Полиномиальные приближения на подмножествах комплексных эллиптических кривых Хаустов Александр Викторович

Содержание к диссертации

Введение

2 Прямая теорема 16

2.1 Постановка задачи 16

2.2 Описание классов областей 18

2.3 Описание классов функций 20

2.4 Семейство функций, описывающих скорость приближения 22

2.5 Построение приближающих функций 24

2.6 Оценка приближения 29

3 Обратная теорема 33

3.1 Формулировки результатов 33

3.2 Предварительные результаты 34

3.3 Поведение полиномов от Ур,^ вблизи угловых точек параллелограмма периодов 40

3.4 Неравенство типа Бернштейна 43

3.5 Доказательство основной теоремы 48

3.6 Замечание о полиномах от ф,^Р' 54

Приложение

• Описание классов областей
• Построение приближающих функций
• Поведение полиномов от Ур,^ вблизи угловых точек параллелограмма периодов
• Доказательство основной теоремы

Введение к работе

Актуальность работы. Поскольку в настоящее время достаточно подробно разработана теория приближения аналитическими полиномами на подмножествах комплексной плоскости и поскольку эта теория оказалась важной в некоторых смежных вопросах анализа, представляется обоснованным распространить эту теорию на новую ситуацию, связанную одновременно как с многомерным комплексным анализом, такисдвоякопериодическимифункциями. Поэтому тема диссертации, связанная с полиномиальными приближениями на подмножествах комплексных эллиптических кривых является актуальной.

Цель работы. Целью диссертации является получение конструктивного описания классов Гельдера на подмножествах комплексных эллиптических кривых в терминах полиномиальных приближений.

Методика исследований. Применяются новые способы приближения, построенные для двоякопериодических функций, и классические методы полиномиальных приближений на подмножествах комплексной плоскости.

Научная новизна и значимость работы. Все результаты работы являются новыми. Возможность конструктивного описания может быть полезной при изучении свойств классов Гельдера на подмножествах комплексных эллиптических кривых.

Практическая значимость работы определяется местом теории аппроксимации в математическом анализе. У результатов диссертации есть все возможные приложения, реализованные для аналогичных теорем о приближениях на подмножествах комплексной плоскости.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по математическому анализу в Санкт-Петербургском отделении Математического Института РАН им. ВА Стеклова.

Публикации. По теме диссертации опубликована одна печатная

работа [1] и одна работа принята к газдатиД?!»

³ _{I ffVffl}

Структура и объем работы. Диссертационная работа, объемом 61 страница, состоит из трех глав, разбитых на 14 параграфов, приложения и списка литературы, содержащего 15 наименований.

Описание классов областей

Пусть D — односвязная область на комплексной плоскости. Классом #а()) называется множество функций, аналитических в D и удовлетворяющих в D условию Гельдера порядка а: В теории аппроксимации известны описания класса Ha(D) в терминах скорости приближения функций этой класса полиномами Pn(z), deg Рп щ класса На([—ш, ш]), О w тг, в терминах скорости приближения тригонометрическими полиномами И В данной работе исследуется вопрос о возможности описания класса Ha(D), 0 а 1 в терминах скорости приближения двоякопериодическими функциями. Ограничения на рассматриваемые области D будут сформулированы в п.2. Исходная задача допускает интерпретацию в терминах приближений на комплексных эллиптических кривых. Пусть ші,Ш2 Є С; Іш 2 0. Пусть Положим также шз = и\ 4- ш2 и пусть їр — классическая функция Вейерштрасса с периодами 2wi,2w 2, а именно, по определению полагаем Параллелограмм Q в этом случае называется параллелограммом периодов функции ф. Напомним здесь некоторые свойства функции Вейерштрасса ф (см., например, [!]) 1. $ ?($ R — двоякопериодические функции с периодами 2wi,2w2; 2. їр — четная функция, 3 — нечетная функция; 3. функции ф, аналитичны везде в параллелограмме периодов за исключением точки z = 0, являющейся полюсом порядка 2 функции 3 и полюсом порядка 3 функции 3 4. нулями функции Р являются точки и\,и}2,(л}з; вообще, в соответствии с теоремой Лиувилля, при произвольном А Є С количество А-точек двоякопериоди-ческой функции, подсчитанное с учетом кратности, совпадает с количеством полюсов, также с учетом кратности 5. функция ЦІ удовлетворяет дифференциальному уравнению Отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие параллелограмма Q с комплексной эллиптической кривой Е С С2, задаваемой соотношением где д2, 9г фигурируют в (7). Для G С Е под G0 будем понимать множество точек (Со, wo) Є G, для которых {(С,ш) : С — Со П, w UJO 2} ncG при некоторых гг, гг При отображении Т множество D С bit Q переходит в некоторое связное множество G С Е, класс Ha(D) — в естественно определяемый (см. п. 3) класс Ha{G) функций, аналитических в G0 и удовлетворяющих в G условию Гельдера порядка а, а семейство функций Pntty(z), їр (г)) переходит в семейство полиномов in (С Ш) на эллиптической кривой. Тем самым поставленная задача переформулируется в вопрос о возможности описания класса Ha(G) в терминах скорости приближения полиномами на эллиптической кривой. Определение.

