Параметризация каустик фредгольмовых функционалов Чемерзина Елена Викторовна

Содержание к диссертации

Введение

I. Элементы локального анализа фредгольмовых функционалов 21

1. Фредгольмовы функционалы на линейных пространствах 21

1.1. Фредгольмовы операторы 21

1.2. Фредгольмовы функционалы 22

1.3. Локальный анализ фредгольмовых функционалов 26

2. Фредгольмовы функционалы на многообразиях . 27

2.1. Функционалы на банаховых многообразиях с бесконечномерными римановыми оснащениями 28

2.2. Критические орбиты и квазиинвариантные подмногообразия 30

3. Бифуркационые диаграммы функционалов 37

4. Редуцирующие схемы 40

4.1. Схема Пуанкаре 40

4.2. Нелокальная схема Ляпунова - Шмидта . 42

4.3. Ритцевская аппроксимация ключевой функции 48

4.4. Схема Морса - Ботта 51

4.5. Общая редуцирующая схема 54

II. Алгоритм Релея — Шредингера и параметризация каустик 58

1. Алгоритм Релея - Шредингера и его обобщение . 58

1.1. Параболические множества функционалов . 58

1.2. Построение спектрального множества 60

1.3. Случай простого собственного значения . 61

2. Вычисление асимптотик более высокого порядка . 64-

3. Возмущение кратного собственного значения 67

4. О параметризации квазиинвариантного сфероида . 69

5. Примеры параметризации каустик 73

5.1. Пример 1 (через вычисление детерминанта) . 73

5.2. Пример 2 (по новой схеме) 74

5.3. Фредгольмовы функционалы с простейшими особенностями 77

III. Приложения к краевым задачам 80

1. Краевая задача для уравнения Дуффинга 80

2. Краевая задача для ОДУ четвертого порядка с квадратичной нелинейностью 82

Литература 85

• Фредгольмовы функционалы на многообразиях
• Бифуркационые диаграммы функционалов
• Построение спектрального множества
• Примеры параметризации каустик

Введение к работе

Аналитические и топологические методы изучения экстремалей гладких параметрических семейств гладких функционалов на банаховых многообразиях представляет интерес как для общей теории особенностей гладких функционалов V(x,t), так и для "соседних" областей науки — теории управления, теории фазовых переходов в кристаллах и родственных материалах, теории бифуркаций решений вариационных краевых задач и т.д.

В бифуркационном анализе экстремалей выделяются следующие две важнейшие задачи: 1) описание геометрического строения каустик (бифуркационных диаграмм функций) и 2) описание bif—раскладов, соответствующих компонентам связности дополнения к каустике (в базе деформации).

Решение этих задач достаточно продуктивно осуществляется на основе схем конечномерной редукции [8], [17], [23], [43].

Первый шаг в изучении любой особенности — определение и вычисление мод бифуркации {е_;}"₌₁, что в конечном итоге дает возможность представления любой бифурцирующеи экстремали в форме ttjej + oiO, (0.1) где = (i, ... ,п)^т — критическая точка ключевой функции (зависящих от закритического приращения управляющего параметра).

В анализе обычных критических точек моды бифуркации ча- ще всего определяются как собственные функции главной части оператора Гессе (производной Фреше градиента) в заданной критической точке.

Вслед за построением бифуркационных мод в полный рост встает задача построения и анализа нормальной формы ключевой функции. Основу для ее решения дают схемы конечномерных редукций [8], [17], [43] и конструкции теории особенностей гладких функций [3].

Таким образом, локальную параметризацию каустики (бифуркационной диаграммы функций [3]) в конечнократной особой точке для гладкого параметрического семейства гладких фредголь-мовых функционалов в принципе можно производить посредством схем конечномерной редукции. Однако данный подход, при всех своих достоинствах, требует в практических применениях, во-первых, выполнения условия версальности, гарантирующего конечную определенность ключевой функции, и, во-вторых, весьма трудоемких вычислений (при приближенном построении канонического отображения пространства управляющих параметров на базу ограниченной миниверсальной деформации генотипа особенности).

В работе [53] был предложен прямой подход к построению параметризации каустики, свободный от условия версальности и требующий существенно меньше вычислений. Этот подход основан на теории Релея - Шредингера [48], [32], [38] возмущений симметричных линейных операторов или, более точно, на алгоритме Релея - ІПредингера вычисления возмущенных простых собственных значений и собственных векторов, разложенных в степенные ряды по малым приращениям управляющих параметров, а также на методе квазиинвариантных подмногообразий, ранее разработанном в [44].

Классический алгоритм Релея - Шредингера в своем первоначальном виде был создан Лордом Релеєм (1894) [69] при исследовании колебаний твердых тел, а затем обобщен Е. Шредингером (1926) [71] при разработке методов вычисления энергии возмущенной квантовой системы. Впоследствии этот алгоритм развивался физиками Леннардом - Джонсом, Вигнером, Бриллюэном [32] и др., а также математиками — Реллихом, Секефальви - Надем, Ка-то, Блохом, Фридрихсом и др. (см. [48]). Первая наиболее полная математическая разработка была дана Ф. Реллихом (1936), применившим принцип сведения (редукции) к соответствующей задаче построения асимптотических разложений собственных векторов и собственных значений для операторов в конечномерном пространстве (для точечного спектра).

На идее редукции спектральной задачи для самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве (с точечным спектром) к аналогичной задаче в конечномерном пространстве основан и известный "метод промежуточных задач" Ароншаина - Веинстеина ([14]).

Следует подчеркнуть, что подавляющая совокупность работ была посвящена случаю однопараметрического пучка операторов. Так, Реллих рассматривал лишь отдельные примеры операторных пучков с двумя параметрами, вскрывающие трудности переноса теории на случай многопараметрических пучков.

