Содержание к диссертации
Введение
1 Предварительные сведения 16
1.1 Группа Карно 16
1.1.1 Метрика Карно – Каратеодори 17
1.1.2 Мера семейства кривых 18
1.2 Пространства Соболева 18
1.2.1 Весовые пространства Соболева 21
1.3 Дальнейшие свойства метрики Карно – Каратеодори 21
1.4 Аппроксимация гладкими функциями 23
1.5 Неравенства Пуанкаре и области Джона 26
1.6 Разложение области на компакты 31
1.7 Функция множеств 32
1.8 Емкость
1.8.1 Емкость в пространстве и ее свойства 34
1.8.2 Емкость в пространстве потенциалов 38
1.8.3 Обобщенная емкость Тейхмюллера 43
2 Операторы композиции в весовых пространствах Соболева 45
2.1 Свойства отображения 46
2.1.1 Объемная производная 46
2.1.2 Аппроксимативная дифференцируемость 49
2.1.3 Кусочная абсолютная непрерывность на линиях 56
2.2 Необходимые и достаточные условия ограниченности оператора композиции 59
3 Изоморфизмы пространств Соболева на группах Карно и метрические свойства отображений 65
3.1 Оператор композиции и класс
3.2 Квазиизометрические отображения и оператор композиции 73
3.2.1 Случай р v 75
3.2.2 Случай р v 81
3.2.3 Доказательство теоремы 3.1 90
3.3 Квазиконформные отображения и оператор композиции 93
3.3.1 Пространство L\F 93
3.3.2 Свойства отображения ip 94
3.3.3 Доказательство теоремы 3.3 117
3.3.4 Устранимые множества для квазиконформных отображений 118
Заключение 120
Список литературы 121
Публикации автора по теме диссертации 1
- Весовые пространства Соболева
- Функция множеств
- Аппроксимативная дифференцируемость
- Квазиконформные отображения и оператор композиции
Введение к работе
Актуальность темы. Настоящая работа посвящена изучению операторов композиции в пространствах Соболева на группах Карно. Напомним, что оператор композиции определяется отображением ср : D —> D' следующим образом: (/?*(/) = focp для любой функции / : D' —> R. Для пространств Соболева мы изучаем оператор композиции следующего вида
ср* : LAD') П C(D') —> L (D), Ф-* f ^ LJD') П C(D').
Решаются следующие две задачи. 1) Описание операторов композиции весовых пространств Соболева на группах Карно. Установлены необходимые и достаточные условия, при которых измеримое отображение индуцирует ограниченный оператор в весовых пространствах Соболева. В отличие от предыдущих работ по данной теме, мы отказываемся от каких-либо априорных предположений о регулярности отображения.
2) Описание изоморфизмов пространств Соболева, порожденных измеримыми отображениями групп Карно. Доказано, что такое отображение можно переопределить на множестве меры нуль так, что оно будет либо квазиконформным, когда показатель суммируемости совпадает с хаусдорфовой размерностью группы, либо квазиизометрическим в противном случае.
Изучение операторов композиции в пространствах Соболева восходит к работе С. Л. Соболева 1941 г. [1], где решается задача об описании группы преобразований, сохраняющих некоторый класс функций. Теорема из [1] для классов Соболева с первыми обобщенными производными имеет следующий вид (см. []). Пространство Соболева L1 сохраняется при преобразованиях группы <&, состоящей из таких диффеоморфизмов (р Є С1, для которых выполняются условия
\Dcp\(x) < L и 0 < а < \J(x,(p)\ (1)
для всех х. Заметим, что () эквивалентно квазиизометричности отображения ср. В заключительной части работы [1] С. Л. Соболев высказывает предположение «Весьма вероятно, что группа 0 есть группа всех преобразований, сохраняющих L». Из работы В. Г. Мазьи [] 1961 г. можно вывести (см. []) частичную справедливость этой гипотезы: В категории С1-диффеоморфизмов только квазиизометрии (квазиконформные отображения) сохраняют пространство Соболева L1 при р отличным от (равным) размерности пространства. Из работы Ф. Геринга 1971 г. [] можно вывести, что этот результат распространяется и на категорию гомеоморфизмов: Гомеоморфизм ср : D —> D', D, D' С Шп, п > 2, индуцирует изоморфизм pf : Lp(D') —> Lp(D) пространств Соболева, тогда и только тогда, когда он квазиизометричен при р ф п (квазиконформен при р = п ).
В 1968 г. на Первом донецком коллоквиуме по теории квазиконформных отображений Ю. Г. Решетняком был поставлен вопрос: охарактеризо-
вать все изоморфизмы ip* пространств Ln, порожденные квазиконформными гомеоморфизмами р> (см. также [). Здесь стоит отметить, что в работах [, 7] a priori не предполагается существование какого-либо отображения (/?, индуцирующего оператор ср*. Это обстоятельство свидетельствует о том, что изначальная формулировка задач в работах [, 7] была мотивированна теоремой Банаха - Стоуна и ее последующими модификациями: Пусть Н : C(S) —> С(Т) — изоморфизм, тогда существует гомеоморфизм h : Т —> S такой, что
(Hf)(t) = f(h(t)), t є Т, /є C{S).