Будем говорить, что две величины А, В соизмеримы и писать А х В, если найдутся такие постоянные с\, С2, что выполнены неравенства с\А В счА. Постоянные ci,C2 будем называть постоянными соизмеримости. Определение. Односвязная область D называется областью Лаврентьева, если для произвольных точек si,S2 Є 9D справедливо соотношение \S\S2\ jsi — 521, причем постоянные соизмеримости зависят только от области D. Здесь s\$2 — крат-чайшая дуга ЭР между точками .si, S2 Пусть по-прежнему T(z) определено в (8) и область D такова, что D с IntQ. Справедлива Лемма 1. Пусть точки s!,s" Є 3D, T(s ) = (CV), T{s") = (C ,w"), }s s"\ l o(D), где IQ(D) — некоторая постоянная, зависящая от области D, но не от точек s!, а". Тогда \s - a"\ х \T(sf) - T{a")\. Доказательство. Заметим, что граница области D лежит вне некоторой окрестности начала координат, значит, везде в D имеем (їр ( Мі, \ "\ М%, откуда Обратно, выбирая постоянную IQ(D) достаточно малой, мы можем добиться того, чтобы отрезок [У, з"] лежал в некоторой области, где либо 3, либо ф однолистны, значит, либо j p l т.] 0, либо ф" Ш2 0. Рассматривая кривую Г ]5», являющуюся прообразом отрезка $3(/), ф(в")] при отображении функцией ф в первом случае, и прообразом отрезка $3 (.s ), p (s")] при отображении функцией ф во втором, получим

