Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Асимптотические оценки количества рациональных точек при произвольных знаменателях 12
1. Предварительные сведения: аффинная площадь по верхности 12
2. Оценка объема выпуклой оболочки "сильно не пересекающихся" множеств 19
3. Оценки количества рациональных точек на поверхности 23
4. О точности оценок теоремы 3.2 29
5. Другие последовательности мелких сеток 32
ГЛАВА 2. Несуществование выпуклой кривой с максимально возможным числом рациональных точек 40
6. Определения и обозначения. Основные технические леммы 40
7. О распределении целых точек на поверхности ab — cd=const 49
8. Основная часть 56
9. О возможном количестве точек на выпуклой поверхности 61
Список литературы
- Оценка объема выпуклой оболочки "сильно не пересекающихся" множеств
- О точности оценок теоремы 3.2
- О распределении целых точек на поверхности ab — cd=const
- О возможном количестве точек на выпуклой поверхности
Введение к работе
Актуальность темы. Работа относится к асимптотической геометрии чисел. В самом общем контексте речь идет об оценке количества точек решетки, принадлежащих данному множеству. Сюда относится, например, проблема круга (в старшей размерности — проблема шара) об оценке остаточного члена R(N) в равенстве.
Этой проблематике, а также асимптотике количества рациональных точек в других областях, посвящено множество работ, использующих, как правило, методы аналитической теории чисел.
В диофантовой геометрии одним из основных является вопрос о количестве рациональных точек на алгебраических поверхностях.
В диссертации исследуется вопрос о возможном количестве рациональных точек на границе выпуклого тела. Тут имеется связь как с проблемой шара (поскольку остаточный член для количества точек внутри вообще говоря не меньше количества точек на границе), так и с диофантовой геометрией (для некоторых алгебраических поверхностей в вопросе о количестве целых точек оказывается существенным общее геометрическое свойство выпуклости).
В размерности 2 этот вопрос был впервые поставлен в работе Ярника [1], в которой получена оценка вида С-l2 на количество целых точек на плоскости, образующих выпуклый многоугольник периметра /. Ярником также была вычислена асимптотически точная константа С = 3(2тг) 3. В 1963 году Эндрюс [13] обобщил результат Ярника на случай большей размерности, доказав, что объем V выпуклого многогранника в M.d с N целыми вершинами не меньше чем C(d) • iV -i. При d=2 получаем оценку С • 51/3 на количество целых точек на плоскости, образующих выпуклый многоугольник площади S. Из изопериметрического неравенства видно, что эта оценка сильнее, чем С • /2//3.
В двумерном случае ключевым моментом, позволяющим вычислить точные асимптотики и предельные формы целочисленных многоугольников является соответствие между выпуклыми многоугольниками и векторными разбиениями: каждый выпуклый многоугольник однозначно задается набором векторов своих сторон. К сожалению, подобной параметризации нет (или пока не найдено) в случае большей размерности. Для многогранников, являющихся суммами отрезков (зонотопов) соответствующая параметризация (набором этих отрезков) имеется, и соответствующие результаты получены [17]. Отметим, что соображения теории разбиений позволили также [19] доказать верхнюю оценку ехр(С • п d+l ) на количество различных целочисленных многогранников диаметра не больше п (нижняя оценка с другой константой почти очевидна).
В главе 1 развивается связь целочисленных многогранников с аффинной геометрией в произвольной размерности. Там же дается (окончательный начиная с размерности 5) ответ на вопрос, заданный автору С. В. Конягиным, о поведении fcn(7) кп(Г) не при сколь угодно больших значениях п, а при всех достаточно болъших п. Доказывается, что liminf kn( f) / logn оо при d=2 и lim inf kn(j)/nd 2 со при d 3. Последняя оценка точна для сферы 5d_1 при d 5.
Таким образом, тематика диссертации актуальна.
Цель работы состоит в исследовании возможного поведения количества точек мелкой сетки на строго выпуклых кривых и поверхностях.
Основные результаты работы.
Обозначим через Ln множество узлов решетки ( Z) . Положим n = U =1LTO. Для произвольного множества AcRd через кп{А) обозначим количество элементов множества А П Ln, а через Кп{А) - количество элементов множества АГ\Сп.
Зафиксируем на плоскости ограниченную строго выпуклую кривую 7- В пространстве Md зафиксируем ограниченное строго выпуклое тело Ф с границей дФ.
