Введение к работе
Актуальность темы . Аппроксимации со знакочувствительным весом, вообще говоря, разрывным и вырождающимся, рассмотрены п работах Е.П.Долженко и Е.А.Севастьянова 90-х годов. В частности '. для этих аппроксимаций ими изучены вопросы существования, единственности и устойчивости элемента наилучшего приближения.
Знакочувствительным весом на отрезке Д = [а, Ь] С (—со, со) называется упорядоченная пара р(г) = (р_(х),р+(г)) однозначных неотрицательных функций Р-{х) и р+(я), определенных на отрезке А.
Вес р[х) = (р-(х),р+(х)) называется 2гг-периодическим, непрерывным, полунепрерывным, ограниченным или невырожденным (т.е. строго положительным), если таковыми являются обе его компонентыр_(.г) ир+(х).
Для заданных на Д функции f(x) и веса р(х) = (р_(х),р+(г)) положим (/,p)(r) = f+(x)p+{x) - f~(x)p_(x), где, как обычно, считаем f+(x) = max{/(x),0}, f~{x) = (-f(x))+, и величину
\f\P = \f\P,*=sup{\(f,p)(x)\:xe&}
назовем р-нормой функции f{x) по отрезку Д (для 27г-периодических функций f{x), р-(х) и р+(х) супремум можно брать по любому отрезку длины периода 2л-).
]Долженко Е.П., Севастьянов Е.А. Зн&кочувствительные аппроксимации. Пространство знако-чувствительных весов. Жесткость и свобода системы// Докл.АН.-1993.-Т.332.- N 6.- С.68(5-689.
Долженхо Е.П..Севастьянов Е.А. Знакочувствительные аппроксимации. Вопросы единственности и устойчивости// Докл.АН.-1993.-Т.ЗЗЗ.- N 1.- С.5-7.
Вообще говоря, | - /|р,д ф |/|р,д, но р-норма |/|р,д является сублинейным (неотрицательным, выпуклым и положительно однородным) функционалом на множестве всех ограниченных на Д функций /(.с): в частности, при р_(х) = р+{х) = 1 (х Є Д) р-норма |/|р,д совпадает с обычной супремум-нормой Ц/11 = ||/||д = sup{|/(x)| : х Є Д}-
Сублинейные функционалы D(f), для которых D(f) = 0 лишь при / = 0, в качестве масштабных функций выпуклых тел конечномерного пространства ввел Г.Минковский и называются функционалами Минковского. Функционалы Минковского в качестве несимметричных {ip+,if-)-норм рассматривали М.Г.Крейн и А.А.Нудельман 2. Эти нормы соответствуют случаю р-нормы относительно знакочувствитель-ного веса р(х) = (р_(х),р+(х)) с непрерывными и строго положительными на Д функциями р-(х) и р+(х). Отметим также , что в работах В. Ф. Бабенко и И. Э. Симоновой, Б. В. Симонова изучен вопрос-существования полинома наилучшего приближения для пространств суммируемых функций с несимметричной нормой относительно знако-чувствительного веса со строго положительными компонентами веса.
Аппроксимации с непрерывным невырожденным знакочувствнтсль-ным весом принципиально мало чем отличаются от обычных аппроксимаций с положительным непрерывным весом, тогда как в случае разрывных знакочувствительных весов или в случае, когда допускается обращение в нуль их компонент (т.е. вес вырождается) на подмножествах рассматриваемого отрезка Д, многие вопросы теории приближения являются более трудными, чем в классическом случае непрерывных положительных весов, и имеют уже нестандартные ответы.
В главе 1 получены прямые и обратные теоремы теории приближения полиномами в р-норме относительно непрерывного знакочув-ствктельного весар(х) = (р_(х),р+(х)), причем модуль непрерывности приближаемой функции в них определяется как обычно, именно относительно той нормы приращения этой функции, в которой рассматривается приближение , т.е. относительно р-нормы, а в обратных, теоремах применяется обобщение на р-нормы неравенства С.Н.Бернштейна об оценке нормы производной полинома.
В этой главе для рациональных приближений получен аналог обратной теоремы об оценке вариации функции через ее наименьшие рациональные уклонения; доказательство этой теоремы основано на обобще-
Крейи М.Г.,Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи -М Наука, 1973.-552 с.
ний неравенства Б.П.Долженко о вариации рациональной функции на знакочувствительные веса.
В случае ограниченного (разрывного) веса р(х) = (р^(х),р+(х)) вопрос о принципиальной возможности сколь угодно точного приближения ограниченных функций полиномами в р-норме становится очень сложным. В главе 2 для его решения использована теорема о разделении полунепрерывных функций с помощью непрерывных и получены необходимые и достаточные условия полиномиальной аппроксимируемости ограниченных функций в р-норме.