Построение приближающих функций

В этом параграфе мы опишем полиномы, для которых будет получена оценка скорости их приближения к искомой функции. Известна следующая теорема об одновременном приближении функции и ее производных Теорема 1 ([4], гл.9). Пусть на множестве Ш, где ЗЛ — область Лаврентьева, задана функция /, которая является непрерывной на SOT вместе со всеми производными до порядка г 0, аналитической в Ж и Рг Є Hf , где w(t) — модуль непрерывности первого порядка. Тогда, для произвольного т О и п г можно построить полином Pn{z) степени не выше п, так что одновременно при всех О р г во всех точках z Є 971 будут выполняться неравенства Следствие 1. Пусть Ш — односвязная область с кусочно-гладкой границей, причем в угловых точках границы внешние углы больше тг. Пусть функция / — аналитическая в ЯЯ, непрерывная в 9JT, а также /, / Яа(ПЛ), 0 а 1. Тогда для произвольного п можно построить полином Pn{z) степени не выше п так, что выполнены неравенства Доказательство. Для доказательства утверждения достаточно положить в теореме 1 г — 1, m = 0 и учесть что для множеств с кусочно-гладкой границей, внешние углы в угловых точках которой больше х, справедливо соотношение С помощью следствия 1 докажем утверждение о приближении функций симметричных относительно центра параллелограмма периодов. Справедлива Лемма 5. Пусть Qr — параллелограмм с центром в точке и?з м сторонами длины 2т\и\\, 2r\u)2\, 0 г 1. Пусть функция F аполитична в Qr, принадлежит классу Ha(Qr) вместе со своей производной и, кроме того, F(z) = F(2u)s — z) для произвольного z Є Qr. Тогда для произвольного п можно указать полином Qn, deg Qn п, такой, что Доказательство. Пусть КТ = $(Qr)- Каждая точка Кт имеет ровно 2 прообраза в Qr. Граница области Кг — кусочно-гладкая кривая с двумя угловыми точками, соответствуюпщм вершинам параллелограмма Qr, причем внешние углы в этих точках очевидно больше х. Применяя теорему о монодромии, можно указать такую аналитическую в Кг функцию Fb класса На(Кт), для которой также FQ Є Ha(Kr), что FQ( (Z)) = F(z). Применяя следствие 1 построим полином Яп{т) такой, что Заменяя т на $(%), получим требуемое утверждение. Пользуясь доказанной леммой, проведем некоторые дополнительные построения. Рассмотрим функцию F(z) = шг% и параллелограмм Qr, выбранный таким образом, что D С Qr. Применяя лемму 5, построим для F многочлен Qmo(z) степени то, где величина то будет определена ниже. Положим Функция s представляет собой полином от tp(z), ф (-г) степени то + 1-Покажем, что s однолистна. Имеем Выберем m,Q так, чтобы \s (z) — 1 \.

Если теперь s(z{) = 5( 2), то Будем приближать ядро Коши пь-зШ полиномами от s(r}), s(z). Известна следующая лемма (см. также приложение 1). Лемма 6 ([4], гл. 9, см. приложение). Пусть ЗЯ — область Лаврентьева. Пусть [і Є 501, /3 — ближайшая к fl точка на п полипомы Пп от двух переменных степени с п такие, что выполнены оценки: Перейдем теперь к построению приближающих функций. Пусть Ш = s(D). Так как функция s однолистна в Qr, то в силу леммы 4 ЯК является областью Лаврентьева. Из леммы б вытекает, что при 7 Є дШ, (З є 93Т, ядро Коши —jf-g может быть приближено полиномами П (7,/3), так что выполнены условия (10)-(12), n f (7,/3) непрерывна по 7- Теперь полагаем В силу того, что s — полином от ф, 3 степени mo +1, « является полиномом от 3, їр степени nf = con, где со = со( С). Займемся теперь собственно оценками скорости приближения с помощью построенных функций. Пусть z Є D, j3 = s(z), (3 - по-прежнему ближайшая к j3 точка на dWt, /3 — s(z). В силу (10), имеем (14) где Последнее неравенство получается буквально тем же использованием условия соизмеримости дуги с хордой, что и в [3] или в [4], гл. 9. Устремляя в (16) z к z и пользуясь леммой 4, найдем, что при z Є 3D выполнено соотношение Таким образом доказана следующая Теорема 2. Пусть множество G С Е С С2 удовлетворяет условиям п. 2. Тогда для всякой функции f Є Ha(G), 0 а 1, где класс Ha(G) определен в п. 3, найдутся полиномы Pn(,w)7 degP„ const -п такие, что при (C,w) Є 0G справедлива оцемка Учитывая результаты параграфов 2.2 и 2.3, убеждаемся, что справедлива также прямая теорема приближения функций на плоскости с помощью двоякопериодичес-ких функций: Теорема 3. Пусть D — область Лаврентьева, D С Int Q, где Q — параллелограмм периодов функции Вейерштрасса ty(z)} Г = 3D. Тогда для каждой функции / Є Ha(D) найдутся полиномы двух переменных Рп{(,,и ), dcgf const п такие, что при г Є Г справедлива оценка