Изоморфность оператора Н : C{S) —> С(Т) означает, что на C(S) и С(Т) задана некоторая структура, которую и сохраняет оператор Н. Оригинальная теорема для компактных метрических пространств была получена С. Банахом в 1932 г. Затем, в 1937 г. М. Стоун распространил эту теорему на компактные хаусдорфовы пространства. Близкие результаты имеются у С. Эйленбер-га (1942 г.), Р. Аренса и Д. Келли (1947 г.) и Э. Хьюита (1950 г.). И. М. Гель-фанд и А. Н. Колмогоров (1939 г.) доказали, что кольцо C(S) определяет S. Также М. Стоун (1937 г.) показал, что C(S) как структурно упорядоченная группа определяет S. Более полное изложение данного вопроса можно найти в [,.
Затем, в 1960 г. и 1971 г. М. Накаи [] и Л. Льюис [] установили, что изоморфность алгебр Ройдена равносильна квазиконформной эквивалентности областей определения. Напомним, что алгеброй Ройдена называется алгебра ограниченных непрерывных функций, имеющих обобщенные производные суммируемые в степени п. Для восстановления гомеоморфизма используется тот же метод, что и для непрерывных функций. Основную сложность представляет доказательство квазиконформности полученного гомеоморфизма.
Несмотря на схожую форму с теоремами типа Банаха - Стоуна, доказательства в [, 7] базировались на принципиально других рассуждениях (в частности, в силу того, что функции из Ll{G) не обязаны быть непрерывными, восстановление гомеоморфизма становится значительно более трудной задачей).
В рамках найденного в [] подхода возникла следующая задача: какие метрические и аналитические свойства имеет измеримое отображение (/?, индуцирующее изоморфизм ip* по правилу <р, f Є Lln. Варьируя функциональное пространство, мы каждый раз приходим к новой задаче: пространства Соболева W* р > п, рассмотрены в работе [7], однородные пространства Бесова 6f,(Rn), п > 1, 1р = п, — в [ при р = п + 1 и в [ при р > п + 1, пространства Соболева VK1, п — 1 < р < п, — в [], пространства риссовых и бесселевых потенциалов — в [], трехиндексные шкалы пространств Никольского — Бесова и Лизоркина — Трибеля (и их анизотроп-
ные аналоги) — в [], пространства Соболева W1 на областях многомерных евклидовых областей, 1 < р < оо, р = п, — в [] (новое сравнительно с работами [7,] доказательство). В [] к задаче замены переменной в пространствах Соболева применена теория мультипликаторов.
Вывод работ [,7,-] состоит в том, что изоморфность оператора ср* влечет в зависимости от соотношения между показателями гладкости, суммируемости и размерностью пространства свойство отображения быть квазиконформным или квазиизометрическим в метрике области определения, адекватной геометрии функционального пространства.
Аналитические и метрические свойства гомеоморфизмов, индуцирующих ограниченные операторы пространств Соболева L1 изучались в [,-]. В [,20] получено аналитическое описание таких гомеоморфизмов без каких-либо априорных предположений: гомеоморфизм ср : D —> D' между областями D,D' С Шп, п > 2 индуцирует ограниченный оператор pf : Lp(D') —> b(n), 1 < р < оо; по правилу = f р> тогда и только тогда, когда отображение р> принадлежит классу W± loc(D) и \D(p\p(x) < K\J(x,ip)\ почти всюду в D. При р = п этот класс отображений совпадает с классом квазиконформных отображений. При р = 1 такие отображения названы В. Г. Мазьей субареальными и применены к разрешимости задачи Неймана (см. [). Квазиконформное отображение может быть определено через метрические термины как гомеоморфизм, обладающий ограниченным искажением ([-]). Аналог метрического определения для гомеоморфизмов, индуцирующих ограниченный оператор pf : Ll(D') —> Ll(D) при п — 1 < р < оо и р = п, получен в []. В работах [,,] изучался класс гомеоморфизмов, индуцирующих ограниченный оператор pf : Ll(D') —> Ll(D) при 1 < q < р < оо. Основы теории (р, д)-квазиконформных гомеоморфизмов на группах Карно заложены в [].
Работа [30] посвящена изучению измеримых отображений областей евклидова пространства, индуцирующих ограниченный оператор pf : Ll(D') —> Ll(D) при 1 < q < р < оо. В [ решается аналогичная задача на группе Карно (в предположении, что отображение ср принадлежит классу ACL). В работах [-] естественно возникает квазиаддитивная функция множеств, ассоциированная с оператором композиции.
В [] понятие оператора композиции обобщается на пространство дифференциальных Lp-форм на римановых многообразиях. Исследуется ограниченный оператор переноса /* : Lp(M',k) —> Lp(M, k), порожденный аппроксимативно дифференцируемым отображением /: M —> M'. В качестве следствия получено, что гомеоморфизм класса ACL(M), для которого оператор переноса дифференциальных форм с Lp-нормой является изоморфизмом, неизбежно будет либо квазиконформным, либо квазиизометричным.
