Подпоследовательности нулей целых функций экспоненциального типа и полнота систем экспонент на интервале Талипова Галия Рифкатовна

Содержание к диссертации

Введение

1 Введение 4

1.1 Основные определения, понятия, обозначения и соглашения 9

1.1.2 Последовательности точек в области П 10

1.1.3 Отношение порядка и функции 12

1.1.4 Пространства функций 12

1.1.5 Последовательности нулей голоморфных функций

1.1.7 Класс Картрайт Є 14

1.1.8 Весовые классы целых функций

1.1.10 Преобразование Гильберта 16

1.1.11 Полнота, минимальность, избыток 17

1.3 Иллюстрации основных результатов диссертации 21

1.3.1 Подпоследовательности нулей для пространств Бернштейна 22

1.3.2 О полноте систем экспонент в пространствах функций 23

1.3.3 Подпоследовательности нулей для пространств, выделяемых мажорантой из класса Картрайт

2 Пространства Бернштейна и полнота систем экспонент

2.1 Основной результат

для пространств Бернштейна

2.1.1 Классы RT0n основных, или тестовых, функций

2.1.2 Формулировка основного результата для пространств Бернштейна

2.1.3 Описание последовательностей единственности для пространства Бернштейна в терминах потенциалов Йенсена

2.1.4 Продолжение тестовых функций в С±

2.1.5 Продолжение тестовых функций на С

2.1.6 Сужение потенциалов Йенсена на М 25

Доказательство Теоремы 2.1 для пространства Бернштейна 43

2.2.1 Доказательство импликаций 1) = 2),3) 43

2.2.2 Доказательство импликаций 2),3) = 1) 43

пространствах на интервале

2.3.1 Формулировка результата

2.3.2 Доказательство Теоремы

2.3 2.4 Некоторые применения основной результат о полноте экспоненциальных систем в

2.4.1 Следствия о последовательностях единственности 49

2.4.2 Устойчивость подпоследовательности нулей и полноты

3 Классы целых функций, определяемые через функции класса Картрайт

3.1 Формулировка Основной Теоремы .

3.2 Субгармонические функции, гармонические вне

3.2.1 Сужение функций класса Є на М

3.2.2 Сужение потенциалов Йесена на Ш 56

3.2.3 Доказательство Основной Теоремы 72

3.2.5 Некоторые заключительные замечания.

Перспективы

Список литературы

• Последовательности нулей голоморфных функций
• Подпоследовательности нулей для пространств Бернштейна
• Описание последовательностей единственности для пространства Бернштейна в терминах потенциалов Йенсена
• Субгармонические функции, гармонические вне

Введение к работе

Актуальность темы. Исследование взаимосвязи между распределением нулей целых, т. е. голоморфных на всей комплексной плоскости, функций и ограничениями на рост модуля таких функций вблизи бесконечно удаленной точки представляет значительный интерес не только как внутренний вопрос теории распределения значений (в частности, нулей) целых функций, но и как необходимый, а зачастую и решающий этап исследования таких вопросов теории функций комплексного переменного, как теории аппроксимации (например, экспоненциальными системами), интерполяции, аналитического продолжения, спектрального синтеза и т.д.

Как обычно, через N, Z, К. и С обозначаем соответственно множества натуральных, целых, действительных и комплексных чисел в их естественной, если необходимо и возможно, алгебраической, геометрической, топологической и/или порядковой интерпретации.

В истоках тематики диссертации лежит несколько расширенная версия Основной теоремы алгебры (XVII-XVIII вв.), которую сформулируем здесь в подходящей для нас форме: многочлен степени не выше р Є N, т. е. целая функция, модуль которой растет не быстрее \z\^p при С Э z —> оо, имеет, с учетом кратности, ровно р корней, или нулей. Планомерное исследование распределения нулей целых функций, прежде всего конечного порядка, было начато в конце XIX - начале XX вв. после работ Ж. Адамара и А. Пуанкаре в этом направлении. Интенсивно эти исследования продолжались весь XX в. и динамично развиваются и поныне как из внутренних потребностей теории целых функций экспоненциального типа (эти аспекты достаточно полно освещены в ряде обзоров и монографий многих авторов, в частности, у Н. Винера и Р. Пэли (1934 г.), Н. Левин-сона (1940), Р. Ф. Боаса (1954), Б. Я. Левина (1956-96), Л. Шварца (1943), М. М. Джрбашяна (1966), Р.М. Редхеффера (1972), У. A. Дж. Люксембурга (1976), Р.М. Янга (1980), А. Ф. Леонтьева (1980), Н. К. Никольского, Б.С. Павлова и СВ. Хрущева (1980), П. Кусиса (1988-92-96), В. П. Хав-ина и Б. Ерикке (1994), П. Боруайна и Т. Эрдели (1995), А.М. Седлецко-го (2000-01-03-05), Е. И. Моисеева, А. П. Прудникова и А.М. Седлецкого (2004), К. Сейпа (2004), Б. Н. Хабибуллина (2006-08-11-12), А. Полторацкого (2015) и охватывают материал вплоть до последних десятилетий), так и в связи с многочисленными ее приложениями в теориях сигналов, связи, антенн (см. монографию Я. И. Хургина и В. П. Яковлева (1962), обзоры Х. Бруны, Х. Массанеды и Х. Ортеги-Серды (2003), Дж. Дж. Бенедет-то и Х.-Ч. Ву (2000), и, например, статью Л. Кнокерта и Д. Де Зуттера