Некоторые аспекты многопараметрических спектральных задач изучали Ф. Аткинсон [59], С.Г. Крейн, В.П. Трофимов [26], Т.Я. Азизов [1], А.Г. Баскаков [4] и др.

Подходы к решению задач теории возмущений для общих операторных пучков (с дискретным спектром), основанные на методе Ляпунова - Шмидта, развивались в работах В.А. Треногина [13].

Изучение гладких операторных пучков методами теории особенностей гладких отображений было начато В.И. Арнольдом [2].

В данной работе изложены теоретические основы нового подхода, разработанного автором диссертации, и описаны некоторые его применения.

Как уже отмечалось, целью нового подхода является непосредственное изучение каустики в рамках исходного функционального пространства управлений.

Отметим, что аналогичная цель (описание гиперповерхности особых точек) ставилась в работе [9] при изучении фазовых пространств с особенностями для динамических уравнений типа Соболева.

Диссертация состоит из введения и трех глав.

В первой главе приведены основные понятия теории фредголь-мовых функционалов на линейных пространствах (параграф 1.1), на многообразиях (параграф 1.2) и приведены в удобном для даль- нейшего использования виде формулировки некоторых известных утверждений, используемые в последующих главах.

В диссертации рассматривается абстрактный гладкий фред-гольмов функционал V, заданный на банаховом пространстве Е, с условием, что он имеет в нуле конечнократную особенность. Как обычно, гладкой деформацией особенности V в нуле называется любое включение функционала V в гладкое Л—параметрическое семейство гладких функционалов V(x,X), V(x, 0) = V(x), определенных на некоторой окрестности нуля в Е, А Є К, Ы — некоторая окрестность нуля в R^M.

В параграфе 1.3 вводятся понятия версальной и миниверсальной деформации играющие важную роль в общей теории деформаций особенностей. Это связано с тем, что версальные деформации "содержат в себе" все допустимые метаморфозы (перестройки линий уровня, расклейки и склейки особых точек, различные бифуркационные эффекты и т.д.), которые могут произойти при произвольном гладком деформировании функционала. Гладкая деформация U(-,X) особенности функционала V в нуле называется версальной ([3], [12]), если факторклассы функционалов ^-(х, 0) (А& — координата А, к = 1,2, ... , fi) дают систему линейных образующих в локальном кольце особенности V в нуле (рассматриваемом как линейное пространство). Систему функций |^-(ж,0), к = 1,2, ... ,/Л иногда называют начальными скоростями деформации.

Гладкая деформация U(x,X) называется миниверсальной, если факторклассы ее начальных скоростей деформации образуют ба- зис в локальном кольце особенности V в нуле.

Посредством миниверсальных деформаций вводятся различные бифуркационные диаграммы, важнейшими среди которых являются каустики, дискриминантные множества и множества Максвелла.

Каустика Е — это совокупность тех управлений А, при которых V(-, А) имеет вырожденную критическую точку (в достаточно малой окрестности нуля). Дискриминантное множество Dskr — совокупность управлений А, при которых V(-, А) имеет критическую точку на нулевой поверхности уровня. Множество Максвелла М. — совокупность управлений А, при которых V(-,A) принимает равные значения на паре различных критических точек.

Геометрическая структура этих множеств не изменяется после перехода к ключевой функции [17] W{U)= inf V(x,X) (0.2) х: р{х)=, (здесь р — редуцирующая субмерсия [43]).

На практике функция W разыскивается в виде полиномиальной нормальной формы

ЩО + <**(А)* (0.3) (К — конечное подмножество в Z", Wo — полином). Если деформация миниверсальна, то отображение тг : А і—> a = {a_k(X))_keK (0.4) субмерсивно в нуле. Следовательно,

Е(У) = ^(53(^)), (0.5) где Wfoa) = ИЪ(0 + Е а_кЄ, <* = {а_к}_кеК, а Е(7) и Е(ЙО - каустики.

Из соотношения (0.5) следует, что E(V) "совпадает" с декартовым произведением Е(ТУ) на бесконечномерный диск.

Для выяснения точного расположения каустики в пространстве управляющих параметров требуется, как минимум, определение характера зависимости а и (3 от 6, q, что представляет собой весьма сложную вычислительную задачу.

Прямой же подход, основанный на теории возмущений линейных операторов, требует существенно меньше вычислительных затрат.

В параграфе 1.4 описаны схемы конечномерных редукций.

Конечномерной редукцией V на открытом подмножестве О С X называется тройка {р, ip,Af}, в которой Л/* — гладкое конечномерное многообразие (без края), р — гладкая субмерсия из О на Л/*, <р_ — гладкое отображение из N в (9, секущее р (то есть р о ср = /д/-), при условии выполнения следующих требований :

У (О — единственная критическая точка сужения V \_Р-Ц),

У() — невырожденная критическая точка V |_p-i(), V Є Л/*, что означает невырожденность второго дифференциала {V \г-Ч()) МО) (h,h), h Є Т„_К) (р-Щ , как квадратичной формы на линейном пространстве. Функция W(t) = extr V(x) = V (<р()), x : p{x) = & называется ключевой для функционала V.

Отображение ip устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами критических точек ключевой функции W и функционала V. При этом соответствующие друг другу критические точки одновременно являются либо вырожденными, либо нет. В случае минимальности значения х =

Таким образом, анализ экстремалей функционала V(-, Л) вблизи нуля сводится к анализу ветвления критических точек функции W(-,\). При этом имеем: E(V) = E(W).

При практическом применении этой схемы во многих случаях достаточно ограничиться первыми несколькими членами разложения W в ряд Тейлора. Во многих локальных задачах это производится при помощи специальным образом выбранной ритцевскои аппроксимации: W_R(t) = V{±t_Je_j)_i = «i,...,п)^т, где {ei,..., е_п} — некоторый линейно независимый набор функций из Е (базис аппроксимации). Экстремалям = (fi,...,n) функции _ я — W соответствуют точки х = Е jej, называемые ритцевскими ап-проксимациями экстремалей V.

