Отображения с конечным искажением и их применения в теории упругости Молчанова Анастасия Олеговна

Введение к работе

Актуальность темы.

Для класса отображений р: —> R³, С М³, введённых Дж. Бол-лом [1-] и понимаемых как деформации твердого тела, естественным образом возникают вопросы о таких свойствах этих отображений, как непрерывность, инъективность и обратимость, а также J\f и Л/"^-1 -свойства Лузина. Непрерывность р означает неразрывность твердого тела, т. е. отсутствие трещин во время деформации. Ещё одно основное требование непрерывной механики заключается в том, чтобы при деформациях не происходило взаимопроникновения материала, т. е. инъективность отображения р. Тогда обратное отображение р~¹ можно рассматривать как обратную деформацию, и естественно ожидать, чтобы оно также обладало некоторыми хорошими свойствами. Выполнение Л/"- и Л/"^_1-свойств Лузина означает, что вещество не может возникать или исчезать при деформации. К тому же это предположение важно и с математической точки зрения, так как А/"-свойство Лузина является необходимым условием для справедливости формулы замены переменной в интеграле Лебега [, теорема 2].

Естественно рассматривать упомянутые свойства и для отображений евклидовых пространств произвольной размерности п. Класс отображений, о котором идёт речь, по существу является обобщением отображений с ограниченным искажением (квазирегулярных отображений в альтернативной терминологии). Основы теории отображений с ограниченным искажением были заложены в 60-ые годы прошлого века в работах Ю. Г. Решетняка. Он исследовал отображения р: —> Rⁿ, с Ш^п, класса Соболева И^/_г[_1ос(), удовлетворяющие условию \Dp(x)\ⁿ < KJ(xJ) для почти всех х Є для некоторого числа 1 < К < оо, где Dp(х) — матрица Якоби, а J(x,p) — её определитель. Наименьшее число К, для которого выполнены указанные выше условия, обозначается символом K_v. Описание свойств этого класса и подробную библиографию можно найти в монографии [ (см. также [,]).

Отображения с ограниченным искажением являются естественным обобщением аналитических функций на многомерные пространства. В частности, справедлив аналог классического результата теории функций о том, что предел равномерно сходящейся последовательности аналитических функций также будет аналитической функцией: если последовательность отображений с ограниченным искажением {pj}j_e^ сходится локально в L_n() к отображению (/?о, и последовательность {K^j^ ограничена, то ро является отображением с ограниченным искажением и К^₀ < lim -^^ K_v (см., например, монографию Ю. Г. Решетняка [, 9.2]). Позже в монографии С. Рикмана [, 8.6] было приведено упрощённое доказательство замкнутости классов отображений с ограниченным искажением относительно локально равномерной сходимости.

Ю. Г. Решетняк доказал основные топологические свойства этого класса отображений — непрерывность, открытость и дискретность. Более того, такие отображения переводят множество нулевой меры в множество нулевой меры, а также если отображение с ограниченным искажением инъективно вблизи границы, то оно является гомеоморфизмом, и обратное отображение имеет ограниченное искажение (подробнее см. []).

В контексте нелинейной теории упругости условие ограниченности искажения слишком обременительно, что приводит к необходимости расширить класс отображений. Например, можно рассматривать такие отображения р: —> Rⁿ, С М^п, класса Соболева И^/Г₁¹_І0С(), что J(x,p) > 0 почти всюду в (п.в. в ) и \Dp(x)\ⁿ < K(x)J(x₎p) для почти всех х Є , где 1 < К(х) < оо п. в. в . Другими словами, частные производные отображения р обращаются в нуль почти всюду на множестве нулей якобиана. Впервые некоторые важные свойства этого класса были получены в кандидатской диссертации С. К. Водопьянова [] (см. также работу С. К. Водопьянова и В. М. Гольдштейна [): было доказано, что такие отображения класса W^ _1ос непрерывны и имеют монотонные компоненты. В 1993 г. в работе Т. Иванца и В. Шверака [] этот класс отображений был назван отображениями с конечным искажением. Коэффициент искажения отображения ср определяется отношением КЛх) = тТ { , если JM = 0, и КЛх) = 1, если J(x,ip) = 0. Непрерывность, открытость и дискретность отображений с конечным искажением доказаны в работе Дж. Манфреди и Э. Вилламора [ при условии K_v Є L_S(), s > п — 1.