(2002)), к управляемости систем с распределёнными параметрами (см. монографию С. А. Авдонина и С. А. Иванова (2012)), в теории когерентных состояний из математической физики (см. монографию А.М. Переломова (1987), статью А. Вурдаса (1997)) и т.д.

Векторное пространство над полем С всех голоморфных функций в открытом множестве О обозначаем через Hol(O); Но1(С) — пространство всех целых функций, для которого используем еще одно специальное обозначение Ent. Наше исследование сконцентрировано на выявлении условий, при которых последовательность точек Л := {A^J^n на С является подпоследовательностью нулей для некоторой ненулевой функции / Є Ent экспоненцильного типа, т. е. удовлетворяющей условию

l^Qg|/W| / 1)

limsup : ^ a < +oo, (

z—?>oo \Z\

с дополнительными ограничениями на рост |/| прежде всего вдоль вещественной оси RcC типа ограниченности сверху (пространства Бернштей-на) или, более общо, мажорированием log |/| какой-либо субгармонической функцией класса Картрайт (см. определение ниже). Результаты об описание подпоследовательностей нулей для таких классов целых функций посредством известной двойственности, наведенной преобразованием Фурье-Лапласа, дают, как правило, некоторые утверждения о (не)полноте экспоненциальных систем в различных пространствах функций на интервале заданной длины. В дополнение к задачам полноты отметим также, что в ряде вопросов интерполяции, экстраполяции, представления рядами, в задачах локального описания идеалов и подмодулей, в проблеме спектрального синтеза и др., как необходимое или достаточное условие часто фигурирует требование того, что заданная последовательность была (под)последовательность нулей для некоторого класса целых функций экспоненциального типа (??) из рассматриваемых в диссертации. Все это дополнительно актуализирует исследование подпоследовательностей нулей для таких классов. Одновременно заметим, что задача описания точной последовательности нулей для классов целых функций принципиально отличается от задачи описания подпоследовательностей нулей для таких классов. Довольно часто для первой задачи можно манипулировать с представлением Адамара-Вейерштрасса для таких функций, построенным по всем нулям, в то время как для подпоследовательностей нулей такой подход проблематичен. Например, на первом пути C. Ю. Фаворов относительно недавно (2008) дал полное описание последовательностей нулей для пространств Бернштейна и классов Картрайт целых функций экспоненци-

ального типа в традиционных терминах классических плотностей последовательностей точек, возможность чего для подпоследовательностей нулей, скорее всего, невозможна.

Цели работы. Исследованы следующие аспекты очерченной тематики:

необходимые и одновременно достаточные условия для множеств неединственности (подпоследовательностей нулей) в классе Берн-штейна целых функций экспоненциального типа не выше <т, ограниченных на К, в терминах специальных классов тестовых функций;

критерии полноты систем экспонент в классических пространствах непрерывных на отрезке и/или класса If, р ^ 1, на интервале заданной длины d с точностью до конечного числа экспоненциальных функций в терминах тех же тестовых функций и длины d;

перенос результатов о подпоследовательностях нулей для классов Бернштейна на подпространства целых функций экспоненциального типа, выделяемых верхними ограничениями на их рост посредством субгармонической функции-мажоранты класса Картрайт;

использование полученных результатов к установлению новых теорем единственности для классов целых функций экспоненциального типа, к получению условий полноты систем экспонент в классических пространствах функций на интервале, условий устойчивости подпоследовательностей нулей для классов Бернштейна и других классов целых функций, а также устойчивости свойства полноты систем экспонент при малых вариациях показателей в терминах традиционных плотностей распределения точек на С или максимально близких к таковым; получение новых доказательств классических и предшествующих результатов в едином ключе, продиктованном методами, использованными в диссертации.