В диссертации используется такая разновидность метода конечномерных редукций как метод квазиинвариантных подмногообразий^{1 1} Подмногообразие К в а называется квазиинвариантным относительно V, если существует такая гладкая ретракция р : О(К) — К, где 0{К) — окрестность К в а, что каждая точка а Є К является критической точкой для сужения V|_p-i(_a). [44]

Основные результаты диссертации собраны во второй главе. В диссертации рассматривается функционал вида V(x, А) = Щх, 6) -(q,x), qG F. (0.6) ((, ) — скалярное произведение в гильбертовом пространстве Н). Под параметром Л здесь подразумевается пара (6,q).

В теории упругих систем слагаемое вида (q,x) выражает начальное несовершенство системы, а в теории кристаллов — воздействие внешнего физического поля.

Точка а Є Е называется параболической для V(-,6), если существует h Є Е, h ф 0, такое, что ^(x,8)h = 0. Другими словами," а — спектральное значение операторного пучка А(х,6) = -^(х,6) (при фиксированном 6).

Итак, наличие вырожденной критической точки а при заданном значении параметра Л означает одновременность следующих двух событий: 1) точка а является параболической и 2) точка а является критической для функционала V. Так как второй дифференциал (0.6) не зависит от q, то описание каустики целесообразно начать с описания параболических множеств Vs (множеств всех параболических точек при различных 6).

Предположим, что часть множества V := \j(Vs,S), V С Е х R^m (это множество также называется параболическим) удалось задать системой гладких параметрических уравнений

6 = <ф(г), ^ (0-7) х = g{z), J z Є Z (Z — область в некотором банаховом пространстве). Тогда, очевидно, соответствующая часть каустики функционала (0.6) определяется следующей системой параметрических уравнений: (0.8)

6 = ф(г), ч = Мд{г),Ф{*))-.

В согласии с вариационным принципом [30], собственные значения и векторы симметричного оператора А{є) , є = (х, 6) Є ( — открытое подмножество в Е х R^m), являются, соответственно, критическими значениями и критическими точками квадратичной формы 2W_c(h) на пересечении а единичной сферы в Н с Е, где W_e(h) = ±(A(e)h_th). (0.9)

Для наименьшего собственного значения имеет место следующее представление: а(е) = 2 inf ШЛ) (0.10)

ЛЄО(ео) (О(ео) — окрестность ео в

Теорема 1 . Если ео Є сг — простой собственный вектор Aq, то при достаточно малых є вблизи ео на а существует единственный простой собственный вектор е(є) оператора А{є), этот вектор гладко зависит от є и допускает следующее асимптотическое представление (формула Релея - Шредингера для собственного вектора): е(е) = е₀ + S\e)e_Q + о(е), (0.11)

А\(є) — главная линейная часть в операторном пучке R(e) := А(є) — Aq (А\ — линейный оператор —> L(E, F)).

Из теоремы 1 и соотношения (0.10) получаем представление для возмущенного собственного значения (формулу Релея - Шредин-гера для собственного значения): а{е) = іл(є) + о(є), ц{є) = ((і4і(є)е_0| е₀>. (0.13)

Теорема 2 . Если ео Є а — простой собственный вектор Aq, то дискриминантное множество Dskr(W)² квадратичного функционала W на а определяется уравнением а(є) = 0, (0.14) где а(є) задается соотношениями (0.10), (0.13) (при достаточно малых є вблизи ео на о).

В параграфе П.2 выписаны поправочные коэффициенты более высоких порядков.

Введем операторы

ВЮ(є) := Я<*>(є) - дЮ(є) І, /і^(є) := (Д^(є)е_0ї е₀> .

Теорема 3 . Если ео Є сг — простой собственный вектор Aq, то при достаточно малых є вблизи ео на а дискриминантное ²Дискриминантное множество Dskr — совокупность управлений А, при которых V(-,A) имеет критическую точку на нулевой поверхности уровня. множество Dskr(W) квадратичного функционала W на а определяется уравнением а(є) = 0, где а{е) = aW(e) + aW(e) + о(||||²), а(є) := (і(є) = ((А₁(є)е₀, е₀> (см. (0.10) и (0.13)), а о№ определяется соотношением а^(є) = (ІЇ²\є)ео,е₀) + (АоеМ(є),еМ(є)) = = ^(s) + {A₀e^(s),e^(e)}.

Далее исследуется случай dimiV > 1, N := Ker Aq. Вновь рассматривается квадратичный функционал (0.9) и его сужение W_S) := W\_as, где s := S Л E_s, E_s = span {s,En N¹}. Очевидно, что для e(s,e) := arg(W_StS) (здесь arg(W_Ste) — решение задачи Ws,e(^v)) —* ^т^1 ^v Є ^as) справедливо равенство e(s,0) = s.

По теореме 1 (см. (0.11) - (0.12)) имеем e{s, є) = (1 + ^x(^s>^є))³ + ()- (-¹⁵)

Операторный коэффициент ^l(s,e) вычисляется на основе параметрических формул Релея - Шредингера (0.11). Используется оператор B(s,e):=P_s-A{e)\_Es:E_s->F_s, где P_s : F —> F_s — ортогональный проектор: _{Psy = y-Y, (г/» ч)}^е_{з + (г/.} ^s₎^s_> е\, Є2,..., е_п — ортонормированный базис в N. Пусть 5^n_1 =Nda, a(s, є) = W(e(s, є)).

