Содержание к диссертации
стр,
ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА I. ДЕКРЕТНЫЙ СИНГУЛЯРНЫЙ ОПЕРАТОР В ПРОСТРАН
НЫ ) <ы)
с* VU,* и Ч 15
I. Модуль непрерывности высшего порядка конечно
мерного вектора и его свойства 16
2, Оценка типа Зигмунда дискретного аналога
сингулярного оператора с ядром Гильберта 23
3. Оітраниченность дискретного сингулярного опе-
(ы)
ратора в И%т 46
4. Оі^раниченность дискретного сингулярного one-
ратора в 1_
ГЛАВА П. тдаШЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ 60
I. Обоснование метода квадратур дяя нелинейных
сингулярных интегральны)!: уравнений в }\ m 61
2. Оценка скорости сходимости приближенных ре
шений * 78
3, Применение метода Ньютона-Канторовича к приб-лиженному решегаш уравнения Теодорсена в Н^ 86
ЛИТЕРАТУРА 103
Введение к работе
Целью данной работы является изучение свойств дискретного сингулярного оператора (д.с.о.) в дискретных аналогах пространств \Ас?,т и \_ (\<р<аа)и применение их к обоснованию метода квадратур для приближенного решения одного класса нелинейных сингулярных интегральных уравнений (НСИУ) и модифицированного метода Ньютона-Канторовича для приближенного решения НСИУ Теодор-сена.
Актуальность проблемы. Интенсивное развитие и применение теории НСИУ вызвало необходимость разработки приближенных методов их решения.
Научная новизна работы. В работе впервые; введено понятие модуля гладкости конечномерного вектора» и в их терминах для д.с.о. получены дискретные аналоги оценки Зигмунда-Бари-Стечкина; доказаны теоремы об ограниченности д.с.о. в дискретных аналогах пространств Не? m и ^-р 0<Р<*>) » в частности, найден дискретный аналог класса А.Зигмунда ]Y_* , инвариантного относительно д.с.о.; обоснован метод механических квадратур для одного класса НСИУ с ядром Гильберта в классе \\. _ ; обоснован модифицированный метод Ньютона-Канторовича для НСИУ Теодореэна в классе И <ь m
Практическая ценность работы обусловлена возможностью применения полученных результатов к численному решению ряда прикладных задач, например, задач об обтекании пористого цилиндра плоско-параллельным потоком идеальной несжимаемой жидкости, об определении дебита нефтяных скважин в плоском пласте при произвольной форме контура питания, а также к задачам конформного отображения. _ 4 -
Методы, используемые при исследованиях - методы теории функций действительного переменного, функционального анализа, теории НСИУ.
Общие вопросы. Первыми исследованиями в теории НСИУ, основоположником которой является А.И.ГУсейнов, были работы, в которых задача нахоздения функции, конформно отображающей область, близкую кругу, в круг, сведена к НСИУ с ядром Гильберта ( I- IktocUrscn) и методом последовательных приближений доказано существование и единственность решения в классе Гельдера ( 3-<\ток } S-\JftrscUu№, А.И.Гусейнов). Эта теория получила дальнейшее развитие в работах А.И.Гусейнова, В.Погожельского, В.К.Наталевича, Б.Н.Гехта, Д.Пшеворской-Ролевич, А.А.Бабаева, А.М.Абасова, Х.Ш.Мухтарова, Г.М.Магомедова, А.Назарова и др. и отражена в монографиях В.Погожельского, А.И.Гусейнова и Х.Ш.Мухтарова.
Как уже отмечалось выше, необходимость доведения до числа решений НСИУ, имеющих прикладное значение, поставила задачу о разработке приближенных методов решения этих уравнений. Значительное место среди них занимают метод Ньютона-Канторовича [5,18,19,22,23,32,33,34] , квадратурно-итерационный метод [11,12, 13,14,21] , метод коллокации [10,13] и другие (см.например, [3,9, 15,42 J ).
Одним из эффективных методов приближенного решения НСИУ является метод механических квадратур [2,8,35,39,43] , заключающийся в замене сингулярного интеграла соответствующей квадратурной формулой и решении полученной при этом системы нелинейных алгебраических уравнений с последующим обоснованием сходимости процесса.
Впервые обоснование метода механических квадратур для одного класса НСИУ с ядром Гильберта было дано в [2] , а для НСИУ с - 5 -ядром Коши « в Г 4,39] .
Следуя [I,2], соответствие /Г , сопоставляющее гы . мерному вектору 1 = (го^,)--*)^ Via/- мерный вектор *= A* =(flet,/), г >---> \ы_\ ) , (і) /і лГ
СЧ *=, ^ г^ L J4/ лі назовем д.с.о. Этот оператор порождается квадратурной формулой C20J
2.77-/ U Я. ^__ т, J -^— ^
В работах [1,2] изучены свойства д.с.о. и показано, что он наследует основные свойства сингулярного оператора j . К этим свойствам относятся аналоги теорем Племеля-Привалова и М.Рисса, Однако этих свойств недостаточно для изучения важного вопроса влияния гладкости исходных данных на скорость сходимости приближенных решений НСИУ с ядром Гильберта. В настоящей диссертации дается решение этой задачи. Остановимся подробнее на решаемых здесь задачах.