Методы исследования. В диссертации наряду со стандартной техникой теории функций комплексного переменного, теории целых и субгармонических функций, теории потенциала и функционального анализа используется неконструктивный, т. е. не требующий специальных явных конструкций и построений целых и субгармонических функций, метод выметания, или метод огибающей, из работ Б.Н. Хабибуллина, основанный на

версиях теоремы Хана-Банаха, двойственном представлении суперлинейных функционалов на проективных пределах векторных решеток, аппарате мер и потенциалов Йенсена.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. установлены необходимые и одновременно достаточные условия для множеств неединственности в произвольном классе Бернштейна целых функций экспоненциального типа не выше числа а > 0, ограниченных на К, в терминах специальных классов тестовых функций;

2. даны критерии полноты систем экспонент в классических пространствах непрерывных на отрезке и/или класса LP, р ^ 1, на отрезке (интервале) Id заданной длины d с точностью до одной (для С (Id) и If (Id) при р ^ 2) или двух (If (Id) при 1 ^ р < 2) экспонент в терминах значений тех же тестовых функций на последовательности показателей системы экспонент и длины d отрезка (интервала);

3. результаты о подпоследовательностях нулей для классов Бернштейна перенесены на подпоследовательности нулей для подпространств целых функций экспоненциального типа, выделяемых верхними ограничениями на их рост посредством субгармонической функции-мажоранты класса Картрайт;

4. полученные в диссертации основные результаты из пп. ??)-??) использованы для вывода новых теорем единственности для классов целых функций экспоненциального типа, для установления условий полноты систем экспонент в классических пространствах функций на отрезке (интервале), условий устойчивости подпоследовательностей нулей для классов Бернштейна и других классов целых функций, а также устойчивости свойства полноты систем экспонент при малых вариациях показателей в терминах традиционных плотностей распределения точек на С или подобных им; в качестве иллюстрации даны новые доказательства классических и предшествующих результатов, продиктованные основными результатами диссертации.

Все основные условия на подпоследовательности нулей формулируются в терминах различных специальных классов тестовых функций на М\ {0}, впервые введенных и исследованных в связи с результатами пп. ??)-??).

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в различных областях математики (теория функций, теория операторов, дифференциальные уравнения, теория аппроксимации, теория потенциала и др.), где требуются информация о взаимосвязи распределения нулей целых функций и их возможным минимальным ростом на бесконечности по различным направлениям (лучам). Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях, проводимых в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН, С.-Петербургском отделении Математического института РАН, Казанском (Приволжском) федеральном университете и Институте математики и механики им. Н.И. Лобачевского при КФУ, Московском государственном университете, Южном федеральном университете, Башкирском государственном университете, Брянском государственном педагогическом университете, а также в других ведущих российских и зарубежных (Азербайджан, Армения, Израиль, Испания, Кипр, Китай, Норвегия, США, Украина, Франция, Швеция и др.) научных центрах.

Аппробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», посвященная 100-летию Башкирского государственного университета (1-6 октября 2009 г., Уфа, БашГУ), IV VIII традиционных Международных школах-конференциях для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа, БашГУ, октябрь 2011-15 гг.), Всероссийской молодёжной научно-практической конференция «Актуальные вопросы науки и образования» (Уфа, БашГУ, 25-27 апреля 2013 г.), XI XII Казанские международные летние школы-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, Казанский (Приволжский) федеральный университет, МГУ, Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, 22-28 августа 2013 г. и 27 июня - 04 июля 2015 г. соответственно), Международной конференции «Комплексный анализ и смежные вопросы» (Исследовательская лаборатория им. П. Л. Чебышева, Санкт-Петербургский государственный университет, Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, 14-18 апреля 2014 г.), на научно-исследовательском молодежном семинаре «Примеры и контрпримеры в алгебре, анализе, геометрии» кафедры высшей алгебры и геометрии, 2009-15 гг. (руководитель Б. Н. Хабибуллин).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 работ [?]-[?]. Основная часть результатов диссертации опубликована в трех работах [?]-[?] из п. I списка литературы, входящих в перечень ВАК и опубликованных в соавторстве. В работе [?] научному руководителю Б. Н. Хабибуллину принадлежит лишь постановка задачи и предложения по выбору метода исследования, соавтору Ф. Б. Хабибуллину — некоторые правки в формулировках и доказательствах, а также техническая поддержка. Все окончательные формулировки результатов из [?] и их доказательства принадлежат Г. Р. Талиповой. В статье [?] научному руководителю Б. Н. Хабибуллину принадлежит только постановка задачи дальнейшего совершенствования результатов из [?], а Г. Р. Талиповой — реализация такого усовершенствования в полном объёме. В совместной работе [?] Т. Ю. Байгускарову и Б. Н. Хабибуллину принадлежит только часть [?, 2], которая вошла в диссертацию лишь как ссылка при применении, а все остальные положения и результаты из [?, 1, 3-4], включенные в диссертацию с полными доказательствами, получены лично Г. Р. Талиповой. Часть промежуточных или анонсированных результатов доказаны или приведены в 11 источниках [?]-[?] из п. II списка литературы в форме трудов, материалов и тезисов международных, всероссийских и региональных конференций. Из тезисов и материалов по совместным докладам на конференциях, объединяющих нескольких авторов, включены в диссертацию также только части, разработанные лично диссертантом. Таким образом, все основные положения диссертации принадлежат Г. Р. Талиповой и доказаны ею.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из содержания, введения (раздел 1) и двух разделов 2 и 3, разбитых на подразделы (4 во втором и 2 в третьем) с отдельными пунктами и подпунктами, а также тремя иллюстрациями-чертежами. Объем диссертации — 86 страниц. Библиография — 79 наименований.

