Орторекурсивные разложения по неортогональным всплескам Кудрявцев, Александр Юрьевич

Введение к работе

Актуальность темы. Теория ортогональных рядов (рядов Фурье) является одним из классических направлений математических исследований, которое начало развиваться еще в первой половине XIX века. По всей видимости, первыми работами, в которых изучались ортогональные разложения, являются труды Д'Аламбера и Эйлера о колебании струны и работы Фурье о распространении тепла. В настоящее время имеется большое количество публикаций, посвященных как общей теории ортогональных рядов, так и разложениям в ряды Фурье по конкретным системам.

В последние десятилетия в результате широкого внедрения компьютерных технологий разложения в ряды Фурье по различным ортогональным системам стали широко использоваться на практике при решении задач хранения, обработки и передачи данных различной природы. При этом рассматриваемый объект (изображение, аудиофрагмент, результаты сделанных спутником измерений и др.) моделируется некоторым элементом f пространства со скалярным произведением H, в H выбирается подходящая, учитывающая специфику конкретной задачи полная ортогональная система {ej }J₌₁, где J — или некоторое натуральное число (в случае конечномерных пространств H), или бесконечность, и работа ведется не с самим элементом f, а с его разложением в ряд Фурье по системе {ej}J=₁, то есть рядом fjej, где fj = (f,ej)/(ej,ej). Этот

ряд сходится к элементу f, и в случае бесконечномерных пространств его заменяют на частичную сумму, приближающую элемент с некоторой допустимой погрешностью.

Причинами, приведшими к широкому внедрению рядов Фурье в решение прикладных задач, являются такие свойства ортогональных разложений, как простота вычисления коэффициентов, наличие тождества Бесселя, обеспечивающего возможность быстрой оценки погрешности, то есть разности между элементом и частичной суммой разложения, а также так называемое свойство оперативности (^мсп-1іпє^мсвойство). Последнее свойство заключается в том, что если точность, с которой N-ая частичная сумма приближает разлагаемый элемент, не является приемлемой, то для получения следующего приближения — (N + 1)-й частичной суммы — достаточно вычислить еще один коэффициент, не производя пересчет уже вычисленных коэффициентов. Свойство оперативности позволяет, в частности, параллельно осуществлять разложение и пере- давать уже вычисленные коэффициенты.

Вместе с тем, ортогональные разложения обладают свойствами, которые с точки зрения практических приложений являются отрицательными. Во-первых, условие ортогональности является очень жестким условием на систему, значительно сужающим класс систем, по которым осуществляется разложение. Во-вторых, ортогональные разложения принципиально не позволяют корректировать погрешности, возникающие в вычислении коэффициентов: для любой числовой последовательности {cj}J₌₁, отличной от последовательности {fj}j=i коэффициентов Фурье

элемента f по ортогональной системе {ej }J=₁, ряд ^^J=₁ Cjej либо сходится к элементу, отличному от f , либо расходится (последний случай возможен если J = то).

В связи с вышесказанным, возникает актуальная задача определить процесс разложения, наследующий положительные свойства ортогональных разложений, но не обладающий приведенными выше отрицательными с точки зрения практики свойствами. В качестве решения этой задачи в работе рассматриваются орторекурсивные разложения.

Понятие орторекурсивного разложения было введено Т. П. Лукашенко в 1999 году. В случае ортогональной системы орторекурсивное разложение дает в точности ряд Фурье разлагаемого элемента по этой системе. Определение 1. Пусть H — гильбертово пространство над полем

г т те

действительных или комплексных чисел, {ej}j=1 — система ненулевых элементов H. Для произвольного элемента f Є H определим коэффициенты разложения {fj}j=1 следующим образом:

1. положим

P = (f,e 1) ^f1 = 1—ІЇ2^; ІІЄ1 У

2. если уже определены f1,...,f_n, то положим

^(rn^{(f ),e}n+1⁾

^fn+1

І1^еп+1ІГ

^гд^{е r}n^(f) = ^f - ЕП=1 ^fj^ej.

Коэффициенты {fj}j_=l будем называть орторекурсивными коэффициентами Фурье элемента f по системе {ej}=₁ (для ортогональной системы они совпадают с обычными коэффициентами Фурье), а формальный ряд Xj= ₁ fj ej — орторекурсивным рядом Фурье элемента f по системе {ej}j₌₁-

Т. П. Лукашенко показал, что орторекурсивные разложения обладают рядом свойств, имеющих место для ортогональных разложений. А именно, для орторекурсивных разложений справедливы тождество Бесселя, неравенство Бесселя, эквивалентность равенства Парсеваля и сходимости разложения к разлагаемому элементу.

Определение 2. Систему {ej}=₁ С H\{0} назовем орторекурсивной системой разложения в пространстве H, если для любого элемента f Є H орторекурсивный ряд Фурье f по системе {ej}=1 сходится к f в H.

Схема рекурсивного разложения допускает принципиально различные подходы: можно изначально фиксировать систему {ej}=₁, а можно на каждом шаге для данного элемента f (или для данного остатка r_n(f)) выбирать из некоторого фиксированного множества очередной разлагающий элемент e_n+1(f). Второй подход реализуется, в частности, в так называемых жадных алгоритмах (Greedy Algorithms). Преимуществом орторекурсивных разложений по фиксированным системам перед жадными разложениями является линейность. Орторекурсивные разложения привлекательны также отсутствием усложняющего разложение алгоритма выбора следующего элемента.