В монографии Т. Иванца и Г. Мартина [, 8.9] (см. также статью Ф. Геринга и Т. Иванца [] для случая W^) доказано свойство замкнутости семейства отображений класса Соболева—Орлича Wp с конечным искажением, где функция Орлича Р = P(t) удовлетворяет условиям расходимости (J^ t~ⁿ~^lP(t)dt = оо) и выпуклости (функция t ь-> P(t ²»2 ) выпукла). В этом случае пространство Wp близко по своим свойствам к W\. Существуют также и другие обобщения и вариации свойства замкнутости, например, С. К. Водопьянов [] изучает замкнутость классов отображений с ограниченным искажением на группах Карно, Б. Ян [] приводит доказательство замкнутости, основанное на полунепрерывности квазивыпуклых функций, Л. Греко, С. Сбордон и С. Тромбетти [16,] изучают замкнутость множеств гомеоморфизмов класса Wl_loc.

Ключевая роль свойства инъективности отображений в приложениях объясняет интерес и обширные исследования данного вопроса. Глобальная инъективность деформаций была доказана Дж. Боллом в [] для гиперупругих материалов, энергия которых растёт достаточно быстро, на основе следующего результата. Пусть — ограниченная область с липшицевой границей, р: —> Rⁿ — отображение класса W* р > п, совпадающее на границе d с

гомеоморфизмом р и J(x, р) > 0 п. в. в , причём область p() удовлетворяет условию конуса. Предположим также, что для некоторого числа m > п выполнено

fur, ( -nrr, _т( / lAdjD^(^r ,

(iJccrr)) Jx₁p)dx = ( ):—ах < оо.

Тогда р — гомеоморфизм области на p().

Другой подход, предложенный Ф. Сьярле и И. Нечасом [], основывается на дополнительном условии инъективности /^ J(x,p) dx < \p?()\, если С Ш^п — ограниченная область с С^-гладкой границей, |ір(), отображение р принадлежит классу W(), р > п, и J(x,p) > 0 п. в. в . В этих условиях существует решение задачи минимизации функционала энергии, инъективное почти всюду. В трёхмерном случае удовлетворяющие условию инъективности деформации при более слабом условии р > п — 1 изучались в работе К. Танга []. В этом случае деформация р теряет непрерывность и обратное отображение р~¹ имеет регулярность лишь класса BV\_oc(p()^Mⁿ). Также исследования локальной и глобальной обратимости в контексте теории упругости встречаются в работах И. Фонсеки и У. Ганбо [], Ф. Сьярле и Дж. Нечаса [], В. Шверака [], С. Мюллера, С. Спектора и К. Танга [], Т. Иванца и Я. Оннинена [] и др.

В настоящей работе мы получаем достаточные условия инъективности, основываясь на ограниченности индуцированного оператора композиции р*: L(') —> Lq(), 1 < q < р < оо, определяемого по правилу = f р для / Є L(') П Lip\_oc('). Задача описания операторов композиции в пространствах Соболева берёт начало в работах С. Л. Соболева [], В. Г. Ма-зьи [] и Ф. Геринга []. Всестороннее исследование свойств отображений, индуцирующих ограниченные операторы пространств Соболева, было проведено в работах С. К. Водопьянова, В. М. Гольдштейна, А. С. Романова, А. Д. Ухлова и др. [-].

При исследовании вопросов, мотивированных нелинейной теорией упругости, естественно встаёт вопрос о регулярности обратного отображения: рассмотрим соболевский гомеоморфизм р, при каких условиях обратный гомеоморфизм р~¹ также будет принадлежать классу Соболева W^_loc?

С. Хенсл и П. Коскела [,] доказали, что в плоском случае гомеоморфизм р Є Wii_oc будет удовлетворять условию р~¹ Є Wii_oc тогда и только тогда, когда р имеет конечное искажение. Свойство конечности искажения обратного отображения для W^ _1ос-гомеоморфизма с конечным искажением можно найти в работах К. Танга [] и С. Мюллера, Т. Ци и В. Яна []. Ю. Оннинен в работе [] получает W^ _1ос-регулярность обратного отображения для VK¹_1ос-гомеоморфизма, р > п — 1, с интегрируемым внутренним

искажением Kj{x,p) = _J(x T»_i Є Ьціг). Кроме того, справедлива формула

/ \Dp~ (у)\^пdy = / Kj(x,p) dx.

Последний результат лежит в основе работ Т. Иванца, Я. Оннинена и соавторов (например, [,,]), где исследуются И^-гомеоморфизмы р: Q —> Q' между двумя ограниченными областями в Rⁿ с конечной п-гармонической энергией. В общем случае слабый в W\ предел последовательности гомеоморфизмов теряет инъективность. Однако, если дополнительно потребовать суммируемость коэффициента внутреннего искажения Kj(-,p) Є Li(Q) и некоторые дополнительные условия, то предельное отображение также будет гомеоморфизмом [].

