функции /М(ж) по полиномам Якоби Р (х). Следует сразу отметить, что полиномы Якоби вида Р г г(х) (к = 0,1,...), участвующие в конструкции смешанного ряда, обладают весьма удобными для решения задачи одновременного приближения функций и их производных свойствами (асимптотическими и дифференциальными). Это и делают смешанные ряды удобным инструментом решения этой задачи.
Отметим здесь также, другую задачу, которая возникает в различных прикладных областях, для решения которой также успешно могут быть использованы смешанные ряды по полиномам Якоби. Речь идет о приближении кусочно-гладких функций алгебраическими полиномами. Пусть функция f(x) определена на «длинном» отрезке [а, Ь], и аналитична на частичных отрезках [ 2j, 2j+i] (j = 0,... к) (кусочно-аналитична), где а = ао a,i a,k a k+i = b. Ясно, что для решения этой задачи требуется построить косочно-полиномиальную аппроксимирующую функцию (полиномиальный сплайн), сохраняющую гладкость исходной функции на всем отрезке [а, Ь]. Числен-ные(компьтерные) эксперименты, проведенные автором показывают, что при решении этой задачи успешно могут быть использованы, например, частичные суммы смешанного ряда по полиномам Лежандра.
Как уже отмечалось, смешанный ряд по полиномам Якоби появляется как результат r-кратного применения интегрирования по частям остаточного члена формулы Тейлора, в которую вместо г- той производной функции / подставлен ряд Фурье-Якоби этой производной. Преобразования, ко торые возникают в результате указанного интегрирования по частям, основываются на дифференциальных и разностных полиномов Якоби Р -г (х) с «,/J -1 иг- натурально. Существенно используются также и свойство ортогональности полиномов Якоби Р (х) при а,(3 -1. Другими словами, при конструировании смешанных рядов используется вес арсенал известных дифференциально-разностных свойств общих полиномов Якоби Р (х) с произвольными действительными г/, 7 и свойств полиномов Р (х), вытекающие из их ортогональности при а, (3 -1. Это обстоятельство благоприятствует тому, что частичные суммы суммы смешанных рядов является весьма привлекательным инструментом для решения различных прикладных задач, включая задачу об одновременном приближении дифференцируемых функций и их производных.
В последние годы интенсивное развитие получила (см., например, [5-10] и цитированную там литературу) теория полиномов, ортогональных относительно различных скалярных произведений соболевского типа (полиномы, ортогональные по Соболеву). Скалярные произведения соболевского типа характеризуются тем, что они включают в себя слагаемые, которые «контролируют» поведение соответствующих ортогональных полиномов на границе области ортогональности. Например, в некоторых случаях оказывается так, что полиномы, ортогональные по Соболеву на отрезке [а, Ь], могут иметь нули, совпадающие с одним или с обоими концами этого отрезка. Это обстоятельство имеет важное значение для некоторых приложений, в которых требуется, чтобы значения частичных сумм ряда Фурье функции f(x) по рассматриваемой системе ортогональных полиномов совпали в концах отрезка [а, Ь] со значениями f(a) и /(&). Заметим, что обычные ортогональные с положительным на [а, Ь] весом полиномы этим важным свойством не обладают. С другой стороны, как уже отмечалось, введенные и исследованные что в работах [2,3,23-25] смешанные ряды по классическим ортогональным полиномам, в отдельных случаях обладают также тем свойством, что их частичные суммы в концах области ортогональности совпадают со значениями исходной функции. В [2,3,23-25] были подробно исследованы аппроксимативные свойства смешанных рядов для функций из различных функциональных пространств и классов. В частности, было показано, что частичные суммы смешанных рядов по классическим ортогональным полиномами, в отличие от сумм Фурье по этим же полиномам, успешно могут быть использованы в задачах, в которых требуется одновременно приближать дифференцируемую функцию и ее несколько производных. Кроме того отметим, что в тех случаях, когда для целого г 1 классические полиномы Якоби Р -г -г(х) образуют ортогональную систему в смысле Соболева, ряды Фурье-Соболева по этим системам являются частным случаем смешанных рядов по соответствующим полиномам Якоби. Это, в свою очередь, позволяет применить к исследованию аппроксимативных свойств рядов Фурье по полиномам Якоби-Соболева методы и подходы, разработанные в работах [2,3,23-25] ранее для решения аналогичной задачи для смешанных рядов по полиномам Якоби. При этом отметим, что в работах [2,3,23-25] основное внимание уделялось исследованию сходимости и аппроксимативных свойств смешанных рядов по ультрасферическим полиномам Якоби Р а(х).
Настоящая глава посвящена исследованию сходимости смешанных рядов по общим полиномам Якоби Р (х) для функций из весовых пространств Соболева (теорема 3.4.1) и аппроксимативных свойств частичных сумм смешанных рядов по полиномам Чебышева первого рода (случай а = (3 = -1/2) их дискретизаций для аналитических функций. Дискретизация осуществляется с помощью квадратурных формул с узлами в точках L = cos (7 = 0,1,..., N), являющимися точками экстремума полинома Чебышева Т/у (ж). Такие квадратурные формулы используются для приближения интегралов, определяющих в смешанном ряде по полиномам Чебышева Тк(х) коэффициенты Фурье-Чебышева fr.k r-й производной функции f(x) с индексами к 2N - 1. Такой способ приближения интегралов дает возможность использовать быстрое преобразование Фурье для численной реализации дискретных смешанных рядов по полиномам Тк(х). Одновременно появляется новая проблема, которая состоит в необходимости исследования вопроса о том, каковы аппроксимативные свойства операторов, полученных в результате предпринятой дискретизации. В частности, возникает вопрос о том, в какой мере сохранится после дискретизации важнейшее свойство частичных сумм смешанного ряда по полиномам Чебышева первого рода, заключающемся в том они обеспечивают весьма эффективный способ одновременного приближения функции и несколько ее производных. Полученные в настоящей главе результаты позволяют утверди тельно ответить на поставленный вопрос. Основные из них сформулированы ниже в разделах 3.8 (теорема 3.8.1) и 3.9 (оценка (3.9.15)).
