Операторы свёртки с осциллирующими ядрами или символами в пространствах Харди – Лебега и пространствах гёльдеровских функций Гуров Михаил Николаевич

О пространствах Фу и Фу типа Лизоркина

Изложим схему доказательства теоремы 1.7 п. a) для обобщенных потенциалов Стрихарца по шару Допустим, мы доказали, что а?{у) Є ЦНР, As) тогда и только тогда, когда выполнены условия (1.39). Заметим, что функция а () является мультипликатором в S. Тогда потенциал (0.1) определен на всем S (поскольку а13(у) является свертывателем в S) и, следовательно, на всем Нр. Как показано в [56] (см. замечание 2.3), при выполнении указанных условий неравенство КИк іИк(я МІ№, (1.40) справедливо для всех ір Є Нр. Отметим, что класс S не плотен в Нр, 0 р 1, поэтому, как показано в работе [56] (c. 275), для доказательства теоремы 1.7 п. a) достаточно получить оценки (1.40) для функций if Є SC\Hp. Итак, с учетом (1.2) достаточно доказать, что а С)єМ(Нр,А3). Заметим, что р(С)єМ(Нр,А3) (1.41) в силу теоремы 1.2, п. I a) тогда и только тогда, когда выполнены условия (1.39). Здесь мультипликатор /І() задается равенством (1.21). Выберем N = р=1] + 2,М = р=1] + і + тах{[п(1/р - 1/2)], [п/2]}, I = 1 + 7 (здесь 7 - постоянная из теоремы 1.3). Рассмотрим мультипликатор i?f(0, определяемый равенством (1.22). Заметим, что

Полученное противоречие и доказывает точность оценок. 1.3.2 HP-AS- оценки для обобщенного потенциала Стрихарца по шаровому слою Изложим схему доказательства теоремы 1.7 п. a) для обобщенных потенциалов Стрихарца по шаровому слою. Допустим мы доказали, что s (у) є ЦНР, As) тогда и только тогда, когда выполнены неравенства (1.39). Заметим, что функция s () является мультипликатором в S. Тогда оператор (0.2) определен на всем пространстве «S (поскольку s (y) является свертывателем в S) и, следовательно, на всем №. Как показано в [56] (см. Замечание 2.3.), при выполнении указанных условий неравенство тогда и только тогда, когда выполнены неравенства (1.39), в силу теоремы 1.2, п. I a).

Рассмотрим мультипликатор B${Z). Выберем N = М = 1+7 в формулах (1.25), (1.27), (1.30), (1.34), (1.35), (1.36) и положим / = 1 + 7 в формуле (1.28), где 7 – постоянная из теоремы 1.3. С учетом леммы 1.2, теоремы 1.2 (п. I), теоремы 1.3 и вложения (1.1), заключаем, что

Точность полученных оценок доказывается аналогично случаю обобщенного потенциала Стрихарца по шару. Замечание 1.3. Из представлений (1.20) и (1.38) для символов операторов (0.1) и (0.2), с учетом теоремы 1.2, заключаем, что операторы А13 и S13, 0 /3 1 не являются ограниченными из L\ в Ь , из L\ в ВМО, из Нр в Lf, из Я1 в Loo, из U в Л,, из U в L, из ВМО в ииз в L.

Доказательства теорем 1.7 (п. b - d), 1.8 и 1.9 проводятся по той же схеме, что и доказательство теоремы 1.7 (п. a). При этом, как и выше, используются полученные в 1.2 представления для символов операторов (0.1) и (0.2), и соответствующие пункты теоремы 1.2. Для определения принадлежности функций R{{) и R$() классу M(X,Y) (здесь X, У - одно из пространств: № (0 р ос), Lp(l р ос), ВМО, As (s 0) или Lf (к Є N)) применяются теорема Михлина (см. [2, c. 173]) или ее аналоги (см. [56, c. 282]). Доказательства точности полученных оценок, как и выше, проводятся с использованием предложения 5.1 из [56, c. 290].