С другой стороны, свойства регулярности прямого и обратного гомеоморфизма могут быть описаны в терминах индуцированного оператора композиции. В [30] доказано, что если гомеоморфизм р: Q —> Q' индуцирует ограниченный оператор композиции р*: LUQ') —> L^(Q), п — 1 < q < р < оо, то р принадлежит классу И^/ГІ_І0С(І7), имеет конечное искажение и функция

искажения К^р^х) = \, \{}_р Є ь_к(\1), где х = ^. Ьолее того (см. []), обратное отображение индуцирует ограниченный оператор композиции р~¹ : Lh(Q') —> lA,(Q), где р' = _^_n+i и 4 = _^₊₁, а значит, р~¹ принадлежит классу Соболева Wb i_oc(^') и имеет конечное искажение. Известно также [30,], что норма оператора композиции р* эквивалентна норме коэффициента искажения К^_р: т. е. существует константа С такая, что

\\р*\\ < ||^,р I Д*(^)|| < СЦ^*!!-

В работе [] доказано также, что если отображение р: Q —> ГУ порождает ограниченный оператор композиции р*: Ll(Q!) П С⁰⁰(І7^/) —> Lq(Q), 1 < q < р < п, то р обладает J\f~^l-свойством, т.е. |(^^_1(Л)| = 0, если \А\ = 0, А с Q'.

Целью данной работы является исследование свойств классов отображений с конечным искажением, возникающих в задачах нелинейной теории упругости.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. получить достаточные условия инъективности почти всюду отображения класса W^_oc, q > п — 1;

2. доказать замкнутость классов отображений с ограниченным (#,1)-весовым (р,д)-искажением;

Kj(x,ip) = 1, если | Adj D(p(x)\ = 0, и Kj(x,(p) = со, если | Adj D(p(x)\ =0и det Dcp(x) = 0.

Kip_)P(x) = 0 на множестве нулей якобиана J(x,cp) и множестве сингулярности, т.е. таком множестве, вне которого отображение ср обладает Л^-свойством Лузина.

3. применить полученные результаты к вариационным задачам нелинейной теории упругости;

Основные положения, выносимые на защиту:

3. Получены достаточные условия того, что предел последовательности гомеоморфизмов класса ¹_{, loc}, - 1, является инъективным почти всюду отображением.

4. Доказана замкнутость классов отображений с ограниченным (,1)-весовым (,)-искажением, и получено свойство полунепрерывности снизу функции искажения.

5. Доказана теорема существования задачи минимизации функционала энергии на новом классе отображений с конечным искажением при условии, что функция запасённой энергии поливыпукла и коэрцитивна.

Научная новизна. Все основные результаты являются новыми. В диссертации также были использованы оригинальные подходы, которые могут быть полезны в дальнейших исследованиях.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты носят теоретический характер и могут быть использованы специалистами, работающими в различных областях анализа, геометрии, вариационном исчислении и теории упругости. Результаты диссертационного исследования могут быть применены в образовательном процессе при организации спецкурсов по квазиконформному анализу и его применению в теории упругости, предназначенных для студентов, магистрантов и аспирантов высших учебных заведений.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы прошли апробацию на следующих научных конференциях и семинарах: Международная школа-конференция «Управление и оптимизация неголо-номных систем», Переславль-Залесский, 2013;

Международная конференция «Дни геометрии в Новосибирске, 2013», Новосибирск, 2013;

Международная школа-конференция «Wurzburg Winter School», Вюрцбург, Германия, 2016;

Семинар по геометрическому анализу, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, руководитель: д.ф.-м.н., профессор С. К. Водопьянов;

Семинар лаборатории геометрической теории управления, институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, руководитель: д.ф.-м.н., профессор А. А. Аграчёв;

Семинар по теории функций многих действительных переменных и её приложениям к задачам математической физики (Семинар С. М. Никольского),

Математический институт им. В. А. Стеклова, Москва, руководитель: д. ф.-м.н., чл.-корр. РАН, профессор О. В. Бесов.

Публикации. Полученные результаты опубликованы в 6 печатных изданиях [–, 2 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [,, 1—в российском научном журнале [], и 3 —в тезисах докладов и материалах конференций [–]. Все сформулированные результаты являются новыми и получены при личном участии автора. Результаты главы 4 получены автором самостоятельно. Результаты глав 1-3 были получены совместно с научным руководителем С. К. Водопьяновым, которому принадлежат формулировки задач и общее руководство работой. В остальном вклад авторов в совместные работы равноправен и неделим.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Список литературы, за исключением выделенных в отдельную часть работ автора по теме диссертации, содержит 144 наименования и приведён в порядке цитирования. Общий объём диссертации —101 страница.