Оператор обобщенной свертки и задача Валле Пуссена Муллабаева Айгуль Ураловна

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Муллабаева Айгуль Ураловна. Оператор обобщенной свертки и задача Валле Пуссена: диссертация ... кандидата Физико-математических наук: 01.01.01 / Муллабаева Айгуль Ураловна;[Место защиты: Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского Уральского отделения Российской академии наук].- Екатеринбург, 2016.- 78 с.

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Оператор обобщенного дифференцирования 18

1.1. Оператор обобщенного дифференцирования 19

1.2. Обобщенное пространство Баргмана - Фока и сопряженный оператор к оператору умножения на переменную z 21

1.3. Оператор обобщенного дифференцирования в пространстве Н(С) 24

1.4. Оператор обобщенного дифференцирования конечного порядка с переменивши коэффициентами 29

1.5. Свойства собственнвіх функций 31

1.6. Обобщенное преобразование Лапласа в пространстве Fa 35

1.7. Базис в обобщенных пространствах Баргмана - Фока 35

Глава 2. Оператор обобщенной свертки 37

2.1. Обобщенное преобразование Лапласа в пространстве Н(С) 37

2.2. Операторы обобщенного сдвига и обобщенной свертки в пространстве #(С) 41

2.3. Задача аппроксимации 44

2.4. Неоднородное уравнение обобщенной свертки в Н(С) 48

2.5. Оператор обобщенной свертки в пространстве Рр 51

2.6. Решение однородного уравнения обобщенной свертки в пространстве Рр 53

2.7. Разрешимоств неоднородного уравнения обобщенной свертки в пространстве Рр 54

Глава 3. Сюръективность оператора обобщенной свертки с композицией умножения на целую функцию

3.1. N -- множество секвенциальной достаточности в пространстве кет Кф 57

3.2. Сюръективность оператора М [ф-] в пространстве Н(С) 62

3.3. Решение задачи Балле Пуссена в ядре оператора М 64

Заключение 67

Список литературы

Обобщенное пространство Баргмана - Фока и сопряженный оператор к оператору умножения на переменную
Оператор обобщенного дифференцирования конечного порядка с переменивши коэффициентами
Неоднородное уравнение обобщенной свертки в Н(С)
Сюръективность оператора М [ф-] в пространстве Н(С)

Введение к работе

Актуальность темы исследования.

Уравнения свертки, в частности, дифференциальные уравнения бесконечного порядка, дифференциально-разностные уравнения с постоянными коэффициентами были предметом изучения многих математиков: Дж. Ритт, Г. Полна, М.Г. Валирон, А.О. Гельфонд, А.Ф. Леонтьев, Л. Эренпрайс, И.Ф. Красичков -Терновский, Ю.Ф. Коробейник, О.В. Епифанов, В.В. Напалков, Р.С. Юлмуха-метов, А.С. Кривошеев, С.Г. Мерзляков и др. Это объясняется, с одной стороны, прикладными задачами, с другой — тем, что многие чисто теоретические вопросы сводятся к изучению уравнений свертки. Например, вопросы полноты систем экспоненциальных решений в ядре дифференциального оператора тесно связаны с задачей нахождения решений однородного уравнения свертки.

Задача о полноте системы элементарных решений в множестве всех решений является классической. С историей задач о полноте экспоненциальных решений в пространствах функций, аналитических в области, можно ознакомиться в монографиях Б.Я. Левина, И.И. Ибрагимова и А.Ф. Леонтьева и др.

Исследование полноты экспоненциальных решений в различных пространствах функций, определенных на интервале вещественной оси, достаточно полно освящены в ряде обзоров и монографий. Перечислим лишь некоторые из них: И. Винер и Р. Пэли, И. Левинсон, М.М. Джрбашян, P.M. Янг, П. Кусис, В.П. Хавин и Б. Ерикке, A.M. Седлецкий, Б.Н. Хабибуллин.