Для оценки наименьших полиномиальных уклонений в этом случае вводится новое обобщение модуля непрерывности, в терминах которого и формулируются прямые и обратные теоремы теории приближения в р-норме относительно ограниченного знакочувствительного веса. Для доказательства прямых теорем построены операторы сглаживания ограниченных функций в р-иорме, а обратные теоремы получены через введенную Е. П. Долженко и Е. А. Севастьяновым характеристику системы "Ограниченный знакочувствительный вес — Семейство тригонометрических полиномов порядка не выше п" - свободу W(p, т) этой системы. Для оценки W(p, т) получены неравенства типа С.Б.Стечкина и П.Л.Ульянова 3 об оценке нормы полинома по отрезку через его норму по подмножествам этого отрезка.
В главе 3 введено скалярное произведение со знакочувствительным весом (которое оказывается, вообще говоря, несимметричным ) и построены ортогональные справа и ортогональные слева системы полиномов. Здесь же изучены некоторые общие свойства рядов Фурье по таким системам, рассмотрены свойства нулей несимметрично ортогональных полиномов и построены квадратурные формулы типа Гаусса.
В главе 4 выделены классы непрерывных на отрезке действитель-" ных функций, для которых имеет место простое по форме соотношение типа слабой эквивалентности между наилучшими рациональными приближениями в равномерной метрике и в более "жесткой" метрике, порожденной Ф-вариациями. Для полиномиальных приближений аналогичная связь установлена через прямой аналог теоремы Джексона в метрике Ф-вариаций. Оценки равномерных рациональных аппроксимаций функций из' этих классов получены в работах А. П. Буланова. В. Попова и П.Петрушева, А. А. Пекарского и др.
Ниже непрерывные, возрастающие и выпуклые вниз на [0, со) функ-
3Стечкин СБ.,Ульянов П.Л. Подпоследовательности сходимости рядов// .
ции Ф(и) с Ф(0) = 0 назовем допустимыми. Для них Ф-вариация по Л.Юнг функции f(x) на отрезке Д = [а,Ь] определяется равенством
V«(/, A) = sup Ф(|/(х<) - /(яя-і)|), »=i
где супремум берется по всем конечным разбиениям a = xq < х\ < ...< хт = Ь, т = 1,2,..., и она обобщает р-вариацию Винера (случай Ф(и) = ир,р > 1) и жорданову вариацию (случай Ф(и) = и). Говорят, что / ё V* = К«[о,6], если У$(/, [о, 6]) < со, и / Є V = V[a,6], если tf Є V$ при некотором t = (/) > 0. В V$ вводится норма 4
H/lkv = ||/||*v,[Mi = inf# > 0 : V*(f/t, [a,b]) < 1}
и считается /і = Д, если Д(ж) — /2(2;) = const (ж Є [о,Ь]).
Следуя Е.П.Долженко, промодулем Ф-абсолютной непрерывности функции f Уф назовем величину V$(<5, /, [а, Ь]), которая при 6 > 0 совпадает с выражением для V$(/, Д), если там супремум берется при дополнительном ограничении Х{ — Xj_i < J (г = 1,2,..., т)\ а модулем Ф-абсолютной непрерывности функции / Є V$ назовем
W«(«, /) = И^Д [а, Ц) = Ы{1 > 0 : ВД //*, [а, 6]) < 1}.
Величина Wi(5,f) была введена Б.И.Голубовым 5, а при Ф{и) = ир (р > 1) - Л.Юнг, и в этом случае систематически использовали в своих работах А. П. Терехин , С. С. Волосивец.
Функцию f(x),x Є [а,Ь], назовем Ф-абсолютно непрерывной, если V*(&> /1 [о, Ь]) —> 0 при 6 -> 0. Это определение эквивалентно обычному определению Ф-абсолютной непрерывности при Ф(и) = о(и) (и -> 0). Пусть Ф(и) - допустимая функция с Ф(и) = о(и) (и -4 0), Возьмем возрастающий модуль непрерывности W(6) и модуль непрерывности ш(6) с и>(и)/Ф~1(и) 4- 0 при и 4- 0 и для М > 0 рассмотрим классы
#иг = {/ є v;[o, 1] : ИЪ(*, /) < W{6), \\f\\w < М}, Ни = {/ С[0,1] «(/,*) < w(«), 1/(^)1 < М, z Є [0,1]}.
Так как тогда для любой функции / Є Ни выполняется неравенство W«(i$, /) < ш(5)/Ф-1((5) (5 > 0), то по критерию Б.И.Голубова оба класса Kw и Ни будут компактными в V$[Q, 1]. В главе 4 дается оценка
4Musielak J., Orlicz W. On generalized variations// Studia Math.-1959.-T.18.-P.ll-41. Голубов Б. И. Критерии компактности множеств в пространствах функций ограниченной обобщенной вариации//Изв. АН 3.- С.409-416.
г-энтропии этих классов относительно метрики Ф-вариаций. Основные определения, методы и результаты по исследованию е-энтропии различных классов функций можно найти в работах А.Н.Колмогорова и В.М.Тихомирова 6, А.Г.Витушкина , Г.Лоренца и др.