Поведение полиномов от Ур,^ вблизи угловых точек параллелограмма периодов

Для доказательства теоремы 6 нам потребуются следующие леммы. Лемма 9 (П.М. Тамразов, [6]). Пусть задана ограниченная область Лаврентьева J С С Найдется постоянная Сд — C/\(J) такая, что для произвольных положительных постоянных к, а, Ь и для произвольной субгармонической в J функции h{z), удовлетворяющей неравенству справедливо неравенство Лемма 10. Пусть функция w(z) удовлетворяет условиям 1-3 на с40, многочлен Qn(Ciw) удовлетворяет условиям леммы 8. Существует постоянная Съ — C${D) такая, что для произвольной точки ZQ Є Г справедливо неравенство Доказательство. Фиксируем некоторую точку ZQ Є Г. 1. Рассмотрим сначала случай Q є D. В силу условий на полиномы qn и функцию w(z), имеем теперь лемму 9 для J D и субгармонической в J функции log 1 ( 3(0, р (С)) I - log (Сі w (zo)), заключаем, что справедливо неравенство на части окружности \z — о[ — г(-2о); лежащей в D. 2. Докажем искомое неравенство при є ( где множество ( определено в лемме 8, С — 2о = ГІ( О)- На границе множества ( справедливы неравенства QjTl + logC , ь&ЫШ),Ф(0)\ 1о5(С7і«;(го» + «і log (потребуются следующие леммы. Лемма 9 (П.М. Тамразов, [6]). Пусть задана ограниченная область Лаврентьева J С С Найдется постоянная Сд — C/\(J) такая, что для произвольных положительных постоянных к, а, Ь и для произвольной субгармонической в J функции h{z), удовлетворяющей неравенству справедливо неравенство Лемма 10. Пусть функция w(z) удовлетворяет условиям 1-3 на с40, многочлен Qn(Ciw) удовлетворяет условиям леммы 8. Существует постоянная Съ — C${D) такая, что для произвольной точки ZQ Є Г справедливо неравенство Доказательство. Фиксируем некоторую точку ZQ Є Г. 1. Рассмотрим сначала случай Q є D. В силу условий на полиномы qn и функцию w(z), имеем теперь лемму 9 для J D и субгармонической в J функции log 1 ( 3(0, р (С)) I - log (Сі w (zo)), заключаем, что справедливо неравенство на части окружности \z — о[ — г(-2о); лежащей в D. 2. Докажем искомое неравенство при є ( где множество ( определено в лемме 8, С — 2о = ГІ( О)- На границе множества ( справедливы неравенства QjTl + logC , ь&ЫШ),Ф(0)\ 1о5(С7і«;(го» + «і log ( + і) , (єГ дЯє\Г, Сз,С2 определены в лемме 8. Из условий на функцию w(z) вытекает, что значит, для некоторой постоянной CQ = CQ(D), Отсюда заключаем, что на границе области Qe Рассмотрим гармоническую в области IntQ функцию g{z) принимающую на ее границе следующие значения Тогда предыдущее неравенство можно записать в виде