Под задачей аппроксимации будем понимать следующее: выяснить условия, при которых множество решений уравнения My,[/](z) = 0 в пространстве Н(С) представляетсяв виде предела конечных сумм элементарных решений дифференциального уравнения. В работах А.Ф. Леонтьева и его учеников были получены теоремы об аппроксимации произвольных решений элементарными решениями однородного уравнения бесконечного порядка. В определенных случаях аппроксимация может быть заменена разложением решений в ряды по

элементарным решениям. В работах И.Ф. Красичкова эта задача решена для классического оператора свертки в пространстве аналитических функций, принадлежащих выпуклой области. В.А. Ткаченко, используя метод И.Ф. Красичкова, получил решение задачи спектрального синтеза для случая обобщенных производных в пространстве аналитических функций в р-выпуклых областях. В работе Г. Муггли рассматрено решение однородного уравнения классического оператора свертки в классе целых функций экспоненциального роста.

Классическим вопросом так же для дифференциальных уравнений бесконечного порядка является разрешимость неоднородного уравнения: работы А.О. Гельфонда и А.Ф. Леонтьева, В.В. Напалкова, Ю.Ф. Коробейника, С.Н. Мелихова, В.В. Моржакова.

Основной темой диссертации является изучение операторов обобщенной свертки, из которой получаем решение задачи Балле Пуссена в ядре оператора обобщенной свертки. Сюрьективность и задача аппроксимации являются классическими вопросами в исследовании операторов обобщенной свертки, в то время как решение задачи Балле Пуссена представляет новое направление в изучении операторов. В случае оператора свертки задача Балле Пуссена была решена в статьях В.В. Напалкова, совместных работах В.В. Напалкова и А.А. Нуятова, С.Г. Мерзлякова и СВ. Попенова.

Цели и задачи диссертационной работы:

Целью данной работы является исследовать вопрос о сюръективности оператора обобщенной свертки с композицией умножения на целую функцию и на основе полученных данных решить задачу Балле Пуссена в ядре оператора М^.

Задачи необходимые для достижения поставленной цели:

Построить обобщенное пространство Баргмана - Фока и изучить свойства этого пространства. Изучить сопряженный оператор к оператору умножения на переменную z.
Решить аппроксимационную задачу для уравненияМ^[/](г) = 0 и доказать сюрьективность оператора обобщенной свертки в пространстве Н(С). Ис-

следовать решения однородного и неоднородного уравнений обобщенной свертки в пространстве Pp.

Показать секвенциальную достаточность множества нулей характеристической функции оператора обобщенной свертки в пространстве keri^. Доказать инъективность и замкнутость образа оператора Кф[(р-]в пространстве Pp. Исследовать сюръективность оператора М^[ф-].
Найти условия, при которых разрешима задача Балле Пуссена в ядре оператора М^.

Научная новизна.

Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость.

Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут найти применение в различных областях функционального анализа и теории операторов, таких как операторы обобщенного дифференцирования и операторы обобщенной свертки, спектральная теория оператора, интерполяционная задача, а также в областях квантовой физики,такой как теория поля. Полученные результаты могут быть использованы специалистами, работающими в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН, Институте математики с ВЦ УНЦ РАН, Институте математики и механики УрО РАН, Институте математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, Сибирском федеральном университете, Санкт-Петербургском государственном университете, Самарском государственном университете, а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.

Методология и методы исследования.

Доказательство большинства результатов использует методы комплексного и функционального анализа, спектральной теории и теории операторов. Существенную роль сыграл изоморфизм пространств Н*(С) и Pp. Теорема деления применяется при доказательстве аппроксимации решений однородного уравнения оператора М^ и для сюрьективности операторов М^ и Кф. Также,

при доказательстве сюрьективности операторов М^, Кф, М^[ф-], Кф[(р] необходима теорема Дьедонне - Шварца. Важную роль сыграла теорема Майкла -Епифанова о существовании непрерывного правого обратного оператора для доказательства замкнутости образа оператора Кф[(р-\. Для доказательства секвенциальной достаточности нулей характеристческой функции оператора М^ используются теоремы о пределе отношений собственных функций на вещественной оси.

Степень достоверности и апробация результатов.

