Оператор свертки Данкла и задача Валле Пуссена Зименс Карина Раисовна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Оператор Данкла и оператор свертки Данкла 26

1. Оператор Данкла и его собственные функции 26

2. О пределах отношений собственных функций оператора Данкла на бесконечности 31

3. Оператор свертки Данкла в пространстве Я(С) 35

4. Оператор свертки Данкла в пространстве Лс 42

5. Оператор композиции свертки и умножения на функцию 49

Глава 2. Задача Валле Пуссена для операторов свертки Данкла в классе целых функций 52

6. Задача Валле Пуссена для операторов свертки Данкла в Я (С) 52

7. Кратная задача Валле Пуссена для операторов свертки Данкла в классе целых функций 61

Глава 3. Задача Валле Пуссена в ядре оператора свертки на полуплоскости с характеристической функцией вполне регулярного роста 68

8. Необходимые сведения об операторах свертки в пространстве аналитических функций 68

9. Решение задачи Балле Пуссена на полуплоскости 74

Заключение 83

Литература

• О пределах отношений собственных функций оператора Данкла на бесконечности
• Оператор композиции свертки и умножения на функцию
• Кратная задача Валле Пуссена для операторов свертки Данкла в классе целых функций
• Решение задачи Балле Пуссена на полуплоскости

Введение к работе

Актуальность темы.

Пусть Н(С) - пространство целых функций с топологией равномерной сходимости на компактах. Обозначим через Лс ^- пространство целых функций экспоненциального типа с топологией индуктивного предела.

Основным объектом изучения в диссертации является одномерный оператор Данкла. На пространстве Н(С) он имеет вид

Л[/(*)] = /'(*) + -(f(z) - f(-z)), а > О, / Є Я (С). (1)

/С

Оператор Данкла был введен Чарльзом Ф. Данклом в конце 80-х годов. Это дифференциальный оператор, связанный с конечными группами отражений в евклидовом пространстве. Эти операторы играют важную роль в различных задачах математики и физики. Например, в многомерном случае эти операторы находят применение в квантовой задаче Калоджеро-Мозера-Сазерленда (см., например, А.П. Веселова¹, Л. Лапо-инта, Л. Винета²).

Большой интерес вызывает изучение и одномерных операторов Данкла. В настоящее время появляется все больше работ, в которых развивается гармонический анализ, связанный с одномерным оператором Данкла, оператором свертки Данкла, преобразованием Данкла. Здесь можно отметить таких авторов, как М. Реслер, М. де Же, К. Тримеш, А.В. Братищев, ОС. Платонов, Ф. Солтани, В.Э. Ким и др.

В диссертации изучается вопрос о разрешимости уравнения свертки Данкла и аппроксимации решений однородного уравнения свертки Данкла на пространствах Н(С) и Лс- Задача является актуальной в сязи с тем, что такие задачи решались для сверточных операторов. Вклад был внесен многими математиками: А.В. Абаниным, К. Беренштейном, А.О. Гельфондом, О.В. Епифановым, Ю.Ф. Коробейником, И.Ф. Красичковым-Терновским, А.С. Кривошеевым, А.Ф. Леонтьевым, Б. Мальгранжем, X. Мугли, ИХ. Мусиным, В.В. Напалковым, Л. Хермандером, Р.С. Юлмухаметовым и др.

Следующей проблемой, которая решается в диссертации, является разрешимость задачи Балле Пуссена (интерполяционной задачи, задачи Коїли) в Н(С) и H(D), где D— полуплоскость. Изначально задача Балле Пуссена ставилась для обыкновенного линейного дифференциального уравне-

^еселов А. П. Квантовая задача Калоджеро, уравнение Книжника-Замолодчикова и принцип Гюйгенса // ТМФ. - 1994. - Т. 98. - № 3. - С. 524-535.

²Lapointe L., Vinet L. Exact operator solution of the Calogero-Sutherland model // Communs Math. Phys. - 1996. - V. 178. - P. 425-452.