Отображения, порождающие ограниченный оператор композиции в весовых пространствах Соболева, полностью описаны в [] для случая евклидова
пространства. Таковыми являются отображения, имеющее конечное искажение и суммируемую в некоторой степени весовую функцию искажения. На группе Карно аналогичное описание получено в [34] при условии, что отображение — гомеоморфизм.
Свойства ограниченного оператора композиции на пространствах Бесова кроме работы [] изучались также в [,]. Квазиконформная эквивалентность классов Лизоркина — Трибеля исследована в [,]. В [] исследуются гомеоморфизмы, порождающие оператор композиции пространств Соболева — Лоренца. В [] изучаются свойства -квазиконформных отображений, порождающих операторы композиции в пространствах Соболева — Орлича. В работе [], близкой по содержанию к [], рассматриваются гомеоморфизмы с конечным искажением, индуцирующие оператор композиции пространств Соболева 1, loc (см. также []).
Цели и задачи. Цель диссертационной работы — исследование свойств тех измеримых отображений, которые порождают изоморфизмы либо ограниченные операторы пространств Соболева на группах Карно.
Основные положения, выносимые на защиту.
Получены необходимые и достаточные условия, при которых измеримое отображение индуцирует ограниченный оператор в весовых пространствах Соболева на группе Карно (теоремы 2.2, 2.3, 2.4).
Полностью описаны измеримые отображения, порождающие изоморфизмы пространств Соболева на группе Карно. Таковыми являются отображения, которые почти всюду являются квазиизометрическими при = , либо квазиконформными при = (теоремы 3.1 и 3.3).
Научная новизна. Все основные результаты являются новыми. Теорема 3.3 об изоморфизме является новой и для евклидовых пространств в случае неограниченного образа. В диссертации также были использованы оригинальные подходы, которые могут быть полезны в дальнейших исследованиях.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты носят теоретический характер и могут быть использованы специалистами, работающими в различных областях анализа, геометрии и уравнений в частных производных. Результаты диссертационного исследования могут быть применены в образовательном процессе при организации спецкурсов по анализу на суб-римановых пространствах, предназначенных для студентов, магистрантов и аспирантов высших учебных заведений.
Апробация работы. Основные положения и результаты работы прошли апробацию на следующих научных конференциях и семинарах:
XLVIII международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск, 2010.
Школа-конференция по геометрическому анализу. Горно-Алтайск, 2012.
Конференция «Дни геометрии в Новосибирске, 2012», посвященная 100-летию со дня рождения академика Александра Даниловича Александрова. Новосибирск, 2012.
Международная конференция «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория прииближений», посвященная 105-летию со дня рождения С. Л. Соболева. Новосибирск, 2013.
Всероссийская молодежная школа-семинар «Анализ, геометрия и топология». Барнаул, 2013.
Международная молодежная конференция «Геометрия и управление». Москва, 2014.
Школа-конференция молодых ученых по геометрическому анализу. Горно-Алтайск, 2014.
Международная конференция «Геометрическая теория управления и анализ на метрических структурах». Турбаза «Кумуткан», о. Байкал, 2014.
Конференция «Дни геометрии в Новосибирске, 2014», посвященная 85-летию академика Юрия Григорьевича Решетняка. Новосибирск, 2014.
Конференция «Дни геометрии в Новосибирске, 2015», Новосибирск, 2015.
Семинар по геометрическому анализу, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск. Руководитель: д. ф.-м. н., профессор С. К. Водопьянов.
Семинар лаборатории геометрической теории управления, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск. Руководитель: д. ф.-м. н., профессор А. А. Аграчев.
Публикации. Полученные результаты опубликованы в 10 печатных изданиях [–], 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [–], 6 — в тезисах докладов и материалах конференций [–]. Все сформулированные результаты являются новыми и получены при личном участии автора. Результаты главы 2 получены автором самостоятельно. Результаты глав 1 и 3 были получены совместно с научным руководителем С. К. Водопьяновым, которому принадлежат формулировки задач и общее руководство работой. В остальном вклад авторов в совместные работы равноправен и неделим.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Список литературы содержит 70 наименований и приведен в порядке цитирования. Общий объем диссертации: 128 страниц.