Достоверность полученных результатов обеспечивается тем, что в случае (3 = 2 и а = 1 все полученные результаты переводятся в классический случай: обобщенное пространство Баргмана - Фока превращается в классическое пространство Баргмана - Фока; оператор обобщенного дифференцирования становится обычной производной ^, в качестве собственной функции y(z) выступает e^z] обобщенное преобразование Лапласа становится классическим преобразованием Лапласа; обобщенный оператор свертки переходит в классический оператор свертки.

В диссертации исследуются сюрьективность оператора обобщенной свертки в пространстве Н(С) и задача аппроксимации решений однородного уравнения обобщенной свертки, в случае оператора свертки эти задачи были рассмотрены в совместной работе В.В. Напалкова и А.А. Нуятова. В классическом случае, при (3 = 2иа = 1,в работе Г. Муггли получено решение однородного уравнения свертки в классе целых функций экспоненциального роста.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа 2009).

Международная Казанская летняя научная школа - конференция «Тео-

рия функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань 2009, 2011, 2013, 2015).

«Summer St. Petersburg Meeting in Mathematical Analysis» (Санкт-Петербург 2010).

Международная научная конференция «Спектральные задачи, нелинейный и комплексный анализ» (Уфа 2013, 2014).

Saint-Petersburg Conference in Spectral Theory dedicated to the memory of M.Sh.Birman. Euler Institute (Saint-Petersburg 2014).

Международная конференция «Математическая физика и ее приложения» (Самара 2014).

По теме диссертации докладывались результаты на семинарах по комплексному анализу в Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в четырех печатных изданиях, рекомендованных ВАК [1-4], семь — в тезисах докладов [5-11].

Личный вклад автора. Автор принимал активное участие при расчетах и поиске материалов. В опубликованных совместно с научным руководителем работах Напалкову В.В. принадлежат постановка задачи и общее руководство, участие диссертанта 90%. В работе [1] Дильмухаметовой A.M. принадлежат пункты 6-7.

Некоторые из результатов диссертационной работы были получены в ходе работ по грантам РФФИ № 14-01-00720-а, № 14-01-97037 р_поволжье_а.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Полный объем диссертации составляет 78 страниц. Список литературы содержит 106 наименований.

Обобщенное пространство Баргмана - Фока и сопряженный оператор к оператору умножения на переменную

Степень достоверности

Достоверность полученных результатов обеспечивается тем, что в случае (3 = 2 и а = 1 все полученные результаты переводятся в классический случай: обобщенное пространство Баргмана - Фока превращается в классическое пространство Баргмана - Фока; оператор обобщенного дифференцирования становится обычной производной , в качестве собственной функции y(z) выступает ez; обобщенное преобразование Лапласа становится классическим преобразованием Лапласа; обобщенный оператор свертки переходит в классический оператор свертки.

В диссертации исследуются сюрьективность оператора обобщенной свертки в пространстве Н(С) и задача аппроксимации решений однородного уравнения обобщенной свертки, в случае оператора свертки эти задачи были рассмотрены в совместной работе В.В. Напалкова и А.А. Нуятова [45]. В классическом случае, при (3 = 2иа = 1,в работе Г. Муггли [87] получено решение однородного уравнения свертки в классе целых функций экспоненциального роста.

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались в следующих конференциях: Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа 2009). Международная Казанская летняя научная школа - конференция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань 2009, 2011, 2013, 2015). «Summer St. Petersburg Meeting in Mathematical Analysis» (Санкт-Петербург 2010). Международная научная конференция «Спектральные задачи, нелинейный и комплексный анализ» (Уфа 2013, 2014). Saint-Petersburg Conference in Spectral Theory dedicated to the memory of M.Sh.Birman. Euler Institute (Saint-Petersburg 2014). Международная конференция «Математическая физика и ее приложения» (Самара 2014). По теме диссертации докладывались результаты на семинарах по комплексному анализу в Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН. Основные результаты по теме диссертации изложены в четырех печатных изданиях, рекомендованных ВАК [92-95], семь — в тезисах докладов [96-102]. Личный вклад автора.