ния n-го порядка

у^{п) +р₁(х)у^{п-¹⁾ + + p_n_₁{x)y^f +Рп(х)у = О,

где коэффициенты^ (ж), s = l,2,...,n- непрерывные функции на отрезке [а, Ь], х Є [a,b], \y^^s~¹\x)\ < +00. Необходимо найти решение, удовлетворяющее следующим условиям

у(х_г) = с», г = 1,2,... ,п; ж» Є [а, Ъ].

Обобщения задачи Балле Пуссена рассматривалась для различных классов уравнений и пространств Н.В. Азбелевым, В.В. Бобочко, А. Мерилом, Д.С. Струппой, Ю.В. Покорным и др. Современная постановка задачи Балле Пуссена принадлежит В.В. Напалкову, который рассматривает эту задачу в ядре оператора свертки. В ядре оператора свертки в пространстве целых функций в работе В.В. Напалкова задача Балле Пуссена решается для целых узлов интерполяции. Для простых нулей характеристической функции и узлов, лежащих на вещественной оси, и узлов, заданных в угле, задача Балле Пуссена решена В.В. Напалковым и А.А. Нуятовым. Кратная интерполяционная задача решена С.Г. Мерзляковым и СВ. Попено-вым. Отметим, что при решении этой задачи важную роль играет изучение проблемы сюръективности оператора композиции свертки и оператора умножения на целую фиксированную функцию.

Цели работы:

1. Доказательство сюръективности оператора композиции свертки Данк-
ла и оператора умножения на фиксированную целую функцию.

1. Исследование секвенциальной достаточности нулей характеристической функции оператора свертки Данкла в пространстве Н(С).

2. Исследование секвенциальной достаточности нулей характеристической функции оператора свертки в пространстве H(D), где D - полуплоскость.

3. Решение задачи Балле Пуссена в ядре оператора свертки Данкла в пространстве целых функций и задачи Балле Пуссена в ядре классического оператора свертки в пространстве аналитических функций на полуплоскости.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы теории функций комплексного переменного, функционального анализа, высшей алгебры.

Научная новизна.

Представленные в диссертации результаты являются новыми и состоят в следующем:

1. Решена задача Балле Пуссена для оператора свертки Данкла на пространстве Н(С) в случае, когда нули характеристической функции лежат на вещественной оси. Исследованы случаи простых нулей характеристической функции и кратных нулей.

2. Решена задача Балле Пуссена для оператора классической свертки на полуплоскости с условием вполне регулярного роста характеристической функции. Исследован случай кратных нулей характеристической функции.

3. Доказана сюръективность композиции оператора свертки Данкла и оператора умножения на целую фиксированную функцию в пространстве целых функций.

4. Доказана секвенциальная достаточность нулей характеристической функции оператора свертки Данкла в пространстве Н(С) и секвенциальная достаточность нулей характеристической функции оператора свертки в пространстве H(D), где D - полуплоскость.

Объем и структура диссертации.

О пределах отношений собственных функций оператора Данкла на бесконечности

В настоящей главе изучается оператор Данкла на пространстве целых функций. Для собственной функции этого оператора найден порядок и тип, исследовано асимптотическое поведение на бесконечности. Введены операторы свертки Данкла, сдвига Данкла, преобразование Данкла.

Решена задача спектрального синтеза для однородных уравнений свертки Данкла в пространстве целых функций и пространстве функций экспоненциального типа, показана сюръективность этих операторов [18, 19].

Для оператора композиции свертки и умножения на функцию найден сопряженный оператор.