- Доказано, что kn(j) = o{n2lz)
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы могут быть использованы для дальнейшего исследования проблематики возможного количества целых точек на кривых и поверхностях и других асимптотических задачах геометрии чисел.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре ПОМ И РАН по теории представлений и динамическим системам, на семинаре кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ по ортогональным рядам, на международной конференции "Эйлер и современная комбинаторика" (Санкт-Петербург, 2007).
Публикации. По теме диссертации опубликованы работы.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых на 9 параграфов (нумерация параграфов сквозная), изложена на 68 стр. Список литературы включает 22 названия.
Благодарности. Я глубоко признателен моему научному руководителю А. М. Вершику за постановку вопросов и многочисленные полезные обсуждения. Я также признателен С. В. Конягину, Е. П. Голубевой, Э. Лютваку, А. Городнику и С. В. Дужину за ценные математические консультации и обсуждения.
Содержание работы.
Глава 1 посвящена оценкам возможного количества рациональных точек на ограниченной строго выпуклой кривой или поверхности при всех достаточно больших знаменателях.
В параграфе 1 приводится определение и доказываются некоторые свойства аффинной площади поверхности выпуклого тела в Rd. В параграфе 2 с помощью этого понятия доказывается важное для дальнейшего неравенство об объеме выпуклой оболочки семейства выпуклых множеств, каждое из которых отделимо от выпуклой оболочки остальных. В параграфе 3 приводятся оценки на количество точек с данным знаменателем и на количество точек со знаменателями не более данного, лежащих на данной кривой или поверхности. В параграфе 4 обсуждается вопрос о точности полученных оценок. В параграфе 5 затрагивается вопрос о других последовательностях мелких решеток.
Глава 2 посвящена исследованию вопроса о возможном количестве рациональных точек на кривой для последовательности знаменателей, стремящейся к бесконечности.
В параграфе б вводится необходимая терминология. Ключевым понятием является обобщенная аффинная длина ломаной. В параграфе 7 доказывается лемма о распределении целых точек на поверхности ab — cd = const, необходимая для дальнейшего. В параграфе 8 доказывается, что количество &п(7) точек со знаменателем п на данной ограниченной строго выпуклой кривой 7 на плоскости есть o(n2/f3). Это основной результат работы. В параграфе 9 доказывается, что для любого положительного сходящегося ряда Y1 ак найдется сколь угодно быстро растущая последовательность натуральных чисел qk и ограниченная строго выпуклая поверхность Г С Rd такие, что кЯп(Г) an (d_1)/(d+1).
Каждая из глав завершается списком вопросов, ответы на которые автору не известны.
Оценка объема выпуклой оболочки "сильно не пересекающихся" множеств
Сильно не пересекающимися назовем несколько выпуклых множеств в Rd, ни одно из которых не пересекается с выпуклой оболочкой остальных. Здесь мы докажем ключевое для последующего неравенство, связывающее объемы сильно непересекающихся выпуклых множеств и объем их выпуклой оболочки.
Нам потребуется следующее техническое утверждение: ЛЕММА 2.1. Если Н — некоторая шапка, то найдется меньшая похожая шапка Н\ и выпуклая поверхность Гс#і такая, чтоГиЬоиот(Ні) есть замкнутая выпуклая поверхность и ав(Г)»К(Я)з+т. Здесь под as понимается интеграл от Kx d+1\ взятый по какому-то гладкому куску поверхности Г. В действительности as(T) будет разве что больше.
Пусть Д — высота шапки Н (наибольшая х -координата точек шапки Я), пусть она достигается в точке A, S — наибольший (d— 1)-мерный объем горизонтальных (параллельных дну) сечений Я. Тогда V(H) S -h. Заметим, что найдется сечение Т шапки Я объемом S на высоте не большей
Это следует из выпуклости вверх корня (d — 1)-ой степени из объема сечения как функции высоты (последнее равносильно неравенству Брунна-Минковского). Заменим Я на похожую шапку, дно которой есть Т. Объем этой новой шапки, очевидно, не меньше чем Cd-V(H). Обозначим за Я эту новую шапку и будем доказывать лемму для нее.
Впишем в Т симплекс X наибольшего объема. Не умаляя общности, центроид этого симплекса есть начало координат, и тогда Т содержится в симплексе X := — (d — 1)Х: XcTcX :=-(d-l)X.