О сходимости смешанных рядов по полиномам Якоби
Таким образом, с помощью равенства (3.7.28) мы можем исследовать задачу о приближении функций операторами У-у?/{f), сводя ее к задаче о приближении функций операторами У-Щ{/) и к вопросу об исследовании поведения величины ДГГ)П,лг(/,ж). Отметим, что задача о приближении функций из различных функциональных классов подробно рассмотрена в работе [3], поэтому нам остается сосредоточить свои усилия на исследовании второй из указанных проблем. Мы ограничимся к тому же рассмотрением этой задачи для аналитических функций, заданных на [-1.1].
Мы определим здесь класс аналитических функций q() следующим образом. Для 0 1 обозначим через Sq эллипс с фокусами в точках -1 и 1, сумма полуосей которого равна 1/. Пусть q() означает множество аналитических в эллипсе Sq функций = (), которые принимают действительные значения когда Є [—1,1] и удовлетворяют неравенству \()\ при Є Sq. Если Є q(), то для коэффициентов Фурье-Чебышева к() имеет место (см. [29] (п. 3.7.3)) неравенство
Поскольку эти оценки доказываются по одной и то же схеме, то мы здесь ограничимся доказательством второго из сформулированных утверждений . Из (3.7.27) и (3.8.3) с учетом леммы 8.3 имеем:
Справедливость этой оценки непосредственно вытекает из лемм 8.7 и 8.4. Сопоставляя лемму 8.6 с леммой 8.8, выводим, наконец, справедливость следующего утверждения. величины( коэффициенты) ak,N{f), определены равенствами (3.7.5). Для приближенного вычисления коэффициентов akjN{f) может быть использовано быстрое дискретное преобразование Фурье. Однако для полного вычисления значений полинома Уп+2г,м(/, х) нужно еще уметь вычислять коэффициенты ak,N (f{r) ) (n-r + l k k + r), заданные равенствами (3.7.6). Остановимся вкратце на этой проблеме. Рассматривается способ, который позволяет приближенно найти эти значения коэффициентов, использующий дискретную информацию (3.9.1). Мы выведем также оценку погрешности этого метода. Наш метод основан на равенстве (7.13), справедливом для х Є QN = {cos fWn. Если мы продифференцируем это равенство г раз, то придем к следующим приближенным равенствам:
Мы, тем самым, получили необходимую оценку погрешности, проистекающую от того, что величин / (tj1) были заменены на их приближенные значения S N(f,tj[) (j = О,..., TV). Полученную оценку можно использовать для получения оценки ошибки, вызванной заменой в (3.7.6) производных
В диссертации проводятся исследования аппроксимативных свойств некоторых специальных рядов по классическим полиномам Чебышева, ортогональными на равномерной сетке, и по полиномами Якоби. Эти ряды были введены в работах Шарапудинова И.И. в как альтернативный рядам Фурье по классическим ортогональным полиномам аппарат приближения непрерывных и дискретных функций. Необходимость в использовании такого аппарата возникает при решении линейных и нелинейных дифференциальных уравнений численно-аналитическими методами, решении задач идентификации параметров линейных систем обработки временных рядов и изображений и в других задачах.
В первой главе диссертации исследуются одномерные и двумерные предельные ряды по полиномам Чебышева, ортогональным на равномерной сетке. Исследованы аппроксимативные свойства этих рядов, в частности показано, что частичная сумма этого ряда вида является проектором на пространство алгебраических полиномов степени n, и кроме того показано, что -, 1(,) в концевых точках = 0, = - 1 совпадает с исходной функцией, т.е.
Лебега частичных сумм -, 1(,) которые показывают, что они обладают весьма привлекательными аппроксимативными свойствами. Также в первой главе проводятся исследования двумерноых аналогов предельных рядов и исследованы аппроксимативные свойства их частичных сумм.
114
Вторая глава диссертации посвящена исследованию аппроксимативных свойств частичных сумм смешанных рядов по полиномам Чебышева, ортогональным на равномерной сетке. Получена неулучшаемая по порядку оценка функции Лебега указанных частичных сумм. Полученные в этой главе результаты показывают, что частичные суммы смешанных рядов по полиномам Чебышева, ортогональным на равномерной сетке могут быть использованы для приближения дискретных функций.
В третьей главе рассмотрены смешанные ряды по полиномам Якоби ,(), которые представляют собой непрерывный аналог полиномов Чебы-шева ,(,). Исследованы аппроксимативные свойства этих рядов, найдены достаточные условия, которые обеспечивают поточечную и равномерную сходимость смешанных рядов по полиномам Якоби к исходной функции. Отдельно рассмотрена задача об аппроксимативных свойствах смешанных рядов по полиномам Чебышева первого рода. Также рассмотрена задача о дискретизации частичных сумм смешанного ряда по полиномам Чебышева первого рода. Исследованы аппроксимативные свойства дискретизованных частичных сумм на классах аналитических функций. Полученные результаты могут быть использованы при решении задачи приближения кусочно-гладких и кусочно-аналитических функций.
В заключении автор выражает признательность научному руководителю А.-Р.К. Рамазанову, а также И.И. Шарапудинову и А. М. Магомедову за консультации и помощь в написании работы.