В данном параграфе изучена собственная функция оператора Данкла. Вычислен ее порядок и тип, доказана полнота системы собственных функций при разных значениях параметра в пространстве целых функций. Рассмотрим оператор Данкла в Н(С) A[f(z)} = f (z) + -(f(z) - f(-z)), a 0, / Є Я (С). (1.1) /С В работе [74] авторами показано, что оператор Данкла непрерывно действует из Н(С) в Н(С). Пусть Но({оо}) - пространство аналитических функций в окрестности бесконечно удаленной точки и обращающихся в точке {оо} в нуль. Справедлива следующая теорема (см., например, [55]): Теорема 1.1. Пространство Н (С) изоморфно пространству #о({оо}). Возьмем функционал F Є Н (С) и подействуем на функцию / Є ії"(С), получим ОО ОО 00 (FJ(z)) = (F}J2ckzk) = 5 № ) = 5 6 . к=0 к=0 к=0 По коэффициентам Ь построим функцию 00 h 7W = E (1-2) к=0 Эта функция принадлежит пространству Но({оо}). Показали, что каждому функционалу F Є Н (С) соответствует функция 7 из Яо({оо}). Покажем обратное. Возьмем произвольную функцию7 Є Яо({оо}). Она имеет вид (1.2). Пусть А— замкнутый спрямляемый контур, лежащий в области аналитичности функции 7- Вычислим следующий интеграл Л f Л f I. — / f(W) y(w)dw = — Y,Ckw kY, Jridw = Y,Ckbk = №/) JA JA k=0 k=0 k=0 Получили, что каждой функции 7 Є - о({оо}) соответствует функционал F Є Н (С). Таким образом, справедливо интегральное представление (F, f) = -J f(wb(w)dw, f Є Я (С) (1.3) А где А— замкнутый спрямляемый контур, охватывающий все особенности функции 7, лежащий в области аналитичности этой функции. Рассмотрим функционал F Є Н (С) такой, что ему соответствует функция j(z) Є Но({оо}) следующего вида l(z) = -o+4--- -)- (1-4) z2 \z z — їж Этот функционал определяет оператор Данкла [58]. Вычислим преобразование Лапласа p{z) этого функционала F Є Н (С), используя теорему о вычетах

А где А - замкнутый спрямляемый контур, охватывающий точки 0, ітг. В работе [58] найдена собственная функция оператора Данкла, соответствующая собственному значению А Є С, A j 0. Функция имеет вид yx(z) = y(Xz), где 00 h. V{z) = 1 + ]-}p(l)p(2)...p(ky р{к) = к + а{1- ешк), у(0) = 1. (1.5) Проверим, что это действительно так, то есть выполняется условие: A[y(Xz)] = Xy(Xz). Прямыми вычислениями получим kJp(l)p(2)...p(k)J р(1)р(2)...р(к) V Z p(i)p(2)...p(k)J УК J Отметим, что р(к) = к при к четном ир(к) = к + 2а при к нечетном. Отсюда следует следующая оценка для произведенияр{\)р{2) .. .р{1) П р(1)р(2).. .р(1) П Ц(1 + ) Щ + 2а)1. (1.6) к=\ [У[ Z)\- ip(l)p(2)...p(k)+ z\ +l p(l)p(2)...p(k) l v(l)v(2)...v(k)J =Х Ы1Ы2)... Ык) + а = Из представления собственной функции (1.5) и оценки (1.6) вытекает етт у(х) еж, X 0. (1.7) В работе [58] показано, что собственная функция y(z) Є ЛC, 2/(0) = 1 единственна. Приведем необходимые определения, которые можно найти, например, в [49, с.8].

Определение 1.1. Целая функция f(z) называется целой функцией конечного порядка, если существует такое число р 0; что для г Го max \f(z)\ exp(rp), г VQ. \z\=r Нижняя грань р множества таких чисел р называется порядком функции f(z). Определение 1.2. Функция f(z) при конечном порядке р имеет конечный тип, если существует число а 0 такое, что max \f(z)\ exp(arp), г VQ. \z\=r Нижняя грань а множества таких чисел а называется типом функции f(z). Справедлива теорема подсчета порядка и типа через коэффициенты ряда Маклорена, доказанная, например, в [49]. Теорема 1.2. Пусть f(z) = ап%п целая функция. Тогда порядок р п=0 этой функции подсчитывается по формуле nlnn , п- оо In \ап р = hm —г=гг. 1.8 Если функция имеет порядок 0 р оо; то ее тип а подсчитывается по формуле (аер)1/р = ТТГГГП А Ц (1.9) П—7 00 В работе [29] сказано, что порядок и тип собственной функции оператора Данкла, соответствующий собственному значению А Є С с А = 1, равен единице. Проверим это: подсчитаем порядок собственной функции y(z). Воспользуемся неравенствами (1.6) и формулой (1.8), оценим сверху, получим