Теорема 4 . Пусть квадратичный функционал W задан формулой (0.9) и пусть e(s,e) := arg(W_Sj), где W_s> := W\_as. Тогда параболическое мнооюество исходного функционала Vq совпадает с образом дискриминатного мноокества Dskr(a) функции a(s,e), s Є 5^га-1, полученным при вложении е_є : s — e(s,e) сферы S(ⁿ~^ в а или, что эквивалентно, с Dskr(W(-,e)\M_c) — дискриминантным множеством семейства сужений W на подмногообразия М = e(Sⁿ~^l) (квазиинвариантные сфероиды) в а.

Теорема 5 . В случае параметризации (окрестности подмногообразия N Па) вида h = e(s,v) := yjl - \v\² з + v, veE⁰⁰-*¹, s Є Sⁿ~\ \v\_n < 1. для функции а(з,є) = 2infW(e(s,v)) имеет место следующее представление: a(s,e) = (R^{1\e)s,s) + о(є).

В параграфе П.5.3 выписаны асимптотические формулы a(s,e) для особенностей одномерной сборки и многомерной складки:

Теорема 6 . Пусть слагаемое Vq(x,6) в (0.6) имеет следующий вид:

Уо(х,6) = ±(А(6)х,х)+ІЇ^А\х,х,х,х) + о{\\х\\%), (0.16) гдеА{8) = Aq-\- E B^Ski 0.^\x,y,z,w) —симметричная 4—линейная форма, и пусть dimKerAo = 1, KerA_Q = Span (e₀), /3_m := {B_meo,e₀) Ф 0. (0.17)

Тогда имеется параметризация множества (V) в виде 6\ = Si, где 8 = (#i, 'т—1) = -.f.^-7⁽²⁾W + o(Pll + IN||), = (\¹в_кб_к-в_тСі:¹Р-б_к + 'у^{2Кх)))х+\k=i ч=і ^^m у + и&(х) + о(\\8\\ + \\х\\%), ..,<5_TO_i)^T, ж Є , Pk '= (Вкео, e₀), o;⁽³⁾(z) := grad ft⁽⁴⁾(z), ⁷ W^:=\"^W^eo>^eo Теорема 7 . Пусть слагаемое Vq(x, 8) в (0.6) имеет вид ±{А{6)х,х) + ІЇ³\х,х,х) + о(\\х\\%), А(8) = Aq + Е -Bjt^jb, 2(³)(а;, у,-г) — симметричная 3—линейная форма, и пусть dimKerAo = п. Тогда параболическое множество функционала Vo совпадает с образом (полученным при вложении s — e(s,e) единичной сферы (^71-1) (в а), см. теорему 4) дис-криминантного множества некоторого (8, х)—параметрического семейства a(s,S,x) функций на S^^n_1\ представимого в виде {P(s),8) + 6rt³\x,s,s) + о(8,х),

Р(з) = (AM, ... ,An(s))^T, /k(a) := (B_ks,s).

Заключительная (третья) глава посвящена приложению теоретических результатов диссертации к исследованию краевой задачи на отрезке для уравнения Дуффинга (параграф III. 1) и краевой задачи для ОДУ четвертого порядка с квадратичной нелинейностью (параграф Ш.2).

Пусть і / 2 ^» = /(Y-(^² + 5)f + $ + ^)^ (0.18)

2 ^ч ' 2 4

Е = {x(t) Є С²([0,1], R) : ж(0) = (1) = 0}, F = {x(t) є С([0,1], R)}, ft = L₂([0,1], R).

Теорема 8 . Каустика функционала (0.18) допускает параметризацию (см. (0.8):

6= 3(е?^²) + о(И²_Е), q = Л₀(х) -3{elx²)x + x³ + o(\\x\\³_E), [ (0.19) хе Е.

Пусть о ^ I^і (l^d2A² (^dx\² о 2 X* \

У(*,а,Ья) = /-^ -a (-) + /fc» + _{T + ff}*

Е = {x{t) Є C⁴([0,7r],R) : х(0) = х(0) = ж(тг) = ж(тг) = 0}, F = {x(t) Є С([0,1],R)}, Н = Х₂([0,1],R).

Теорема 9 . При локализации управляющих параметров a = 5 + #і, /3 = 4 + <$2 параболическое множество функционала Vo(x,6) совпадает с образом (полученным при вложении s —> e(s,e) единичной окружности S^ в а) дискриминантного множества (6,х)—парамерического семейства a(tp, 6, х) функций на S^, пред-ставимого в виде + 6₂\s\^d + 6(x, s²)+o(8,x), где s = cos((p)e\ -f sin(<,0)e2, e& = \/2sin kt, k = 1,2, 0 <

2 = Js²dt, (x, s²) = Jxs² dt. Lib J ~ ~

Автор искренне благодарит профессора Ю. И. Сапронова за научное руководство, внимание и поддержку, а А.Ю. Борзакова — за помощь в создании рисунка.