Весовые пространства Соболева
Аналитические и метрические свойства гомеоморфизмов, индуцирующих ограниченные операторы пространств Соболева L1, изучались в [3,4,19-23]. В [19,20] получено аналитическое описание таких гомеоморфизмов без каких-либо априорных предположений: гомеоморфизм ip : D — D между областями D,Df С Ш.п, п 2 индуцирует ограниченный оператор р : Lp(D!) — Lp(D), 1 р оо, по правилу p (f) = / р тогда и только тогда, когда отображение р принадлежит классу WlXoc(D) и \Dp\p(x) K\J(x,p)\ почти всюду в D. При р = п этот класс отображений совпадает с классом квазиконформных отображений. При р = 1 такие отображения названы В. Г. Мазьей субареальными и применены к разрешимости задачи Неймана (см. [21]). Квазиконформное отображение может быть определено через метрические термины как гомеоморфизм, обладающий ограниченным искажением ( [24-26]). Аналог метрического определения для гомеоморфизмов, индуцирующих ограниченный оператор р : Lp(D ) — Lp(D) при п— 1 р ооир п, получен в [27]. В работах [2,28,29] изучался класс гомеоморфизмов, индуцирующих ограниченный оператор р : LHD ) — LUD) при 1 q р оо. Основы теории (р, д)-квазиконформных гомеоморфизмов на группах Карно, являющихся естественным обобщением квазиконформных отображений, заложены в [29].
Работа [30] посвящена изучению измеримых отображений областей евклидова пространства, индуцирующих ограниченный оператор р : LHD ) — LlAD) при 1 q р оо. В [31] решается аналогичная задача на группе Карно (в предположении, что отображение р принадлежит классу ACL). В работах [28-31] естественно возникает квазиаддитивная функция множеств, ассоциированная с оператором композиции (в [31] выводятся необходимые свойства квазиаддитивной функции множеств).
В [32] понятие оператора композиции обобщается на пространство дифференциальных Lp-форм на римановых многообразиях. Исследуется ограниченный оператор переноса / : ЬР(Ш , к) — ЬР(Ш, к), порожденный аппроксимативно дифференцируемым отображением /: М — М . В качестве следствия, в частности, получено, что гомеоморфизм класса АСЬ(Ш), для которого оператор переноса дифференциальных форм с нормой в р является изоморфизмом, неизбежно будет либо квазиконформным, либо квазиизометричным.
Отображения, порождающие ограниченный оператор композиции в весовых пространствах Соболева, полностью описаны в [33] для случая евклидова пространства. Таковыми являются отображения, имеющее конечное искажение и суммируемую в некоторой степени весовую функцию искажения. На группе Карно аналогичное описание получено в [34] при условии, что отображение ір — гомеоморфизм.
Свойства ограниченного оператора композиции на пространствах Бесова кроме работы [15] изучались также в [35] и [36]. Квазиконформная эквивалентность классов Лизор-кина — Трибеля исследована в [37, 38]. В [39] исследуются гомеоморфизмы, порождающие оператор композиции пространств Соболева — Лоренца. В [40] изучаются свойства g-квазиконформных отображений, порождающих операторы композиции в пространствах Соболева — Орлича. В работе [41] близкой по содержанию к [28] рассматриваются гомеоморфизмы с конечным искажением, индуцирующие оператор композиции пространств Соболева Wp 1ос (см. также [42]).
В главе 1 диссертации вводятся основные понятия и доказываются вспомогательные утверждения. В параграфе 1.1 приведены определение группы Карно G и используемые в работе обозначения. Определения различных классов Соболева на группе Карно lA(D), Wp(D), Lp(D,u), Wp loc(D;G) вводятся в параграфе 1.2. В параграфе 1.3 доказываем справедливость уравнения эйконала на группах Карно: \Vcd(xo,x)\ = 1 почти всюду. В параграфе 1.4 мы приводим вспомогательные результаты об аппроксимации функций класса Соболева на группе Карно. В параграфе 1.5 приведены определение и некоторые свойства областей Джона, неравенства Пуанкаре, которые потребуются в этой работе. Здесь
же, в случае р v мы доказываем неравенство г, ,-,_„,„ K\\f I Li(D)\\ для функций
/ Є C(D) П lA(D) таких, что J{XQ) = 0 и f(x\) = 1. В параграфе 1.6 c помощью теоремы Лузина представляем область определения с точностью до множества нулевой меры в виде возрастающей последовательности компактных множеств Тк С D, на каждом из которых отображение непрерывно: \D \ Ij7fc = 0. Поэтому областью определения отображения р можно считать множество Doni! р = IjTfc. В параграфе 1.7 проверяются свойства функ к ции множеств, которые будут использованы далее. Различные понятия емкости вводятся в параграфе 1.8, где доказываются также некоторые дополнительные свойства. В главе 2 исследуется задача 1, то есть изучаются свойства измеримых отображений р : D — D , индуцирующих по правилу замены переменных ограниченный оператор весовых пространств Соболева на группе Карно: р : LAD ,v) П О0 (L) ) — L {JJ,u), р (j) = j о ipy j є L\L) ,v) П O0 {L ).
Получены необходимые и достаточные условия ограниченности оператора композиции. В параграфе 2.1 мы выводим некоторые свойства непрерывности, дифференцируемости и искажения меры отображений, порождающих ограниченный оператор композиции. Приводится понятие кусочной абсолютной непрерывности на почти всех линиях, которое обусловленно спецификой задачи. Это понятие предложено Водопьяновым С. К., и является некоторым ослаблением известного в литературе ACL-свойства.