Автор принимал активное участие при расчетах и поиске материалов. В опубликованных совместно с научным руководителем работах Напалкову В.В. принадлежат постановка задачи и общее руководство, участие диссертанта90%. В работе [92] Дильмухаметовой A.M. принадлежат пункты 6-7.

Автор выражает огромную благодарность своему научному руководителю, замечательному наставнику Валентину Васильевичу Напалкову за поддержку и помощь при выполнении работы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Полный объем диссертации составляет 78 страниц. Список литературы содержит 106 наименований

В главе 1 будут введены обобщенное пространство Баргмана - Фока и оператор обобщенного дифференцирования, определены собственные функции этого оператора и их свойства, рассмотрено обобщенное преобразование Лапласа в обобщенном пространстве Баргмана - Фока и определен ортонормированный базис в этом пространстве.

Оператор обобщенного дифференцирования конечного порядка с переменивши коэффициентами

Рассмотрим вопрос о разрешимости неоднородного уравнения оператора р. Для этого используем следующие вспомогательные леммы. Лемма 2.4.1. Система () полна в (С). Доказательство. Пусть задана система () для любого Є С. Докажем, что система () полна в (С). Для этого покажем, что если для любого функционала Є (С) выполняется равенство (Z,()) = 0, то (Z, ) = 0 для любой функции Є (С). Из условия (Z, ()) = 0 имеем, что () = 0 для любого . Следовательно, = 0 и действие (z, ) = 0 для любой функции Є (С). Полнота системы функций () в (С) доказана. Лемма 2.4.1 доказана. Для решения неоднородных уравнений обобщенной свертки определим сопряженный оператор к оператору . Лемма 2.4.2. Сопряженным оператором к оператору v в (С) является оператор умножения на характеристическую функцию оператора .

Доказательство. Сопряженный оператор находится из следующего равенства: где Є (С), Є (С), — сопряженный оператор к . Поскольку система () полна в (С), см. лемма 2.4.1, подставим в последнем выражении вместо () = (), получаем следующее равенство Учитывая равенство получаем где [] — обобщенное преобразование Лапласа функционала []. Поскольку между пространствами (С) и р существует изоморфизм (см. теорема 2.1.5), то сопряженный оператор в порождает оператор умно жения на характеристическую функцию оператора в пространстве p. Лем ма 2.4.2 доказана. При доказательстве сюръективности оператора обобщенной свертки в пространстве (С) необходима теорема Дьедонне - Шварца [86]: Теорема 2.4.3 (Дьедонне - Шварца). Справедливы следующие утверждения: 1. Замкнутость v в (С) эквивалентна замкнутости в p. 2. Всюду плотность образа оператора v в (С) эквивалентна инъек-тивности Теорема 2.4.4. Оператор обобщенной свертки v сюръективен в пространстве (С).

Доказательство. Согласно теореме Дьедонне - Шварца для доказательства сюрьективности оператора необходимо показать замкнутость образа и инъ-ективность сопряженного оператора Докажем, что образ замкнут. Согласно определению 2.1.4 сходимости в пространстве р, последовательность функций т(), = 1,2,... из р стремится к () при — оо в пространстве р тогда и только тогда, когда найдутся числа 0 и 0 такие, что

Для доказательства всюду плотности образа оператора ,, нужно показать, что сопряженный оператор инъективен. Поскольку характеристическая функция оператора не является тождественно равной нулю, произведение ()() обращается в нуль при = 0. Следовательно, оператор инъективен. По теореме Дьедонне - Шварца образ оператора обобщенной свертки y, всюду плотен.

Таким образом, оператор обобщенной свертки сюръективен в пространстве (С). Теорема 2.4.4 доказана. 2.5. Оператор обобщенной свертки в пространстве Рр Рассмотрим оператор обобщенной свертки в пространстве Рр, Для этого рассмотрим сопряженный оператор к оператору умножения в пространстве Я(С). Пусть г\) Є Н(С), F Є Н (С). По определению сопряженного оператора имеем следующее равенство (F,z1 ) = ((z.)[F],1 ), (2.9) где (z-) — сопряженный оператор к оператору умножения на переменную z. Под D\ будем понимать оператор обобщенного дифференцирования D, действующий по переменной А. Подставив в равенство (2.9) вместо ф(х) функцию y(Xz), получим следующее (Fz,y(\z)z) = (Fz,Dxy(\z)) = Dx(Fz,y(\z)) = DX(F(X)).