Можно показать (см. [72]), что аналоги теорем 1.7 - 1.9 справедливы и для обобщенных потенциалов Стрихарца с ядрами, имеющими особенности на конечном объединении сфер в Жп называются характеристиками оператора (1.64). Функции вг(г) (і = 1,..., І) являются бесконечно дифференцируемыми. При этом Oiirj) ф 0; ujt(t ) (і = 1,...,/) - однородные нулевой степени бесконечно дифференцируемые в Rn\{0} функции, удовлетворяющие условию ш{{р )

В настоящей главе диссертации получены Lp — Lq - оценки для обобщенного потенциала Рисса с осциллирующей экспонентой в ядре и характеристиками широкого класса, включающего в себя произведение однородной и радиальной (гельдеровской) функций.

Глава состоит из трех параграфов. В первом параграфе получено представление для символа потенциала (ДЗД(ж) = f Во втором параграфе изучен вопрос принадлежности классу Mi1 Л. Хермандера одного мультипликатора &а() с особенностью или вырождением на единичной сфере. В третьем, – на основе результатов первых двух параграфов данной главы, получены Lp-Lq- оценки (1 р q ос) для обобщенного потенциала Рисса с однородной характеристикой и затем для оператора (0.3).

Хорошо известно, что его С - характеристикой является «соболевский» интервал (А , А) (см. рис. 2 и рис. 3). Перейдем далее от оператора Iа к оператору R (при 9i{t) = 1). Тогда, как это следует из (2.22) и аналогичного вложения, доказанного в [40] при (п - 1)/2 Rea п, над интервалом (А , А) «надстраивается» выпуклое множество положительной лебеговой меры, для точек (1/р, І/q) которого полученный оператор ограничен из Lp в Lq.

Доказательство Lp - Lq - оценок для обобщенного потенциала Рисса с осциллирующим ядром и однородной характеристикой

Вначале докажем теорему 2.3 для оператора (2.1), который является частным случаем потенциала (0.3), при #i() = 1.

В работе [40], были получены оценки для потенциала (2.1) в случае (п - 1)/2 Rea п. Однако, использованный в ней метод, основанный на представлении оператора Л" через оператор Бохнера - Рисса и некоторый оператор, близкий к акустическому потенциалу, не работает при 0 Rea (п - 1)/2. В настоящем диссертационном исследовании разрабатывается новый метод, основанный на получении специальных представлений для символа оператора R% с последующим применением техники р - q -мультипликаторов.

Асимптотическое разложение некоторых интегралов, содержащих осциллирующую экспоненту

Вначале докажем теорему 2.3 для оператора (2.1), который является частным случаем потенциала (0.3), при #i() = 1.

В работе [40], были получены оценки для потенциала (2.1) в случае (п - 1)/2 Rea п. Однако, использованный в ней метод, основанный на представлении оператора Л" через оператор Бохнера - Рисса и некоторый оператор, близкий к акустическому потенциалу, не работает при 0 Rea (п - 1)/2. В настоящем диссертационном исследовании разрабатывается новый метод, основанный на получении специальных представлений для символа оператора R% с последующим применением техники р - q -мультипликаторов.

Докажем 1) в случае а ф (п - 1)/2 - j (j Є N). Для этого, учитывая (2.23), (2.24) и (2.26), а также соображения выпуклости и двойственности, достаточно показать, что т0-1 ) М , если (1/р, 1/д) Є [Л, Я]. Аналогично тому как это делалось выше ( см. доказательство теоремы 2.2), с учетом замечания 1.2, получаем:

Таким образом, теорема 2.3 доказана при 9i{\t\) = 1. 2.3.2 Доказательство Lp-Lq- оценок для обобщенного потенциала Рисса с осциллирующим ядрамом в случае произведения однородной и радиальной характеристик

В этом разделе, на основе полученных выше оценок для оператора Щ , получены Lp — Lq - оценки для оператора (1.1). Имеем:

Отметим, что ядро ma,0(t) оператора Ма, принадлежит L\; следовательно, оператор Ма ограничен в Lp, 1 р оо.