Фредгольмовы функционалы на многообразиях

В следующих разделах предполагается, что функционал V имеет фредгольмов индекса нуль градиент относительно тройки пространств {E,F,H}. Предложение 1 (лемма Морса). Пусть V — фредгольмов функционал с градиентной реализацией в тройке пространств {E,F,H}, и XQ Є Е — невырожденная критическая точка V. Тогда существует диффеоморфизм (р : (U,xo) — (О,0), где U и О — окрестности, соответственно, точки XQ и нуля в Е, такой, что ДОКАЗАТЕЛЬСТВО имеется в [50] - [52]. Библиография работ, содержащих различные обобщения леммы Морса на бесконечномерный случай, имеется в [8]. Предложение 2. Пусть E,F — банаховы, Н — гильбертово пространства, Е С F С Н — непрерывные вложения, и Е плотно в Н. Пусть А{\) : Е — F — непрерывное относительно X Є А (А — область некоторого банахова пространства) семейство симметричных относительно скалярного произведения (, ) Предложение 3. Пусть V(-,X) — гладкое семейство фредгольмовых функционалов с градиентными реализациями в тройке пространств {E,F,H}, такое, что функционал (-,0) имеет при х = XQ невырожденную критическую точку с индексом Морса, равным п. Тогда существует гладкое отображение а : А — Е, определенное на окрестности А точки 0, такое, что а(0) = XQ, и OL{\) — невырожденная критическая точка функционала V(-, А) морсовского индекса п V А Є Л. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО имеется в [52]. Ниже изложен теоретический "минимум", содержащий сведения из общего глобального анализа фредгольмовых функционалов [44], необходимые для изложения и обоснования основных идей и конструкций данной работы. Пусть М — гладкое банахово многообразие, вложенное как гладкое подмногообразие в аффинное банахово пространство Е [18],[28], V — гладкий функционал на М, гладко продолженный на Е (продолжение обозначено тем же символом V). Наложим следующие два условия: (I) задана такая пара линейных пространств F, Н (первое из них банахово, а второе гильбертово), что (1.1) Е аффинно и непрерывно вложено в F, F линейно и непрерывно вложено в Н, (1.2) Т(Е) плотно в Я; (II) задано гладкое отображение / : Е — F, такое, что (( ) — скалярное произведение в Н). Отображение / называется градиентом V и обозначается grad V. Определение 1.

Подмногообразие М в Е называется Н— дополняемым, если для любой точки а Є М имеет место разложение в прямую сумму в которой 1) Ta(M) — подпространство в Т{Е) касательных к М векторов в точке a, a Na{M) = {у Є Т(Е) : (у, h) = О V/i Є Та{М)} {нормальное подпространство в Е); 2) Na{M) гладко зависит от а Є М в метрике Е {то есть множество U {{a, Na{M))} является гладким векторным подрассло аеМ ением тривиального расслоения М х Т{Е) над М). Подмногообразие М в Е называется HF— дополняемым, если оно Н—дополняемо и в любой точке а Є М задано разложение в прямую ортогональную {в метрике (,)) сумму в которой А Na{M) будем называть касательным и нормальным подпространствами в F к М ); {то есть множества U {{а,Та{М))} и U {{a,Na{M))} являегп аЄМ аЄМ ся гладким векторным подрасслоениями тривиального расслоения С каждым многообразием М, являющимся HF—дополняемым подмногообразием в Е, связана пара гладких пучков ортогональ-ных проекторов Па и Па, действующих соответственно из Т{Е) на Та{М) и из F на Га(М). Векторное поле Х{а) = Tia{grad V{a)) и операторное поле Па- -(а) будем называть первым и вторым ко дифференциалами V на М и установим для них обозначения VV(a) и V2V(a) (оператор S72V(a) действует из Та(М) в Та(М) ). Определение 2. Пусть О — область в банаховом многообразии М, являющемся HF—дополняемым подмногообразием в аффинном банаховом пространстве Е. Гладкий функционал V на М называется фредголъмовым индекса к на области О, если его второй ко дифференциал в каждой точке х Є О является фредголъмовым оператором индекса к. Функционал V является геодезически выпуклым [18] на О, если его второй кодифференциал в каждой точке а Є О положителен: Ниже всюду предполагается HF—дополняемость многообразия М. Развиваемый в диссертации подход опирается на метод квазиинвариантных подмногообразий. Опишем кратко соответствующие понятия. Начнем с предтечи -критических орбит. Пусть задана связная группа Ли G и зафиксирован гладкий гомоморфизм из этой группы в группу ортогональных линейных преобразований гильбертова пространства Н. Гомоморфизм Т задает ортогональ ное действие на пространстве Н:

Бифуркационые диаграммы функционалов

Пусть Mq — гладкое семейство HF—дополняемых подмногообразий в Е, q Є R/, и V — гладкий фредголъмов функционал индекса нуль на MQ. Пусть а Є MQ — морсовская критическая точка V\MU- Тогда найдутся такие окрестности О С R/ и U С Е, содержащие 0 и а, и такое гладкое отображение ф : О — U, что В данной лемме гладкость Mq означает, что существует гладкое семейство гладких вложений 9q : MQ — Mq С Е. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭТОЙ леммы почти дословно повторяет доказательство предыдущей леммы. Нуждается в коррекции лишь определение векторного поля g (см. (1.9)): Семейство изоморфизмов Aq(x) определяется точно так же, как и раньше определялось семейство А(х), с тем лишь отличием, ЧТО теперь изменяется не только точка х многообразия, но и само многообразие. Постоянство индекса Морса — тривиальное следствие параметрической леммы Морса (на конечномерных многообразиях) [3]. Возвращаясь к доказательству пердложения 4, введем сначала трубчатую окрестность U над орбитой О точки а, то есть такую окрестность U, на которой определена гладкая расслаивающая ре тракция 7г : U — О, задающая на U структуру расслоенного многообразия с базой О и слоями R\, := 7г_1(Ь). Построение такой окрестности над компактной орбитой не представляет большого труда. Сначала строится в каждой точке Ь орбиты О ортогональное дополнение Ьъ в Е (по метрике Н) к касательному пространству Ть(0). Затем в Е выбирается такая окрестность U, что для любых Ь,с Є О, Ъ ф с, множества Ьъ П U и Ьс П U не пересекаются. Окрестность U таким образом гладко расслаивается над орбитой О со слоями Ьъ П U. Пусть 7Г : U — О - соответст О — U, что В данной лемме гладкость Mq означает, что существует гладкое семейство гладких вложений 9q : MQ — Mq С Е. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭТОЙ леммы почти дословно повторяет доказательство предыдущей леммы. Нуждается в коррекции лишь определение векторного поля g (см. (1.9)): Семейство изоморфизмов Aq(x) определяется точно так же, как и раньше определялось семейство А(х), с тем лишь отличием, ЧТО теперь изменяется не только точка х многообразия, но и само многообразие. Постоянство индекса Морса — тривиальное следствие параметрической леммы