Покажем, что система {y\(z),\ Є С} полна в пространстве Н(С). Рассмотрим действие функционала F Є Н (С) на собственную функцию y(Xz) по переменной z. Предположим, что (FZ}y(Xz)) = 0 для любого А Є С. Так как F(X) = (F}y(Xz)) - преобразование Данкла, то в силу того, что преобразование Данкла устанавливает топологический изоморфизм между пространствами Н (С) и Лс [74], получаем, что F = 0. Аналогично доказывается, что система {y\(z),X Є С} полна в пространстве Ре

Оператор композиции свертки и умножения на функцию

В настоящем параграфе рассматривается оператор свертки Данкла в пространстве целых функций экспоненциального типа. Решена задача спектрального синтеза для однородного уравнения свертки Данкла, получили аналог представления решений в этом пространстве с фундаментальным принципом Эйлера для дифференциальных уравнений конечного порядка с постоянными коэффициентами. Доказана сюръектив-ность этого оператора в пространстве целых функций экспоненциального типа.

Рассмотрим любую функцию g{z) из Лс- Справедлива лемма, которая была доказана в работе [74]. Проведем доказательство самостоятельно. где контур А замкнутый, спрямляемый и содержит особенности функции 7 Введем сдвиг Данкла в пространстве Рс Определение 4.1. Оператор сдвига Данкла SZ} z Є С в пространстве Рс определим по формуле SMt)] y(zw)y(tw)ry(w)dw, z,t Є С, А где g Є Лс; контур А спрямляемый и охватывает особенности функции 7; ассоциированной по Борелю с функцией д.

Отметим, что S линейный непрерывный оператор и действует из Лс в Лс Определение 4.2. Преобразованием Данклаф(Х) = G(X) функционала GGP будем называть функцию

В результате преобразования Данкла функционала G Є Р получаем функцию ф Є Н(С). Подействуем функционалом G на сдвиг по переменной t (G,Sz[g(t)}) = — / (G,y(tw))y(zw) f(w)dw = А = -—г / ifj(w)y(zw)/y(w)dw. А Определение 4.3. Оператором свертки Данкла в Лс будем называть следующий оператор ЩЫг)] = — / (w)y(zw) f(w)dw, (4.6) А где g Є Лс; контур А замкнутый, спрямляемый и охватывает особенности функции 7, ассоциированной по Борелю с функцией д.

Очевидно, что оператор свертки Данкла Мф линеен. Этот оператор является непрерывным в пространстве Лс в силу того, что сопряженный оператор (найден ниже, на стр. 45) непрерывен.

Если G определяет Мф, тогда ф - характеристическая функция данного оператора. Рассмотрим однородное уравнение свертки Данкла в Лс

Мф[д(г)}=0,деРс. (4.7) Пусть целая функция ф(Х) имеет нули (/ІІ,ШІ), .., (/i m/;),.., где rrik кратность соответствующего нуля Цк- Обозначим Ерс = \J{yM, zyW),- mfc Vmfc_1W)} k=l Следующая теорама доказана в работе [100]. Здесь приведем независимое доказательство этого результата.