Рассмотрим d-мерный симплекс Y = conv(X,A) и больший симплекс Y = conv(X ,A). Поскольку условие леммы инвариантно относительно действия аффинных преобразований, можно считать симплекс Y правильным с расстоянием между вершинами (или другим фиксированным симплексом). Объем шапки Я будет порядка константы. Рассмотрим выпуклую поверхность Го внутри У, образующую вместе с Xі замкнутую выпуклую поверхность. Выберем Го так, чтобы гауссова кривизна в тех точках Го, которые лежат внутри Y, существовала и была положительной. Рассмотрим выпуклый компакт К\, являющийся выпуклой оболочкой ГоПУ и Т. В качестве Г возьмем дК\ \ Т. По построению Г содержит некоторый гладкий кусок Го с положительной гауссовой кривизной, поэтому удовлетворяет требуемой оценке на аффинную площадь.
Впишем в каждую шапку Щ поверхность Гг- так, чтобы выполнялись условия леммы. Тогда левая часть будет не больше аффинной площади поверхности выпуклой оболочки conv UiTi, которая в свою очередь не больше чем Cd Уз+т согласно неравенству (1.1).
Основным утверждением параграфа является следующая ЛЕММА 2.2. Пусть КcRd — выпуклый компакт, выпуклые компакты І С К, г = 1, 2, ... ,п таковы, что ни один компакт Fi не пересекается с выпуклой оболочкой остальных. Обозначим
He умаляя общности, можно считать что K = convUFi. Для каждого множества Fi рассмотрим гиперплоскость, отделяющую его от всех остальных множеств. Эта гиперплоскость отделяет некоторую if-шапку Я , содержащую Fi. Пусть АІ — самая высокая (в смысле расстояния до плоскости дна) точка шапки НІ. Ясно, что Д Є F . Обозначим через Н[ похожую на НІ меньшую шапку, дно которой втрое ближе к точке АІ, чем дно шапки Щ. Поскольку Н[ содержит гомотетичный с коэффициентом 1/3 образ множества Fi, имеем оценку V(H-) V(Fi). Докажем, что шапки Н[ не пересекаются. Предположим противное: которая точка х смогла попасть в шапки Проведем в точке А\ гиперплоскость, параллельную дну шапки Hi и обозначим за /() функцию расстояний до этой гиперплоскости. Пусть f(x) = 1, тогда вне шапки Hi имеем 3. Точка х лежит в выпуклой оболочке множеств F Значит, найдутся неотрицательные числа Aj с суммой 1 и точки Применяя к этому равенству функцию
Приведем следующее чуть более сильное утверждение, чем лемма 2.2. Пусть К С Rd — выпуклый компакт, т — натуральное число, выпуклые компакты FjCif, г = 1, 2, ... ,п таковы, что для каждого компакта Fi можно выделить такие т других компактов, что F{ не пересекается с выпуклой оболочкой не выделенных
Рассмотрим ориентированный граф, вершины которого есть множества Fi, и из каждого Fi проведены ребра во все га выделенных для него множеств. Этот граф можно правильно покрасить в 2т +1 цвет (по индукции: есть вершина, в которую входит не более т ребер, покрасим все кроме нее по индукционному предположению, а потом покрасим эту вершину). Для множеств каждого цвета применим лемму 2.2 и сложим полученные неравенства.
О точности оценок теоремы 3.2
Предыдущие параграфы относились скорее к геометрии. Здесь мы обратимся к арифметике.
Оценки (3.1) и (3.2) точны начиная с d = 2 и d = b соответственно. Примером поверхности, на которой максимально много рациональных точек, является единичная сфера.
Рассмотрим сначала случай d=2. Каждой несократимой правильной дроби t — a/b, b л/п/2 соответствует точка (2t/(l +t2), (1 — t2)/(l +12)) на единичной окружности со знаменателем не больше чем п. При этом разным дробям соответствуют разные точки. Поскольку несократимых дробей со знаменателем п хотя бы сп2, получаем Kn{Sl) с-п.
Перейдем к случаю d 3. Пусть А(п) обозначает количество решений уравнения х\ + х\ +... + х\ = у2 в целых числах, не пре восходящих по модулю п] В(п) = / (5 -1). Тогда А(п) = В{п) + В{п/2) + В(п/3) + ... (это равенство доказывается аналогично (3.4)). Кроме того, В(п) Cdrf1 1 для некоторой константы С І — это следует из (3.1) для Г = Sd l. Отсюда получаем, что если А(п) C d nd l для некоторой константы C d, то В(п) " nd l. В самом деле, выберем N 0
Также заметим, что при d 5 уравнение х\ +... + х2 = п2 при любом п имеет хотя бы Cd-nd 2 решения. Достаточно выбрать произвольные х$, XQ, ...,Xd подходящей четности в промежутке [0, \y\/d], а затем подобрать подходящие х\, Х2, х%, х± — хотя бы у2 способами. Это доказывает (4.2).