Морса (на конечномерных многообразиях) [3]. Возвращаясь к доказательству пердложения 4, введем сначала трубчатую окрестность U над орбитой О точки а, то есть такую окрестность U, на которой определена гладкая расслаивающая ре тракция 7г : U — О, задающая на U структуру расслоенного многообразия с базой О и слоями R\, := 7г_1(Ь). Построение такой окрестности над компактной орбитой не представляет большого труда. Сначала строится в каждой точке Ь орбиты О ортогональное дополнение Ьъ в Е (по метрике Н) к касательному пространству Ть(0). Затем в Е выбирается такая окрестность U, что для любых Ь,с Є О, Ъ ф с, множества Ьъ П U и Ьс П U не пересекаются. Окрестность U таким образом гладко расслаивается над орбитой О со слоями Ьъ П U. Пусть 7Г : U — О - соответствующее рассла-ивающее отображение, и пусть U = U П М, 7Г = Щи. Очевидно, что 7Г также является гладкой расслаивающей ретракцией из U на О. Будем считать, что множество U инвариантно относительно действия G (в случае компактной группы этого легко добиться). Так как морсовость орбиты О означает, что для любой точки Ъ Є О функционал Уо\ць является фредгольмовым индекса нуль, а точка b является его критической точкой Морса, то, по ранее доказанным леммам, при достаточно малых Л для V\ останется ровно по одной условной критической точке в слоях Щ (для возмущенного функционала) и эти точки останутся морсовскими. Поскольку эти точки задают гладкое сечение рассмотренного выше отображения 7Г, то их совокупность образует гладкое подмногообразие О, диффеоморфное орбите О. Нетрудно заметить, что все точки подмногообразия О и только они являются критическими точками функционала V\ в окрестно сти U (если эта окрестность достаточно мала). Последнее легко установить, если заметить что, во-первых, все орбиты, достаточно близкие к О, трансверсальны Щ V6 Є О и, во-вторых, каждая критическая точка сужения V\\Q всегда (даже вующее рассла-ивающее отображение, и пусть U = U П М, 7Г = Щи. Очевидно, что 7Г также является гладкой расслаивающей ретракцией из U на О. Будем считать, что множество U инвариантно относительно действия G (в случае компактной группы этого легко добиться). Так как морсовость орбиты О означает, что для любой точки Ъ Є О функционал Уо\ць является фредгольмовым индекса нуль, а точка b является его критической точкой Морса, то, по ранее доказанным леммам, при достаточно малых Л для V\ останется ровно по одной условной критической точке в слоях Щ (для возмущенного функционала) и эти точки останутся морсовскими. Поскольку эти точки задают гладкое сечение рассмотренного выше отображения 7Г, то их совокупность образует гладкое подмногообразие О, диффеоморфное орбите О. Нетрудно заметить, что все точки подмногообразия О и только они являются критическими точками функционала V\ в окрестно сти U (если эта окрестность достаточно мала). Последнее легко установить, если заметить что, во-первых, все орбиты, достаточно близкие к О, трансверсальны Щ V6 Є О и, во-вторых, каждая критическая точка сужения V\\Q всегда (даже при несимметричных возмущениях) является критической и для V\ (ниже такие многообразия будут рассмотрены более подробно в виде квазиинвариантных подмногообразий). Так как подмногообразие О компактно, то V\\Q имеет не менее двух критических точек. Орбита любой из этих точек является критической и трансверсально пересекающей все слои Щ. Так как любая точка пересечения критической орбиты с Щ является критической и для VAI , то она автоматически является единственной и, следовательно, совпадающей с точкой Яь П О. Таким образом, подмногообразие О является орбитой. Утверждение о неизменности индекса Морса — следствие теоремы С.Л.Царева [50] об устойчивости индекса Морса фредгольмова функционала. Что и требовалось доказать.

Построение спектрального множества

Пусть задан пучок операторов, непрерывно зависящий от є Є — открытое множество в некотором банаховом пространстве, "Н — гильбертово пространство, Е плотно в Ті. Значение параметра є = єо называется характеристическим или точкой спектра для пучка Л, если существует элемент Къф такой, что Aeoho = 0. Элемент ho называется собственным вектором Ає, соответствующим точке спектра Єо Для нахождения спектрального множества Spec (параболического множества V) нужно решить уравнение Ath = 0 (спектральную задачу). Более широкое спектральное множество S описывается на основе уравнения Функция а = а(є), являющаяся решением этой задачи, называется спектральной функцией. В нашей задаче а(0) = 0 (невозмущенным собственным значением является нуль). Если мы сумеем найти из уравнения (2.4) функцию а(е:), то для построения множества Spec нужно приравнять эту функцию нулю. Как уже отмечалось, в [53] описан основанный на вариационном методе подход к получению формул асимптотического разложения собственных значений и векторов в случае одномерного вырождения оператора Гессе (dim Кег А(0) = 1). Напомним (см. определения в 1.2.1), что векторное поле и операторное поле f[{x) называются первым и вторым кодиф-ференциалами W на а и обозначаются V1W(rc) и S/2W(x) соответственно. Здесь П — ортогональный проектор на Тх{а) : второй кодифференциалы для Wi где на а имеют следующий вид: Для и = ео имеем: V2W(eo)h = (А(є) — \I)h. Всюду предполагается, что оператор (А(є) — XI) — симметричный фредгольмов оператор индекса нуль V Л (из Е в F). В соответствии с вариационным принципом [30], собственные значения и векторы симметричного оператора А(є) , є = (х, 6) Є { — открытое подмножество в Е х Rm), являются, соответственно, критическими значениями и критическими точками квадратичной формы 2W(h) на пересечении а единичной сферы в Н с Е. Для наименьшего собственного значения 1 имеет место следующее представление: (О(ео) — окрестность ео в а). Функция а(є) является гладкой, что вытекает из следующего утверждения: Теорема 1. Если ео Є сг — простой собственный вектор AQ, то при достаточно малых є вблизи ео на а существует единственный простой собственный вектор е(є) оператора А(є), этот вектор гладко зависит от є и допускает следующее асимптотическое представление (формула Релея - Шредингера для собственного вектора): Аі(є) — главная линейная часть в операторном пучке R(e) := А(є) — AQ (А\ — линейный оператор В — L(E, F)). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО существования и единственности возмущенного собственного вектора вытекает из теоремы о неявной функции для уравнения в банаховом пространстве. Дифференцируя тождество по є в точке є = 0, получаем или где Таким образом, здесь S — сужение В на ТЄо(сг) (для любого оператора В). Вывод соотношения (2.9) и асимптотических представлений более высокого порядка производится методом неопределенных коэффициентов, методом регуляризованных следов [40], [20] и др. Замечание 3. Из теоремы 1 и соотношения (2.8) получаем представление для возмущенного собственного значения