Теорема 4.1. Любое решение уравнения (4.7) представляется в виде линейной комбинации функций из Ерс. Доказательство. Рассмотрим уравнение (4.7), которое выполняется для любого z il){w)y{zw) {w)dw = 0. (4.8) 2т J А Так как ф Є ії"(С), то она аналитична всюду, кроме бесконечности. Функция ry(w) аналитична вне какого-то круга \z\ R, а значит, ifj(w)ry(w) аналитична в кольце R \z\ оо, поэтому ifj(w)j(w) = 2 kwk k=—oo Подставим это выражение и собственную функцию (1.5) в тождество (4.8), воспользуемся интегральной формулой Коши, получим щш] = J-/ (Е «- )(і + Еp{1)Z)Z-P( dw = д k=—oo m=l v v v 2 =c- +с-гт+с-ш+ = Данное тождество для любого z будет выполняться, если все Q = 0, і = — оо,--- — 2,—1, поэтому (w)j(w) = ckwk = l(w) Є Я(С). /г=0 Отсюда функция y(w) = -тру является мероморфной с особыми точками цк. Пусть цк — полюс порядка тк, а М - число нулей функции ф в области А. Функцию ф(ъи) можно записать в виде (w — fi,k)mkPk{w), где Рк(и-к) 7 0- Представим область как совокупность кругов радиуса гк, охватывающих особенность цк. Используя теорему о вычетах, получим q(z) = y(zw)/y(w)dw = V / y(zw)——-dw = yy ) 2m J yy J,y ) 2wi J УУ ;ф(ъи) A k=1 I I A \w-(j,k\=rk (mk-l)\ f . , l(w) M V v1" - I v(zw) н dw f (mk - 1)!2тгг J УК (w - цк)т Pk(w) M M \w-/J,k\=rk l(w) T W h y im = E о -v-1 W: [mk - 1)! dwm"-k=i 1 dmk l Теорема доказана. Таким образом, в пространстве Лс получили, что всякое решение однородного уравнения свертки Данкла есть конечная линейная комбинация функций из Ерс. Это аналог фундаментального принципа Эйлера представления решений в Н(С) [86] для дифференциальных уравнений конечного порядка с постоянными коэффициентами.

Лемма 4.2. Сопряженный к оператору свертки Данкла Мф в пространстве Лс является оператор Ml, который реализуется, как оператор умножения на характеристическую функцию (ф-).

Доказательство. Найдем сопряженный оператор Ml к оператору Мф. Пусть Q Є Р(, д Є Лс- Из определения сопряженного оператора В силу полноты системы {y\(z), X Є С} в качестве g{z) достаточно взять функцию y(\z). Тогда оператор свертки Данкла будет следующим Мф[у{ )] = (G,Sz[y(m = (G,y(Xt)y(Xz)) = (X)y(Xz). Найдем действие оператора свертки Данкла на функционал (M y(Az)],Q) = (y(Xz)ib(X),Q) =ф(Х)Я(Х). Соотношение (д, M1[Q]) запишем в другом виде (y(\z),M;[Q]) = M;[Q]=1 (\)Q(\). Значит, М есть оператор умножения на характеристическую функцию ф. Лемма доказана. Приведем теорему, которая была доказана А.Ф. Леонтьевым [48, теорема 3.3.8]: Теорема 4.2 ( [48]). Пусть характеристическая функция L{X) Є [р, а і] , 0 о"1 оо. Если Ф(г) Є [p2 cz\, г( е 0 / 2 оо, 0 о"2 оо, то уравнение ML(F) = cmDmF = Ф(г) имеет решение F(z) из того т=0 же класса [р2} (JQ\.

Таким образом, показана разрешимость неоднородного уравнения в обобщенных производных для функции конечного порядка, когда правая часть уравнения имеет такой же порядк и тип, а характеристическая функция конечного порядка.

Докажем разрешимость неоднородного уравнения свертки Данкла в пространстве Лс с характеристической функцией пространства Н(С).

Теорема 4.3. Оператор свертки Данкла Мф сюръективен в Лс Доказательство. Сюръективность оператора Мф означает, что образ этого оператора совпадает с пространством Лс, то есть образ Мф замкнут и всюду плотен в Лс Покажем, что ітМф замкнут в Лс- В соответствии с леммой 4.2 сопряженным оператором к оператору Мф является оператор вида ib(z) h(z), h Є Н(С), обозначим его через L[h(z)}. Он действует из Н(С) в Н(С). Так как Н(С) - пространство Фреше, то по теореме 3.4 Дьедонне-Шварца и в силу изоморфизма пространств Я (С) и Лс замкнутость образа L[h(z)] в Я(С) эквивалентна замкнутости образа Мф в Лс- Рассмотрим последовательность {rk(z)}, к = 1, 2,..., гк Є Я(С) такую, что rk(z) = ifj(z)hk(z) Є imL, rk(z) - r(z). Необходимо показать, что r(z) = ifj(z)h(z), где h Є Я(С). Поскольку функции hk Є Я(С), hk - равномерно сходятся на компактах, поэтому ifj(z)hk(z) — r(z). Нули функции r(z), учитывая кратность, содержат нули характеристической функции ifj(z) с учетом кратности (в силу теоремы Вейерштрасса равномерно сходятся). Рассмотрим функцию r(z)/ifj(z).