Особенностью разложения в тригонометрический ряд Фурье или преобразования Фурье является отсутствие временной локализации — они позволяют получить частотную характеристику сигнала на всем рассматриваемом (конечном в случае ряда Фурье или бесконечном в случае преобразования Фурье) интервале времени. На практике часто используется преобразование Фурье с окном, но оно также обеспечивает ограниченную локализацию по времени, определяемую шириной окна.

В качестве альтернативы преобразованию Фурье в 80-х гг. XX века появились всплески (другое название — вейвлеты) — системы функций, хорошо локализованных по времени и частоте. Они вызвали новую волну математических исследований (см., например, монографии И. Добеши, И. Я. Новикова, В. Ю. Протасова и М. А. Скопиной, Ч. Чуи) и, наряду с преобразованием Фурье, стали аппаратом цифровой обработки сигналов. Однако разложениям в счетные ортогональные системы всплесков присущи все недостатки ортогональных разложений. В частности, порождающая функция системы всплесков часто задается достаточно сложными выражениями (например, всплески Добеши, Мейера и др.). В связи с этим естественно рассмотрение систем неортогональных всплесков, где порождающая функция может быть выбрана произвольно из достаточно широкого класса функций.

Пусть ір — действительно- или комплекснозначная функция на вещественной прямой, принадлежащая пространству Лебега L²(R) над полем действительных или комплексных чисел соответственно. Функции

kti(x) = 2^k/2^(2^kx - l), x Є R, к,l Є Z,

будем называть всплесками, порожденными функцией При этом мы, вообще говоря, не требуем от данного семейства функций ортогональности.

В работе рассматриваются орторекурсивные разложения по неортогональным всплескам.

Пусть L = {Lk}+= — последовательность целых неотрицательных чисел. Рассмотрим систему функций

Ф+Щ = &k,i : к > 0, |l| < Lk}.

Семейство Ф+^), имеющее конечные пачки Пк = {^k,i : |l| < Lk}, занумеруем одним натуральным индексом в порядке возрастания номеров пачек, а внутри пачек — произвольным образом. Таким образом, функции <^k,i присвоим натуральный номер j = j(к, I) так, чтобы из неравенства j < j' следовало неравенство к < к'. Положим ej =

Определение 3. Систему Ф+(Ь) будем называть орторекурсивной системой разложения в пространстве L²(R), если система {ej}=₁ является орторекурсивной системой разложения в L²(R).

Определение 4. Систему $+(L) будем называть безусловной относительно перестановок пачек орторекурсивной системой разложения в пространстве L²(R), если для любой перестановки а множества Z+ совокупность Ф+,о-(L) = { 0, |l| < L_CT(_k)}, занумерованная натуральными числами в порядке возрастания номера k, а в пачках — произвольным образом, является орторекурсивной системой разложения в L²(R).

В. И. Филиппов и П. Освальд доказали, в частности, что если ір Є L²(R), |^(x)| = O(|x|^-1-) (є > 0) при |x| —^ ^o и j_R p(x)dx = 0, то семейство всплесков {(fk,i : k,l Є Z}, порожденных функцией является системой представления в пространстве L²(R), т.е. для любой функции f Є L²(R) найдется ряд вида ^_k,_leZ c_k,i(f )^k,i(x), сходящийся к f в L²(R).

Метод орторекурсивных разложений позволяет дать алгоритм разложения по неортогональным всплескам, но возникает вопрос о сходимости разложения. Представляет интерес изучение достаточных условий на порождающую функцию всплесков, гарантирующих сходимость орто- рекурсивного разложения любой функции из пространства L²(R) к ней самой в метрике L²(R).

Целью работы является изучение сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам, их устойчивости к вычислительной погрешности, а также получение оценок скорости сходимости.

Методы исследования. В работе применяются различные методы математического анализа и теории функций действительной переменной.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. определены различные виды орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам;

2. получены достаточные условия сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам для любой разлагаемой функции из пространства L²(R) к ней самой в метрике L²(R);

3. построен пример, показывающий, что полученные достаточные условия нельзя существенно ослабить;

4. изучена устойчивость орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам к ошибкам в вычислении коэффициентов;

5. получены оценки скорости сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при создании алгоритмов обработки и передачи данных различной природы.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на механико-математическом факультете МГУ: на семинаре по теории ортогональных и тригонометрических рядов под руководством чл.-корр. РАН, проф. П. Л. Ульянова, проф. М. К. Потапова и проф. М. И. Дьяченко (2002) и на том же семинаре под руководством проф. М. К. Потапова, проф. М. И. Дьяченко, проф. В. А. Скворцова и проф. Т. П. Лукашенко (2012), на семинаре по теории ортоподобных систем под руководством проф. Т. П. Лукашенко, доц. В. В. Галатенко и доц. Т. В. Родионова (неоднократно в 2000-2012); на конференциях молодых ученых механико-математического факультета МГУ (2001, 2002); на международных школах-семинарах по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова в Абрау-Дюрсо (2000, 2002); на Саратовской зимней математической школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (2002); на Воронежских зимних математических школах "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (2001, 2003, 2011).

Публикации. Полный список работ автора по теме диссертации приведен в конце автореферата (9 публикаций). Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-2], вышедших в журналах, входящих в список ВАК.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 31 наименование. Общий объем диссертации — 72 страницы.