Таким образом, установлено следующее утверждение: Теорема 2. Если ео Є сг — простой собственный вектор AQ, то дискриминантное множество Dskr(W) квадратичного функционала W на а определяется уравнением где а(є) задается соотношениями (2.8), (2.Ц) (при достаточно малых є вблизи ео на а). Вычислим операторный коэффициент {е) в разложении (2.9). С этой целью рассмотрим уравнение Сравнив слагаемые с одинаковыми степенями, получим соотношения Тогда равенства (2.17) - (2.18) приобретут следующую компактную форму: Здесь Р — ортопроектор на касательное пространство к а в точке ео (Рх := х — (х,ео)ео). Отсюда получаем аналоги известных формул Релея - Шредин-гера: Здесь учтено, что после подстановки выражения (2.21) в соотношение (2.18) получаются следующие "промежуточные" выражения: Таким образом, установлено следующее утверждение, уточняющее теорему 2: Теорема 3. Если ео Є сг — простой собственный вектор AQ, то при достаточно малых є вблизи ео на а дискриминантное множество Dskr(W) квадратичного функционала W на а определяется уравнением (CM. (2.8) и (2.Ц)), a o№ определяется соотношением Замечание 4. Аналогичным образом можно вывести обобщенные формулы Релея - Шредингера для случая поправочных слагаемых более высокого порядка (с учетом ограничения \е(є)\ = 1). Пусть теперь нуль — п—кратное собственное значение оператора 4(0), N := Ker(Ao), S4-1 := N П S — (те - 1)-мерная сфера в N, 00-71 := N1 П Е, F-n := N1 П F. Рассмотрим разложение вектора h = u + v, где и N,v Є Е п, параметр s Є 5П_1, и каждой точке s поставим в соответствие пару пространств {Es, Fs}, Es := Е п + Span(s), Fs = F-n + Span(s). Легко увидеть, что CodimE Es = Codimp Fs = n — 1. Пусть crs := S П Es — транс-версальная к Sn l сфера (в а Г) Es) в точке s [CodivfiE о 3 = п). Рассмотрим далее квадратичный функционал (2.5) и его сужение WSi := W\aa. Очевидно, что для e(s,e) := arg(WS}) (здесь arg(WSy) — решение задачи WSi(v)) — inf, v Є as) справедливо равенство Операторный коэффициент 1(sie) вычисляется на основе параметрических формул Релея - Шредингера (2.9). Нетрудно увидеть, что S1(sie)s — касательный вектор к crs в точке s. Для непосредственного вывода формул Релея - Шредингера в рассматриваемом случае введем оператор где Р3 : F — Fs — ортогональный проектор: еі, Є2,..., еп — ортонормированный базис в N. На основе формул (2.9) - (2.10) получаем Замечание 5. Для возмущенного собственного значения получаем (на основе формул (2.23), (2.24)) представление Замечание 6. Представление (2.25) можно истолковать как результат сужения функционала WSj на квазиинвариантное подмногообразие (сфероид) [44], что является разновидностью нелокальной конечномерной редукции гладкого функционала (см. раздел 1.2.2 и определение в следующем пункте). В итоге получено следующее утверждение: Теорема 4. Пусть квадратичный функционал W задан формулой (2.5) и пусть e(s,e) := arg(WSj), где W3} := Wcffj. Тогда параболическое множество исходного функционала VQ совпадает с образом дискриминатного множества Dskr(a) функции a(s,e) (см. (2.25)), s Є 5n_1, полученным при вложении е : s — e(s,e) сферы 5(n-1) в а или, что эквивалентно, с Dskr(W(-,e)\ME) — дис-криминантным множеством семейства сужений W на подмногообразия М — e(5n_1)(квазиинвариантные сфероиды) в а.