1) если /io не является нулем функции ф, то существует окрестность, в которой функция r(z)/ift(z) целая;

2) если /io является нулем функции ф, то существует окрестность, в которой функция ф не имеет других нулей. Это справедливо в силу изолированности нулей аналитических функций. Поэтому функцию / (z) представим в виде [z — fio)kR(z), R(fio) ф О, R Є Я(С), a r(z) запишем

Кратная задача Валле Пуссена для операторов свертки Данкла в классе целых функций

Предположим, что для последовательности rm{z) выполняются условия (6.3), (6.4) в точках z Є N . Нужно показать, что это влечет сходимость последовательности rm{z) — 0 при т — оо в топологии Лс- Заметим, что компакты множества N есть конечный набор нулей Aj. Возьмем z Є Л з, в силу условий теоремы z - положительное вещественное число. 1. Покажем, что для каждого члена последовательности, удовлетворяющей неравенству (6.3) в точках z Є А ,, коэффициенты Ск ненулевые, только если цк 2. Положим противное. Зафиксируем т. Обозначим цр = max{/i/;, к : Ck = 0}, а Ср коэффициент при y(ppz). Пусть /ip В2. Разделим последовательность (6.5) на y(fipz). Учитывая лемму 2.2 при

Это предельное соотношение выполняется при z — оо, z Є Ny согласно лемме 2.2, когда цр В2. Следовательно, коэффициент Ср равен нулю, а это противоречит определению цр. Поэтому цк В2. Докажем, что последовательность rm{z) — 0 равномерно на любом компакте плоскости С. Поскольку y([ikz), z ЄШ ограничены на любом компактном множестве, то достаточно показать, что коэффициенты \Ск(т)\ — 0 при т — оо. Пусть для некоторого р р ) = 2Ck(m)y(fikz). k=i Если набор из нулей {А .} выбрать так, что определитель матрицы А = (у(цк\г.)), k,j = l,2,... отличен отнуля, то Ск(т) являются решениями системы уравнений р Ск(т)у(цк\ч)=гт(\ч), j = 1,2,..., р. (6.6) к=\ Построим матрицу А следующим образом. Берем А так, чтобы y(fi\Xi1) 1. Величину ХІ2 выбираем таким образом, чтобы определитель матрицы второго порядка был отличен от нуля

Поскольку коэффициенты Ck(m) ограничены для любого т, {y(p,kz)} ограничены на z Є К+, г/(/і ) І2/(М/г ) для любого z Є С, получаем, что неравенство (6.3) будет выполняться и для точек z всей плоскости С. Это означает, что N является секвенциально достаточным множеством в ядре оператора Мф. Теорема доказана.

Определение 6.2 ( [42]). Пусть D - некоторое линейное пространство целых функций в С К - множеством единственности в D, если любая целая функция из D, обращающаяся в нуль на К, тождественно равна нулю. Следствие. Ny - множество единственности в ядре оператора Мф. Доказательство. Нужно показать, что из равенства гт(Хь) = О следует, что rm{z) = 0 для любого z. Рассмотрим систему (6.6) с нулевой правой частью. Если в формуле Крамера заменить столбец нулевым столбцом свободных членов, получим, что Ck = 0, следовательно, rm(z) = 0.

