Обобщенные гиперсингулярные интегралы и обращение обобщенных потенциалов Рисса в эллиптическом и неэллиптическом случаях Алисултанова, Эсмира Докуровна

Введение к работе

Цель работы — исследование сходимости гиперсингулярньгх интегралов (ГСИ)

(1)

C, f(x-kjt) (2)

ib]f)(x)

<^г> = - _nt._a П(П ^ut' пе а > о, і |t|^rt+a

,i-i

,1-1

f{x-b₀t) 1 k_Q fix-k^t) 1 ft,

j=o

/

,г-і

— обобщенная разность функции /(г) порядка I с шагом t, в рамках пространств типа риссовых потенциалов; применение ГСИ (1) и аппроксимативных операторов (АО) специального вида к обращению интегралов типа потенциала в эллиптическом и неэллиптическом случаях.

Актуальность темь?. Впервые ГСИ Ю^а/ с постоянной характеристикой (риссовы производные) в рамках пространств бесселевых потенциалов были исследованы Е. Стейном при О < d < 2 и П.И. Лизор-киным ^;— для любого ос > О (в более общей ситуации, включающей анизотропный случай). В теории ГСИ важным является вопрос о сходимости. Этот вопрос в рамках пространств L ^а , совпадающих с пространствами бессолевых потенциалов при г = р и пространствами риссовых потенциалов при г = пр/(п - ар), был рассмотрен С.Г. Самко, В.А. Ногиным, Г.П. Емгушевой, Б.С. Рубиным. В работах упомянутых авторов рассматривались ГСИ с различными характеристиками в основном вещественного порядка и "обычными" (центрированными или нецентрированными) разностями.

ГСИ нашли применение при обращении операторов типа потенциала в работах С.Г. Самко, СМ. Умархаджиева, В.А. Ногина, Б.С. Рубина, Г.С. Костецкой, И.А. Кувшинниковой, М.М. Заволженского.

В диссертации изучаются вопросы сходимости ГСП комплексного порядка с обобщенными разностями в рамках пространств ІД, Re d< > 0. Дается приложение таких ГСИ к обращению обобщенных потенциалов Рисса (ОПР) комплексного порядка с L -плотностями в эллиптическом случае. Кроме того, аппроксимативным методом, развитым в работах В.А. Ногина и М.М. Заволженского в эллиптическом случае, строится обращение некоторых ОПР в неэллиптическом и исключительном случаях.

Методика исследования. В работе используются методы теории функций: интегральные представления, интерполяционная техника, мультипликаторы, аналитическое продолжение интегралов по параметру. Широко используются обобщенные функции, в особенности, над классом Ф> П.И. Лизоркина.

Научная новизна и практическая значимость работы. В диссертации получены следующие основные результаты:

1) дал широкого класса характеристик 0(t) доказана сходимость по Ъ -норме и почти всюду ГСИ (1) на функциях из Ъ ^а_г;

Z) с помощью ГСИ (1) построено обращение ОПР комплексного порядка с L -плотностями и гладкими характеристиками в эллиптическом случае;

1. в рамках пространств Ъ ^а исследовано влияние характеристики О на сходимость ГСИ (1);

2. в эллиптическом случае доказана сходимость ГСИ и АО при априорном предположении / L_r\

3. построено (в замкнутой форме) фундаментальное решение ГС оператора Ю с гладкой характеристикой в эллиптическом случае и решена близкая задача восстановления характеристики ОПР по заданному его символу;

4. в рамках аппроксимативного метода построено обращение операторов типа потенциала с линейной и квадратичной характеристиками, а также ОПР с некоторыми осциллирующими характеристиками; дано описание образов указанных потенциалов в терминах обращающих конструкций.

Перечисленные результаты новы; они могут быть использованы в теории интегральных уравнений, в прикладных задачах, приводящих к

многомерным интегральным уравнениям первого рода, в теории вложений классов дифференцируемых функция, в теории дробных степеней дифференциальных операторов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции" (г. Самара), на VI конференции математиков Беларуси (г.' Гродно) и многократно — на научном семинаре С.Г. Самко "Линейные операторы в функциональных пространствах" (г. Ростов-на-Дону).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-[11], список которых приводится в конце реферата. Работы [1J-C2], [4]-[6J, [8J-M1] выполнены совместно с В.Л. Ногиным, [3] — совместно с В.А. Ногиным и И.М. Заволженским. Их результаты принадлежат каждому из авторов в равной мере.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав (13 параграфов). Объем работы — 170 страниц машинописного текста; в списке литературы 91 название.

Похожие диссертации на Обобщенные гиперсингулярные интегралы и обращение обобщенных потенциалов Рисса в эллиптическом и неэллиптическом случаях

Обращение интегральных операторов типа В-потенциалов Рисса с однородной характеристикой в весовых пространствахШишкина Элина Леонидовна

Формирование ресурсного потенциала в стратегии развития организаций сферы товарного обращенияСафронов Сергей Владимирович