Перейдем подробнее к случаю d=3. Обозначим за С(х) количество упорядоченных пар {zi, z i\ взаимно простых целых гауссовых чисел таких, что max(zi, \z$) х. Так, С{х) = 0 при х 1. Заметим, что общее количество D(x) упорядоченных пар гауссовых чисел, не превосходящих по модулю х, равно где суммирование производится по всем ненулевым гауссовым целым, причем из чисел {а, —а, і а, —г а} выбирается ровно одно (то есть фактически суммирование производится по ненулевым идеалам в Щг\). Это сразу получается, если заметить, что количество пар с НОД, равным а, равно С(х/\а\).
Поскольку D(x) растет как 7г2ж4, а ряд X)zez[t] И 4 сходится, аналогично рассуждению с А(п) и В(п) получаем, что С(х) еж4 при х \.
Рассмотрим пару 0 = ( 1,} взаимно простых гауссовых чисел zi = a + bi и Z2 = c—di, для которых А:= о2 + б2 п/2, В := с2 + d2 п/2. Обозначим Паре 0 сопоставим в соответствие решение уравнения x\ + x2 + x\ — у2 в целых числах, меньших по модулю чем п. Заметим, что одно и то же решение сопоставлялось в соответствие не более чем шестнадцати различным парам 6. Действительно, зная х\, Х2, xz, у, можно восстановить значения чисел А, В, и. Из взаимной простоты z\ и z% следует, что НОД(Д и) — а + Ы, YiOJX{B,u) = c — di. То есть числа zi, z-i определены с точностью до умножения на единицы кольца Z[i]. По доказанному количество таких пар в не меньше чем с-п2, что и требовалось.
Ограничимся рассмотрением плоского случая. Рассмотрим следующий вопрос. Пусть задана последователь ность натуральных индексов 5i 52 Насколько быстро может расти последовательность k(sn; 7) с ростом п (здесь мы переобозначили fcmfr)- (т 7) в0 избежание двойных индексов)? Оказывается, что ответ зависит не только от скорости роста последовательности {sn}, но и от ее арифметических свойств.
Не умаляя общности R 1, S 1/2 (иначе таких треугольников нет). Во-первых заметим, что сумма где суммирование проводится по всем ненулевым целочисленным векторам х длины не более R, есть 0{R). В самом деле, если увеличить сумму, заменив евклидову длину на максимум модуля координат, и считать R натуральным, то при увеличении R на 1 сумма увеличивается не более чем на 0(1).
Для ненулевого целочисленного вектора х обозначим за х наименьший сонаправленный с х целочисленный вектор. Пусть начало координат точка О — одна из вершин треугольников. За фиксируем вектор х = О А одной из сторон и площадь М/2. Пусть х = тх для некоторого натурального га. Заметим, что m — делитель М, иначе таких треугольников нет. Рассмотрим третьи вершины этих треугольников. Они лежат на двух прямых, параллельных вектору х и расстояние между соседними возможными вершинами равно х . Отрезки, высекаемые прямыми на окружности радиуса R, не больше чем 2R. Поэтому количество способов выбрать вектор второй стороны есть 0(R/\x\ ). Теперь зафиксируем т и оценим количество треугольников сх = тх для некоторого х и площадью М/2 S. Заметим, что выбрать значение площади можно 0(S/m) способами, после этого суммирование по х даст не более чем треугольников. И того при фиксированном т получаем 0(SR2/m2) треугольников. Суммируя по т получаем требуемое.
Идея доказательства в следующем. Для каждой сетки, которая имеет много точек кривой 7, рассмотрим тройки последовательных точек этой сетки, лежащие на 7- Получится много треугольников с рациональными сторонами. Никакие три из них не гомотетичны. Применяя лемму 5.2 получаем требуемую оценку.
Приведем само доказательство. Будем рассматривать простые п в промежутке от N до 2N. Их количество есть величина порядка N/\og(N). Предположим, что для каждого такого п хотя бы Clog1/6(N)\fN точек соответствующей сетки L n лежит на кривой у (С — большая зависящая от 7 константа, которую мы выберем потом).