С другой стороны, для оператора Ма справедлива теорема Соболева (см. [30]). Отсюда следует, что Кроме того, повторяя доказательство приведенное в статье [47], заключаем, что С(Ма ) не содержит точек множества [А ,ДЕ1] \ (А }А). Рассмотрим оператор Ма . В силу леммы 1.5, имеем: где коэффициенты ак и функция вт(г) определяются равенствами (1.7) и (1.8), соответственно.

Разложив функцию (l+r2)" /2 по формуле Тейлора с остаточным членом в интегральной форме, будем иметь:

Заметим, что для операторов RZ и R -k 2s (0 к т - 1, 1 s / — 1) выполняется теорема 2.3 c #i() = 1, доказанная в п. 2.3.1. Из указанной теоремы вытекают вложения: ниже прямой А! А, а также точки А и А. Поскольку ядра операторов Т к, 0 к т-1 принадлежат Li, то, с одной стороны, операторы Т к, 0 к тп — 1 ограничены в Lp, 1 р оо, а с другой - в Loo. Интерполируя, получаем:

В этой главе дано приложение полученных выше оценок к обращению оператора Ка и описанию образа Ка (Ьр). Глава состоит из четырех параграфов. В первом параграфе обобщены результаты первой и второй глав диссертации, именно приведены Lp — Lq - оценки для оператора Ка,/3. Во втором - получено представление для символа потенциала Ка,/3(р. В третьем - в рамках метода АОО построен оператор левый обратный к оператору Ка,/3 в виде (0.6). Четвертый параграф посвящен описанию образа K {LP) в терминах оператора На Р, левого обратного к Ка .

Поскольку оператор (0.4) определен на всем Lp, 1 р n/Rea, где 0 Rea п, 0 /3 1, то утверждения I и II теоремы 3.1 вытекают из теорем 1.7 и 2.3. Следующее утверждение является непосредственным следствием теоремы 3.1. Теорема 3.2. Пусть выполнены условия теоремы 3.1. Тогда, если qx и q2 таковы, что 1 q\, q2 2 и (1/р,1М) еС2{а,п)ПС3{а,п), (1/p, l/q2) єА(/3,п); то оператор Ка,/3 ограничен из Lp в Lqi + Lq2. 3.2 Представление для символа оператора Ка Здесь мы получим представление для символа kQ ( ) оператора Ка,/3, 0 Rea п,0 /3 1, которое будет использовано для построения обра щения потенциала - плотностями и описания образа Ка (Lp). Обозначим ядра операторов Ма и S через соответствен но (см. п. 1.2.3 и п. 2.1). Далее будет показано, что оператор Ка# можно рассматривать как оператор свертки с ядром

Доказательство теоремы 3.5 существенно основано на возможности одновременной аппроксимации функции р Є S по норме пространств LP1 и LP2 (риР2 2) функциями из Фу (V произвольное замкнутое множество Rn), преобразование Фурье которых обращается в нуль в некоторой окрестности множества V. Возможность такой аппроксимации была доказана в [62] (см. также [63]).

Доказательство оценок для обобщенных потенциалов Стрихарца в пространствах Харди – Лебега, функций с ограниченной средней осцилляцией и в пространствах гельдеровских функций

В настоящей главе получены представления для символов обобщенных потенциалов Стрихарца по шару и по шаровому слою. На основе этих представлений, с помощью метода Фурье - мультипликаторов, доказаны критерии ограниченности указанных операторов в различных пространствах.

Излагаемый материал разбит на три параграфа. В первом параграфе приводятся вспомогательные сведения и утверждения для всех глав диссертационного исследования.

Во втором параграфе получены представления для символов операторов (0.1) и (0.2) в виде интегралов, содержащих осциллирующую экспоненту и средние характеристики u(t ) на плоских сечениях единичной сферы в Rn.

В третьем параграфе приведены доказательства критериев ограниченности упомянутых операторов в пространствах Харди – Лебега, пространстве функций с ограниченной средней осцилляцией и в пространствах гельдеровских функций.