Доказательство. Сюръективность оператора М [ф-] это есть замкнутость и всюду плотность его образа в Н(С). По теореме 3.4 Дьедонне-Шварца это эквивалентно замкнутости образа сопряженного оператора {М ,[ -]} и инъективности оператора {Му,[ -]} . Как показано в параграфе 5 главы 1 диссертации, сопряженным к оператору М \ф-\ является оператор Мф[(р-], поэтому нужно доказать инъективность этого оператора и замкнутости его образа в Лс Для линейного оператора инъективность эквивалентна тому, что его ядро тривиально. Покажем, что КегМф[(р-} = {0}. Пусть h(z) Є Be, такое что Мф[ір(г) h{z)\ = 0, тогда ip(z) h(z) Є КегМф. Согласно следствию к теореме 6.2 получаем, что (p(z)h(z) = 0, а так как (p(z) ф 0, то h(z) = 0. Для замкнутости образа оператора М /, [( ] необходимо показать, что если последовательность gn(z) сходится к g(z) и gn(z) Є ІтМф[(р-}, то g(z) Є ІтМф[(р-}. Так как gn(z) Є ІтМф[(р-}, то существует последовательность функций Qn Є Рс, удовлетворяющая следующему равенству Mxi,[ip(z)-Qn(z)]=gn(z). (6.7) Рассмотрим оператор Мф. По теореме 4.3 оператор Мф сюръективен. Значит, по [11] существует непрерывный правый обратный М , поэтому существует последовательность функций yn(z) Є Рс, удовлетворяющая следующим условиям:

Обозначим vn(z) = yn(z) - (р Qn(z), тогда vn Є Рс, vn(Xk) = уп(Хк)- Так как ЛГ секвенциально достаточное множество в КегМф, то vn{z) —v{z) в Рс, v(z) Є КегМф. Тогда, учитывая второе условие, (p(z)-Qn(z) сходится к какой-то функции / Є Рс и нули l{z) включают нули ср. Обозначим Q(z) := l(z)/ip(z). Функция Q Є Н(С), І Є Рс, р Є Рс, тогда по теореме деления 3.2 Q Є Рс Покажем, что Qn(z) сходится к этой Q(z) равномерно на компактах. Пусть К— замкнутый круг с центром в нуле и \ip\ 5 на границе К. Так как (p(z) Qn(z) сходится к l(z) в Рс, то (p(z) Qn(z) сходится к l{z) равномерно на компактах. Это означает, что для любого є 0 существует номер N(s), что для всех номеров п N(e) и всех Z Є К

Решение задачи Балле Пуссена на полуплоскости

Так как A -i 0, то в разложении определителя последнее слагаемое отлично от нуля. Оценим іеА. Учитывая, монотонность наборов Х{. и /І&, элементы, стоящие перед определителями в разложении мат s -2 \ рицы А по строке, сразу заменим максимальным значением А/ е р , получим d-1 \detA\ X-P V IA J sp-l id где Ad,k определитель матрицы, полученный вычеркиванием d-ой строки и к-го столбца. Оценим сверху Д &. ЭТОТ определитель состоит из (d — 1)! слагаемых, при этом каждое слагаемое есть произведение d — 1 множителей вида Х\е/к , Xid_1 1, j = 1,2,..., і — 1, к = 1, 2,... ,р, I = 0,1,... Sk — 1, поэтому d-i \Ad,k\ (d-iy.(\z: e -i) Таким образом, deL4 имеет оценку \detA\ Aj_1e A Ap_i - (d - l)\(d - 1) (л е -Л _1 Aj 2e Ag V IA J Ad-i К d-i Множитель ( Х,р e p id-1 1 имеет фиксированное значение, величину Xid подбираем таким образом, чтобы выражение в квадратных скобках стало положительным. Получим,что определитель матрицы Л будет больше нуля. По формуле Крамера det Аы{т) Си m = —-, v ; det Л где матрица А і(т) получена из А заменой s\ + + Sk + /-го столбца столбцом свободных членов (гто(А ),.. . ,rm(Xid))T. и rm(Xi ) — 0 из (8.3) при т — оо на конечном множестве точек Aj, следовательно С&/(т) — О при т — оо. Поэтому для любого z на любом компакте плоскости C выполняется (8.3) при т — оо.

Поскольку коэффициенты Ckiipi) ограничены для любого т, {l e l}, / = 0,1,... , Sk — 1 ограничены на z Є C, eMfc z eMfcZ для любого zGC, получаем, что последовательность rm{z) — 0 равномерно на любом компакте плоскости С. Это означает, что N является секвенциально достаточным множеством в ядре оператора \]ф. Теорема доказана.

Следствие. Ny - множество единственности в ядре оператора Щ.