Используя изоморфизм между пространствами Н (С) и Рр (см. теорема 2.1.5), в качестве сопряженного оператора к умножению на переменную z в Н(С) можно считать оператор обобщенного дифференцирования Dx в пространстве Pp.

Подставляя в последнем выражении вместо F(X) интегральное представление (см.(2.2)) и внеся оператор дифференцирования под знак интеграла, получаем интегральное представление выражения DX(F(X)): Обозначим полученное выражение через KZ[F] и назовем оператором обобщенной свертки в пространстве Рр с характеристической функцией z. Аналогично можно описать сопряженный оператор к оператору умножения на произвольный многочлен P(z) :

Неоднородное уравнение обобщенной свертки в Н(С)

Исследование вопроса сюръективности оператора [-] позволяет решить задачу Валле Пуссена в ядре оператора обобщенной свертки.

Задача ставится следующим образом. Пусть задана целая функция с нулями {}і=\ на положительной оси, пронумерованными в порядке возрастания с соответствующими кратностями . Рассмотрим произвольную последовательность комплексных чисел j,, = 1,2,... Возникает вопрос: существует ли решение однородного уравнения „[]() = 0, которое вместе со своими производными до — 1 порядка в заданных точках і принимает заданные значения \, то есть -1)(г) = Г1, = 1,2,..., = 1,2,...,г? Рассмотрим в пространстве (С) оператор обобщенной свертки v[]() = (t,t()), e(C). Возьмем произвольную функцию () Є (С) и построим в (С) идеал (С) = {() () : () Є (С)} . Определение 3.3.1. [91] Пара функций ((p(z),ift(z)) называется парой Фишера, если пространство Я(С) можно представить в виде Я (С) = кег Mv 0 г\) Я(С). (3.9) В этом случае равенство (3.9) называется разложением Фишера. Если Я(С) представимо в виде Я(С) =кегМ + -Я(С), (3.10) то равенство (3.10) называется представлением Фишера. В этом случае любая целая функция представима в виде f(z) = h(z) + h(z), ШєкетМу, f2(z)eiP-H(C). Отметим, что равенство (3.10) позволяет решать задачу Балле Пуссена в пространстве ker Mv : Лемма 3.3.2. Задача Балле Пуссена в ядре оператора М с данными на Щ разрешима, если имеет место представление Фишера. Доказательство аналогично [44, с. 166].

Доказательство. Действительно, пусть /ІІ,/І2, ... нули функции (р. Рассмотрим произвольную последовательность комплексных чисел 2j, j = 1,2,... Существует ли функция y(z) Є ker М , такая, что y(pj) = dj,j = 1, 2,...? Согласно равенству (3.10) всегда существует (см., например, [85, с. 270]) функция h(z) Є Я(С) такая, что h(fij) = dj,j = 1,2,.... В силу (3.10) имеет место представление h(z) = w{z)+i/;{z) -ф),ф) Є H{C),w{z) Є kerM , (3.11) из которого получаем равенство w(fij) = dj,j = 1,2,... Заметим, что если вы полняется равенство (3.9), то функция w{z) в (3.11) единственна. Лемма 3.3.2 доказана. Лемма 3.3.3. [44, лемма 5] Равенство (3.10) эквивалентно сюръективности оператора М [ф-]. Доказательство. Пусть выполнено равенство (3.10) и f(z) Є Н(С). Поскольку оператор М [у] : Н(С) — Н(С) сюръективен (см. теорема 2.4.4), то существует g(z) Є Н(С) такая, что Mv,[g](z) = f(z). В силу (3.10) функцию g(z) можно представить в виде g(z) = w(z) + ifj(z)h(z),w(z) Є kerM ,/i(z) Є Н(С). Поэтому Mv,[g](z) = f(z) = Mip[ifj(z)h(z)], т.е. оператор М [ф-} сюръективен.