О распределении целых точек на поверхности ab — cd=const
Здесь мы сформулируем и докажем утверждение об асимптотическом распределения целых точек на поверхности {ab — cd=const}. ЛЕММА 7.1. Рассмотрим пары векторов (xi,X2), xi, Х2 Є An HZ2, для которых Хі х Х2 = т, где 0 т 6 Z — некоторая константа1. Каждой такой паре сопоставим специальную точку ([хі], [х2]) Є [0, со)2. Тогда специальные точки распределены равномерно в первом квадранте в следующем смысле: для любой ограниченной области О, С (0, со)2 с кусочно-гладкой границей количество специальных течек в области N0, (с учетом кратности) есть (при N —»со) c(m)SN2S{Q) + o(N2), где с(т) — константа, зависящая от т (а именно, с(т) = (2(2))-1cr(m)/m, а(т) — сумма натуральных делителей числа т).
Как указала автору Е. П. Голубева, это утверждение содержится в статье [18]. А. Городник сообщил о возможности эргодиче-ского подхода к таким задачам (например, [9]). Мы изложим простое и достаточно элементарное доказательство.
Рассмотрим ограниченные квадрируемые области Qi, 2 С R2. Поставим следующий вопрос: какова асимптотика количества M(Qi, Q2 , ТІ) пар векторов XiGnf nZ2, x2Gn02flZ2, таких, что xi х Х2 = 1. Рассмотрим сначала случай треугольников П{ = {{х,у):0 у х (ц} (г = 1,2, щ 0). (7.1) Тогда задача сводится к поиску числа решений уравнения xi№ - Уі%2 = 1 (7-2) при условии, что О у\ х\ па\, 0 у2 Х2 па2. (7.3) Хорошо известно, что при фиксированных взаимно простых х\, Х2 уравнение (7.2) имеет единственное решение у\, У2 при условии, что О 2/1 х\, 0 у2 Х2- Случаи равенства у\ — х\ или г/2 = #2 имеют место только для х\ = 1 или Х2 = 1, т.е. для не более чем С(аі, CL2)n вариантов. Поскольку количество точек с взаимно простыми координатами (#1,2) в прямоугольнике 0 Х\ паї, 0 #2 п ч есть (2)- 01+ о(п2), получаем в случае (7.1) асимптотику M(Qi, П2; п) = C(2)_1n2aia2 + о(п2). Для дальнейших целей мы перепишем последний ответ следующим образом: если через 1(П, р) обозначить (одномерную лебегову) меру пересечения области О, с прямой у = tg р х, идущей под углом /? к оси абсцисс, то M(nh02;п) = ФУ1 ( l(Qh p) 1(П2,if)dyn2 + о{п2) (7.4) ./о (в случае (7.1) интеграл в (7.4) можно было бы брать и по меньшему отрезку). Назовем базовыми треугольники площади 1/2 вида ОАВ, где О — начало координат, А, В — целые точки.
Заметим, что формула (7.4) выполнена также для областей, получающихся из (7.1) аффинными действиям элементов группы SX(2,Z). Иными словами, формула (7.4) верна для пар треугольников, получающихся из некоторого базового треугольника гомотетиями.
Наш дальнейший план состоит в аппроксимации областей достаточно общего вида объединениями таких «базовых» областей, мало пересекающихся радиально (т.е. при центральной проекции на единичную окружность).
Зафиксируем число є 0. Будем называть базовый треугольник ОАВ є-подходящим, если 1) \ОА/ОВ-1\ є; 2)ZAOB e. Нам понадобится следующая Почти любой (в смысле меры Лебега на единичной окружности) луч, выходящий из начала координат, идет внутрь бесконечного числа е-подходящих базовых треугольников.
Для почти всех а элементы щ не ограничены. (Известно и распределение элементов цепной дроби для почти всех а — формула Гаусса-Кузьмина. Используемый факт грубее и значительно проще доказывается. См. [10].) В терминах подходящих дробей РкІЧк (к = 1,2,...) это означает, что отношение соседних знаменателей Qk+i/Qk не ограничено (так как qk+i=akqk + qk-i)- Каждой паре соседних подходящих дробей соответствует базовый треугольник ОЛВ (A = {qk,Pk), В = (qk+hPk+i)), внутрь которого направлен луч у —ах. Если отношение qk+іІЧк велико, то ОВ^>ОА.