В работе используются следующие стандартные обозначения: [а] - целая часть числа а Є R1; Sn l единичная сфера в Жп; Ф = Ф(МП) пространство П. И. Лизоркина шварцевых функций, исчезающих вместе со всеми своими производными в начале координат; Ф = Ф(МП) пространство прообразов Фурье функций из Ф; : ср = Ff, f Є L\\ — винеровское кольцо функций; LP;M = {f{x) : (1 + \х\2)-фІ{х) Є Lp}; Lqp - класс ядер к Є Sf, таких, что \\к /g С/р, где f Є S, постоянная С 0 не зависит от /; М = F(L ) - класс р — q - мультипликаторов. Ниже мы будем использовать следующие функции. Пусть ф(г), ф{г), #(г),и(г),х(г) єС(0,+оо) таковы, что 0 0(г), (г),??(г),х(г),х(г) 1; ф{г2) = 1, если г Є [1 - 5/2,1 + 5/2] и ф{г2) = 0, если г (1 -Я, 1 + Я); ф{г2) = 1, если г Є [1 - 5/2; 1] и (г2) = 0, если г Є [0; 1 - 5]; tf(r2) = 1, если г О - 5/2, tf(r2) = 0, если г 1 - 5/4; х(г) = 1, если 1 - r\ 5/4, „(г) = 0, если 1 - г\ 5/2; х(г) = 0, если г 1 + 5/4, х(г) = 1, если г 1 + 5/2.

Будем предполагать, что tf(r2) + х(г) + х(г) = 1. В дальнейшем будут использованы следующие обозначения: (А, В,..., AT) - открытый многоугольник в R2 с вершинами в точках А, В, ..., К; [А,В,...,К]-его замыкание. Через С(А) обозначим С - характеристику оператора А, то есть множество всех точек (1/р, 1/q) - плоскости (1 р q со) таких, что оператор А ограничен из Lp в Lq.

Для формулировки основных результатов нам понадобятся следующие множества на (1/р, 1/q) - плоскости (см. рисунок 1 в случае /3 0 и рисунки 2, 3 для случаев 0 Rea и Rea та, соответственно): Определение 1.1. Через Lp = Lp(Rn)} l p oo, обозначим пространство, элементами которого являются измеримые функции, с нормой При 0 p 1 пространства Lp не являются нормированными, однако являются квазинормированными, с квазинормой задаваемой тем же равенством, что и в случае 1 р оо.

Определение 1.2. Через № = №(Rn), 0 р ос, обозначим множество всех S - распределений, таких, что Определение 1.3. Через ВМО = ВМО(Жп) обозначим множество всех локально интегрируемых функций, для которых \\f\\BMO = sup yij \f(x) - fB\dx oo, где fB = rBlf(x)dxи супремум берется по всем шарам В из Г. в Заметим, что пространство ВМО является сопряженным к Н1 (см. [67, с. 142]). Кроме того, S С ВМО. Определение 1.4. Пространство Lf состоит из функций / Є S , таких, что

Лемма 1.1. Для того, чтобы обобщенная функция д Є Ф у была мультипликатором в Фу; необходимо и достаточно следующее: 1) функция д{х) бесконечно дифференцируема для всех х Є Жп \ V; 2) для всякого мультииндекса к нашлось такое целое число Nk 0 и число Ck 0; что \Dhg(x)\ ck(M(x))N\ хєЖп\ V. Определение 1.9. Обозначим через Фу пространство прообразов Фурье функций из Фу : Фу = F l{4}v). Сходимость в пространстве Фу определяется как сходимость в двойственном к Фу пространстве. Существенную роль в дальнейшем будет играть следующая теорема, доказанная в [27]. Теорема 1.1. Если mesF = 0, то класс Фу плотен в Ьр, 2 р ос. Если множество V - квазиломанное (то есть в любом конечном шаре оно вложено в объединение конечного числа гиперпространств размерности не выше п — 1 ), то Фу плотно в Lp и при 1 р 2. Анализ доказательства леммы Эрдейи, приведенного в [36, стр. 97], показывает, что справедливо следующее утверждение. Лемма 1.4. Пусть f(x) Є С([0,а]) и обращается в нуль вместе со всеми своими производными в точке х = а. Тогда справедливо представление