Последовательности нулей голоморфных функций

Система векторов из локально выпуклого пространства Е полна, если замыкание ее линейной оболочки совпадает с пространством. Система векторов минимальна в Е, если ни один вектор этой системы не принадлежит замыканию линейной оболочки остальных. Если система векторов одновременно полна и минимальна, то она называется точной. Пусть д — последовательность попарно различных векторов из С Е, проиндексированное точками последовательности Л = {Хк} С С. Говорим, что система д или последовательность Л (для системы д) имеет избыток ехсЛ := ехсЛ = q Є Z в пространстве Е, или для Е, (относительно ) если мы придем от системы д к точной в Е системе при q 0 — после удаления q векторов из системы д, т. е. q чисел из последовательности Л; при q 0 — после добавления \q\ новых векторов к д из .

Кроме того, если полнота не нарушается (не возникает) после удаления (соответственно добавления) любого конечного набора попарно различных векторов из Л (соответственно из \ л), то ехс л := ехсЛ := +оо (соответственно ехсл := ехс Л := -оо). Определение избытка в рассматриваемых нами функциональных пространствах для систем кратных экспонент корректно, поскольку не 1 Иногда, особенно в технических приложениях, названия противоположны: обратное преобразование называется прямым, и наоборот. зависит от удаляемых или добавляемых экспоненциальных функций в системах (1.1.6) (общие результаты по этому поводу молено найти в [Хаб06-12, п. 1.1.3, Теорема 1.1.4(3)]).

В той или иной мере общности приводятся только те известные результаты, которые либо служили основной мотивировкой для наших исследований, либо использованы далее в доказательствах.

В силу известной взаимосвязи между полнотой систем экспонент вида (1.1.6) в пространствах функций на интервале Id или отрезке Id и последовательностями единственности в пространстве Бернштейна B j2 ряд результатов будет сформулирован в форме условий (не)полноты системы экспонент. Прежде всего отметим, что значительное число теорем в такой форме доказано или приведено в [Sch43], [Le40], [Лев56], [Лев96], [Red74], [XJ94], [СедОО], [СедОІ], [СедОЗ], [СедОЗ ], [СедОЗ"], [Сед05], [МПС04], [Хаб06-12]. Приведем или обсудим некоторые из них. Теорема Картрайт. Пусть для последовательности А = {Хк} с С (1.2.1) при некотором t Є Ш ряд Е Im ImAfe O t — Л расходится. Тогда А - последовательность единственности для пространства Бернштейна В при любом а_ 0, и система ЕхргЛ7 гЛ := {i\k}, полна в любом из пространств C(Id) и Lp(Id), при любых конечных d 0 и р 1. При этом если ряд Е ImAfc O fc (1.2.3) сходится, то из сходимости ряда (1.2.2) при каком-либо значении t следует его сходимость при любом tel. Замечание 1.1. Расходимость ряда (1.2.3) и даже ряда Vx 1/Ла при некотором о; 1, а также бесконечность верхней плотности limsup ИЛИ усредненной верхней плотности (0 ф Л) ведут к тем же последствиям, что и расходимость ряда (1.2.2) в Теореме Картрайт [Red74, Теорема 7].

Замечание 1.2. При сдвиге конечного числа точек последовательности Л последовательность (не)единственности остается таковой же для широкого класса пространств, включая В%, и (не)полнота систем экспонент ЕхргЛ в рассматриваемых здесь пространствах функций устойчива относительно такого преобразования ([Red74], общий результат в [Хаб06-12, Теорема 1.1.4]). Поэтому, когда необходимо, не умаляя общности, можем считать, что 0 ф Л для последовательности (1.2.1).

Слабым обратным утверждением к Теореме Картрайт служит Теорема Шварца ([Sch43], [Red74, Теорема 41]). Если последовательность (1.2.1) удовлетворяет двум условиям mo Л — подпоследовательность нулей для пространств В при всех а 0 и система Ехр не полна в пространствах С (Id) и Ьр(Лг) при любом d 0. Новое доказательство этой Теоремы нам потребуется ниже для иллюстрации специфики рассматриваемого в диссертации подхода. Некоторым недостатком приведенных выше теорем является то, что они не «чувствуют» удаления из Л или добавления к Л конечного число точек. В определенной степени этих недостатков лишены теоремы Ле-винсона [Le40]. Иллюстрирует их здесь только одна limsup NA(r)--r + = +00 при р = 1,+оо или ф -оо при 1 р +оо. ЕхргЛ полна в D\Id) при р Є [1, +оо) и в С