Диссертация состоит из введения и двух глав.
В первой главе изучаются свойства д.с.о. {\ы в простран-ствах }\%w и L И < р < <*> ) .
Во второй главе дается обоснование метода квадратур для НСИУ иш) = і j з (у, ад J ( а^х J j 4. f (xj , (2) где ^(у,^) и -f 00 - заданные функции, в пространствах Hfyj-n » описываемых модулем гладукости m - го порядка, и решается НСИУ Теодорсена а(х) =x + ^j ^s[^)Hal^ da , (3) о и д. методом Ньютона-Канторовича в пространствах И& ,^ * Приведем необходимые определения и обозначения. Пусть 1=|а,гИ.--)^-г.] j> V = ^ М,5, --- ,ги-і] ; 1: = (^вД, >--*Д W^- мерный числовой вектор. Введем в рассмотрение модули гладкости m - го порядка вектора V-
Соответственно по множестваїл X и У , где w - натуральні w с- t- ное число, Р Є X и &к 1К = , (-0 Ст tK+-th -Обозначим через <> класс непрерывных, почти возрастающих*' функции "Л" ] и таких, что <$>
Пусть . x) Функция «$
НЮ= \чаі І j 3!l> J$ + Smj 4tt).i(,S5con)9iS)}
Для вектора *« (X,v--- .^,)^ й определим нормы: \1ЩС = *J** Ігк1 >
Пространства < К > НІ,,Ж> и < /К - ІНІГ > обозначим соответственно через ги т и L-p
Пусть С-2.7Г - пространство непрерывных г.7Г - периодичес- ких функций и = ^ а е С „ І Ц
Н m = 1 а є СІП | U> = OfctfO і ч $то ] , где Du() - модуль непрерывности і" - го порядка функции m .Iя w-l
Для a f-l определим норму ^4,m= ^^ **f cScM H<^mM = \u H^m I \\ u. l\ ^^ П , tA >o] - шар с центром в нуле и радиуса Н
В I первой главы доказываются некоторые вспомогательные утверждения. - 8 -Теорема 0.1. (Дискретный аналог теоремы Маршо). Для любых натуральных чисел К ' , , а также чисел р,Ч X таких, что Z ^ р ^ <\ ^ 2.Л/-І j имеют место неравенства*' ф,Г)4С(*Л)Р*(е^+А<Ь»), (4) U>,e) * сед рк(/ J^L + j^!L) . (5)
Дусть м и и - натуральные числа и f,1 е X Обозначим
Аналогично определяется Цу (г , ? , <\)
Следствие. Пусть і) К , С - натуральные числа. Тогда при РЛ е X таких, что <\ ^ р ^ ijlzi » справедливы неравенст- ^Л)«с«с,е>^^+^'). (6) С , /Ч
В 2 этой же главы для дискретного аналога сингулярного оператора (I) получена оценка типа оценки Зигмунда-Бари-Стечкина, а именно
Теорема 0.2. Пусть m - натуральное число и К Г2-^— ІМ-
Тогда справедливы оценки ' к) _" означает суммирование по четным )v э«) * г' означает суммїірование по нечетным >
,m. , , гы-t r K. , Г/ . n w. iw-i .m
В частном случае, когда m s і , оценки (8) и (9) получены в[і,2].
В 3 первой главы доказывается ограниченность оператора (I) в пространстве Н *'m т
Теорема 0.3. Если , то
Теорема 0.3 доказывается с использованием теоремы 0.2 и с помощью следующей леммы.
Лемма 0Л. Справедливы неравенства уа^с \%\ * cm f/''A^l л ||г«с "I , (ю)
Се К L ^=1 J \\\$a*)[L ^Щр^лЫЛ. (И)
В 4 первой главы доказывается ограниченность оператора (I) в пространстве L ( 1 < ? < *) Теорема 0.4.
В частности, при f =2, эта теорема доказана в^1^ .
В 1-2 второй главы используются результаты первой главы для обоснования метода квадратур для нелинейного сингулярного интегрального уравнения (2) в пространствах И о$ m и Для - 10 -исследования влияния гладкостных свойств исходных данных на скорость сходимости приближенных решений. Приведем основные результаты 1-2.
Лемма 0.2. Пусть функция g (^; а ] определена при "j efoin], ^е[-^;їЛ)(М>о) 2"ГГ - периодическая по 3 , имеет все частные производные до(ти) - го порядка и при любых ^ ,ч й[,1Я}> ілрц [-ГА^^ удовлетворяет условиям
Ife *&'^ 'да ^V^cW(u4h,-vMV«,),a2, гЧі = /с ^ к * о, 1,---., іп-і где 6J() '(Ч'П > ^. у uJ(p)-0 и o)(S) - неубывающая функ ция. Тогда для функции з (^м u. cyj) , где иСУ) ^ VI справед- лива
Л) < ) ^^^'и0^ «ПРИ '" = > '
Скажем, что пара (и)^) с /1ИФ , если s"-W)\-^J* =0(^-)
Лемма 0.3« Пусть выполняются условия леммы 0.2 и(!«>і<ї) АНф*"
Тогда если а«) е ИЛП^ » т0 Збь *иЛ У\ (R) где R определяется по Н .