Определение (2.1). Отображение р : D — D кусочно абсолютно непрерывно на почти всех линиях ( р Є ACLpart(D) ), если на почти каждой интегральной линии 7 горизонтального поля Xj (j = 1,... ,п) существует открытое множество ш7С7 полной меры на 7 такое, что для любого отрезка [a,f3] С ш1 отобрмжение р абсолютно непрерывно на [a,f3] и
Функция множеств
Лемма 2.2 ([A1, Лемма 3]). Пусть отображение индуцирует ограниченный оператор композиции в пространствах Соболева р : Lp(D!,v) П C (D!) — LUD,u). Тогда на почти всех интегральных кривых горизонтальных векторных полей отображение р : (J ТІ — D і непрерывно вне некоторого множества нулевой l-меры Хаусдорфа. Здесь {ТІ} — возрастающая последовательность множеств, состоящих из точек положительной плотности, \D \ [\ТІ\ = 0 и на каждом Тї отображение ip непрерывно.
Доказательство. Фиксируем горизонтальное поле Xj. Предположим противное: найдется семейство интегральных кривых Г поля Xj положительной меры такое, что на каждой кривой 7 Є Г существует множество Sj С 7 положительной 1-меры, на котором отображение р : [J ТІ — D не является непрерывным. Пусть S = s7. Покажем, что S — измеримо. Действительно, S = D \ А, где множество 7ЄГ ГЛ ГЛ ( \ \т \ і/ / , 1 1 І І/9П А = \ \ \ \ х Є [ \-i-i \ d{p{xexptXj),p{x)) — при —, xexptXj Є І \J-i, neNmeN і і измеримо, поскольку любое множество в фигурных скобках измеримо. По теореме Фубини IS I 0. Аналогично проверяется, что S = (J Sm, где Sm = {х Є s7 osci р(х) —} — измеримое множество. Здесь OSQ р(х) — колебание отображения р : 7 П (J Т — D в точке х.
Следовательно, можно выбрать номер т такой, что \Sm\ 0. Также найдется номер j такой, что \Sm П Tj\ 0. Пусть Хо Є Sm П Tj — точка плотности 1. Тогда любой шар В(хо,г) будет содержать подмножество положительной меры из Sm П Tj. Обозначим это множество символом Рг. В силу непрерывности отображения р на Tj можно подобрать шар В(хо,гт) таким образом, чтобы р(В(хо,гт) П Sm П Tj) С В(р(хо), -).
Фиксируем функцию 77 Є C%(D ) такую, что ТІ(v) = 1 при у Є В(иэ(хо),,—) и г?(V) = 0 при у 5((р(жо),т;—). Композиция 77 о ш принадлежит Ll(D,u). Следовательно, функцию 77 О (Л можно изменить на множестве нулевой меры, так чтобы она была абсолютно непрерывной на почти всех линиях (т. e. чтобы она принадлежала классу ACL). Заметим, что при такой модификации отображение р : [J ТІ — D не изменяется, поэтому всегда р г](х) = 77 о р(х) для всех X Є Tj.
На основании вышесказанного на каждой горизонтальной кривой, пересекающей РГт по множеству положительной 1-меры, имеем OSQ ту о р(х) = 1, где х Є РГт. По построению множества РГт совокупность таких кривых имеет положительную меру. Таким образом, мы пришли к противоречию с абсолютной непрерывностью функции 77 о р на почти всех линиях.
Следовательно, на почти всех горизонтальных кривых отображение р : (J Т — D непре г рывно вне некоторого множества нулевой 1-меры. В следующей лемме мы показываем, что при приближении к точкам разрыва соответствующие образы стремятся к границе области значений или к бесконечно удаленной точке.
Для почти всех интегральных кривых 7 горизонтальных векторных полей множество точек разрыва замкнуто о1 С 7, имеет меру ноль, и отображение р обладает свойством: для всех а Є т7 lim dist(p(x), dD ) = 0 или lim р(р(х)) = оо. (2.12) х— а г \ х— а ч ч жЄ7\о"7 жЄ7\о"7 Доказательство. шаг 1. Пусть 7 интегральная линия горизонтального поля, т7 С 7 — множество нулевой 1-меры, на котором нет непрерывности р и Хо Є т7. Докажем, если для некоторой последовательности {жга} С 7 \ і существует предел
Для почти всех интегральных кривых у С D горизонтальных векторных полей отображение р непрерывно на 7 вне множества нулевой 1-меры т7, а функции rfz. о р абсолютно непрерывны на 7 для всех j Є N и г Є Q+. Выберем кривую 7 с указанными свойствами.
Напомним, аппроксимативная производная вдоль вектора X в точке х (см. [43]) — это величина &рХ(р(х) = aplim#t_ (((/?(ж))_1(/?(ж ехрХ)). t—s-o Лемма 2.5. Если отображение индуцирует ограниченный оператор композиции в пространствах Соболева р : LUD!,V) П C (D!) — LUD,u), то р имеет аппроксимативные частные производные п. в. на D.
Доказательство. Так как результат носит локальный характер, можно считать, что D имеет конечную меру. Фиксируем fc Є N и ограниченное множество множество Q С G.