Применяя еще раз лемму 9 для J = Qn субгармонической в J функции log дп(Ч?(С)) Ф СО)! - (( + ?б)" + bg С2) (С) - log(C]w(z0)) получим, что справедливо неравенство В силу рассуждений, аналогичных приведенным при доказательстве леммы 4 первой главы, справедливо соотношение значит, для некоторой постоянной CV — C D), Окончательно, (23) принимает вид где ( = Cg(Z?). Лемма доказана. Докажем теперь основной результат этого параграфа. Теорема 5\ Пусть D — область Лаврентьева, D С Int Q, Г = 3D. Пусть функция w(z) удовлетворяет условиям 1-3 на с.40. Для произвольного полинома двух переменных qn((,w)y deg fo п, для которого выполнено неравенство (24) справедливо таксисе неравенство Доказательство. Пользуясь леммой 10, оценим производную полинома qn для произвольного ZQ ЄГ С учетом замечания 2 на странице 41 из этой теоремы легко вытекает теорема б, сформулированная в п.3.1 . Используя результаты предыдущих параграфов докажем теперь основную теорему, сформулированную в п.3.1. В соответствии с теоремой Тамразова [7] достаточно доказать неравенство Для доказательства этого неравенства мы построим теперь некоторое разложение функции / в ряд. Для выбранных весов в области Лаврентьева D справедливы([7]) следующие неравенства Здесь CQ = C$(D), C\Q = G\Q{D), К2 = M(-D), «з = «з(Д)- Отсюда заключаем, что для + і) , (єГ дЯє\Г, Сз,С2 определены в лемме 8. Из условий на функцию w(z) вытекает, что значит, для некоторой постоянной CQ = CQ(D), Отсюда заключаем, что на границе области Qe Рассмотрим гармоническую в области IntQ функцию g{z) принимающую на ее границе следующие значения Тогда предыдущее неравенство можно записать в виде Применяя еще раз лемму 9 для J = Qn субгармонической в J функции log дп(Ч?(С)) Ф СО)! - (( + ?б)" + bg С2) (С) - log(C]w(z0)) получим, что справедливо неравенство В силу рассуждений, аналогичных приведенным при доказательстве леммы 4 первой главы, справедливо соотношение значит, для некоторой постоянной CV — C D), Окончательно, (23) принимает вид где ( = Cg(Z?). Лемма доказана. Докажем теперь основной результат этого параграфа. Теорема 5\ Пусть D — область Лаврентьева, D С Int Q, Г = 3D. Пусть функция w(z) удовлетворяет условиям 1-3 на с.40. Для произвольного полинома двух переменных qn((,w)y deg fo п, для которого выполнено неравенство (24) справедливо таксисе неравенство Доказательство. Пользуясь леммой 10, оценим производную полинома qn для произвольного ZQ ЄГ С учетом замечания 2 на странице 41 из этой теоремы легко вытекает теорема б, сформулированная в п.3.1 . Используя результаты предыдущих параграфов докажем теперь основную теорему, сформулированную в п.3.1. В соответствии с теоремой Тамразова [7] достаточно доказать неравенство Для доказательства этого неравенства мы построим теперь некоторое разложение функции / в ряд. Для выбранных весов в области Лаврентьева D справедливы([7]) следующие неравенства Здесь CQ = C$(D), C\Q = G\Q{D), К2 = M(-D), «з = «з(Д)- Отсюда заключаем, что для произвольного L 0 справедливы неравенства

Доказательство основной теоремы

Рассмотрение вопроса о приближении аналитическими полиномами функций, заданных на подмножествах комплексной плоскости, в силу теоремы Вейерштрасса и свойств аналитических функций необходимо приводит к выделению классов функций, аналитических на внутренности множества и непрерывных на его замыкании. Рунге установил возможность сколь угодно хорошего приближения функции полиномами для случая, когда функция / является аналитической на произвольном компакте с односвязным дополнением, Уолш — для случая, когда 9JT — произвольная ограниченная жорданова дуга или односвязная область, ограниченная жордановой кривой, / Є А (Ш). М.А. Лаврентьев указал необходимые и достаточные условия на компакт Ш, при которых любая непрерывная на нем функция может быть сколь угодно хорошо приближена полиномами. Обобщением этих исследований явилась теорема С.Н. Мергеляна, утверждающая, что если множество ЗЯ замкнуто и не разбивает плоскость, то любую функцию из А{Ш) можно сколь угодно хорошо равномерно приблизить полиномами. Следующий вопрос, который представляет интерес — каким образом строить многочлены, хорошо приближающие функции из А(Ш). Большинство способов их построения основывается на формуле Коши (мы ограничимся здесь рассмотрением случая, когда ЯП является замкнутой областью со спрямляемой границей: Ш = D) и различных способах представления ядра свойствами (например мероморфные в D и непрерывные на dD), a Pn(z) — полиномы от z степени не выпте п. Предполагая, что ряд (2) может быть проинтегрирован почленно, получим из (1) Таким образом частичные суммы ряда (3) доставляют искомое приближение функции /. Удобство этого представления состоит еще и в том, что коэффициенты ряда (3) зависят только от функции /, а полиномы Pn(z) — только от множества 9Я. Важную роль в теории приближений играют так называемые полиномы Фабера. Пусть ЙЯ — замкнутое множество на плоскости, дополнение к которому односвязно. Рассмотрим функцию Ф( ), однолистно и конформно отображающую внешность Щ на внешность единичного круга, удовлетворяющую условию В окрестности точки z = оо имеет место следующее разложение Полиномами Фабера Fn{z) называются полиномы, состоящие из совокупности членов с неотрицательными степенями в этом разложении: Функция где Ф = Ф \ называется производящей функцией полиномов Фабера. Если SEJt — замкнутая область с достаточно гладкой границей, то во всех точках Int ПК имеет место разложение Обозначим при R 1 Фабером была доказана следующая теорема