Применим процедуру «вытягивания носов». А именно, построим последовательность точек Во = В, ОВІ = О Д_і + О А. Один из отрезков Bi-iBi пересечет наш луч. Треугольник ОВ{-\В{ будет базовым (так как по известному свойству подходящих дробей базовым был треугольник ОАВ) и, если ak и к достаточно велики, є-подходящим. Лемма 7.2 доказана.
Пусть теперь области С1\, 0,2 суть гомотетичные треугольники вида Q\ = OCD, Г^2 = АГ2і (А>0), где прямая CD вертикальна и точки С, D лежат в области 0 < у < х (С ниже D).
О возможном количестве точек на выпуклой поверхности
Актуальность темы. Работа относится к асимптотической геометрии чисел. В самом общем контексте речь идет об оценке количества точек решетки, принадлежащих данному множеству. Сюда относится, например, проблема круга (в старшей размерности — проблема шара) об оценке остаточного члена R(N) в равенстве
Этой проблематике, а также асимптотике количества рациональных точек в других областях, посвящено множество работ, использующих, как правило, методы аналитической теории чисел.
В диофантовой геометрии одним из основных является вопрос о количестве рациональных точек на алгебраических поверхностях.
В диссертации исследуется вопрос о возможном количестве рациональных точек на границе выпуклого тела. Тут имеется связь как с проблемой шара (поскольку остаточный член для количества точек внутри вообще говоря не меньше количества точек на границе), так и с диофантовой геометрией (для некоторых алгебраических поверхностей в вопросе о количестве целых точек оказывается существенным общее геометрическое свойство выпуклости).
В размерности 2 этот вопрос был впервые поставлен в работе Ярника [1], в которой получена оценка вида С-l2 на количество целых точек на плоскости, образующих выпуклый многоугольник периметра /. Ярником также была вычислена асимптотически точ ная константа С = 3(2тг) 3. В 1963 году Эндрюс [13] обобщил результат Ярника на случай большей размерности, доказав, что объем V выпуклого многогранника в M.d с N целыми вершинами не меньше чем C(d) При d=2 получаем оценку С 51/3 на количество целых точек на плоскости, образующих выпуклый многоугольник площади S. Из изопериметрического неравенства видно, что эта оценка сильнее, чем С /2//3.
Пусть 7 — фиксированная ограниченная строго выпуклая кривая на плоскости, Г — ограниченная строго выпуклая поверхность в Rd. Положим кп(у) := #(т П Z2), кп{Г) := #(Г П ±Zd).
Свиннертон-Дайер [3] доказал, что для кривой 7, являющейся графиком дважды непрерывно дифференцируемой функции с всюду ненулевой второй производной, при любом є 0 выполняется оценка кп{і) с(7,є) -n3/5+. Шмидт [12] доказал ту же оценку для кривой y = f{x), хє[0,1], являющейся графиком дважды непрерывно дифференцируемой функции / такой, что /" существует, нестрого монотонна и обращается в 0 не более чем в одной точке.
Им же была высказана (не доказанная и не опровергнутая до сих пор) гипотеза о том, что показатель 3/5 можно уменьшить до 1/2 (как показывает пример функции у = х2, меньший чем 1/2 показатель невозможен). Им также получены оценки на количество целых точек на алгебраических и аналитических поверхностях.
Бомбьери и Пила [4] доказали, что если то для любого є О для кривой 7, являющейся графиком функции / , выполняется оценка где j) —»0 при D — оо. Для трансцендентной аналитической кривой 7 в [4] установлена оценка А;п(7) с(є)-пє для любого є 0. Пила [11] получил аналогичный результат для трансцендентной части полуаналитических поверхностей. В работе Грекоса [5] доказано, что где г есть минимальный радиус кривизны кривой 7- Отметим, что эта оценка (с другой константой вместо 2) слабее чем с- (5(7))1 3. В связи с оценкой Ярника fcn(7)= 0(п2 ) возникает естественный вопрос: а существует ли универсальная кривая 7, для которой неравенство К ) сп2 3 выполняется для бесконечного количества натуральных iV? Этот вопрос сформулирован А. М. Вер-шиком, но впервые появляется в литературе, видимо, в работе Пла -6 ня [2], в которой автор указывает, что был введен в проблематику Ж.-М. Дезуйе (J.-M. Deshouillers) и Дж. Грекосом.
Плань [2] доказал, что для некоторой экспоненциально убывающей к нулю последовательности ап для сколь угодно быстро растущей последовательности натуральных чисел qn существует кривая 7, для которой Мы покажем, что в качестве последовательности ап можно взять последовательность членов любого (положительного) сходящегося ряда (9).