Для каждой такой функции выполняется поточечное равенство ір (К (х) = dL oip(x), г Є 0+, j Є N для всех точек ж Є Tfc. Кроме того, каждая такая функция удовлетворяет условиям леммы 2.4. Поэтому \Wc(drz. о р)\(х) Cgi Q x) для почти всех х Є Aj. Рассмотрим слоение Ys области D, порожденное горизонтальным векторным полем Xs, и линию 7 из этого слоения. Для почти всех кривых 7 из слоения Ts выполнены следующие условия: 1) ip непрерывно на 7 вне некоторого множества т7 нулевой 1-меры (лемма 2.2); 2) выполняется поточечное неравенство для измеримых функций: V/:(cp (i!! ) \(t) Kgi Q t), r Є Q+, j Є N, п. в. на 7 П tp l(Q), и функция g Q интегрируема на произволь ной компактной части 7; 3) для почти всех Хо Є 7 существует конечный предел отношения 77 г Г о,- o(t) da при [х0,х] х —т Жо по кривой 7, равный gitQ(xo) (здесь [хо,х] С 7 — отрезок интегральной линии); 4) АІ П Тд. П 7 является множеством полной (1-мерной) меры на 7 П D; 5) функции Gf. абсолютно непрерывны на 7 для всех j Є N и г Є Q+. Фиксируем кривую 7 Є rs, на которой выполняются все пять условий. Пусть Жо Є АІ П с/?_1((5) П Tfc П 7 — точка положительной плотности на кривой 7, точка непрерывности ограничения /?7 и точка, в которой выполняется условие 3. Положим z = р(хо). Фиксируем подпоследовательность {zjt} точек из {ZJ}, сходящуюся к z = р(хо) (далее будем обозначать элементы этой подпоследовательности как z{). Так как отображение ip непрерывно на 7 в точке XQ, можно подобрать числа 8, г и L такие, что dr о ір(х) ф 0 для всех / L, и всех точек х Є АІ П tp l(Q) П B(XQ,8) П 7 \ r7.
Аппроксимативная дифференцируемость
Обозначим ! = (J В(хо,рхо). Имеем L С D и D \ D\\ = 0. Кроме того, ip : Doni2(y) — D продолжается по непрерывности до локально-билипшицего отображения Ф : D\ —) D С G. Заметим, что Ф : D\ —) D С G — инъективное отображение. Пусть напротив Ф(х) = Ф(у) для некоторых различных точек х,у Є D\. Тогда найдутся шары В(х,г) и В(у,г), замыкания которых дизъюнктны, а пересечение Ф(В(х,г)) П Ф(В(у,г)) — открытое множество. Очевидно, что любая функция / Є Lp(D), равная нулю на В(х,г) и единице на В (у, г), не может быть получена как образ fi (g) некоторой непрерывной функции д Є Lp(D!), поскольку мера образа Ф(-Оі \ Dom2 ip) равна нулю. Следовательно, Ф : D\ —) D С G — гомеоморфизм.
Рассмотрим набор шаров QL = В(е, L), L Є N, и гладкие финитные функции 1, у Є QL, Пусть х Є D \ D\. Предположим, что существует последовательность {хп Є D{\ такая, что lim хп = х, а последовательность образов {Ф(жга)} ограничена: найдется число L такое, что {Ф(жга)} С QL-I ДЛЯ всех п Є N. Тогда не может быть такого, чтобы для какой-нибудь последовательности {уп Є D{\ такой, что lim уп = х, последовательность образов {Ф(уп)} была бы неограниченной. Действительно, функция (р (т]ь) непрерывна и в точках множества Doni2 ip совпадает с композицией Г]ь -Р- Так как Doni2 ip плотно в D\, то непрерывная функция P (VL) равна композиции щ о Ф во всех точках множества D\. Отсюда имеем р (г] )(хп) = 1 для всех п Є N и lim р (у)ь)(Уп) = 0, что противоречит непрерывности функции р (т]ь) п— оо
Рассмотрим непрерывные функции у% щ Є L (G). Тогда p (yi TJL)(X) Є LHD) будет непрерывной функцией, совпадающей поточечно с функцией ФДж) г/ (Ф(ж)) на D\. Из условия Фі(хп) = ФІ(ХП)ї]і,(Ф(хп)) для Ф(хп) Є QL вытекает, что последовательность Ф(хп) имеет предел. По критерию Гейне отображение Ф : D\ — G имеет предел при у — х по множеству D\. Полагая значение Ф(х) равным этому пределу, получаем непрерывное продолжение отображения Ф в точку х.
Заметим, что множество F замкнуто. Предположим F ф 0. Выберем точку х Є D\ и шар В{х,р) С D\ так, чтобы B{x,p)C\F ф 0. Пусть у Є B{x,p)C\F. Найдется кривая конечной длины 7 С B(x,d(x,y)) соединяющая точки хну. Образ этой кривой Ф(7) также имеет конечную длину (см. доказательство леммы 1 из [66]). Следовательно, существует последовательность точек хп Є D\ такая, что последовательность Ф(хп) ограничена. Последнее противоречит определению множества F. Следовательно, F = 0.