Теорема. Пусть 97Ї — ограниченное замкнутое множество с односвязным дополнением. Если функция f(z) — аналитическая в области ЯТд и на линии уровня LR имеет особую точку, то 1. функция f(z) разлагается в ряд по полиномам Фабера: и ряд (4) сходится равномерно в области УЯц и расходится вне WIR 2. разложение в ряд (4), равномерно сходящийся в некоторой области D 3 WI, единственно 3. обратно, если имеет место (5), то ряд (4) равномерно сходится внутри ШТд, расходится вне ШЦ, и функция f(z) является аналитической в области 9Лд и на линии уровня Ьц имеет особую точку. Кроме полиномов Фабера для приближений часто используются так называемые обобщенные полиномы Фабера. Пусть S(w) — произвольная функция, аналитическая в области 1 \w\ оо. Тогда для некоторых коэффициентов ( справедливо разложение Если почленно перемножить этот ряд на ряд, в который разлагается производящая функция полиномов Фабера, то получим Полиномы Tln(z) называются обобщенными полиномами Фабера. Для обобщенных полиномов Фабера существует теория, параллельная теории для обычных полиномов Фабера. Важную роль в различных аппроксимационных вопросах играют понятия обобщенной свертки двух функций по спрямляемой кривой, обобщенного поворота и растяжения. Допустимым континуумом будем называть такое замкнутое ограниченное множество, дополнение которого состоит из одной области, которое невырождено в точку и каждая точка границы которого является достижимой относительно его дополнения. Пусть Ш — допустимый континуум со спрямляемой границей Г, и на Г заданы две функции / и К такие, что порождаемые ими на единичной окружности функции / = /(Ф(е )), К — K( {elt)) суммируемы на промежутке [0, 2тг]. Обоб щенной сверткой / и К называется интеграл поворотом на угол t. Обобщенным растяжением называется отображение С — Ф(ЙФ(С)), R 1. Свойства этих отображений тесно связаны с геометрическими свойствами допустимых множеств, исследовавшихся В.К. Дзядыком, Н.А. Лебедевым, Н.А. Широковым и др. В частности, выяснилось, что для оценок различного рода приближений с помощью многочленов важную роль играют расстояния до линий уровня функции Грина области с\ая В.И. Белый и В.М. Миклюков применили для исследования этой величины и других геометрических характеристик аппарат теории квазиконформных отображений. Используя различные полиномиальные ядра, построенные с помощью полиномов Фабера, обобщенных полиномов Фабера и классических ядер Пуассона, Дирихле, Фейера, Джексона и др., были получены прямые теоремы приближения для классов Гельдера функций, заданных на допустимых множествах. Веса приближения в этих теоремах основывались на расстояниях р,,і. В некоторых случаях оказалось, что эти веса дают конструктивную характеристику классов Гельдера, т.е. для них справедливы и обратные теоремы. Кроме того, В.И. Белым ([8], [9]) была получена теорема о приближении функций класса A[D) на областях D с квазиконформной границей (оказалось ([10], [11], [12]), правда, что веса р1+і не дают конструктивной п характеристики классов Гельдера для «плохих» областей). Как оказалось, и в областях пространств Сп также возможно конструктивное описание классов Гельдера в терминах скоростей приближения полиномами ([13], [14], [15]). Кроме того, при конструктивном описании классов функций часто используют другие приближающие совокупности функций — например, периодические функции. Поэтому представляется естественной и достаточно актуальной задача о конструктивном описании классов функций в ситуации, соединяющей многомерность и периодичность. А именно, речь пойдет о конструктивном описании классов Гельдера на подмножествах комплексных эллиптических кривых.