Наиболее существенное продвижение по обобщению Теоремы Левинсона осуществлено относительно недавно в совместной работе Н. Г. Макарова и А. Г. Полторацкого [МР05, п. 2.11] (см. также [Пол05]). В этой же работе доказываются общие критерии[МР05, п. 3.2, Предложение, Теорема, Пример], полностью описывающие множества неединственности для широкого класса модельных пространств, обобщенные впоследствии А. Д. Барановым [БарП, Теоремы 9.1.1 и 9.1.2]. Из них можно извлечь и критерий последовательностей неединственности для пространств Берн-штейна. Мы не формулирем здесь этот результат по двум причинам. Во-первых, он требует определенной предварительной подготовки. Во-вторых, хотя как Теоремы Макарова-Полторацкого-Баранова, так и наша Основная теорема для пространств Бернштейна используют преобразование Гильберта, но в определенном смысле в противоположных направлениях. В Теоремах Макарова-Полторацкого-Баранова требуется конечно же исходя из рассмат построение по последовательности риваемого пространства, или же существования специальных функций, преобразование Гильберта одной из которых обладает определенными свойствами. При нашем же подходе необходима проверка бесконечной серии равномерных интегральных оценок на специальном классе тестовых функций, определяемых посредством преобразования Гильберта.

Одним из наиболее глубоких результатов по полноте систем экспонент и условиям на последовательности (не)единственности для пространств Бернштейна и по сей день остается Теорема Берлинга-Мальявена ([ВМ67], [Red74, Теорема 77], интерпретация Редхеффера). Пусть в последовательности (1.2.1) Afc ф 0. Если существует число О 0 и последовательность {nk}k&i попарно различных целых чисел, для которых ряд (1.2.9) сходится, то Л — подпоследовательность нулей для В ,2 и система ЕхргЛ неполна в C(Id) и Lp(Id), p l, для любого d с. Обратно, если ряд (1.2.9) расходится для любой последовательности {пк}кт попарно различных целых чисел, то Л — последовательность единственности для В Ехрг/ Jd,2 полна в С (Id) и IP (Id) для любого d с. Каждое утверждение об устойчивости последовательности (неединственности для пространства функций при достаточно малых ее изменениях, так же, как и об устойчивости (не)полноты систем экспонент при малых сдвигах показателей Л в (1.1.6), сразу дает достаточные условия для последовательностей (не)единственностей или (не)полноты систем экспонент, если в качестве изначальной сдвигаемой последовательности точек выбрана последовательность Л, про которую требуемое свойство уже известно. Исходной точкой многих таких результатов является

Подпоследовательности нулей для пространств Бернштейна

Допустим, что величины 2) в (2.1.9) или 3) из Теоремы 2.1 конечны. Тогда те функции р Є R?%, которые по Предложению 2.3 сопоставляются в виде ip Е всем потенциалам Йенсена V с оценкой (2.1.46) таковы, что конечна величина (2.1.25) Теоремы 2.2 из 2), поскольку выполнена оценка (2.1.46) для любой точки Хк, а на вещественной оси функции pnV совпадают по построению. Конечность точной верхней грани (2.1.25) по Теореме 2.2 влечет за собой то, что Л -последовательность неединственности для пространства Бернштейна В. Это доказывает импликации 1) = 2) и 1) = 3) Теоремы 2.1.

Предположим теперь, что Л - последовательность неединственности для пространства Бернштейна _В. Тогда из эквивалентности 1) 3) Теоремы 2.2 найдется постоянная С, для которой при всех потенциалах Йенсена V Є PJo справедлива оценка где постоянная С не зависит от потенциалов Йенсена V Є PJQ. Выберем теперь произвольную тестовую функцию ір Є FIT, а вместе с ней, как и в (2.1.32), рассмотрим преобразование Пуассона

По Предложению 2.2 эта функция Vv обладает практически всеми свойствами потенциала Йенсена — субгармоничность и положительность вне нуля; полунормирвка в нуле (2.1.33), сопряженное условие положительности (2.1.5)—(2.1.6). Исключением может быть лишь финитность (см. (2.1.34)), замененное более слабым условием (2.1.34):

Превратить такую функцию в потенциал Йенсена уже очень легко: достаточно рассматривать при каждом є 0 функцию можно было бы рассматривать и функции вида которые, сохраняя все прежние свойства, становятся уже финитными, т. е. это полноценные непрерывные (вне нуля) потенциалы Йенсена. Для таких потенциалов, как отмечалось выше в (2.2.1), справедливы неравенства где постоянная С не зависит от потенциалов Йенсена Vf Є PJQ, И, В частности, от чисел є. Устремляя є 0 к нулю слева, получаем конечность точных верхних граней в 2), (2.1.9), и в 3). Это и доказывает импликаций 2),3) = 1) Теоремы 2.1. 2.3 Основной результат о полноте экспоненциальных систем в пространствах на интервале

Теорема 2.3 (о полноте экспоненциальных систем в пространствах на интервале). Если для последовательности точек ЛсС,0 Л, выполнено условие (2.1.9) или при ограничении Act условие (2.1.10), то система ЕхргЛ полна в любом пространстве С(12а) и LP(I2 T), р 1 Обратно, если левая часть в (2.1.9) или при ограничении Л С Ш в (2.1.10) конечна, то (относительно системы всех кратных экспонент с системой показателей гк) ехсгЛ 0 для С(72а) и для LP(I2 J) прир 2, а также ехс гЛ 1 для Lp(/2 r) при 1 р 2.