Таким образом, мы построили отображение Ф : D — G, которое очевидно непрерывно.
Докажем его открытость. Фиксируем точку х Є D \ D\ и полагаем z = Ф(х). Из условий теоремы вытекает (см. детали ниже в доказательстве леммы 3.16), что отображение Ф : D — G принадлежит классу Соболева W \oc(D) и индуцирует ограниченный оператор композиции Ф : (G) — Ll(D). Отсюда выводим, что прообраз Ф_1(г) имеет (1, v)-емкость ноль и, следовательно, zz-меру Хаусдорфа ноль. Отсюда стандартным образом выводим, что для некоторого шара В(х,г) С D имеем Ф(х) Ф(5 (ж,г)).
Пусть Ф(х) принадлежит ограниченной компоненте дополнения С\Ф(5 (ж, г)). Тогда найдутся точки у Є В(х,г) П Di, для которых образ Ф(у) принадлежит той же компоненте связности, и Ф(у) Р-дифференцируемо в точках у, причем "Р-дифференциал не вырожден. Тогда степень отображения Ф в точке Ф(у) не равна нулю. Отсюда получаем, что образ Ф(В(х, г)) — окрестность точки Ф(ж). Таким образом, в этом случае Ф — открытое отображение.
Остается исключить возможность, когда Ф(х) принадлежит неограниченной компоненте дополнения G \ Ф(5 (ж,г)). Если такое случилось, то аналогично найдутся точки у Є В(х,г) П D\, для которых образ Ф(у) принадлежит неограниченной компоненте связности, и Ф(у) "Р-дифференцируемо в точках у, причем V-дифференциал не вырожден. Тогда степень отображения Ф в точке Ф(у) не равна нулю, чего очевидно быть не может.
Из открытости отображения Ф : D — G аналогично тому, как выше была получена инъ ективность отображения Ф : D\ — G, выводим его инъективность. Следовательно, отобра жение Ф : D — G — квазиизометрический гомеоморфизм в соответствии с определением 3.2. Доказательсто теоремы 3.2 завершено.
Лемма 3.9. Пусть D,D! С G, р v и отображение tp : D — D принадлежит классу IL10. Тогда из области определения отображения ip можно удалить множество нулевой меры так, что на новой области определения Dom3 ip будет выполнено следующее свойство: для любых двух шаров Bi,B2 С D таких, что В і П В2 = 0, пересечение образов имеет нулевую меру, т. е. \р(В\ П Doni3 р) П р(В2 П Doni3 р)\ =0. Доказательство. Разобьем доказательство леммы на несколько шагов. шаг 1. Пусть {zi} — счетное всюду плотное множество в Donii р, І Є N, и {Вті = B(zi, —)} С D — набор замкнутых шаров (здесь га Є N). Возьмем два произвольных непе-ресекающихся шара Bm\ и B s из этого набора, и локально липшицеву функцию / Є Lp(D), удовлетворяющую условиям 0, если х Є Вті, (3.33) 1, если X Є Bks По лемме 3.6 найдется функция gmiks Є lA(D ) такая, что равенство р gmiks{%) = fmiks(x) справедливо всюду в D за исключением некоторого множества Sm s нулевой меры. Объединение Е = [J T,miks по всем возможным индексам га, /, к и s имеет нулевую меру. Удалим Е из области определения отображения р. Суженную таким образом область определения обо 82 значим символом Dom0 р. Заметим, что для всех точек х Є Dom0 р справедливо равенство Р gmlks(x) = fmlks(x), где ПІ, I, к и S — все возможные индексы. шаг 2. По лемме 1.6 из Donio р — области определения отображения р — можно удалить множество нулевой меры и получить суженную область Doni! р С Dom0 р С D, обладающую следующими свойствами:
Квазиконформные отображения и оператор композиции
Фиксируем подпоследовательность {Zjt} точек из {ZJ}, сходящаяся к z = о( о) (далее будем обозначать элементы этой подпоследовательности как Z\). Так как отображение tpo непрерывно на 7 в точке XQ, можно подобрать числа 8, г и L такие, что їро(В(хо,8) П 7) С V (следствие 3.5) и drz о tp0(x) ф 0 для всех / L, и всех точек х Є В(хо,8) П 7.