Доказательство. Нужно показать, что из равенства гт(Хь) = О следует, что rm{z) = 0 для любого z. Рассмотрим систему (9.4) с нулевой правой частью. Если в формуле Крамера заменить столбец нулевым столбцом свободных членов, получим, что Cki = 0, следовательно, rm(z) = 0.

Теорема 9.4. Пусть (р функция вполне регулярного роста, Nv = {Л } 1 секвенциально достаточное множество в ядре оператора \]ф, тогда оператор ІІ [ф-] сюрзективен в H(D2).

Доказательство. Сюръективность оператора и [ф-] это есть замкнутость и всюду плотность его образа в H{D2). По теореме 3.4 Дьедонне-Шварца это эквивалентно инъективности оператора \]ф [(/?] и замкнутости его образа в PJJ.

Для линейного оператора инъективность эквивалентна тому, что его ядро тривиально. Покажем, что Кег11ф[(р-} = {0}. Пусть g Є Рр2, такое что 11ф[(р g(z)] = 0, тогда (p(z) g(z) Є Кегіїф. Учитывая замечание к теореме 9.3, получаем что (p(z) g(z) = 0, а так как (p(z) = 0, то g(z) = 0.

Для замкнутости образа оператора Цф[(р-] в PJJ необходимо показать, что если последовательность gn(z) сходится к g{z) и gn(z) Є 1т11ф[(р-], то g(z) Є 1т11ф[(р-]. Так как дп Є 1т11ф[(р-], то существует последовательность функций Qn Є PD2I удовлетворяющая следующему равенству Щ[ р{х) Qn{z)} = gn{z). (9.5)

В работе [97] показано, что оператор \]ф сюръективен. Значит, по [11] существует непрерывный правый обратный Ul не обязательно линейный, поэтому существует последовательность функций уп Є PD, удовлетворяющая следующим условиям: 1. ЩІУп] = gn{z) 2. yn{z) -+y(z), у Є PD. Из первого условия и (9.5) в силу линейности оператора сЛ/, получим Щ[уп{х) - p{z) Qn{z)} = 0. Обозначим vn(z) = yn(z) - (p(z) Qn(z), тогда vn Є PD,vn(Xk) = yn{Xk). Так как ЛГ секвенциально достаточное множество в КегІІф, то vn{z) — f(z) в Рр, V(Z) Є Кегіїф. Тогда, учитывая второе условие, (p(z) Qn(z) сходится к какой-то функции / Є Рп и нули l{z) включают нули (р. Обозначим Q(z) := l(z)/ip(z).

Функция / Є PD, (Z) - вполне регулярного роста, ір Є Рвц значит, по следствию к теореме 8.3 получаем, что Q Є Рв2 Покажем, что Qn{z) сходится к этой Q(z) равномерно на компактах. Пусть К— замкнутый круг с центром в нуле и \ip\ 5 на границе К. Так как ip Qn(z) сходится к l{z) в Рр, то (р Qn(z) сходится к l{z) равномерно на компактах. Это означает, что для любого є 0 существует номер V(e), что для всех номеров п N(e) и всех z Є К выполняется неравенство \cp(z) Qn{z) -l{z)\ є. Следовательно, \Qn(z) — l(z)/(p(z)\ є/5 на границе К. По принципу максимума модуля сходимость может быть продолжена на весь компакт К. Таким образом Qn{z) равномерно сходится к Q(z) на К. В силу сходимости cp(z) -Qn{z) к l(z) в Р 1 верна оценка \ p{z) -Qn(z)\ Cehj z\ J (є Значит, согласно определению 8.4 получаем, что (fi(z) Qn(z) равномерно сходится к (fi(z) Q(z) в Pi). В силу непрерывности оператора свертки Поэтому Щ[ір{х) Q(z)] = Щ[у{х)] = g(z), то есть g(z) Є ІтЩ[ р-]. Получили, что образ оператора 11ф[(р-] замкнут. Следовательно, оператор и р[ф-\ сюръективен. Теорема доказана. Таким образом из теорем 9.3 и 9.4 получаем сюръективность оператора и р[ф-], а значит условия разрешения задачи Балле Пуссена на полуплоскости.