Примеры параметризации каустик

В этом разделе мы построим параметризацию каустики фактически в конечномерном случае через вычисление детерминанта, этот же пример будет рассмотрен вследующем разделе II.5.2 (с вычислением по схеме из (П. 1.1) ). Предложение 12. Пусть задана вер сальная деформация V\ функционала Vo с генотипом (в нуле) W0(0 = - + №l Тогда каустика развертки V\ стабильно эквисингулярна1 каустике следующего семейства многочленов - + if + 5(i — f) #ii #2 2 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО следует из (1.13). Построим параметризацию каустики функции — ограниченной миниверсальной деформации особенности гиперболической омбилики. Здесь = (і,2)т Я. = ( 7ъ#2)т- Градиент функции имеет следующий вид: ных) можно записать следующим образом Традиционный подход заключается в вычислении спектра этой матрицы (множества V параболических точек) через уравнение det(A(e)) = 2 — б2 — 2 = 0- Множество V в данном случае образует конус. После замены 6 = rcos( p), 2 = rsin((p) получаем 2 = г2, а параметризация каустики принимает следующий вид рис.1): qi = r2(l Т 2r2 cos( /?) + sin2( /?)) 2 = ±2r2 sin( /?) — r2 sin(2 /?) График данной поверхности имеется ниже в разделе П.5.2. Здесь мы построим параметризацию каустики в конечномерном случае для примера из предыдущего раздела П.5.1 на основе теории Релея - Шредингера. Этот наглядный пример позволяет понять суть предложенного метода. Рассмотрим квадратичный функционал Сделаем замену переменных h = (cos sin )), h Є т и рассмотрим точки, в которых функция а(ф, є) = х + у$т.{2ф) + 8со${2ф) обращается в нуль вместе с производной. Следовательно, получаем у = rsin(2 ), 6 = rcos(2?/ ), (2.31) —со г +00, 0 детерминанта, этот же пример будет рассмотрен вследующем разделе II.5.2 (с вычислением по схеме из (П. 1.1) ). Предложение 12. Пусть задана вер сальная деформация V\ функционала Vo с генотипом (в нуле) W0(0 = - + №l Тогда каустика развертки V\ стабильно эквисингулярна1 каустике следующего семейства многочленов - + if + 5(i — f) #ii #2 2 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО следует из (1.13). Построим параметризацию каустики функции — ограниченной миниверсальной деформации особенности гиперболической омбилики. Здесь = (і,2)т Я. = ( 7ъ#2)т- Градиент функции имеет следующий вид: ных) можно записать следующим образом Традиционный подход заключается в вычислении спектра этой матрицы (множества V параболических точек) через уравнение det(A(e)) = 2 — б2 — 2 = 0- Множество V в данном случае образует конус. После замены 6 = rcos( p), 2 = rsin((p) получаем 2 = г2, а параметризация каустики принимает следующий вид рис.1): qi = r2(l Т 2r2 cos( /?) + sin2( /?)) 2 = ±2r2 sin( /?) — r2 sin(2 /?) График данной поверхности имеется ниже в разделе П.5.2. Здесь мы построим параметризацию каустики в конечномерном случае для примера из предыдущего раздела П.5.1 на основе теории Релея - Шредингера. Этот наглядный пример позволяет понять суть предложенного метода. Рассмотрим квадратичный функционал

Сделаем замену переменных h = (cos sin )), h Є т и рассмотрим точки, в которых функция а(ф, є) = х + у$т.{2ф) + 8со${2ф) обращается в нуль вместе с производной. Следовательно, получаем у = rsin(2 ), 6 = rcos(2?/ ), (2.31) —со г +00, 0 ф 2-к. Подставляя (2.31) в (2.30), получим х + г = 0, следовательно х = —г. Таким образом, для параболического множества V получаем следующую параметризацию: -со г +оо, Є [0,2тг]. Параметризация каустики в этом случае имеет следующий вид: Очевидно родство данной параметризации с параметризацией из раздела П.5.1. В конечномерном случае оба подхода выглядят довольно простыми, но уже в случае большой размерности вычисления первого метода становятся громоздкими. В бесконечномерном же случае традиционный метод вообще неприменим (в прямом виде). Следует отметить, что традиционный подход можно использовать после предварительной блочной диагонализации [4] операторного пучка. Подход, изложенный в диссертации, в принципе допускает погружение в алгоритм, основанный на блочной диагонализации операторного пучка (со всеми вытекающими отсюда приобретениями и потерями). В диссертации не рассматриваются алгоритмы такого типа. А. Особенность одномерной сборки. Пусть слагаемое VQ{X, 6) в (2.1) имеет следующий вид: где А(6) = Ао+ Е Bk&ki. &А\х, У, z, w) — симметричная 4—линейная форма, и пусть dim КегА0 = 1, KerA0 = Span (е0), /Зт := (Вте0, е0) Ф 0. (2.35) Теорема 6. При выполнении условий (2.34), (2.35) имеется параметризация множества S(V) в виде ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы несложно проводится на основе соотношений (2.8) - (2.14). Действительноф 2-к. Подставляя (2.31) в (2.30), получим х + г = 0, следовательно х = —г. Таким образом, для параболического множества V получаем следующую параметризацию: -со г +оо, Є [0,2тг]. Параметризация каустики в этом случае имеет следующий вид: Очевидно родство данной параметризации с параметризацией из раздела П.5.1. В конечномерном случае оба подхода выглядят довольно простыми, но уже в случае большой размерности вычисления первого метода становятся громоздкими. В бесконечномерном же случае традиционный метод вообще неприменим (в прямом виде). Следует отметить, что традиционный подход можно использовать после предварительной блочной диагонализации [4] операторного пучка. Подход, изложенный в диссертации, в принципе допускает погружение в алгоритм, основанный на блочной диагонализации операторного пучка (со всеми вытекающими отсюда приобретениями и потерями). В диссертации не рассматриваются алгоритмы такого типа. А. Особенность одномерной сборки. Пусть слагаемое VQ{X, 6) в (2.1) имеет следующий вид: где А(6) = Ао+ Е Bk&ki. &А\х, У, z, w) — симметричная 4—линейная форма, и пусть dim КегА0 = 1, KerA0 = Span (е0), /Зт := (Вте0, е0) Ф 0. (2.35) Теорема 6. При выполнении условий (2.34), (2.35) имеется параметризация множества S(V) в виде ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы несложно проводится на основе соотношений (2.8) - (2.14). Действительно, из 2.14 получаем