При этом в условиях (2.1.9) или (2.1.10) тестовые классы i?T всегда можно заменить на более узкий класс из п. 3) Теоремы 2.1.

Замечание 2.6. Теоремы 2.1, 2.3 были анонсированы в несколько видоизмененной и сильно упрощенной формах в [Хаб06-12, Теорема 2.1.12 и Следствие 2.1.2] (издания третье, четвертое) и в кратком обзоре [ХабЮ, Теорема 4 и Следствие 2] (в обоих источниках - без доказательства). Отметим также, что для получения из Теоремы 2.1 различных достаточных условий для множеств единственности (см. ниже подраздел 2.4.1), равно как и условий полноты систем экспонент, полезно использовать как можно большее множество тестовых функций (импликация 2) == - 1) Теоремы 2.1 и первая часть Теоремы 2.3). И наоборот, для исследования достаточных условий для множеств неединственности или для условий неполноты экспоненциальных систем удобно максимально сузить класс тестовых функций, при которых Теорема 2.1 (см. импликацию 3) = 1)) или вторая часть Теоремы 2.3 о полноте (см. последнее предложение в ней) справедливы. Таким образом, представляет интерес как расширение класса тестовых функций, так и его сужение. При этом задача сужения класса тестовых функций в этих Теоремах намного сложнее и глубже, чем проблема расширения класса i?Tg. Мы ещё вернемся к этому обсуждению в п. 3.2.5. 2.3.2 Доказательство Теоремы 2.3

Условия полноты. В силу широко известной прямой взаимосвязи между последовательностью показателей полной системы экспонент в пространствах функций на интервале и последовательностями единственности в реализациях сопряженных к этим пространствам как пространств специальных целых функций экспоненциального типа (см. [Лев96], [Хаб91, Теорема 2.1.1]), если Л последовательность_единственно-сти для _В, то система полна в любом из пространств С с(/2 т) и Ьр(І2а), р 1, поскольку реализации сопряженных к этим пространствам посредством преобразования Фурье - Лапласа как пространств целых функций все включаются в пространство Бернштейна В.

В. Неполнота и оценки на избытки полноты. Пусть теперь точные вехние грани в (2.1.9) или при ограничении АсМв (2.1.10) ограничены сверху. Тогда по Теореме 2.1 Л - последовательность неединственности для пространства Бернштейна В. Здесь мы вынуждены разбивать ситуацию на отдельные шаги.

Случаи пространств С (І2а) и Ьр(І2а) при р 2. Обратно, пусть теперь точные вехние грани в (2.1.9) или при ограничении Лей в (2.1.10) ограничены сверху. Тогда Л — это последовательность неединственности для пространства Бернштейна В и найдется ненулевая целая функция / с оценкой (см. п. 1.1.8, (1.1.11)-(1.1.13)) log/(z) a\Imz\ + Cf для всех z Є С, Cf — постоянная, ограниченная на вещественной оси и обращающаяся в нуль на Л. Не умаляя общности, можем считать, что последовательность Л не пуста и найдется некоторая точка Л Є Л. Тогда ненулевая целая функция F(z) := f(z) {z - А ) z Є С, экспоненциального типа о обращается в нуль на последовательности Л := Л \ Л и в то же время принадлежит классу L (IR). Тогда по классической теореме Пэли-Винера [Лев96] найдется функция д Є L2(-a, а), с которой имеет место представление F(z) = Г eiztg(t) dt, F(A ) = 0/ (2.3.6)

Описание последовательностей единственности для пространства Бернштейна в терминах потенциалов Йенсена

Соотношения (3.2.32o)-(3.2.32oo), дополнительные к Теореме 3.3, молено доказать точно так же, как в в доказательстве Предложения 2.2, от формулы (2.1.39) и далее до конца доказательства, без использования инверсии из Предложения 3.2.