Пусть функция Ф(и) возрастает, непрерывна и выпукла вниз на [О, со), причем Ф{и)/и -> 0 при и -» 0 и Ф(и)/и -) со при и -+ со. Тогда существует дополнительная к Ф(гі) в смысле Л.Юнг функция Ф(и) = max{w — Ф(и) : v > 0},и > 0. При Д = [а,Ь] С (-со, со) пространство Орлича i|(A) относительно функции Ф(и) состоит из измеримых по Лебегу на Д функций и(х) с конечной нормой
1М|ф,д = supll f u{x)v{x) dx\: / Ф(|г>(х)|) cfo < 1 j .
В главе 5 установлено соотношение типа слабой эквивалентности для наименьших рациональных уклонений функции signx в метрике этого пространства (интегральной $-метрике Орлича). Эта функция, как известно, играет чрезвычайно важную роль в теории приближения функций.Приближению функции sign ж посредством рациональных функций в равномерной (на симметричной паре отрезков) и интегральной метриках посвящены работы Е. И. Золотарева, Н. И. Ахи-езера, Д. Ньюмена, А. А. Гончара, А. П. Буланова, Н. С. Вячеславова, С. А. Агаханова и Н. Ш. Загирова и др. В главе 5 получены также точные по порядку оценки наилучших рациональных приближений в іф-метрике Орлича для класса функций конечной жордановой вариации. Эти оценки носят достаточно общий характер, так как стандартными методами распространяются на все ограниченные измеримые функции . Они же решают для указанного класса задачу о непрерывной шкале скоростей наименьших рациональных уклонений, соединяющей интегральные метрики с равномерной; в случае степенных функций Ф(и) = ир, как показано А. А. Пекарским, для всехр > 1 соответствующая скорость наименьших рациональных уклонений степени п одна и та же по порядку при п —> со (и равна 1/п).
Цель работы. Получить прямые и обратные теоремы теории приближения полиномами и рациональными функциями со знакочувстви-тельным весом. Построить полиномы, ортогональные со знакочувстви-тельным весом, и изучить их общие свойства. Получить прямые теоремы теории приближения функций в метриках Орлича - в метрике
Колмогоров А.Н,,Тихомиров В.М. е-энтропия и «-емкость множеств в функциональных пространствах//УМН.-1959.-Т.14.-Ы 2.-С.З-86.
Ф-вариаций и в интегральной Ьф-метрике.
Научная новизна. Получены прямые и обратные теоремы теории приближения полиномами и рациональными функциями со знако-чувствительным весом - в развитие этого нового направления теории приближения функций. Найдены необходимые и достаточные условия полиномиальной аппроксимируемости ограниченных функций относительно ограниченного знакочувствительного веса. Особенность рассматриваемых вопросов состоит в том, что из-за разрывности и/или обращения в нуль компонент веса они имеют нестандартные ответы. Получены точные неравенства - типа С.Н.Бернштейна об оценке р-нормы производной полинома, типа С.Б.Стечкина и П.Л.Ульянова об оценке нормы полинома на отрезке через его норму на подмножествах этого отрезка; неравенство Е.П.Долженко об оценке вариации рациональной функции обобщено на знакочувствительные веса.
Построены ортогональные справа и ортогональные слева со знако-чувствительным весом полиномы и изучены их общие свойства.
Получен также ряд новых прямых теорем теории приближения полиномами и рациональными функциями в метриках Орлича, оценки в которых являются точными по порядку. При этом выделены классы функций, для которых вопрос о скорости сходимости рациональных аппроксимаций в метрике Ф-вариаций сводится к случаю менее "жесткой" равномерной метрики. В случае интегральной Ьф-метрики дана оценка типа слабой эквивалентности для наименьших рациональных уклонений функции sign г.
Практическая ценность. Результаты диссертации могут найти применение в теории аппроксимаций, теории экстремальных задач и прикладной математике.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научной конференции по теории функций в г.Одессе (1991), на Саратовских зимних школах по теории функций и приближений (1992, 1994, 1998), на Воронежских зимних школах по современным проблемам теории функций (1993,1995,1997), на Всероссийской научной конференции по теории дробно-рациональных приближений (Махачкала, 1991), на Всероссийской конференции по нелинейному анализу (Махач-кала,1992), на Всероссийской конференции по конструктивной теории функций (Махачкала, 1994), на научных конференциях по алгебре и анализу в г.Казани (1994, 1997), на Международной конференции, посвященной 90-петию акад. С.М.Никольского (Москва, 1995), на Меж-
дународной конференции по теории приближения функций в г.Калуге (1996), на семинарах МГУ под руководством проф. Е.П.Долженко.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разделенных на 28 параграфов, и списка литературы, состоящего из 107 наименований. Общий объем диссертации 207 страниц.