Теорема 0.5. Пусть функция $ (^^О определена при ^(s^it], ц.е[-М,м](М>с>) , і"їГ - периодическая по "j , имеет все частные производные до (m+t- і) - го порядка и при лююых \>"-Дг 0\л*1 > *\»*Ч ^Er tt, К\ удовлетворяет условиям - II - где U(S) :[> п]-=$> ^+ ^ cJ ФУНКЦИЯ, Ц, fm-Vr И (tJ^e) АИЇт^ КІА)гЙ_г(И0(^П) Тогда при I У\ \ < \ ( \ - вычисляется по данным), уравнение (2) имеет единственное решение в И,. ,^^ = W VI Д*И и это решение можно найти методом последовательных приближений. Применяя к интегралу в (2) квадратурную формулу j_ f act) (Jk tpl Jt = JL u. Si* hi* Л sK-S + Д (ti,s) , м.^ = ^ftr) > 5 Ф Sjt =!$- в узловых точках и пренебрегая остаточным членом относительно приближенных значений точного решения W- ( ~ ^: ^ 5 к s о , г^-ь получим систему нелинейных алгебраи-ческих уравнений \= & < ^*^ 0 -*-*)'"*] J3 V2* .* ^а) . (із) Теорема 0.6. Пусть функция g (Ч , u.) удовлетворяет всем условиям теоремы 0.5 и Ы,^) АТІЇ*^ . Тогда при \"Л\ < А. ( \ ~ вычисляется по исходным данным и не зависит от N ) система нелинейных алгебраических уравнений (13) при N >, Z име- , Дм) ет единственное решение в rito^^ и это решение можно найти методом последовательных приближений. Теорема 0.7. Дусть функция ^($,а) определена при ^e[ji^"\ у и. [~Н,Н"]0Л ** ^ , гчт - периодическая по ^ , имеет все чаттные производные до (m-vr-\} - го порядка и при любых ^ ,^ге [о^З j ^,^г б1-Н^1 удовлетворяет условиям где u)(j :[о,ч\] —> ік.л у W(o) =07 ь)(&) - неубывающая функция и такая, что (J(S) - О (S* + *~m^ при *-vz >m; Тогда при ( Ч - вычисляется по исходным данным) уравнение (2) имеет единственное решение U (х) в fj ,<tr(rt} > система (ІЗ) при любом fs/ х имеет единственное решение Приближенные решения u*(x} =* A 21 "3(X, )Sm2x_K J« v-x + -\- f-(tf) сходятся к u*o<) равномерно и имеет место 1\U (X) - uCx)|\ ^ cfc?) ( J^ \ , где I < P < <** В 3 второй главы дано обоснование модифицированного метода Ньютона-Канторовича к приближенному решению уравнения Теодорсена в Hfo . В работах А.И.Гусейнова [26] и С.Варшавского С 45] установлена разрешимость уравнения (3) методом последовательных приближений. Существование и единственность решения уравнения (3) в гель-деровом пространстве \\ ^ > а^ы,<\ доказаны в [17] методом Ньютона-Канторовича. Уравнение (3) решается модифицированным методом Ныотона-Кан- торовича в пространстве "(-] с использованием теоремы Б.А.Вертгейма [їб] . Теорема 0.8. Пусть функция $ : [- ГА, ГА] —> R+ = [ ueR. ; а > о \ ) ТА > 6 имеет производные до ( m -t \ ) - го порядка и удовлетворяет условиям - ІЗ - (І) (І Тогда если ЧЧ?) c Jl^,n , то ^13) = -! ^ -^ eft Теорема 0.9. Пусть функция $ Си) удовлетворяет условиям теореш 0.8. Тогда оператор дифференцируем по Фреше в ]-l и Доказано, что /\'(u) удовлетворяет условию Липшица в шаре При и^ 0 н-1 -WiV^ )= существует обратный оператор \f\(d )Л и справедливы неравенства где 1й ) (уй ) \ с - определяются данными. Теорема 10. Пусть функция ^ Сц ) удовлетворяет условиям теоремы 0.9 ; a є Н& начальное приближение для уравнения (3) И упА ( \ ^ і j'KW) \ = о . - 14 -Тогда если &t{0t\o< \\z , то уравнение (3) имеет единственное решение а і (J(ueJft ) где Я'г Iz^LJAiik < я к кото. Do С 6 рому сходится модифицированный итерационный процесс Ньютона, начатый с U.0 , скорость сходимости последовательных приб лижений U. - U , ГЛІ, чД^Л ,, * дается неравенством \ *- о Диссертация выполнена под научным руководством доктора физ.-мат.наук, профессора А.А.Бабаева и кандидата физ.-мат. наук, доцента Б.И.Мусаева, которым я выражаю глубокую и искреннюю признательность.Похожие диссертации на Обоснование метода квадратур и метода Ньютона-Канторовича для нелинейных сингулярных интегральных уравнений