Доказательство необходимости (=). Для функции М Є Є ввиду М(0) = 0 известно [МОС02, Lemmata 3.3, 3.4], что /D(1) log \z\ duM(z) +oo, откуда для любого V Є PJ0 из его финитности и положительности

0 / Fdz/м Cv +оо для всех V Є PJ0, а м({0}) = 0, (3.2.33) где Су — постоянная. Из ограниченности снизу функции М на интервале (-6, 6) при некотором Ъ 0 по определению преобразования Пуассона и представлению вида (3.2.16) для М Є С в силу положительности ядра Пуассона легко показать, что функция М ограничена снизу в некоторой окрестности нуля из С. Таким образом, если Л — последовательность неединственности для Ent(expM), то по Теореме 3.1 выполнено (3.1.5о), которое для М Є С записывается в виде где С Є Ш — постоянная. Рассмотрим теперь произвольную тестовую функцию р Є R?o, а вместе с ней, как и в Следствии 3.2, построим преобразование Пуассона Р с± р. По Следствию 3.2, эквивалентность 1. - = 2., эта функция Рс± ip обладает практически всеми свойствами потенциала Йенсена — субгармоничность и положительность вне нуля, полунормировка в нуле (3.2.32о). Исключением может быть лишь финитность, замененная более слабым условием (3.2.32оо): сохраняя все прежние свойства, становится уже финитной, т. е. это «полноценный» потенциал Йенсена. Для таких потенциалов, как отмечалось выше в (3.2.34), справедливы соотношения где постоянная С не зависит от потенциалов Йенсена Vf Є PJo, и, в частности, от чисел є 0. При этом семейство функций {Vf} 0 убывающее при - 0и поточечно стремиться к Рс± ір на С . Отсюда, устремляя в (3.2.35) є 0 к нулю, получаем " + tp(t) dufjit) + С для всех tp Є ДТ0 Это даёт конечность точной верхней грани в (3.1.3) и доказывает импли кацию = Основной Теоремы.

Доказательство достаточности ( =). Пусть точная верхняя грань в левой части равенства (3.1.3) из Основной Теоремы конечна при подстановке вместо класса i?T = RT0 П С(М ). Когда функции р пробегают весь класс ДУ, по Следствию 3.2 потенциалы V Є Р Jo с соответствующими сужениями ip пробегают класс потенциалов Иенсена, вообще говоря, более широкий, нежели Р J0 П С и ввиду (3.2.32s) V Рс± р на С . Тогда из конечности (3.1.3) при := і?У получаем = sup VPC± (Afc) - / p(t) cV (f) +oo, т.е. выполнено (3.1.6) с r = 0. Тогда по Теореме 3.2 для любого числа є 0 последовательность Л — последовательность неединственности для пространства функций Ent (exp M j, где в силу гармоничности М в С± функция М є та же, что и в определениях (3.1.4).

Здесь даются лишь два простых следствия из Основной Теоремы, которые доказываются совершенно аналогично соответствующим утверждениям из п. 2.4.1 и п. 2.4.2, установленным там для конкретной весовой функции z a\lmz\,zeC.

Доказательство этого Следствия сразу следует из Теорем 1.3 (часть 1)) и/или Основной Теоремы (часть (= ), если воспользоваться инвариантностью функций класса ДТ0 относительно гомотетии, что легко видеть из определения этого класса в п. 1.3.3 (ср. с (2.1.8) после Определения 2.1), и заменой переменных t = х/г в интегралах Пуассона и в последнем интеграле.

Конкретные примеры фикций классов ДТ С RT0 уже приводились в п. 2.1.6 и в п. 2.4.1. Аналогом Теоремы 2.4 об устойчивости подпоследовательностей нулей является Теорема 3.4. Пусть Л = (\k)km и Г = (7fc)fceN две последовательности точек на С± без точек сгущения в С конечной верхней плотности и суммы Ik hnU 5 lm k k k конечны. Допустим, что Л — подпоследовательность нулей для пространства Ent(expM), где функция М Є С ограничена снизу на некотором интервале (—Ь, Ъ) СК, Ъ 0. Если для некоторого s Є Ш 1 fflos ) ype M] и Г - подпоследовательность нулей для пространства Ent(exp(M e + sIm )) при любом є 0 (см. (3.1.4)). В частности, если s = 0, то Г — подпоследовательность нулей для того же пространства Ent (ехр М є) .

Доказательство. В предположении, что Л - подпоследовательность нулей, или последовательность неединственности, для пространства Ent(expM), М Є Є, по Теореме 1.3 (часть 1)) и/или Основной Теореме (часть с учетом Замечания 2.2 найдется постоянная С Є №., с которой для всех р Є ДТо выполнено неравенство где оба предела справа существуют. Если s ype M], то, выбирая одну точку из Г и обозначив ее как 7i, из мажорирования левой части соотношения (3.2.39) постоянной С ввиду положительности функций If получаем ж . Е

Субгармонические функции, гармонические вне

Для z Є Coo и S С Соо полагаем z := l/z, S := {/eCize S} — инверсия множества S. Для функции /, определённой на S С Соо, её инверсия / — это функция на S , задаваемая как f (z) := f{z ), z Є S . Соответственно для класса функций С на S С Соо полагаем С := {/: / Є С}. Инверсия неоднократно использовалась при исследовании мер и потенциалов Йенсена и связанных с ними вопросов [Хаб91, Доказательство Предложения 4.1], [МОС02, Corollary 3-4], [ХабОЗ, Доказательство Предложения 1.4].