Пусть теперь оператор М \ф-\ сюръективен. Докажем справедливость равенства (3.10). Возьмем произвольную функцию f{z) Є Н(С) и рассмотрим уравнение M (z)y(z)} = f(z). Учитывая, что оператор М тоже сюръективен, рассмотрим уравнение M l(z)} = f(z). В силу линейности оператора М получаем: Mv№(z)y(z) - l(z)} = 0. Значит, ifj(z)y(z) — l(z) Є kerM ,, т.е. выполнено представление Фишера (3.10) : l(z) = ifj(z)y(z) — w(z), где w(z) Є kerMip,l(z),y(z) — произвольные функции из Н(С). Итак, лемма 3.3.3 доказана. Таким образом, справедлива следующая теорема

Теорема 3.3.4. Пусть (р Є Рр — характеристическая функция оператора Mv, вещественные положительные нули которой являются секвенциально достаточным множеством в кетКф, функция ф Є Н(С), тогда разрешима задача Балле Пуссена в ядре оператора Mv с данными на положительных вещественных нулях функции ф. Заключение

В первой главе диссертационной работы введено обобщенное пространство Баргмана - Фока и рассмотрены основные свойства этого пространства. Построен оператор обобщенного дифференцирования D, как сопряженный оператор к оператору умножения на переменную z в обобщенном пространстве Баргмана -Фока, определены собственные функции оператора D. При определенном весе пространства, а именно при e z } где s — любое положительное целое число, оператор обобщенного дифференцирования превращается в оператор дифференцирования конечного порядка с переменными коэффициентами.

Основные результаты Главы 1 опубликованы в работе [92] и докладывались на конференциях в Уфе (2009) и Казани (2009).

Во второй главе, с помощью оператора обобщенного дифференцирования введен оператор обобщенного сдвига, который позволил определить оператор обобщенной свертки в пространстве Н(С). Далее рассмотрена характеристическая функция этого оператора и введено обобщенное преобразование Лапласа. Изучены однородное и неоднородное уравнения обобщенной свертки в пространстве Н(С): решена задача аппроксимации, рассмотрен вопрос о разрешимости неоднородного уравнения обобщенной свертки в пространстве Н(С). Построен оператор обобщенной свертки в пространстве Рр, как сопряженный к оператору умножения на функцию из Н(С). Исследованы ядро и сюръективность этого оператора в пространстве Pp. Основные результаты данной главы опубликованы в работе [93, 94] и доложены на конференции в Уфе (2013) и Казани (2013).

Третья глава посвящена исследованию сюрьективности оператора обобщенной свертки с композицией умножения на целую функцию и решению задачи Балле Пуссена в ядре оператора обобщенной свертки М . Для этого найден сопряженный оператор Кф[(р-] к оператору обобщенной свертки М \ф-\ в пространстве Pp. Доказана секвенциальная достаточность последовательности нулей {А&} характеристической функции (р оператора обобщенной свертки М в пространстве кет Кф.

Решение задачи Балле Пуссена является новым направлением для теории операторов обобщенной свертки. Основные результаты Главы 3 были опубликованы в статье [95] и докладывались на конференциях в Уфе (2014), в Самаре (2014) и в Казани (2015).

Сюръективность оператора М [ф-] в пространстве Н(С)

Решением однородного уравнения обобщенной свертки ф в пространстве р является конечная линейная комбинация собственных функций оператора , соответствующих нулям k характеристической функции оператора v, и их производных в случае кратных нулей характеристической функции.

Обозначим это множество через ker. В классическом случае решение однородного уравнения свертки в пространстве целых функций экспоненциального типа изучено в работе Г. Мугг-ли [87]. Теорема 2.7.1. Неоднородное уравнение обобщенной свертки ф разрешимо для любой правой части в пространстве p. Доказательство. Покажем, что при действии оператора ф на пространстве р образ этого оператора совпадает с p.

По теореме Дьедонне - Шварца 2.4.3 замкнутость образа оператора ф эквивалентна замкнутости образа сопряженного оператора , которая в свою очередь эквивалентна замкнутости образа оператора ,. Как было показано ранее, см. теорема 2.5.1, сопряженным оператором 1 к оператору обобщенной свертки ф в пространстве р является оператор умножения в (С) на характеристическую функцию оператора ф.