Доказательство Lp - Lq - оценок для обобщенного потенциала Рисса с осциллирующим ядрамом в случае произведения однородной и радиальной характеристик

В работе [40], были получены оценки для потенциала (0.3) в случае (п - 1)/2 Rea п и 0i(\t\) = 1. Однако, использованный в ней метод, основанный на представлении оператора Ra через оператор Бохнера - Рисса и некоторый оператор, близкий к акустическому потенциалу, не работает при Rea (п-1)/2. Поэтому получение упомянутых оценок в случае Rea (п — 1)/2 требует привлечения новых идей и методов.

В настоящее время имеется ряд работ по обращению и описанию образов операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами или символами и достаточно гладкими характеристиками в эллиптическом и неэллиптическом случаях (см. книги [31], [30], [63] и работы [12], [11], [17], [19], [24], [61]).

В начале 90 - х годов в работах В. А. Ногина и его учеников (см. работы [1], [14], [50], [51], [52], [54] и обзорные статьи [57], [58]) был разработан новый метод обращения операторов типа потенциала - метод аппроксимативных обратных операторов (АОО). В рамках этого метода было построено обращение некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами и (или) символами, имеющими особенности на том или ином множестве в Шп в неэллиптическом случае (см. [1], [11], [14], [24], [51], [54], [57]).

Сформулируем основные цели диссертационной работы:Получить критерии ограниченности для обобщенных потенциалов Стри-харца с характеристиками широкого класса по шару и шаровому слою в пространствах Харди - Лебега, пространстве функций с ограниченной средней осцилляцией и пространствах гельдеровских функций.

Исследовать вопрос об ограниченности из Lp в Lq обобщенных потенциалов Рисса с осциллирующими ядрами и характеристиками широкого класса, включающего в себя произведение однородной и радиальной функций.

Развить метод получения Lp — Lq - оценок для операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами. Применить этот метод к широкому классу потенциалов с ядрами, осциллирующими на бесконечности и имеющими особенности на сферах в Rn.

Применить полученные результаты к обращению оператора Ка Р, а также к описанию образа Ка (Ьр).

Для достижения целей диссертационного исследования используются: метод стационарной фазы, метод Фурье - мультипликаторов, метод АОО, а также развиваемый в диссертации метод получения различных оценок для обобщенных потенциалов Стрихарца (в том числе Н? - As, № -- Н , HP - В МО, Lp-LqиAs- As+t оценки).

Развивается метод Фурье - мультипликаторов получения Lp — Lq- оценок для широкого класса операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами и характеристиками, «плохо» ведущими себя на бесконечности. Этот метод позволяет, в частности, охватить два по существу разных случая: когда оператор ограничен в Lp для некоторого интервала изменения р и когда он неограничен в Lp ни для каких р.

Развивается также техника интегральных представлений для символов обобщенных потенциалов Стрихарца, в рамках которой, эти представ ления получены в виде некоторых осцилляторных интегралов, содержащих средние характеристик на плоских сечениях единичной сферы. Упомянутые представления позволяют применить к полученным интегралам метод стационарной фазы и результаты A. Miyachi по различным оценкам для «модельных» осциллирующих Фурье - мультипликаторов (см. [56]).

Полученные в диссертации результаты являются новыми, носят теоретический характер и могут найти дальнейшее применение в теории многомерных интегральных уравнений, а также в теории пространств дифференцируемых функций (дробной гладкости). Они могут быть использованы специалистами, работающими в ряде российских и зарубежных научных центров (Белорусский государственный университет, МГУ, ЮМИ, ЮФУ, Университет Альгарве (Португалия), Принстонский университет (США) и др.).

Материалы исследований неоднократно докладывались на научном семинаре кафедры математического анализа Южного федерального университета (руководитель - профессор А. В. Абанин), на заседании Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2013 г.), на международной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Владикавказ, 2013 г.), на международной конференции «Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование» (пос. Дивно-морское, 2014 г.) и на пятой международной научной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения» (г. Ростов-на-Дону 2015 г.).