Предложение 3.2. V Є PJQ тогда и только тогда, когда V Є sbh(C), V (0) = 0 и для некоторого R v О (3.2.27) vs; 6 \z\ при всех ( Є С. Яри зтол йш р := У Е и преобразования Пуассона из 1.1.9 У Р±с = (Р±с р) ге7 Є, typeoo[P±c р ] (1=9) 0. (3.2.28) Доказательство. Первое утверждение сразу следует из свойств потенциалов Йенсена (см. Определение 2.2, 1)-5)) и конформности инверсии, сохраняющей субгармоничность. Первое равенство в (3.2.28) - простая замена переменной при инверсии. Полунепрерывность сверху функции Р±с в С следует из Замечания 3.1. Неравенство в (3.2.28) для гармо V с № на С± очевидно. Из нического продолжения функции If него следует характеристическое для субгармоничности неравенство о среднем

Таким образом, Рс± Є sbh(C). Остальные характеристические свой ства функций класса Картайт для Р с± р очевидны. По Предложению 3.2 из Теоремы 3.3 при аж = 0, дважды применяя инверсию и соответствующие замены переменных, легко получаем

Соотношения (3.2.32o)-(3.2.32oo), дополнительные к Теореме 3.3, молено доказать точно так же, как в в доказательстве Предложения 2.2, от формулы (2.1.39) и далее до конца доказательства, без использования инверсии из Предложения 3.2.

Доказательство необходимости . Для функции М Є Є ввиду М(0) = 0 известно [МОС02, Lemmata 3.3, 3.4], что /D(1) log \z\ duM(z) +oo, откуда для любого V Є PJ0 из его финитности и положительности / Fdz/м Cv +оо для всех V Є PJ0, а м({0}) = 0, (3.2.33) где Су — постоянная. Из ограниченности снизу функции М на интервале (-6, 6) при некотором Ъ 0 по определению преобразования Пуассона и представлению вида (3.2.16) для М Є С в силу положительности ядра Пуассона легко показать, что функция М ограничена снизу в некоторой окрестности нуля из С. Таким образом, если Л — последовательность неединственности для Ent(expM), то по Теореме 3.1 выполнено (3.1.5о), которое для М Є С записывается в виде где С Є Ш — постоянная. Рассмотрим теперь произвольную тестовую функцию р Є R?o, а вместе с ней, как и в Следствии 3.2, построим преобразование Пуассона Р с± р. По Следствию 3.2, эквивалентность 1. - = 2., эта функция Рс± ip обладает практически всеми свойствами потенциала Йенсена — субгармоничность и положительность вне нуля, полунормировка в нуле (3.2.32о). Исключением может быть лишь финитность, замененная более слабым условием (3.2.32оо): сохраняя все прежние свойства, становится уже финитной, т. е. это «полноценный» потенциал Йенсена. Для таких потенциалов, как отмечалось выше в (3.2.34), справедливы соотношения где постоянная С не зависит от потенциалов Йенсена Vf Є PJo, и, в частности, от чисел є 0. При этом семейство функций {Vf} 0 убывающее при - 0и поточечно стремиться к Рс± ір на С . Отсюда, устремляя в (3.2.35) є 0 к нулю, получаем

Доказательство достаточности ( =). Пусть точная верхняя грань в левой части равенства (3.1.3) из Основной Теоремы конечна при подстановке вместо класса i?T = RT0 П С(М ). Когда функции р пробегают весь класс ДУ, по Следствию 3.2 потенциалы V Є Р Jo с соответствующими сужениями ip пробегают класс потенциалов Иенсена, вообще говоря, более широкий, нежели Р J0 П С и ввиду (3.2.32s) V Рс± р на С . Тогда из конечности (3.1.3) при := і?У получаем

Здесь даются лишь два простых следствия из Основной Теоремы, которые доказываются совершенно аналогично соответствующим утверждениям из п. 2.4.1 и п. 2.4.2, установленным там для конкретной весовой функции z a\lmz\,zeC. Аналогом Следствия 2.1 является Следствие 3.3. Пусть р Є ДТо и 0 Л = {Xk}k=i,2,... С С. Если limsup ( V(Pc± ?)(Afc/r) - / (р(х/г)(к м(х) = +оо, (3.2.36) где ub - функция распределения меры Рисса из (1.1.5) функции М Є Є, Є ум ограниченной снизу на некотором интервале (—6, Ъ) С Ш, b О, то Л — последовательность единственности для Ent(expM).

Доказательство этого Следствия сразу следует из Теорем 1.3 (часть 1)) и/или Основной Теоремы (часть), если воспользоваться инвариантностью функций класса ДТ0 относительно гомотетии, что легко видеть из определения этого класса в п. 1.3.3 (ср. с (2.1.8) после Определения 2.1), и заменой переменных t = х/г в интегралах Пуассона и в последнем интеграле.