Покажем, что = {()()}феН1 (Сл замкнут. Пусть у последовательности k Є ф существует предел (), нули которой содержат нули характеристической функции (). Следовательно, функция () представляется в виде произведения характеристической функции на некоторую функцию из Н(С), т.е. R(X) = I/J(X)I/J(X). Таким образом, ІтК замкнут. По теореме Дье-донне - Шварца 2.4.3 образ оператора Кф замкнут в Pp.

Покажем, что ІтКф всюду плотен. Возьмем функцию y(Xz) и покажем, что ее комбинации аппроксимируют любую целую функцию. Подействуем на нее оператором Кф :

Покажем, что комбинации ф(Х)у(Хх) всюду плотны в классе Pp. Существует круг Вг на котором ф(Х) не обращается в ноль. Возьмем любой функционал G Є Р% такой, что (Gz, (A)y(A )) = 0. Согласно изоморфизму между пространствами Рр и Н (С.) получаем, что последнее выражение равно следующему ф(Х)(Сг,у(Хг)) = ф(Х)д(Х)єН(С) и тождественно равно нулю VA Є Вг. По теореме единственности, если G(X) = 0 в круге Є г, то функционал G = 0 и его действие на любую функцию из пространства Рр дает ноль. Отсюда получаем, образ оператора Кф всюду плотен. Таким образом мы получили, что образ оператора Кф замкнут и всюду плотен, следовательно, неоднородное уравнение обобщенной свертки разреши мо для любой правой части в Pp. Теорема 2.7.1 доказана. Глава З Сюръективность оператора обобщенной свертки с композицией умножения на целую функцию Третья глава посвящена исследованию линейного непрерывного оператора М,#-ОД]:Я(С) Я(С), где ф Є Н(С) — фиксированная, a l{z) Є Н(С) — произвольная целые функции. Основным результатом диссертации является изучение вопроса сюръективно-сти этого оператора в Н(С) и решение задачи Балле Пуссена в ядре оператора

Введем сопряженный к оператору М \ф l(z)] оператор Кф[(р-], действующий из Р/з в Pp. где ір Є Р/Зіф Є ії"(С), Ф — оператор умножения на целую функцию в пространстве Н(С), Ф — оператор обобщенной свертки Кф в Pg, Mv — оператор обобщенной свертки в пространстве ії"(С), М — оператор умножения на характеристическую функцию if. Характеристическая функция (fi(z) Є Рр оператора М [ф-] имеет нули N p = { к} =\ і положительные и пронумерованные в порядке возрастания. Нули могут быть как простыми, так и кратными.

Нули характеристической функции ifj(z) Є Н(С) оператора Кф[(р-], положительные и пронумерованные в порядке возрастания, обозначим через Иф = {/ij}i=1 . Нули могут быть как простыми, так и кратными. 3.1. Ntp — множество секвенциальной достаточности в пространстве кет Кф

Определение 3.1.1. Будем говорить, что N С С секвенциально достаточное множество в пространстве ker Кф, если из сходимости последовательности функций из ker Кф на множестве Xk вытекает сходимость для всех точек

Теорема 3.1.2. Nv — секвенциально достаточное множество вкді Кф (случай простых нулей функции ф). Доказательство. Покажем, что если последовательность rm(z) Є кет Кф стремится к нулю на множестве N , то эта последовательность стремится к нулю для всех точек Z Є С. Любой элемент r(z) Є ker Кф запишется (см. 2.11) в виде: где ЦІ — нули характеристической функции ip{z) оператора Кф[ф-\. Возьмем последовательность rn(z) = 2 y(fMz), (3.3) І=\ которая стремится к нулю на множестве N . Согласно замечанию 1.3.1, собственные функции y(fiiXk) удовлетворяют оценкам \у( Хк)\ Аеа іХк2, где А = const. Рассмотрим модуль функции rn(Xk) и вынесем последнее слагаемое \y([J QnXk)\, получим следующее