Далее, интегрируя функцию CJ(x,Lp)v (где С не зависит от r,z) по части кривой 7 от Хо до х, где х Є В(хо,8) П 7, выводим у У / Т/ \ — 7 / I . / 77" \ I / \ 7 С J(t,tp)v dt Vr Up aL і (й [жо,ж] [xo,x] \dr о ipo(xo) — dr о (pQ{x)\ = \r — dZl(tpo(xo)) — r + dZl(tpo(x))\ = I — dZl(tpo(xo)) + г( о( )) ( о(ж)) = d( o( o), o( )) при / —) oo. 111 Таким образом, получаем d(ipo(xo),ipo(x)) 6 J(t, p)v da (3.85) [xo,x] для всех x Є B(XQ,S) П 7. Из оценки (3.85) и абсолютной непрерывности интеграла выводим, что отображение ро абсолютно непрерывно на B(XQ,S) П 7. В силу произвола в выборе горизонтального поля Xj, интегральной кривой 7 Є Г.,- и точки Zo Є 7 отображение р абсолютно непрерывно вдоль почти всех горизонтальных кривых. Из (3.85) имеем d(po(xo),ipo(x)) Переходя к пределу при х — Хо, получаем оценку Xj(/?o(xo) CJ(xo,p)v. (3.87) Следовательно Xj /? Є LUt\oc(Dp) для всех j, и po Є WlXoc(U). П Другие свойства отображений классов Соболева на группе Карно, в частности, формулу замены переменной, можно найти в [70]. Доказательство предложения 3.12. Принадлежность гомеоморфизма ро : U — V классу Соболева W/Jloc(f/) доказана в лемме 3.26. Поточечное неравенство (3.83) вытекает из (3.87). Локальная связность U и V Обозначим S = Dp \ U. Пусть х Є S, тогда возможны два случая: 1) найдется Го 0 такое, что ро(В(х,г)) С D F для всех г Го, 2) po(S(x,rk)) П dD F ф 0 для некоторой последовательности г к — 0. При выполнении случая 1), отображению ро можно приписать значение в точке х: полагаем При таком задании значения ро(х) мы приходим к ситуации, аналогичной той, которая была рассмотрена в определении 3.7. Следовательно, отображение ро(х) можно задать не только в точке ж, но и в точках некоторого шара В(х,8х р) способом, указанным в определении 3.7. Так же, как и в предложении 3.9, доказывается, что отображение tpo : В(х,8х р) — D F непрерывно во всех точках шара В(х,8х р). Тогда области U и V можно расширить, а множество S сузить.
Далее считаем, что для всех точек х Є S выполнено свойство 2). Пусть х Є S. Найдется последовательность {xk Є U}, сходящаяся к х, такая, что tpo(%k) — dDf при к — оо. В этом случае справедлива Лемма 3.27. Для любого шара В(х,г) С Dp с центром х Є S множество В(х,г)Г\17 связно. Доказательство. Предположим, что это не так и В(х,г) Г\17 состоит из нескольких компонент связности. Тогда образ (ро(В(х,г)) разделяется границей dD F на несколько компонент связности: tpo(B(x,r)) = V\ U V2 U .... Или D F \ tpo(S(x,r)) = Vo U V\ U V2
Очевидно, что д — непрерывная функция на V. Покажем, что д Є L F(D!). Так как отображение іро : В(х,г) П U — ifo(B(x,r)) П V квазиконформно, то функция д Є Ll(tp0(B (х,r)) C\V). Следовательно, д локально интегрируема и имеет суммируемые в степени v обобщенные производные в ifo(B(x,r)) OV. В частности, функция д абсолютно непрерывна на почти всех интегральных линиях горизонтальных векторных полей и существуют производные Vj = Xjg п. в. в ifo(B(x,r)) П V, j = 1,2,... ,п. Остается показать, что Vj — обобщенная производная функции д в D F, т. е. выполнено равенство
Доказательство. Покажем, что предел z не зависит от выбора последовательности {жга}. Допустим U Э х п — х — другая последовательность, и (р0(х п) — z Є dD F, причем z = z . В силу локальной связности V можно построить две кривые 7)7 V, находящиеся на положительном расстоянии dist(7,7 ) $ 0 и проходящие через образы (ро(хп), (ро(х п) соответственно (начиная с некоторого п щ). Тогда прообразы (/?0_1(7) и фо 1(і ) будут иметь предельную точку х Є Dp. По лемме 3.29 получаем противоречие.
Доопределим отображение tpo в точке х: фо(х) = z. Таким образом, построено непрерывное продолжение отображения о на 5, за исключением тех точек, которые отображаются в бесконечно удаленную точку. Будем обозначать продолжение тем же символом.
Поскольку (ро — непрерывное и инъективное отображение, образ (po(S(x\,ri)) разбивает G на две компоненты связности (ограниченную и неограниченную), при этом їр0(В(хі,Гі) \S) принадлежит неограниченной компоненте, а (p o(U \ B(x\,r\)) — ограниченной компоненте. С другой стороны, В{х2)Г 2) \ S С U \ B(x\,r\) и, следовательно, ро(В(х2,Г2) \ S) принадлежит ограниченной компоненте G \ tpo(S(xi,ri)), что противоречит предположению d(tpo(%n)) при п . О В итоге мы получили непрерывное инъективное отображение (ро : Dp \ {x-mv} — D F. Предложение 3.14. Отображение tpo : Dp \ {x-irw} — G гомеоморфно. Для доказательства достаточно проверить, что отображение їро{x-mv} — G открыто. Действительно, для любого шара В(х,г) С Dp степень fi(ipo,B(x,r), ро(х)) ф 0. Отсюда выводим, что (ро(х) — внутренняя точка образа.